TS 測量による誤差の考察 ＴＳ測量に於ける多角点の計算は角度と距離の混合計算を採用している，これしか方法がな いからと言うべきかもしれない。 そこで意外と知られていない誤差について考えてみた。一般的にされているトラバー測量に おいて誤差がどのように最終の境界点に伝わっているかを知ることによって危険な測量とはど のような状態を指すのか考えみる。 誤差に関して，座標値はＸＹ二変量の正規分布誤差であり，一般的な一変量の誤差と異な る点を知ることによって新しい事実がわかることがある。 混合計算による誤差がどのように伝わっているかを調べてみた，理由は １． 一般的に誤差は誤差の伝播の法則に従って展開されているとされている。 つまり、各観測値の誤差を m1，m2，・・・・・mN としたときｍ²＝m1²＋m2²＋・・・・・mN² で あることを言う。 ２． ４級レベルの基準点測量（土地家屋調査士が行う登記基準点測量も含めて）において定 められている点検基準の閉合差と各観測値と点検基準との関係は知りたいことの一つである。 法律によって基準が異なるが、都市再生街区基本調査法での街区補助点の点検基準は距 離較差 20ｍｍ，角較差 60 秒以内（別表 22）となっている。 一方、路線の点検基準閉合差の制限値は公共測量作業規程で 150mm＋100√（N）＊S km，N は新点数，S は路線長 km である、都市再生街区基本調査法の補助点で 20＋4√S m， S は路線長 m（別表 11）となっており微妙に異なるが関係がどうなっているのでろうかといった 点である。 3. 境界点測量に与える影響がどうなっているかと言ったところであろうか。 誤差の展開説明 ＴＳ測量における誤差について説明する、ＴＳを設置した点を機械点，測る点を測点とした時， 機械点から測点の進行方向に前 後して発生するのが距離誤差， 進行方向に対して 90 度方向，左 右に発生するのが角誤差となる。 角誤差と距離誤差を混合して 計算するとＸ座標値、Ｙ座標値に 計算される、この二変量の分布 は楕円状に分布する，これを誤 差楕円という，これは二変量分布 の特徴である。楕円の長いほうを 長軸誤差，短い方を短軸誤差と 1 いいそれぞれ長軸標準偏差，短軸標準偏差で表す，X 軸方向の幅を X 軸誤差，Y 軸方向の 幅を Y 軸誤差といいそれぞれ X 軸標準偏差，Y 軸標準偏差で表す。二つの誤差は誤差の混 合から（σm²＋σn²）/2=（σx²＋σy²）/2=σ（二変量標準偏差）の関係がある。 次の条件で誤差を用意する 誤差を実測で求めることは現実的ではないのでランダムで正規化されたデータを実際の観 測条件を加味して９９通り作成する，加味する条件はＴＳの求心誤差，測点を見たときの視準 誤差，プリズムの正対誤差，当然観測者の視力などを加味している。 ＴＳ、測角精度、読み取りとも 5 秒，測距精度±2ｍｍでの測量による結果に近づくように，点 間距離 50m，角誤差は標準偏差で 10～13 秒，測距誤差は標準偏差で 1.7～2.0mm，平均値 は次表の通りで平均値は出来るだけ 0 に近い数値を作成した。 ４級基準点測量を前提としておおむね、路線長 300m，始点～点 6 まで約 200ｍの 3 級基 準点相当の点間を想定する。誤差は誤差の三公理の原則によって発生するものとする。 座標の位置誤差はσx（X 軸標準偏差），σy（Y 軸標準偏差）で見ても誤差の状態が把握で きないので必ずσm，σn，ρの関係を調べる必要がある。σm は誤差楕円長軸の標準偏差， σn は誤差楕円短軸の標準偏差，誤差楕円の潰れ具合を知るために相関係数ρである、計 算に専用プログラム（誤差の体験．TS 性能比較，求心誤差，正規化データ作成，プリズム誤 差．xls など）を用意してあります。 測量のパターンを次の Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の４通り作成した A， 直線，50m ピッチ，開放で展開 B， 90 度交互，50m ピッチ，開放で展開 2 各点に与えられた誤差は次の表のとおりである。 