TS測量に於ける誤差の考察

TS 測量による誤差の考察
TS測量に於ける多角点の計算は角度と距離の混合計算を採用している,これしか方法がな
いからと言うべきかもしれない。
そこで意外と知られていない誤差について考えてみた。一般的にされているトラバー測量に
おいて誤差がどのように最終の境界点に伝わっているかを知ることによって危険な測量とはど
のような状態を指すのか考えみる。
誤差に関して,座標値はXY二変量の正規分布誤差であり,一般的な一変量の誤差と異な
る点を知ることによって新しい事実がわかることがある。
混合計算による誤差がどのように伝わっているかを調べてみた,理由は
1. 一般的に誤差は誤差の伝播の法則に従って展開されているとされている。
つまり、各観測値の誤差を m1,m2,・・・・・mN としたときm²=m1²+m2²+・・・・・mN² で
あることを言う。
2. 4級レベルの基準点測量(土地家屋調査士が行う登記基準点測量も含めて)において定
められている点検基準の閉合差と各観測値と点検基準との関係は知りたいことの一つである。
法律によって基準が異なるが、都市再生街区基本調査法での街区補助点の点検基準は距
離較差 20mm,角較差 60 秒以内(別表 22)となっている。
一方、路線の点検基準閉合差の制限値は公共測量作業規程で 150mm+100√(N)*S
km,N は新点数,S は路線長 km である、都市再生街区基本調査法の補助点で 20+4√S m,
S は路線長 m(別表 11)となっており微妙に異なるが関係がどうなっているのでろうかといった
点である。
3.
境界点測量に与える影響がどうなっているかと言ったところであろうか。
誤差の展開説明
TS測量における誤差について説明する、TSを設置した点を機械点,測る点を測点とした時,
機械点から測点の進行方向に前
後して発生するのが距離誤差,
進行方向に対して 90 度方向,左
右に発生するのが角誤差となる。
角誤差と距離誤差を混合して
計算するとX座標値、Y座標値に
計算される、この二変量の分布
は楕円状に分布する,これを誤
差楕円という,これは二変量分布
の特徴である。楕円の長いほうを
長軸誤差,短い方を短軸誤差と
1
いいそれぞれ長軸標準偏差,短軸標準偏差で表す,X 軸方向の幅を X 軸誤差,Y 軸方向の
幅を Y 軸誤差といいそれぞれ X 軸標準偏差,Y 軸標準偏差で表す。二つの誤差は誤差の混
合から(σm²+σn²)/2=(σx²+σy²)/2=σ(二変量標準偏差)の関係がある。
次の条件で誤差を用意する
誤差を実測で求めることは現実的ではないのでランダムで正規化されたデータを実際の観
測条件を加味して99通り作成する,加味する条件はTSの求心誤差,測点を見たときの視準
誤差,プリズムの正対誤差,当然観測者の視力などを加味している。
TS、測角精度、読み取りとも 5 秒,測距精度±2mmでの測量による結果に近づくように,点
間距離 50m,角誤差は標準偏差で 10~13 秒,測距誤差は標準偏差で 1.7~2.0mm,平均値
は次表の通りで平均値は出来るだけ 0 に近い数値を作成した。
4級基準点測量を前提としておおむね、路線長 300m,始点~点 6 まで約 200mの 3 級基
準点相当の点間を想定する。誤差は誤差の三公理の原則によって発生するものとする。
座標の位置誤差はσx(X 軸標準偏差),σy(Y 軸標準偏差)で見ても誤差の状態が把握で
きないので必ずσm,σn,ρの関係を調べる必要がある。σm は誤差楕円長軸の標準偏差,
σn は誤差楕円短軸の標準偏差,誤差楕円の潰れ具合を知るために相関係数ρである、計
算に専用プログラム(誤差の体験.TS 性能比較,求心誤差,正規化データ作成,プリズム誤
差.xls など)を用意してあります。
測量のパターンを次の A,B,C,D の4通り作成した
A, 直線,50m ピッチ,開放で展開
B, 90 度交互,50m ピッチ,開放で展開
2
各点に与えられた誤差は次の表のとおりである。
標準偏差
点間距離
平均
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1
10.786
1.946
30
0.0101
2
12.233
1.997
50
-0.1515
3
12.903
2.018
70
0.0303
4
11.397
5
12.197
1.958
30
-0.0404
6
12.206
1.726
70
-0.8586
-1.7677
2.2121
-3.6869
-1.8687
-2.9293
-0.1414
誤差角(秒) 誤差距離mm 誤差角(秒) 誤差距離mm 誤差角(秒) 誤差距離mm 誤差角(秒) 誤差距離mm 誤差角(秒) 誤差距離mm 誤差角(秒) 誤差距離mm
-5
0
15
-2
33
1
-5
0
10
3
10
0
-5
5
-5
-1
0
-4
-10
2
-5
-1
-35
0
15
0
-5
1
12
1
-5
1
-15
2
10
3
25
0
15
-2
26
2
5
2
-15
2
-5
0
25
-3
-10
-1
27
-1
-10
3
0
-3
-15
-2
20
1
-15
0
16
0
-10
-3
-10
1
-5
-1
-5
-1
-5
0
-6
6
-5
1
0
2
5
-1
-15
1
-15
-2
1
0
10青のセルにランダムに作成した正規化データを貼り付ける。
2
15
-2
20
0
15
-3
10
0
-8
0
-25青のセルが空のときは誤差のない座標値が赤のシートに表示される。
3
0
0
20
0
25
0
5
1
-10
-2
-15赤のシートに計算結果が出る。
3
20
2
-15
1
-5
0
-10
3
2
-1
0グレーのシートは何もしないこと
-3
30
1
15
1
15
5
10
1
-11
1
-5
-1
-10
-4
-15
3
-5
-1
0
2
-15
1
-10
-1
-10
-1
-5
3
0
2
-10
-3
9
0
10
-1
5
-2
15
0
-15
0
5
0
22
-1
0
-1
-10
