命題 2.3.1 (C n のエルミート内積の性質) x, x′ , y, y ′ ∈ C n , k ∈ C とすると次が成り立つ．
前回の最後に線型独立なベクトルの組から正規直交系を構成する方法 (グラム・シュミットの直
交化法) を紹介した．簡単に復習すると，線型独立なベクトル u1 , . . . , ur があるとき，
(IP1)’
(1)
1
v1 =
u1
|u1 |
(2)
u′2 = u2 − ⟨u2 , v 1 ⟩v 1
(3)
u′3
′
(4)
′
⟨x, y + y ⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x, y ⟩,
1 ′
u
|u′2 | 2
1
v 3 = ′ u′3
|u3 |
..
.
1
v k := ′ u′k
|uk |
v2 =
= u3 − ⟨u3 , v 1 ⟩v 1 − ⟨u3 , v 2 ⟩v 2
..
.
u′k
⟨x + x′ , y⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x′ , y⟩,
:= uk − ⟨uk , v 1 ⟩v 1 − · · · − ⟨uk , v k−1 ⟩v k−1 ,
⟨kx, y⟩ = k⟨x, y⟩
(第 1 成分に関する線型性)
⟨x, ky⟩ = k⟨x, y⟩
(第 2 成分に関する半線型性)
(IP2)’
⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩
(IP3)’
⟨x, x⟩ ≥ 0 であり， ⟨x, x⟩ = 0
(エルミート対称性)
⇔
x=0
(正定値)
実の時との違いは，第 2 成分に関する半線型性と，エルミート対称性だけである．
注 2.3.2 今定義したエルミート内積は，第 2 成分 y の方に共役のバー を付けたので，(IP1)’ にお
いて，第 1 成分のスカラーを外に出すときはそのまま，第 2 成分の時は共役をとるようになってい
る．これを左右逆にした定義を採用することもある．特に物理では，第 1 成分の方にバーを付ける
とすれば，正規直交系が得られるのであった．
のが標準的なようである．今後大抵の場合には，この違いを気にしなくても大丈夫だが，どちらに
グラム・シュミットの直交化法を用いれば，有限次元実計量線型空間には正規直交基底があるこ
バーが付いているか気にしなければいけないときもあるので注意を要する．
とが分かる．
抽象線型空間の場合にも，これらの性質を満たすものをエルミート内積と呼ぶことにしよう．即
定理 2.2.4 (正規直交基底の存在) V を n 次元実計量線型空間とする．但し，n ̸= 0, ∞ とする．
ち，複素線型空間 V の二つのベクトル x, y に，複素数 ⟨x, y⟩ を対応させる関数 ⟨ , ⟩ が定まっ
(1) V には正規直交基底が存在する．
ており，(IP1)’∼(IP3)’ が満たされるとき，⟨ , ⟩ を V 上のエルミート内積といい，V を複素計量
√
線型空間（またはエルミート空間）という．更に，x ∈ V に対し，|x| := ⟨x, x⟩ を x のノルム
（または大きさ）という．
(2) v 1 , . . . , v r (r ≤ n) が V の正規直交系なら，n − r 個の適当なベクトルを付け加えることによ
り，V の正規直交基底を構成することができる．
2.3
例 2.3.3 (1) C n は標準エルミート内積 (2.1) により複素計量線型空間である．このとき定義に
√∑n
2
より，|x| =
k=1 |xi | である．(絶対値を忘れずに！)
複素計量線型空間
(2) 複素係数１変数多項式の全体を，P(C) で表す．f (x), g(x) ∈ P(C) に対し，
∫
これまでは実線型空間の内積に関連することを学んできた．これからは，C n のような複素線型
⟨f, g⟩ :=
空間を考える．即ち，スカラーが複素数の場合を扱う．
∑n
n
Rn の標準内積 ⟨x, y⟩ = t xy =
で使うと，x ̸= 0 であっても
k=1 xk yk をそのまま C
√
|x| = ⟨x, x⟩ = 0 となったり，ベクトルの大きさが虚数になることがあり，内積として満たして
エルミート内積は，実計量線型空間の内積と似た性質が成り立つように定義されている．その基
C n 上の標準エルミート内積 ⟨x, y⟩ を
本的性質を列挙しておこう．
（Re z は複素数 z の実部）
⟨x, y⟩ = xy =
n
∑
xi yi ,
k=1
f (x) g(x) dx
−1
とすると，これは公理 (IP1)’∼(IP3)’ を満たすので，P(C) は複素計量線型空間である．
ほしい性質が成り立たない．そこで次のように，定義を少し変更する．
t
1
x1
y1
.
.
n
.