標準偏差 点間距離 平均 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1 10.786 1.946 30 0.0101 2 12.233 1.997 50 -0.1515 3 12.903 2.018 70 0.0303 4 11.397 5 12.197 1.958 30 -0.0404 6 12.206 1.726 70 -0.8586 -1.7677 2.2121 -3.6869 -1.8687 -2.9293 -0.1414 誤差角（秒） 誤差距離ｍｍ 誤差角（秒） 誤差距離ｍｍ 誤差角（秒） 誤差距離ｍｍ 誤差角（秒） 誤差距離ｍｍ 誤差角（秒） 誤差距離ｍｍ 誤差角（秒） 誤差距離ｍｍ -5 0 15 -2 33 1 -5 0 10 3 10 0 -5 5 -5 -1 0 -4 -10 2 -5 -1 -35 0 15 0 -5 1 12 1 -5 1 -15 2 10 3 25 0 15 -2 26 2 5 2 -15 2 -5 0 25 -3 -10 -1 27 -1 -10 3 0 -3 -15 -2 20 1 -15 0 16 0 -10 -3 -10 1 -5 -1 -5 -1 -5 0 -6 6 -5 1 0 2 5 -1 -15 1 -15 -2 1 0 10青のセルにランダムに作成した正規化データを貼り付ける。 2 15 -2 20 0 15 -3 10 0 -8 0 -25青のセルが空のときは誤差のない座標値が赤のシートに表示される。 3 0 0 20 0 25 0 5 1 -10 -2 -15赤のシートに計算結果が出る。 3 20 2 -15 1 -5 0 -10 3 2 -1 0グレーのシートは何もしないこと -3 30 1 15 1 15 5 10 1 -11 1 -5 -1 -10 -4 -15 3 -5 -1 0 2 -15 1 -10 -1 -10 -1 -5 3 0 2 -10 -3 9 0 10 -1 5 -2 15 0 -15 0 5 0 22 -1 0 -1 -10 0 -15 0 -10 0 -5 5 -4 0 30 1 -15 0 5 -2 -10 2 -5 2 9 -2 15 0 10 2 0 -1 10 3 0 -2 -1 -1 -10 -1 -30 -1 -15 0 0 -1 -25 1 -12 -1 -15 -1 10 0 0 -1 10 -1 -15 -1 -7 0 -15 1 0 1 5 1 20 1 -5 -2 10 0 -5 -3 0 0 -10 2 -20 0 0 -1 -3 -1 -10 1 -10 1 -20 -1 5 -1 -15 -1 1 1 -15 -1 -15 0 -15 -1 -10 -2 -15 0 16 5 -10 -2 -20 -1 -15 -1 -5 0 10 0 -5 2 -15 -1 0 0 -15 -1 5 0 -15 -4 -3 1 -15 1 5 1 0 1 0 0 5 0 -5 -2 -15 -4 5 2 0 1 -5 3 0 -2 -9 2 -10 0 0 2 -5 0 -15 -2 -5 1 10 4 -10 2 25 4 -10 -1 15 1 0 4 3 0 -10 -2 -30 -3 15 0 0 3 5 -2 2 2 0 1 -15 -1 -25 -6 0 -4 -10 0 -2 1 -10 -3 0 -2 -15 -1 -10 -1 -10 0 18 0 5 -1 -25 2 10 1 0 -1 15 2 23 -2 -25 1 -5 0 -25 -1 5 0 -35 1 3 -1 -15 4 -10 0 -15 -1 0 2 -15 3 -2 0 0 -1 10 1 -5 -2 -20 0 0 -2 4 2 -25 0 30 -3 -20 -1 15 -2 15 -1 7 -3 0 -3 -5 0 10 -1 10 -1 25 -1 -14 -1 15 0 10 -2 25 -1 0 0 30 -2 -8 1 -30 0 -5 2 