0
-15
0
-10
0
-5
5
-4
0
30
1
-15
0
5
-2
-10
2
-5
2
9
-2
15
0
10
2
0
-1
10
3
0
-2
-1
-1
-10
-1
-30
-1
-15
0
0
-1
-25
1
-12
-1
-15
-1
10
0
0
-1
10
-1
-15
-1
-7
0
-15
1
0
1
5
1
20
1
-5
-2
10
0
-5
-3
0
0
-10
2
-20
0
0
-1
-3
-1
-10
1
-10
1
-20
-1
5
-1
-15
-1
1
1
-15
-1
-15
0
-15
-1
-10
-2
-15
0
16
5
-10
-2
-20
-1
-15
-1
-5
0
10
0
-5
2
-15
-1
0
0
-15
-1
5
0
-15
-4
-3
1
-15
1
5
1
0
1
0
0
5
0
-5
-2
-15
-4
5
2
0
1
-5
3
0
-2
-9
2
-10
0
0
2
-5
0
-15
-2
-5
1
10
4
-10
2
25
4
-10
-1
15
1
0
4
3
0
-10
-2
-30
-3
15
0
0
3
5
-2
2
2
0
1
-15
-1
-25
-6
0
-4
-10
0
-2
1
-10
-3
0
-2
-15
-1
-10
-1
-10
0
18
0
5
-1
-25
2
10
1
0
-1
15
2
23
-2
-25
1
-5
0
-25
-1
5
0
-35
1
3
-1
-15
4
-10
0
-15
-1
0
2
-15
3
-2
0
0
-1
10
1
-5
-2
-20
0
0
-2
4
2
-25
0
30
-3
-20
-1
15
-2
15
-1
7
-3
0
-3
-5
0
10
-1
10
-1
25
-1
-14
-1
15
0
10
-2
25
-1
0
0
30
-2
-8
1
-30
0
-5
2
0
-2
-10
-1
10
0
-12
-2
0
-2
-10
-2
0
1
5
-1
-5
2
-14
0
15
-1
15
-2
0
-3
-10
-2
-10
3
12
-2
0
1
-5
-1
0
1
-5
-1
-10
-3
-2
1
-10
2
-10
-1
0
0
-5
1
-5
0
-4
1
5
3
15
1
0
-2
5
-4
5
-2
18
-4
0
1
0
-1
-25
0
5
-2
-5
-1
-30
0
-5
-2
-5
1
-10
2
0
-1
5
1
-3
0
-10
-1
-10
-2
-5
-1
-15
2
20
3
-19
4
10
-1
-10
-2
10
-1
15
-2
0
-3
1
-2
0
-1
-5
0
-5
-1
0
-1
-5
-1
-8
2
-25
-1
-5
2
5
-1
-5
-1
-10
2
15
-3
10
1
-15
-1
5
1
-15
-2
5
-2
30
2
10
3
10
1
0
4
-15
0
5
1
21
1
5
-3
-5
-3
15
2
-15
2
15
4
7
1
0
-1
-5
1
25
-3
10
4
20
1
7
2
-15
-1
-10
-2
20
1
0
0
-5
-2
21
-1
-15
-2
-10
2
-5
-4
-5
-2
-10
1
-23
1
-10
0
5
0
-10
-1
-5
1
10
-1
-3
0
5
6
20
6
-10
2
10
0
-20
2
-18
0
0
-3
0
-2
-10
1
5
3
10
2
8
-1
15
0
0
1
-15
-3
5
4
-5
-2
-6
-1
0
0
15
-1
-5
1
0
3
-5
-1
-13
1
-5
-2
-5
-2
0
-2
0
4
5
-2
14
-2
0
-1
5
1
-20
1
5
-2
-10
-1
26
1
-10
2
-10
4
0
2
-25
1
-15
0
-2
1
5
0
10
1
-5
-3
-5
2
5
1
-19
4
5
0
20
1
5
-1
-10
1
-15
-3
12
-4
20
0
-5
4
0
-1
-5
-2
-15
0
4
1
0
-2
-5
-4
10
1
0
0
5
-3
5
4
-20
-2
-10
-1
0
1
-5
4
-20
1
3
-3
10
0
-5
2
0
-2
-5
-1
-5
1
-2
1
-5
-1
15
0
-5
1
-10
0
-15
-5
1
2
-15
0
-30
2
-15
3
-10
2
-15
0
14
-4
0
-3
0
-2
5
1
10
-3
0
0
22
-2
0
-2
15
-2
0
-1
-5
-1
10
0
15
1
0
1
0
2
-20
0
5
2
20
0
19
-2
-10
4
10
-3
-20
0
0
3
0
4
-3
0
10
4
-10
0
-15
1
0
-2
20
-3
17
-2
25
-1
0
2
10
2
5
1
0
1
0
2
-5
-2
-10
-2
-5
3
-10
1
-5
0
-2
2
10
-1
-10
0
0
1
5
0
-15
0
-3
-4
-5
-1
10
-1
-10
1
-25
-3
-15
2
7
-1
-10
0
15
-1
-15
-3
-10
-2
15
-3
5
1
0
-1
0
0
-5
-1
-15
1
-15
1
1
-3
-10
-2
-15
2
5
0
10
-2
-20
-2
8
-2
5
0
10
-2
0
-2
-5
0
-15
-2
-1
-1
0
-4
0
0
15
0
10
0
10
1
-8
2
-10
1
-15
-5
-30
0
15
1
-10
-1
10
-2
-15
2
-10
0
0
-1
0
-2
-10
0
-18
-1
0
5
5
-2
-15
-1
-20
-1
0
2
-3
2
5
2
-10
0
-10
1
10
-1
-20
2
-4
0
-25
-4
5
-2
15
2
-5
-2
10
-5
-17
0
10
-1
0
1
-5
3
-5
1
-5
-2
15
3
-10
1
-20
4
5
-3
-10
-1
0
-1
-27
-2
-15
3
-10
0
10
1
-5
