整数の性質その4 ～素数～

　算数基本演習プリント
整数の性質　その４　～素数～
◎ 素数
《問８》　イキナリで悪いんだけどな、1～20 までの整数の約数を全部書け。
「えぇ～～～、何か前にも同じようなことをしたよぉ・・・。メンドクサイからイヤだよぉ～～～」ですって？
まぁ、君の気持ちは良く分かるし、確かに、メンドクサイかもしれないけど、こういう作業が君の血となり骨となるので、ここはグッ
とコラえて、とりあえず作業しましょうね♪
・1 の約数･･･
・2 の約数･･･
・３の約数･･･
・４の約数･･･
・５の約数･･･
・６の約数･･･
・７の約数･･･
・８の約数･･･
・９の約数･･･
・10 の約数･･･
・11 の約数･･･
・12 の約数･･･
・13 の約数･･･
・14 の約数･･･
・15 の約数･･･
・16 の約数･･･
・17 の約数･･･
・18 の約数･･･
・19 の約数･･･
・20 の約数･･･
がんばったね、お疲れさま♪
で、何か気づきませんか？
何ていうんでしょ、１は孤高の王様みたいですよね。
そして、2,3,5,7,11,13,17,19 は友達が少なそうだけど、12 とか 18 はスネオとかのび太とかしずかちゃ
んのような取り巻き（？）がいるジャイアンって感じがしませんか？
えっ？ジャイアンのたとえがイマイチですって？
じゃぁ、サンジとか、ロロノア・ゾロとか、ナミとかニコ・ロビンとか、ウソップなどと言った素敵な仲間達に恵
まれているルフィーって言ってもいいですけど♪（あっ、シマッタ、チョッパーを忘れてた･･･）
で、１と言うのは数の王様なので、特別なのです。そして、王様というのは頂点に立つが故に、いつも
孤独なのです。まぁ、この辺りのことについては算数や数学の勉強が進むにしたがって、おいおいと分
かるでしょう。
でね、学校の先生もおっしゃってるように、大切なのは「みんなが仲良くすること」ですよね。
でも、2,3,5,7,11,13,17,19 って、周りが「仲良くしよーよ、友達になろーよ♪」って言ってくれているにも
かかわらず、それを拒絶している感じがするでしょ。
しかも、プライドだけは高いって言う感じもしませんか？
彼らは、「特別な数」なんです。傲慢（ごうまん）な態度を取っても許されちゃうのです。
でも、彼らは数の世界での「貴族」でも何でもなく、やっぱ、「寂しい数」なんですよね。
だって、約数が 2 つしかないんですもん。
「ボクの友達は、１だけだよ」と言う、寂しい数なんです。
で、このように寂しい数を、「素数」と言います。中学校の教科書では、「１とその数以外に約数を持た
ない数を素数と言う」などと書かれていますけど、
何だか分かりづらいので、パス（スルー）しましょ。
既に君が気づいているように、要は、約数が二つしかない数を「素数」と言うのです。
と言うことで、ここで問題です♪
《問９》　100 までの素数をすべて答えろ。
とりあえず、1～100 までの数を全部書いておくね。素数だと思う数を○で囲んで、そうじゃないと思った
ら☓印をつけるといいかも♪ってか、素数じゃない数の方が多いから、そっちを先に☓にした方がいい
かもね。
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
♪ヒント♪
とりあえず 2 以外の偶数とか、3 以外の 3 の倍数（あっ、倍数の説明はまだだった･･･）とか、5 以外の 5 の倍数、７以外の 7 の倍数などを除
外するといいかも♪
（答え）
ちなみに、スーパーコンピューターの性能のテストのために、むちゃくちゃ大きな素数を求めることがあります。
算数基本演習プリント
整数の性質　その５　～素因数分解～
◎ 素因数分解
お休みの日の午後、お昼寝をしていたら、「こちらは粗大ゴミの回収車です。ご家庭でご不要になった
テレビ・パソコン・冷蔵庫など、何でも回収します。壊れて使い物にならないガラクタでも引き取ります。中
に忘れられていたヘソクリが入っていれば、超大歓迎です♪」というような声に起こされて、ムカつくことっ
て良くありませんか？
えっ、「僕はイタリア人じゃないから、昼寝なんかしないよ」ですって？失礼しました。
でね、ヒトから聞いた話なんですけど、壊れた電化製品を蘇らすには、まずは分解して徹底的に洗浄
することなんですって。それだけで、7 割くらいは再び使えるようになるそうです（7 割というのはてきとーですけど）。
分解掃除って、無駄な消費を防ぐといった意味でも、地球温暖化防止に役立つのかもしれませんね。
まぁ、電力を多く消費する古い電化製品を使うより、最新型の節電タイプの電化製品を使ったほうが地
球温暖化防止に貢献するのかもしれませんけど･･･。
で、実は、数を分解することも地球温暖化防止に役立つんです。数を分解することで暗算力が向上し、