0 -2 -10 -1 10 0 -12 -2 0 -2 -10 -2 0 1 5 -1 -5 2 -14 0 15 -1 15 -2 0 -3 -10 -2 -10 3 12 -2 0 1 -5 -1 0 1 -5 -1 -10 -3 -2 1 -10 2 -10 -1 0 0 -5 1 -5 0 -4 1 5 3 15 1 0 -2 5 -4 5 -2 18 -4 0 1 0 -1 -25 0 5 -2 -5 -1 -30 0 -5 -2 -5 1 -10 2 0 -1 5 1 -3 0 -10 -1 -10 -2 -5 -1 -15 2 20 3 -19 4 10 -1 -10 -2 10 -1 15 -2 0 -3 1 -2 0 -1 -5 0 -5 -1 0 -1 -5 -1 -8 2 -25 -1 -5 2 5 -1 -5 -1 -10 2 15 -3 10 1 -15 -1 5 1 -15 -2 5 -2 30 2 10 3 10 1 0 4 -15 0 5 1 21 1 5 -3 -5 -3 15 2 -15 2 15 4 7 1 0 -1 -5 1 25 -3 10 4 20 1 7 2 -15 -1 -10 -2 20 1 0 0 -5 -2 21 -1 -15 -2 -10 2 -5 -4 -5 -2 -10 1 -23 1 -10 0 5 0 -10 -1 -5 1 10 -1 -3 0 5 6 20 6 -10 2 10 0 -20 2 -18 0 0 -3 0 -2 -10 1 5 3 10 2 8 -1 15 0 0 1 -15 -3 5 4 -5 -2 -6 -1 0 0 15 -1 -5 1 0 3 -5 -1 -13 1 -5 -2 -5 -2 0 -2 0 4 5 -2 14 -2 0 -1 5 1 -20 1 5 -2 -10 -1 26 1 -10 2 -10 4 0 2 -25 1 -15 0 -2 1 5 0 10 1 -5 -3 -5 2 5 1 -19 4 5 0 20 1 5 -1 -10 1 -15 -3 12 -4 20 0 -5 4 0 -1 -5 -2 -15 0 4 1 0 -2 -5 -4 10 1 0 0 5 -3 5 4 -20 -2 -10 -1 0 1 -5 4 -20 1 3 -3 10 0 -5 2 0 -2 -5 -1 -5 1 -2 1 -5 -1 15 0 -5 1 -10 0 -15 -5 1 2 -15 0 -30 2 -15 3 -10 2 -15 0 14 -4 0 -3 0 -2 5 1 10 -3 0 0 22 -2 0 -2 15 -2 0 -1 -5 -1 10 0 15 1 0 1 0 2 -20 0 5 2 20 0 19 -2 -10 4 10 -3 -20 0 0 3 0 4 -3 0 10 4 -10 0 -15 1 0 -2 20 -3 17 -2 25 -1 0 2 10 2 5 1 0 1 0 2 -5 -2 -10 -2 -5 3 -10 1 -5 0 -2 2 10 -1 -10 0 0 1 5 0 -15 0 -3 -4 -5 -1 10 -1 -10 1 -25 -3 -15 2 7 -1 -10 0 15 -1 -15 -3 -10 -2 15 -3 5 1 0 -1 0 0 -5 -1 -15 1 -15 1 1 -3 -10 -2 -15 2 5 0 10 -2 -20 -2 8 -2 5 0 10 -2 0 -2 -5 0 -15 -2 -1 -1 0 -4 0 0 15 0 10 0 10 1 -8 2 -10 1 -15 -5 -30 0 15 1 -10 -1 10 -2 -15 2 -10 0 0 -1 0 -2 -10 0 -18 -1 0 5 5 -2 -15 -1 -20 -1 0 2 -3 2 5 2 -10 0 -10 1 10 -1 -20 2 -4 0 -25 -4 5 -2 15 2 -5 -2 10 -5 -17 0 10 -1 0 1 -5 3 -5 1 -5 -2 15 3 -10 1 -20 4 5 -3 -10 -1 0 -1 -27 -2 -15 3 -10 0 10 1 -5 1 5 2 0 2 10 -3 -15 0 5 -2 -5 -3 0 3 -4 -1 0 1 0 0 -5 1 5 0 15 -2 19 1 -5 -2 -5 -2 5 -2 0 -1 20 0 1 -1 -20 1 -5 1 -5 1 3 2.045 50 -0.1414 Ａ，Ｂ 各点の平均値は次のとおり。 