1
5
2
0
2
10
-3
-15
0
5
-2
-5
-3
0
3
-4
-1
0
1
0
0
-5
1
5
0
15
-2
19
1
-5
-2
-5
-2
5
-2
0
-1
20
0
1
-1
-20
1
-5
1
-5
1
3
2.045
50
-0.1414
A,B 各点の平均値は次のとおり。
角誤差
x
1
2
3
4
5
6
50mピッチ
点毎の角誤
d/206265*S
距離 Smm
差 d秒
mm
10.786
50000
2.615
12.233
50000
2.965
12.903
50000
3.128
11.397
50000
2.763
12.197
50000
2.957
12.206
50000
2.959
平均
2.898
距離誤差
x
1
2
3
4
5
6
平均
点毎の距離
誤差 m
1.946
1.997
2.018
2.045
1.958
1.726
1.948
C, 直線,30,50,70m ピッチ,開放で展開
D, 90 度交互 30,50,70m ピッチ,開放で展開
C,D 各点の観測誤差は同じであるが角誤差は点間距離によって位置誤差変わるので下表
のようになる。距離誤差はA,Bと同じ。
角誤差
x
1
2
3
4
5
6
30,50,70ピッチ
点毎の角誤
d/206265*S
距離 Smm
差 d秒
mm
10.786
30000
1.569
12.233
50000
2.965
12.903
70000
4.379
11.397
50000
2.763
12.197
30000
1.774
12.206
70000
4.142
平均
2.932
計算結果
4
距離誤差
x
1
2
3
4
5
6
平均
点毎の距離
誤差 m
1.946
1.997
2.018
2.045
1.958
1.726
1.948
各パターンの計算結果は表のとおり。計算は開放で99通りの計算をしてその標準偏差を表
示してある。
左側表,縦に1~6までの点番,横軸の「角σm」は角誤差のみで計算したときの長軸標準
偏差,「角σn」は角誤差のみで計算したときの短軸標準偏差,「√(角σm²+角σn²)」は二変
量角誤差の合成値,「距離σm」は距離誤差のみで計算したときの長軸標準偏差,「距離σn」
は距離誤差のみで計算したときの短軸標準偏差,「√(距離σm²+距離σn²)」は二変量距離
誤差の合成値,「合成a」は角誤差,距離誤差の合成値=√(角σm²+角σn²+距離σm²+
距離σn²)を表示してある。
右側表,99通りの測角,距離混合計算から求めた長軸標準偏差「99 個混合計算からσm」,
短軸標準偏差「99 個混合計算からσn」,「99 個混合計算から√(σm²+σn²)」は二変量距離
誤差の合成値である。
※合成値=√(σm²+σn²)=√(σx²+σy²),混合値=√((σm²+σn²)/2)=√((σx²+σy²)/2),誤差を説
明するときに標準偏差(精度)を使うがこれを計算に使うときは二乗する,標準偏差の二乗=分散,分散がデータの
バラツキを示す値となっているから,したがってσm²と言うことにしている。
アルコール度 50 の酒を1L と同じ濃度の酒1L を混ぜたとき,1L+1L=2L,これが合成値,濃度は 50 で変わら
ない,これが混合値という。誤差の伝播はσ²=σ1²+σ2²+・・・・・σN² の合成値を使っているので合成値で説明
をする。
A 直線,50m ピッチ,99通りからの開放の結果
直線 50ピッチ
点番
角 σm
1
2
3
4
5
6
0.003
0.006
0.011
0.016
0.021
0.028
角 σn
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
√(角σm
²+角σn 距離σm
²)
0.003
0.006
0.011
0.016
0.021
0 .0 2 8
距離σn
√(距離
σm²+距
離σn²)
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.003
0.004
0.004
0.005
0.0 05
0.002
0.003
0.004
0.004
0.005
0.005
合成 a
0.003
0.007
0.011
0.016
0.022
0 .0 2 8
99個混合
99個混合 99個混合
計算から
計算から 計算から
√(σm²
σm
σn
+σn²)
0.003
0.002
0.003
0.006
0.003
0.007
0.011
0.004
0.011
0.016
0.004
0.016
0.021
0.005
0.022
0.028
0.005
0.0 28
多角点の展開パターンAで99通りの計算結果である,6行目の合成aの値と6行目の 99 個
混合計算から√(σm²+σn²)の値がイコールである,これは誤差の合成式(=√(角σm²+
角σn²+距離σm²+距離σn²))が正しいことになる。この式は 1 行目~6行目まで同じであ
る。
(A,B の誤差伝播の式による計算値)
角誤差
点番
1
2
3
4
5
6
50mピッチ
点毎の角誤
d/206265*S ㎡=m1²+
距離 Smm
差 d秒
mm
m2²・・・mN²
10.786
50000
2.615
0.0 0 2 6
12.233
50000
2.965
0.0 0 4 0
12.903
50000
3.128
0.0 0 5 0
11.397
50000
2.763
0.0 0 5 7
12.197
50000
2.957
0.0 0 6 5
12.206
50000
2.959
0.0 0 7 1
平均
2.898
距離誤差
点番
1
2
3
4
5
6
平均
距離誤差の伝わり方
5
点毎の距離 ㎡=m1²+
誤差 mm m2²・・・mN²
1.946
0 .0 01 9
1.997
0 .0 02 8
2.018
0 .0 03 4
2.045
0 .0 04 0
1.958
0 .0 04 5
1.726
0 .0 04 8
1.948
伝播合成
0.0033
0.0048
0.0061
0.0070