電卓などを使わなくても楽に計算できるようになるので、電卓が消費する電力を節約できるようになるん
ですよね（なんか、ムチャクチャみみっちい話だな･･･）。
ってか、数を分解することが、いろんな数の理解に結びついたり、約数の個数を瞬時にして判断でき
たり、どんな数の平方であるかを考えたりと、色んなことに役立つんです。地球温暖化防止だけじゃない
んです。
そのとっても役に立つ数の分解のことを、素因数分解といいます。
例えば、18=2×3×3　とか、100=2×2×5×5　という風に、ある整数を素数の積で表すことを素因数分解と
いいます。
では、42 を素因数分解してみましょう♪
42 になる九九はというと、　×　=42　ですね。
で、6=　×　なので、42=　×　×　だと分かりました。
じゃぁ、144 だと、どうでしょう？
ところで、同じ数を 2 回かけることを二乗（または平方）と言います。で、15 くらいまでの整数の二乗は、
今のうちに覚えてしまいましょう。実は算数も暗記科目でもあるんですよぉ♪
1×1=　、2×2=　、3×3=　、4×4=　、5×5=　、6×6=　、7×7=　、
8×8=　、9×9=　、10×10=　、11×11=　、12×12=　、
13×13=　、14×14=　、15×15=　ですね♪
ということで、144=　×　ですね♪
で、12=　×　×　なので、144=　×　×　×　×　×　だと分かりました。
「でもさぁ、記憶に頼るのって、何かイヤだなぁ。センセもホントは暗記が嫌いなんでしょ」ですって？
はい、そのその通りです。自慢じゃありませんが、センセは歴史は嫌いじゃないけど、年号を覚えるの
は大嫌いで、未だに大化の改新が 645 年（これには異論もあります）、鎌倉幕府成立が 1192 年（これに
も異説があります）、第二次世界大戦終結が 1945 年、東京オリンピック開催が 1964 年って位しか覚え
ていません（エッヘン♪←威張ることじゃないか･･･）。
「ハイハイ、そんなんだから、センセは理科と算数しか教えられないんだね。でさぁ、この前のプリントに
出てきた、4725 だと、どうなるの？記憶力の悪いセンセのことだから、この数を素因数分解した結果な
んて、当然、覚えてなんかいないよね」ですって？
当ったり前じゃん。そんな面倒なこと誰が覚えるもんですか。だって、計算すればいつでも出せるもん。
ってなわけで、4725 を素因数分解してみましょう。
まずは、4725 の各位の数を足すと、4+7+2+5=18 で、18 は 3 で割り切れるので、4725÷3=1575
1575 の各位の数を足すと、　+　+　+　=　で、これも 3 で割り切れますね。
ってわけで、1575÷3=　あら、まだ 3 で割れますから、　÷3=　これ以上 3 では割れませんけど、1 の位が 5 なので、　で割れます。
ってことで、　÷5=　あっ、まだ、5 で割れますね。　÷ 5=　ってわけで、4725 を、3 で 3 回、5 で２回割ったら、素数の　になっちゃいました。
逆に考えると、に 5 を 2 回、3 を 3 回かけると、4725 になるわけですね。
ってことは、3×3×3×5×5×7=4725　ということです。これで素因数分解終了♪めでたしめでたし♪
この作業を、別の書き方をすると、こうなります。
3 4725
1575
3 4725
3 1575
525
3 4725
3 1575
3 525
175
このように、出来るだけ小さい素数で割っていって、
の外側に出た数の積で表せば良いのですね♪
3
3
3
5
4725
1575
525
175
3 5
3
3
3
5
5
4725
1575
525
175
3 5
7
こういう便利な方法を考え付いた先人達に深く感謝いたしましょう。
これでスペースが無くなっちゃった･･･。余計なことをウダウダと言い過ぎたかなぁ･･･。
算数基本演習プリント
整数の性質　その４　～素数～
◎ 素数
《問８》　イキナリで悪いんだけどな、1～20 までの整数の約数を全部書け。
「えぇ～～～、何か前にも同じようなことをしたよぉ・・・。メンドクサイからイヤだよぉ～～～」ですって？
まぁ、君の気持ちは良く分かるし、確かに、メンドクサイかもしれないけど、こういう作業が君の血となり骨となるので、ここはグッ
とコラえて、とりあえず作業しましょうね♪
・1 の約数･･･
１
・2 の約数･･･
1,2
・３の約数･･･
1,3
・４の約数･･･
1,2,4
・５の約数･･･
1,5
・６の約数･･･
1,2,3,6
・７の約数･･･
1,7
・８の約数･･･
1,2,4,8
・９の約数･･･
1,3,9
・10 の約数･･･ 1,2,5,10
・11 の約数･･･ 1,11