角誤差 x 1 2 3 4 5 6 50mピッチ 点毎の角誤 d/206265*S 距離 Smm 差 d秒 mm 10.786 50000 2.615 12.233 50000 2.965 12.903 50000 3.128 11.397 50000 2.763 12.197 50000 2.957 12.206 50000 2.959 平均 2.898 距離誤差 x 1 2 3 4 5 6 平均 点毎の距離 誤差 ｍ 1.946 1.997 2.018 2.045 1.958 1.726 1.948 C， 直線，30，50，70m ピッチ，開放で展開 D， 90 度交互 30，50，70m ピッチ，開放で展開 Ｃ，Ｄ 各点の観測誤差は同じであるが角誤差は点間距離によって位置誤差変わるので下表 のようになる。距離誤差はＡ，Ｂと同じ。 角誤差 x 1 2 3 4 5 6 30，50，70ピッチ 点毎の角誤 d/206265*S 距離 Smm 差 d秒 mm 10.786 30000 1.569 12.233 50000 2.965 12.903 70000 4.379 11.397 50000 2.763 12.197 30000 1.774 12.206 70000 4.142 平均 2.932 計算結果 4 距離誤差 x 1 2 3 4 5 6 平均 点毎の距離 誤差 ｍ 1.946 1.997 2.018 2.045 1.958 1.726 1.948 各パターンの計算結果は表のとおり。計算は開放で９９通りの計算をしてその標準偏差を表 示してある。 左側表，縦に１～６までの点番，横軸の「角σm」は角誤差のみで計算したときの長軸標準 偏差，「角σn」は角誤差のみで計算したときの短軸標準偏差，「√（角σm²＋角σn²）」は二変 量角誤差の合成値，「距離σm」は距離誤差のみで計算したときの長軸標準偏差，「距離σn」 は距離誤差のみで計算したときの短軸標準偏差，「√（距離σm²＋距離σn²）」は二変量距離 誤差の合成値，「合成ａ」は角誤差，距離誤差の合成値＝√（角σm²＋角σn²＋距離σm²＋ 距離σn²）を表示してある。 右側表，９９通りの測角，距離混合計算から求めた長軸標準偏差「99 個混合計算からσm」， 短軸標準偏差「99 個混合計算からσn」，「99 個混合計算から√（σm²＋σn²）」は二変量距離 誤差の合成値である。 ※合成値＝√（σm²＋σn²）=√（σx²＋σy²），混合値＝√（（σm²＋σn²）/2）=√（（σx²＋σy²）/2），誤差を説 明するときに標準偏差（精度）を使うがこれを計算に使うときは二乗する，標準偏差の二乗＝分散，分散がデータの バラツキを示す値となっているから，したがってσm²と言うことにしている。 アルコール度 50 の酒を１L と同じ濃度の酒１L を混ぜたとき，１L＋１L＝２L，これが合成値，濃度は 50 で変わら ない，これが混合値という。誤差の伝播はσ²＝σ1²＋σ2²＋・・・・・σN² の合成値を使っているので合成値で説明 をする。 