0.0079
0 .0 08 6
平均
平均誤差
mm/点
0.0033
0.0036
0.0037
0.0034
0.0035
0.0034
0.0035
先に距離誤差について説明する,上表の7列目,6行目,√(距離σm²+距離σn²)の値が
0.0047(0.005)で下中表の3列目,6行目,㎡=m1²+m2²・・・mN² の値が 0.0048 で≒である
ことを確認することで証明できる。
測距の誤差は測定する点間距離に影響されない(多少はあるが),そのため点数の平方根
に比例する。
下表はほぼ同じ点毎の距離誤差を誤差伝播法則㎡=m1²+m2²・・・mN²の値と99個混合計
算値からの値を比較して,イコールであることを確認し,99個混合計算値からの値(合成a)/
一点当たりの誤差(平均)の値を青の線,点数の平方根を赤の線でグラフにした。その結果,
標準偏差は点数の平方根に比例する(分散は点数に比例する)ことが判る。
たとえば,距離精度が 5mmの TS で測量した4点目の標準偏差は 5×√4=10mmとなり
分散は100となる。
「合成 a/平均」と「√点数」の計算表
点番:点数
1
2
3
4
5
6
平均
点毎の距離 ㎡=m1²+ 99個混合計 合成a/ 平
誤差 mm m2²・・・mN² 算から σn 均
1.946
0.0019
0.0019
0.97 5
1.997
0.0028
0.0029
1.48 8
2.018
0.0034
0.0035
1.79 6
2.045
0.0040
0.0040
2.05 3
1.958
0.0045
0.0045
2.31 0
1.726
0.0048
0.0047
2.41 2
1.948
√点数
1 .00 0
1 .41 4
1 .73 2
2 .00 0
2 .23 6
2 .44 9
上の表の「合成 a/平均」青線と「√点数」赤線の関係グラフでほぼ重なる。
したがって距離誤差は誤差伝播の法則による,この結果は パターン A,B,C,D とも同
じである(以下説明省略)。
6
角誤差の伝わり方
誤差伝播の法則が合っていれば上表(A 直線,50m ピッチ,99通りからの開放の結果)の6
行目,4列の値 0.028 下表6行目,5列目の値 0.0071 は同じになるはずがならない,これは角
誤差が誤差伝播の法則に従っていないことを意味する。
測量の中で「誤差は伝播法則によって伝わっていく」という一般的な説明で納得?してきたこ
とが間違いだったことになる,これと似かよったことに「標準偏差と平均二乗誤差は同じか」とい
う疑問に,同じであると解説されている書籍がほとんどであるが二変量の正規分布から見れば
この見解は間違いであることは証明出来る,このようなことと似ている。
角誤差がどのような式になっているか不明なので,誤差伝播式の値との倍数と誤差の平均と
の倍数を表,図にしてみた。
A 角度 直線 50 ピッチ
A 角誤差
合成 a
0.0032
0.0068
0.0114
0.0164
0.0219
0.0281
50mピッチ
合成a/伝播 合成a/平均
1.2
1.7
2.3
2.9
3.4
4.0
1.1
2.4
4.0
5.7
7.5
9.7
このAパターンが最も 合成a/伝播 の倍率が大きい,しかし個々の観測誤差は通常は不明
である,合成a/平均 の倍率から閉合差から個々の誤差の推定はできる。
B 角度 交互 50 ピッチ
B 角誤差 交互 50mピッチ
合成 a
合成a/伝播 合成a/平均
0.0032
1.2
1.1
0.0056
1.4
1.9
0.0089
1.8
3.1
0.0123
2.1
4.2
0.0161
2.5
5.6
0.0205
2.9
7.1
7
C 角度 直線 30,50,70 ピッチ
C 角誤差
30,50,70ピッチ
合成 a
合成a/伝播 合成a/平均
0.0025
0.0060
0.0126
0.0178
0.0210
0.0296
1.6
1.8
2.3
2.9
3.3
3.9
0.8
2.1
4.3
6.1
7.2
10.1
このCパターンが最も 合成a/平均 の倍率が 10.1 倍と大きいのでこれを基準に考えればよ
いのではないか。
D 角度 交互 30,50,70 ピッチ
D 角誤差 交互 30,50,70ピッチ
合成 a
合成a/伝播 合成a/平均
0.0025
1.6
0.8
0.0052
1.6
1.8
0.0100
1.8
3.4
0.0131
2.1
4.5
0.0154
2.4
5.3
0.0221
2.9
7.5
B 90 度交互,50m ピッチ,99通りからの開放の結果
90度交互 50ピッチ
点番
角 σm
1
2
3
4
5
6
0.003
0.005
0.008
0.011
0.015
0.020
角 σn
0.000
0.002
0.002
0.003
0.002
0.003
√(角σm
²+角σn 距離σm
²)
0.003
0.005
0.008
0.012
0.016
0 .0 2 0
距離σn
√(距離
σm²+距
離σn²)
0.000
0.002
0.002
0.003
0.003
0.003
0.002
0.003
0.003
0.004
0.005
0.0 05
0.002
0.002
0.003
0.003
0.004
0.004
合成 a
0.003
0.006
0.009
0.012
0.016
0 .0 2 0
99個混合
99個混合 99個混合
計算から
計算から 計算から
√(σm²
σm
σn
+σn²)
0.003
0.002
0.003
0.005
0.003
0.005
0.008
0.003
0.009
0.012
0.003
0.012
0.016
0.004
0.016
0.020
0.004
0.0 20
(B,D の誤差伝播の式による計算値)
角誤差
点番
1
2
3
4
5
6
30,50,70ピッチ
点毎の角誤
d/206265*S ㎡=m1²+
距離 Smm
差 d秒
mm
m2²・・・mN²
10.786
30000
1.569
0.0 0 1 6
12.233
50000
2.965