.
x=
. ,y = . ∈ C
xn
yn
命題 2.3.4 (エルミート内積とノルムの性質) 複素計量線型空間 V の元 x, y と複素数 k ∈ C に
(2.1)
対し，次が成り立つ．
(1) |x ± y|2 = |x|2 ± 2Re⟨x, y⟩ + |y|2
で定める．ここで y はベクトル y の各成分 yi を共役複素数 yi で置き換えたベクトルである．以
(2) |kx| = |k||x|
下，行列についても同様の記法を用いる．
(3)（シュヴァルツの不等式） |⟨x, y⟩| ≤ |x||y|
このように定めると，C n 上のエルミート内積は，実計量空間の内積とほぼ同じ性質を満たす:
(4)（三角不等式） |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
(5) ⟨x, 0⟩ = 0
17
複素の場合，エルミート内積の値は複素数なので，二つのベクトルのなす角は定義できないが，
2.4
直交性は定義できる．即ち，⟨x, y⟩ = 0 のとき，x と y は直交するという．ベクトルの大きさと
直交補空間
※ 授業時間の関係上，この節の内容は講義で解説しない予定です．
直交性があるので，実計量空間のときと同様に，正規直交系を考えることができる．その定義を念
のため書いておこう．
1
V を複素計量空間とする．V のベクトルの組 v 1 , . . . , v r が ⟨v i , v j ⟩ =
0
R3 において，原点を通る直線
（i = j のとき）
（i ̸= j のとき）
を満たすとき，v 1 , . . . , v r は正規直交系（orthonormal system, 略して ONS）であるという．更に
ℓ:x=y=z
⇔
x = tu (t ∈ R),
但し
v 1 , . . . , v r が V の基底であるとき，正規直交基底（orthonormal basis, 略して ONB）という．
このように定義すれば，正規直交系についても，実計量空間の場合と同様の性質が成り立つ．
があるとき，ℓ 上の点の位置ベクトル全てと直交するベクトルを集めると，平面
命題 2.3.5 (正規直交系の性質) v 1 , . . . , v r を複素計量空間 V の正規直交系とする．
∑r
∑r
∑r
x = i=1 xi v i , y = i=1 yi v i ならば，⟨x, y⟩ = i=1 xi yi である．特に ⟨x, v i ⟩ = xi である．さ
H : ⟨u, x⟩ = 0
これを一般化しよう．簡単のため，ここでは全ての線型空間は有限次元であるとする．
ト内積では，⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ ではなく ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ が成り立つので，多少注意が必要である．
グラム・シュミットの直交化法とは，線型独立なベクトル u1 , . . . , ur がある時，これから正規
命題と定義 2.4.1 実または複素計量線型空間 V の部分空間 W があるとき，
直交系 v 1 , . . . , v r を作る方法であり，その手順は，
W ⊥ := {x ∈ V | 任意の w ∈ W に対して ⟨x, w⟩ = 0}
1
v1 =
u1
|u1 |
u′2 = u2 − ⟨u2 , v 1 ⟩v 1
(3)
u′3 = u3 − ⟨u3 , v 1 ⟩v 1 − ⟨u3 , v 2 ⟩v 2
..
.
x+y+z =0
直線 ℓ が得られる．
複素計量空間においても，グラム・シュミットの直交化法を使うことができる．但し，エルミー
(2)
⇔
が得られる．逆も然りであり，平面 H 上の点の位置ベクトル全てと直交するベクトルを集めると，
らに，正規直交系は線型独立である．
(1)
1
u = 1
1
と置くと，W ⊥ は V の部分空間である．これを V における W の直交補空間という．
1
v 2 = ′ u′2
|u2 |
1
v 3 = ′ u′3
|u3 |
..
.
問 2.4.1 このように定義した W ⊥ は部分空間の条件 (S0) – (S2) (講義プリント p3) を満たすこ
とを確かめよ．
定理 2.4.2 実または複素計量線型空間 V の部分空間 W に対して
V = W ⊕ W ⊥,
というものであった．ここで ⟨uk , v j ⟩ のところで左右逆にして ⟨v j , uk ⟩ としてはいけない．もし
逆にすると，例えば
よって dim V = dim W + dim W ⊥
が成り立つ．
⟨u′2 , v 1 ⟩ = ⟨u2 − ⟨v 1 , u2 ⟩v 1 , v 1 ⟩ = ⟨u2 , v 1 ⟩ − ⟨v 1 , u2 ⟩ = ⟨u2 , v 1 ⟩ − ⟨u2 , v 1 ⟩ = 2i Im ⟨u2 , v 1 ⟩
問 2.4.2 以下の手順に従って，V = W + W ⊥ と，この和が直和であることを示せ．
を見れば分かるように，作ったベクトルが直交するとは限らないからである．但し，エルミート内
(1) w1 , . . . , wr を W の正規直交基底とする．このとき任意の x ∈ V に対し，
∑r
x′ = i=1 ⟨x, wi ⟩wi , x′′ = x − x′ とすると，x′ ∈ W , x′′ ∈ W ⊥ であることを示せ．
積の定義において，バーを第 1 成分に付ける流儀では，u′2 = u2 − ⟨v 1 , u2 ⟩v 1 とするのが正しいの
で，注意すること．
(2) x ∈ W ∩ W ⊥ ならば x = 0 であることを示せ．(ヒント:⟨x, x⟩ を計算せよ.)
グラム・シュミットの直交化法を用いれば，実の時と同様に，有限次元複素計量空間には正規直
交基底があることが分かる．
命題 2.4.3 直交補空間について次が成り立つ．
定理 2.3.6 (正規直交基底の存在) V を n 次元複素計量空間とする．但し，n ̸= 0, ∞ とする．
(1) (W ⊥ )⊥ = W
(1) V には正規直交基底が存在する．
(2) (W1 + W2 )⊥ = W1⊥ ∩ W2⊥ ,
(2) v 1 , . . . , v r (r ≤ n) が V の正規直交系なら，n − r 個の適当なベクトルを付け加えることによ
り，V の正規直交基底を構成することができる．
問 2.4.3 これを示せ．
18
(3)
(W1 ∩ W2 )⊥ = W1⊥ + W2⊥
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