Preprojective algebras, c-sortable elements and generalized

Preprojective algebras, c-sortable elements and generalized
cluster categories
木村雄太 (名古屋大学)
Q を非輪状有限クイバーとし, 代数は全て代数閉体上考えるとする. Π = ΠQ を Q に付随する前射影代数と
する. 前射影代数 Π は, Q の前射影表現を研究するために Gelfand-Ponomarev によって導入された. 特に最
近では, Fomin-Zelevinsky によって導入された団代数の圏化を与える 2-Calabi-Yau 三角圏 (2-CY) と団傾対
象の構成の視点からも盛んに研究されている.
Buan-Iyama-Reiten-Scott [BIRS] らは, Q から得られるコクセター群を用いることで, 団傾対象を持つ
2-CY 三角圏を構成した. w をコクセター群の元とするとき, Π のイデアル Iw が得られる. 彼らは商代数
Πw = Π/Iw が有限次元かつ移入次元が 1 以下の代数であることを示した. 有限生成 Πw -加群のなす圏を
mod Πw とする. また, 自由 Πw -加群の部分加群のなす mod Πw の充満部分圏を Sub Πw とする. 即ち,
Sub Πw :=
{
}
m
⊕
X ∈ mod Πw | X ⊂
Πw , m > 0 .
j=1
この時 Πw の移入次元が 1 以下であることから, Sub Πw は Frobenius 圏となり, よって安定圏を取ることで三
角圏 Sub Πw が得られる. 彼らは Sub Πw が 2-CY 三角圏であることを証明し, かつこの圏において団傾対象を
構成した.
一方, Amiot-Reiten-Todorov [ART] らは, コクセター群の任意の元 w に対して, ある有限次元代数 Γw が存
在して, Sub Πw と Γw のクラスター圏が三角圏同値であることを証明した. ここでクラスター圏とは, Γw の有
界導来圏から構成される 2-CY 三角圏であり, Amiot [A] によって導入されたものである.
本講演では, Πw に自然に備わる次数付き代数の構造を用いる. 有限生成次数付き Πw -加群のなす圏を
modZ Πw とする. また, 次数付き自由 Πw -加群の次数付き部分加群のなす modZ Πw の充満部分圏を SubZ Πw
とする. Πw の移入次元が 1 以下であることから, SubZ Πw は Frobenius 圏となる. 本講演では, w が c-sortable
という元であるときに, Amiot-Reiten-Todorov らが構成した代数 Γw の有界導来圏と, SubZ Πw の安定圏が三
角圏として同値となることを見る. また, これら三角圏間のある関手の可換性についてもご報告する.
参考文献
[A] C. Amiot, Cluster categories for algebras of global dimension 2 and quivers with potential, Ann. Inst.
Fourier (Grenoble) 59 (2009), no. 6, 2525-2590.
[ART] C. Amiot, I. Reiten, G. Todorov, The ubiquity of the generalized cluster categories, Adv. Math.
226 (2011), no. 4, 3813-3849.
[BIRS] A. Buan, O. Iyama, I. Reiten, J. Scott, Cluster structures for 2-Calabi-Yau categories and unipotent groups, Compos. Math. 145 (2009), no. 4, 1035-1079.

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