0.0 0 3 4
12.903
70000
4.379
0.0 0 5 5
11.397
50000
2.763
0.0 0 6 2
12.197
30000
1.774
0.0 0 6 4
12.206
70000
4.142
0.0 0 7 6
平均
2.932
距離誤差
点番
1
2
3
4
5
6
平均
8
点毎の距離 ㎡=m1²+
誤差 mm m2²・・・mN²
1.946
0 .0 01 9
1.997
0 .0 02 8
2.018
0 .0 03 4
2.045
0 .0 04 0
1.958
0 .0 04 5
1.726
0 .0 04 8
1.948
伝播合成
0.0025
0.0044
0.0065
0.0074
0.0078
0 .0 09 0
平均
平均誤差
mm/点
0.0025
0.0036
0.0048
0.0034
0.0026
0.0045
0.0035
C, 直線,30,50,70m ピッチ,99通りからの開放の結果
直線 30,50,70ピッチ
点番
角 σm
1
2
3
4
5
6
角 σn
0.002
0.005
0.012
0.017
0.021
0.029
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
√(角σm
²+角σn 距離σm
²)
0.002
0.005
0.012
0.017
0.021
0 .0 2 9
距離σn
√(距離
σm²+距
離σn²)
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.003
0.004
0.004
0.005
0.0 05
0.002
0.003
0.004
0.004
0.005
0.005
99個混合
99個混合 99個混合
計算から
計算から 計算から
√(σm²
σm
σn
+σn²)
合成 a
0.002
0.006
0.013
0.018
0.021
0 .0 3 0
0.002
0.005
0.012
0.017
0.021
0.029
0.002
0.003
0.004
0.004
0.005
0.005
0.002
0.006
0.013
0.018
0.021
0.0 30
D, 90 度交互 30,50,70m ピッチ,99通りからの開放の結果
90度交互 30,50,70ピッチ
点番
角 σm
1
2
3
4
5
6
角 σn
0.002
0.004
0.009
0.012
0.015
0.021
0.000
0.001
0.002
0.002
0.002
0.004
√(角σm
²+角σn 距離σm
²)
0.002
0.004
0.009
0.013
0.015
0 .0 2 2
距離σn
√(距離
σm²+距
離σn²)
0.000
0.002
0.002
0.003
0.003
0.003
0.002
0.003
0.003
0.004
0.004
0.0 05
0.002
0.002
0.003
0.003
0.004
0.004
合成 a
0.002
0.005
0.010
0.013
0.015
0 .0 2 2
99個混合
99個混合 99個混合
計算から
計算から 計算から
√(σm²
σm
σn
+σn²)
0.002
0.002
0.002
0.005
0.002
0.005
0.009
0.003
0.010
0.013
0.003
0.013
0.015
0.004
0.015
0.022
0.005
0.0 22
角誤差は誤差伝播には従わない,トラバーの形状,屈折角と距離の違いによって複雑に変
化するようである。
角誤差から誤差伝播部分を除いてみる
A 角誤差 直線 50mピッチ
実計算値
d/206265*S
点毎の角誤
距離 Smm
mm
差 d秒
点番
1
2
3
4
5
6
10.786
12.233
12.903
11.397
12.197
12.206
50000
50000
50000
50000
50000
50000
平均
0.00261
0.00297
0.00313
0.00276
0.00296
0.00296
0.00290
㎡=m1²+
m2²・・・mN²
伝播法則
0.00261
0.00395
0.00504
0.00575
0.00646
0.00711
B 角誤差 交互 50mピッチ
点毎の角誤
d/206265*S ㎡=m1²+
点番
距離 Smm
差 d秒
mm
m2²・・・mN²
1
10.786
50000
0.00261
0.00261
2
12.233
50000
0.00297
0.00395
3
12.903
50000
0.00313
0.00504
4
11.397
50000
0.00276
0.00575
5
12.197
50000
0.00296
0.00646
6
12.206
50000
0.00296
0.00711
平均
0.00290
9
角 σm
0.0026
0.0062
0.0109
0.0159
0.0214
0.0277
V 実測値
V /角σm
-伝播法則
0
0.0048
0.0097
0.0148
0.0204
0.0268
0 .0
1 .6
3 .3
5 .1
7 .0
9 .2
実計算値
角 σm
0.0026
0.0049
0.0082
0.0116
0.0155
0.0199
V 実測値
V /角σm
-伝播法則
0.0000
0 .0
0.0029
1 .0
0.0065
2 .2
0.0101
3 .5
0.0141
4 .9
0.0186
6 .4
C 角誤差 直線 30,50,70ピッチ
実計算値
点毎の角誤
d/206265*S ㎡=m1²+
距離 Smm
差 d秒
mm
m2²・・・mN²
点番
1
2
3
4
5
6
10.786
12.233
12.903
11.397
12.197
12.206
30000
50000
70000
50000
30000
70000
平均
0.0016
0.0030
0.0044
0.0028
0.0018
0.0041
0.0029
0.0016
0.0030
0.0044