・12 の約数･･･ 1,2,3,4,6,12
・13 の約数･･･ 1,13
・14 の約数･･･ 1,2,7,14
・15 の約数･･･ 1,3,5,15
・16 の約数･･･ 1,2,4,8,16
・17 の約数･･･ 1,17
・18 の約数･･･ 1,2,3,6,9,18
・19 の約数･･･ 1,19
・20 の約数･･･ 1,2,4,5,10,20
がんばったね、お疲れさま♪
で、何か気づきませんか？
何ていうんでしょ、１は孤高の王様みたいですよね。
そして、2,3,5,7,11,13,17,19 は友達が少なそうだけど、12 とか 18 はスネオとかのび太とかしずかちゃ
んのような取り巻き（？）がいるジャイアンって感じがしませんか？
えっ？ジャイアンのたとえがイマイチですって？
じゃぁ、サンジとか、ロロノア・ゾロとか、ナミとかニコ・ロビンとか、ウソップなどと言った素敵な仲間達に恵
まれているルフィーって言ってもいいですけど♪（あっ、シマッタ、チョッパーを忘れてた･･･）
で、１と言うのは数の王様なので、特別なのです。そして、王様というのは頂点に立つが故に、いつも
孤独なのです。まぁ、この辺りのことについては算数や数学の勉強が進むにしたがって、おいおいと分
かるでしょう。
でね、学校の先生もおっしゃってるように、大切なのは「みんなが仲良くすること」ですよね。
でも、2,3,5,7,11,13,17,19 って、周りが「仲良くしよーよ、友達になろーよ♪」って言ってくれているにも
かかわらず、それを拒絶している感じがするでしょ。
しかも、プライドだけは高いって言う感じもしませんか？
彼らは、「特別な数」なんです。傲慢（ごうまん）な態度を取っても許されちゃうのです。
でも、彼らは数の世界での「貴族」でも何でもなく、やっぱ、「寂しい数」なんですよね。
だって、約数が 2 つしかないんですもん。
「ボクの友達は、１だけだよ」と言う、寂しい数なんです。
で、このように寂しい数を、「素数」と言います。中学校の教科書では、「１とその数以外に約数を持た
ない数を素数と言う」などと書かれていますけど、
何だか分かりづらいので、パス（スルー）しましょ。
既に君が気づいているように、要は、約数が二つしかない数を「素数」と言うのです。
と言うことで、ここで問題です♪
《問９》　100 までの素数をすべて答えろ。
とりあえず、1～100 までの数を全部書いておくね。素数だと思う数を○で囲んで、そうじゃないと思った
ら☓印をつけるといいかも♪ってか、素数じゃない数の方が多いから、そっちを先に☓にした方がいい
かもね。
1
☓
11
21
☓
31
41
51
☓
61
71
81
☓
91
☓
2
12
☓
22
☓
32
☓
42
☓
52
☓
62
☓
72
☓
82
☓
92
☓
3
13
23
33
☓
43
53
63
☓
73
83
93
☓
4 5
☓
14 ☓
15
☓
24
25
☓☓
34 35
☓
☓
44 45
☓
☓
54 ☓
55
☓
64 ☓
65
☓
74 ☓
75
☓
84 ☓
85
☓
94 ☓
95
☓
6 7
☓
16
☓ 17
26
☓ 27
☓
36 37
☓
46 47
☓
56
57
☓ ☓
66
☓ 67
76
☓
☓ 77
86
87
☓☓
96
☓ 97
8 ☓
9 10
☓
☓
18
☓ 19 20
☓
28 29 30
☓
☓
38 ☓
39 40
☓
☓
48
49 50
☓
☓ ☓
58 59 60
☓
☓
68 ☓
69 70
☓
☓
78 79 80
☓
☓
88
☓
☓ 89 90
98
☓ 99
☓ 100
☓
♪ヒント♪
とりあえず 2 以外の偶数とか、3 以外の 3 の倍数（あっ、倍数の説明はまだだった･･･）とか、5 以外の 5 の倍数、７以外の 7 の倍数などを除
外するといいかも♪
（答え）
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
ちなみに、スーパーコンピューターの性能のテストのために、むちゃくちゃ大きな素数を求めることがあります。
算数基本演習プリント
整数の性質　その５　～素因数分解～
◎ 素因数分解
お休みの日の午後、お昼寝をしていたら、「こちらは粗大ゴミの回収車です。ご家庭でご不要になった
テレビ・パソコン・冷蔵庫など、何でも回収します。壊れて使い物にならないガラクタでも引き取ります。中
に忘れられていたヘソクリが入っていれば、超大歓迎です♪」というような声に起こされて、ムカつくことっ
て良くありませんか？
えっ、「僕はイタリア人じゃないから、昼寝なんかしないよ」ですって？失礼しました。
でね、ヒトから聞いた話なんですけど、壊れた電化製品を蘇らすには、まずは分解して徹底的に洗浄