0.0028
0.0018
0.0041
D 角誤差 交互 30,50,70ピッチ
点毎の角誤
d/206265*S ㎡=m1²+
点番
距離 Smm
差 d秒
mm
m2²・・・mN²
1
10.786
30000
0.0016
0.0016
2
12.233
50000
0.0030
0.0030
3
12.903
70000
0.0044
0.0044
4
11.397
50000
0.0028
0.0028
5
12.197
30000
0.0018
0.0018
6
12.206
70000
0.0041
0.0041
平均
0.0029
√(角σm²
+角σn²)
0.0016
0.0053
0.0121
0.0173
0.0205
0.0292
V 実測値
V /角σm
-伝播法則
0.0000
0.0044
0.0113
0.0171
0.0204
0.0289
0 .0
1 .5
3 .8
5 .8
7 .0
9 .9
実計算値
√(角σm² V 実測値
V /角σm
+角σn²) -伝播法則
0.0016
0.0000
0 .0
0.0044
0.0033
1 .1
0.0094
0.0083
2 .8
0.0125
0.0122
4 .2
0.0148
0.0147
5 .0
0.0216
0.0212
7 .2
この結果から 式 を導いてみる,A,Bの直線的なトラバーはあり得ないのでC,Dを想定す
ると y = 1.9335x - 2.1015 から Y=2X-2 の式が導かれる。 (C,D は Y=1.5X-1.5 の
式の倍率)
角誤差は①誤差伝播の法則に従う部分(点数の平方根に比例)+②誤差平均値の倍率に
従う部分+③距離誤差(誤差伝播の法則に従う部分,点数の平方根に比例)の 3 つから成る。
誤差は使用している TS の性能,観測者の視力などから想定出来るのでどの程度の誤差から
構成されているかが解るはずである。
10
次にこれを根拠に座標閉合差の試算をしてみる
4級レベル(街区補助点,細部図根点)の基準点で Cパターンを想定していると仮定して5
秒精度のTSと10秒精度のTSで計算してみる。
10秒TS
A 角誤差 50ピッチ
5秒TS 直線
A 角誤差 50mピッチ
d/206265*S ㎡=m1²+
点毎の角誤
距離 Smm
点番
m
m2²・・・mN²
差 d秒
1
10.786
50000
0.0026
0.0026
2
12.233
50000
0.0030
0.0040
3
12.903
50000
0.0031
0.0050
4
11.397
50000
0.0028
0.0057
5
12.197
50000
0.0030
0.0065
6
12.206
50000
0.0030
0 .00711
平均
0.002898
5秒TS
C 角誤差
1
2
3
4
5
6
点毎の角誤
d/206265*S ㎡=m1²+
距離 Smm
差 d秒
mm
m2²・・・mN²
1
2
3
4
5
6
10.786
12.233
12.903
11.397
12.197
12.206
11.015
12.879
13.080
12.038
12.439
12.710
距離
Smm
d/206265 ㎡=m1²+
*Smm m2²・・・mN²
50000 0.00267
0 .00 27
50000 0.00312
0 .00 41
50000 0.00317
0 .00 52
50000 0.00292
0 .00 60
50000 0.00302
0 .00 67
50000 0.00308 0.0073 50
平均
0.002996
10秒TS
C 角誤差 30,50,70ピッチ
30,50,70ピッチ
点番
点毎の角
誤差 d秒
点番
30000
50000
70000
50000
30000
70000
平均
0.0016
0.0030
0.0044
0.0028
0.0018
0.0041
0.002932
点毎の角
誤差 d秒
点番
1
2
3
4
5
6
0.0016
0.0034
0.0055
0.0062
0.0064
0 .00764
11.015
12.879
13.080
12.038
12.439
12.710
距離
Smm
d/206265 ㎡=m1²+
*Smm m2²・・・mN²
30000 0.00160
0 .00 16
50000 0.00312
0 .00 35
70000 0.00444
0 .00 57
50000 0.00292
0 .00 64
30000 0.00181
0 .00 66
70000 0.00431 0.0079 00
平均
0.003034
距離誤差
点番
1
2
3
4
5
6
平均
点毎の距
離誤差
mm
1.946
1.997
2.018
2.045
1.958
1.726
0.001948
㎡=m1²
+m2²・・・
mN²
0 .00 19
0 .00 28
0 .00 34
0 .00 40
0 .00 45
0.004 78
距離誤差は同じ。
表の値は標準偏差なので約3倍(測量業界は標準偏差の3倍を公差,基準にするのが好き
なようなので)を使って座標閉合差を計算してみる。
① 角誤差の伝播の部分(表の5列目,6行目から)*3
② 距離誤差の伝播の部分(下表の3列目6行目から)*3
③ 角誤差平均値の倍数にあたる部分(表の4列目,7行目から)*3*10倍
閉合差の試算値
A 5秒 50㎡ピッチ
C 5秒 30,50,70
A 10秒 50㎡ピッチ
C 10秒 30,50,70
①
0.02133
0.02292
0.02205
0.02370
②
0.01434
0.01434
0.01434
0.01434
③
0.0869
0.0880
0.0899
0.0910
閉合差(試算値)
0.091
0.092
0.094
0.095
おおよそ閉合差が91mm~95mm程度を想定してあるようだ。(但し10秒TSは一対回なの
で対回数を増やせば5秒TSに近づくだろう)
11
街区補助点の点検基準 20+4√S m(パターンA,Cの条件で S=300m)で計算すると89.
3mm となる,多少条件が変わるだろうがほぼこの値(標準偏差)で想定されていそうだ。
1 点あたりの誤差を「A 5秒 50mピッチ」計算すると,計算表の③は計算誤差なので除いて
√(0.02133²+0.01434²)=0.02570
これをX,Yに分解すると √(0.02570²/2)=0.01817 と
なる。
補助点の点検基準,別表 22 の距離較差 20mm,角較差 60 秒について考察すると,距離誤
差は 18.17mm,角誤差は 50mで 75 秒,70mで 54 秒となり,点間距離 70 として考えれば別表
22は妥当な数字と言えるのではないだろうか。
境界点測量に与える影響への考察
境界測量で多角点の展開を開放でする方は少ないと思うが念のため言えば,実際はDパタ
ーンの展開が多いと思う。そこから言えることは想定された以上の誤差が計算されてしまうと言
うことである。
Dパターン
Cパターン
平均誤差
0.00352の
倍数
平均誤差
0 .0 0 3 5 2
の倍数
0.7
1.4
2.7
3.7
4.4
6.3
0 .7
1 .7
3 .6
5 .0
6 .0
8 .4
これは観測誤差の問題よりは計算方法の問題であって避けられないことである,したがって
多角点(トラバー)の開放展開を出来るだけ避けるしかない。
多角点(トラバー)の展開は必ず結合させることが重要である。単純には開放点 2 点でそこか
ら境界点を測った時点で計算誤差は約3倍になる,仮に多角点(トラバー)も開放であって6点
目が境界点とすれば6.3倍に計算誤差が膨らむことになる。Cパターンではもっと大きくなる。
だいぶ時間がかかったがここまでとしておく。
基準点測量は既知点から既知点へ結合させる方式なので,本例で取りあげている開放を6
点も展開することは想定していない。ところが境界測量を行う土地家屋調査士にはいまだに基
準点を使わずに行っているものが多い,開放で行うことの危険性を具体的に説明した書面が
ない,この分野を実務としている土地家屋調査士の業界で検証がなされていないことが問題
なのであろうと思ってあえてまとめてみた。(土地家屋調査士 小野孝治)
12
ここからは散布図の結果です,可能な限りのデータを載せてあります,角誤差と測距誤差が
計算結果にどのような形で反映されるか確認できますので参考にしてください。
A パターン 直線,50m ピッチ,混合計算結果
点1
σm
0.0026
σn
0.0019
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0029
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
-0.287
点2
σm
0.0062
-0.646
13
点3
σm
0.0109
σn
0.0035
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0040
Xav
-0.002
Yav
0.000
相関係数
-0.813
点4
σm
0.0159
-0.882
14
点5
σm
0.0214
σn
0.0045
Xav
-0.003
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0047
Xav
-0.006
Yav
0.000
相関係数
-0.914
点6
σm
0.0276
-0.944
15
A パターン 直線,50m ピッチ,角誤差のみの計算
点1
σm
0.0026
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点2
σm
0.0062
-1.000
16
点3
σm
0.0109
σn
0.0000
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
-0.002
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点4
σm
0.0159
-1.000
17
点5
σm
0.0214
σn
0.0000
Xav
-0.003
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点 6 σm=0.0277,σn=0.0000,ρ=1.000
σm
0.0276
σn
0.0000
Xav
-0.006
Yav
0.000
相関係数
-1.000
18
A パターン 直線,50m ピッチ,距離誤差のみの計算
点1
σm
0.0019
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点2
σm
0.0029
-1.000
19
点3
σm
0.0035
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点4
σm
0.0040
-1.000
20
点5
σm
0.0045
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点6
σm
0.0047
-1.000
21
B パターン 90 度交互,50m ピッチ,混合計算
点 1 σm=0.0027,σn=0.0020,ρ=-0.287
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
135
点 2 σm=0.0048,σn=0.0026,ρ=-0.543
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
18
22
点 3 σm=0.0081,σn=0.0029,ρ=-0.780
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
166
点 4 σm=0.0117,σn=0.0033,ρ=-0.846
分布中心Y
-0.001
分布中心X
-0.002
楕円角
9
23
点 5 σm=0.0156,σn=0.0038,ρ=-0.889
分布中心Y
0.001
分布中心X
-0.003
楕円角
172
点 6 σm=0.0200,σn=0.0042,ρ=-0.914
分布中心Y
-0.001
分布中心X
-0.004
楕円角
7
24
B パターン 90 度交互,50m ピッチ,測角誤差のみ計算
点 1 σm=0.0026,σn=0.0000,ρ=-1.000
σm
0.0026
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
楕円角
135
点 2 σm=0.0046,σn=0.0017,ρ=-0.757
σm
0.0046
σn
0.0017
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
-0.757
25
楕円角
17
点 3 σm=0.0080,σn=0.0019,ρ=-0.898
σm
0.0080
σn
0.0019
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
-0.898
楕円角
163
点 4 σm=0.0114,σn=0.0024,ρ=-0.910
σm
0.0114
σn
0.0024
Xav
-0.001
Yav
-0.001
相関係数
-0.910
26
楕円角
8
点 5 σm=0.0153,σn=0.0024,ρ=-0.951
σm
0.0153
σn
0.0024
Xav
-0.003
Yav
0.000
相関係数
-0.951
楕円角
171
点 6 σm=0.0196,σn=0.0031,ρ=-0.949
σm
0.0196
σn
0.0031
Xav
-0.004
Yav
-0.001
相関係数
-0.949
27
楕円角
7
B パターン 90 度交互,50m ピッチ,測距誤差のみ計算
点 1 σm=0.0019,σn=0.0000,ρ=-1.000
σm
0.0019
σn
#NUM!