することなんですって。それだけで、7 割くらいは再び使えるようになるそうです（7 割というのはてきとーですけど）。
分解掃除って、無駄な消費を防ぐといった意味でも、地球温暖化防止に役立つのかもしれませんね。
まぁ、電力を多く消費する古い電化製品を使うより、最新型の節電タイプの電化製品を使ったほうが地
球温暖化防止に貢献するのかもしれませんけど･･･。
で、実は、数を分解することも地球温暖化防止に役立つんです。数を分解することで暗算力が向上し、
電卓などを使わなくても楽に計算できるようになるので、電卓が消費する電力を節約できるようになるん
ですよね（なんか、ムチャクチャみみっちい話だな･･･）。
ってか、数を分解することが、いろんな数の理解に結びついたり、約数の個数を瞬時にして判断でき
たり、どんな数の平方であるかを考えたりと、色んなことに役立つんです。地球温暖化防止だけじゃない
んです。
そのとっても役に立つ数の分解のことを、素因数分解といいます。
例えば、18=2×3×3　とか、100=2×2×5×5　という風に、ある整数を素数の積で表すことを素因数分解と
いいます。
では、42 を素因数分解してみましょう♪
6
7
42 になる九九はというと、　×　=42　ですね。
2
2 ×　7
3
で、6=　×　なので、42=　3 ×　だと分かりました。
じゃぁ、144 だと、どうでしょう？
ところで、同じ数を 2 回かけることを二乗（または平方）と言います。で、15 くらいまでの整数の二乗は、
今のうちに覚えてしまいましょう。実は算数も暗記科目でもあるんですよぉ♪
36
25
49
4
9
16
1
1×1=　、2×2=　、3×3=　、4×4=　、5×5=　、6×6=　、7×7=　、
64
81
144
100
121
8×8=　、9×9=　、10×10=　、11×11=　、12×12=　、
169
225
13×13=　、14×14=　、15×15=　ですね♪
196
12 12
ということで、144=　×　ですね♪
で、12=　×　×　なので、144=　×　×　×　×　×　2
2
3
2
2
2
2
3
3
だと分かりました。
「でもさぁ、記憶に頼るのって、何かイヤだなぁ。センセもホントは暗記が嫌いなんでしょ」ですって？
はい、そのその通りです。自慢じゃありませんが、センセは歴史は嫌いじゃないけど、年号を覚えるの
は大嫌いで、未だに大化の改新が 645 年（これには異論もあります）、鎌倉幕府成立が 1192 年（これに
も異説があります）、第二次世界大戦終結が 1945 年、東京オリンピック開催が 1964 年って位しか覚え
ていません（エッヘン♪←威張ることじゃないか･･･）。
「ハイハイ、そんなんだから、センセは理科と算数しか教えられないんだね。でさぁ、この前のプリントに
出てきた、4725 だと、どうなるの？記憶力の悪いセンセのことだから、この数を素因数分解した結果な
んて、当然、覚えてなんかいないよね」ですって？
当ったり前じゃん。そんな面倒なこと誰が覚えるもんですか。だって、計算すればいつでも出せるもん。
ってなわけで、4725 を素因数分解してみましょう。
まずは、4725 の各位の数を足すと、4+7+2+5=18 で、18 は 3 で割り切れるので、4725÷3=1575
18
1
5
7
5
1575 の各位の数を足すと、　+　+　+　=　で、これも
3 で割り切れますね。
525
ってわけで、1575÷3=　175
525 ÷3=　あら、まだ 3 で割れますから、　5 で割れます。
これ以上 3 では割れませんけど、1 の位が 5 なので、　175
35
ってことで、　÷5=　35 5=　7
あっ、まだ、5 で割れますね。　÷
7
ってわけで、4725 を、3 で 3 回、5 で２回割ったら、素数の　になっちゃいました。
7 5 を 2 回、3 を 3 回かけると、4725 になるわけですね。
逆に考えると、に
ってことは、3×3×3×5×5×7=4725　ということです。これで素因数分解終了♪めでたしめでたし♪
この作業を、別の書き方をすると、こうなります。
3 4725
1575
3 4725
3 1575
525
3 4725
3 1575
3 525
175
このように、出来るだけ小さい素数で割っていって、
の外側に出た数の積で表せば良いのですね♪
3
3
3
5
4725
1575
525
175
3 5
3
3
3
5
5
4725
1575
525
175
3 5
7
こういう便利な方法を考え付いた先人達に深く感謝いたしましょう。
これでスペースが無くなっちゃった･･･。余計なことをウダウダと言い過ぎたかなぁ･･･。

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