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点 2 σm=0.0020,σn=0.0019,ρ=-0.076
σm
0.0020
σn
0.0019
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-0.076
28
点 3 σm=0.0028,σn=0.0020,ρ=-0.330
σm
0.0028
σn
0.0020
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-0.330
点 4 σm=0.0028,σn=0.0028,ρ=-0.013
σm
0.0028
σn
0.0028
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-0.013
29
点 5 σm=0.0035,σn=0.0029,ρ=-0.210
σm
0.0035
σn
0.0029
Xav
-0.001
Yav
0.001
相関係数
-0.210
点 6 σm=0.0035,σn=0.0032,ρ=-0.090
σm
0.0035
σn
0.0032
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-0.090
30
Cパターン 測角誤差と測距誤差の混合計算
点 1 σm=0.0016,σn=0.0019,ρ=-0.212
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
91
点 2 σm=0.0053,σn=0.0029,ρ=-0.546
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
2
31
点 3 σm=0.0121,σn=0.0035,ρ=-0.847
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
2
点 4 σm=0.0173,σn=0.0040,ρ=-0.899
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.002
楕円角
1
32
点 5 σm=0.0205,σn=0.0045,ρ=-0.907
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.003
楕円角
1
点 6 σm=0.0292,σn=0.0047,ρ=-0.950
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.006
楕円角
0
33
Cパターン 測角誤差の計算
点1
σm
0.0016
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点2
σm
0.0053
-1.000
34
点3
σm
0.0121
σn
0.0000
Xav
-0.001
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
-0.002
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点4
σm
0.0173
-1.000
35
点5
σm
0.0205
σn
0.0000
Xav
-0.003
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
-0.006
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点6
σm
0.0292
-1.000
36
Cパターン 測距誤差の計算
点1
σm
0.0019
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点2
σm
0.0029
-1.000
37
点3
σm
0.0035
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点4
σm
0.0040
-1.000
38
点5
σm
0.0045
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
σn
0.0000
Xav
0.000
Yav
0.000
相関係数
-1.000
点6
σm
0.0047
-1.000
39
Dパターン 測角,測距誤差の混合計算
点1,σm=0.0019,σn=0.0015,ρ=-0.212
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
45
max scale0.08
点2,σm=0.0045,σn=0.0022,ρ=-0.603
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
32
40
点3,σm=0.0092,σn=0.0030,ρ=-0.804
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
161
点4,σm=0.0125,σn=0.0033,ρ=-0.869
分布中心Y
-0.001
分布中心X
-0.002
楕円角
4
41
点5,σm=0.0149,σn=0.0037,ρ=-0.887
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.002
楕円角
175
点6,σm=0.0216,σn=0.0050,ρ=-0.901
分布中心Y
-0.002
分布中心X
-0.004
楕円角
14
42
Dパターン 角誤差のみ
点 1,σm=0.0016,σn=0.0000,ρ=1.000
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
135
点2,σm=0.0043,σn=0.0011,ρ=0.877
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
29
43
点3,σm=0.0092,σn=0.0020,ρ=-0.908
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.001
楕円角
159
点4,σm=0.0123,σn=0.0024,ρ=-0.928
分布中心Y
-0.001
分布中心X
-0.001
楕円角
3
44
点5,σm=0.0146,σn=0.0022,ρ=-0.957
分布中心Y
0.000
分布中心X
-0.002
楕円角
173
点6,σm=0.0212,σn=0.0042,ρ=-0.931
分布中心Y
-0.003
分布中心X
-0.004
楕円角
14
45
Dパターン 距離誤差のみ
距離誤差のみ 点1,σm=0.0019,σn=0.0000,ρ=1.000
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
45
点2,σm=0.0020,σn=0.0019,ρ=-0.076
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
100
46
点3,σm=0.0028,σn=0.0019,ρ=-0.330
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
49
点4,σm=0.0028,σn=0.0028,ρ=-0.013
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
103
47
点5,σm=0.0035,σn=0.0026,ρ=-0.210
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
49
点6,σm=0.0035,σn=0.0031,ρ=-0.090
分布中心Y
0.000
分布中心X
0.000
楕円角
42
Dパターン 混合計算に於いて測距誤差に+2mm の定誤差ある場合の分布の変化を確認
48
出来ます,標準偏差そのものは変化ありませんが中心に影響が出ます。
Dパターン 混合 点 1(測定距離に+2mm の定誤差を加えて計算),σm=0.0019,σ
n=0.0015,ρ=-0.212
分布中心Y
分布中心X
-0.001
-0.002
楕円角
46
Dパターン 混合 点2(測定距離に+2mm の定誤差を加えて計算),σm=0.0045,σ
n=0.0021,ρ=-0.603
分布中心Y
-0.003
分布中心X
-0.001
楕円角
32
Dパターン 混合 点3(測定距離に+2mm の定誤差を加えて計算),σm=0.0092,σ
49
n=0.0030,ρ=-0.805
分布中心Y
分布中心X
-0.004
-0.003
楕円角
161
Dパターン 混合 点4(測定距離に+2mm の定誤差を加えて計算),σm=0.0126,σ
n=0.0033,ρ=-0.869
分布中心Y
-0.006
分布中心X
-0.002
楕円角
4
Dパターン 混合 点5(測定距離に+2mm の定誤差を加えて計算),σm=0.0150,σ
50
n=0.0037,ρ=-0.886
分布中心Y
分布中心X
-0.007
-0.005
楕円角
175
Dパターン 混合 点6(測定距離に+2mm の定誤差を加えて計算),σm=0.0212,σ
n=0.0071,ρ=-0.901
分布中心Y
-0.011
分布中心X
-0.006
楕円角
14
51
今回散布図か書いていて最も分布が円に近いのがBパターンの測距誤差のみの点2であっ
た,相関係数が-0.076,ここにその分布の散布図を示す。
n=99
σm
0.00204
σn
0.00190
Xav
-0.0001
Yav
0.0004
相関係数
-0.076
END
52