A 直線，50m ピッチ，９９通りからの開放の結果 直線 50ピッチ 点番 角 σm 1 2 3 4 5 6 0.003 0.006 0.011 0.016 0.021 0.028 角 σn 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 √（角σm ²＋角σn 距離σm ²） 0.003 0.006 0.011 0.016 0.021 0 .0 2 8 距離σn √（距離 σm²＋距 離σn²） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.003 0.004 0.004 0.005 0.0 05 0.002 0.003 0.004 0.004 0.005 0.005 合成 a 0.003 0.007 0.011 0.016 0.022 0 .0 2 8 99個混合 99個混合 99個混合 計算から 計算から 計算から √（σm² σm σn ＋σn²） 0.003 0.002 0.003 0.006 0.003 0.007 0.011 0.004 0.011 0.016 0.004 0.016 0.021 0.005 0.022 0.028 0.005 0.0 28 多角点の展開パターンＡで９９通りの計算結果である，６行目の合成ａの値と６行目の 99 個 混合計算から√（σm²＋σn²）の値がイコールである，これは誤差の合成式（＝√（角σm²＋ 角σn²＋距離σm²＋距離σn²））が正しいことになる。この式は 1 行目～６行目まで同じであ る。 （Ａ，Ｂ の誤差伝播の式による計算値） 角誤差 点番 1 2 3 4 5 6 50mピッチ 点毎の角誤 d/206265*S ㎡＝m1²＋ 距離 Smm 差 d秒 mm m2²・・・mN² 10.786 50000 2.615 0.0 0 2 6 12.233 50000 2.965 0.0 0 4 0 12.903 50000 3.128 0.0 0 5 0 11.397 50000 2.763 0.0 0 5 7 12.197 50000 2.957 0.0 0 6 5 12.206 50000 2.959 0.0 0 7 1 平均 2.898 距離誤差 点番 1 2 3 4 5 6 平均 距離誤差の伝わり方 5 点毎の距離 ㎡＝m1²＋ 誤差 ｍｍ m2²・・・mN² 1.946 0 .0 01 9 1.997 0 .0 02 8 2.018 0 .0 03 4 2.045 0 .0 04 0 1.958 0 .0 04 5 1.726 0 .0 04 8 1.948 伝播合成 0.0033 0.0048 0.0061 0.0070 0.0079 0 .0 08 6 平均 平均誤差 mm／点 0.0033 0.0036 0.0037 0.0034 0.0035 0.0034 0.0035 先に距離誤差について説明する，上表の７列目，６行目，√（距離σm²＋距離σn²）の値が 0.004７（0.005）で下中表の３列目，６行目，㎡＝m1²＋m2²・・・mN² の値が 0.0048 で≒である ことを確認することで証明できる。 測距の誤差は測定する点間距離に影響されない（多少はあるが），そのため点数の平方根 に比例する。 下表はほぼ同じ点毎の距離誤差を誤差伝播法則㎡＝m1²＋m2²・・・mN²の値と９９個混合計 算値からの値を比較して，イコールであることを確認し，９９個混合計算値からの値（合成ａ）/ 一点当たりの誤差（平均）の値を青の線，点数の平方根を赤の線でグラフにした。その結果， 標準偏差は点数の平方根に比例する（分散は点数に比例する）ことが判る。 たとえば，距離精度が 5ｍｍの TS で測量した４点目の標準偏差は ５×√４＝１０ｍｍとなり 分散は１００となる。 「合成 a/平均」と「√点数」の計算表 点番：点数 1 2 3 4 5 6 平均 点毎の距離 ㎡＝m1²＋ 99個混合計 合成ａ/ 平 誤差 ｍｍ m2²・・・mN² 算から σn 均 1.946 0.0019 0.0019 0.97 5 1.997 0.0028 0.0029 1.48 8 2.018 0.0034 0.0035 1.79 6 2.045 0.0040 0.0040 2.05 3 1.958 0.0045 0.0045 2.31 0 1.726 0.0048 0.0047 2.41 2 1.948 √点数 1 .00 0 1 .41 4 1 .73 2 2 .00 0 2 .23 6 2 .44 9 上の表の「合成 a/平均」青線と「√点数」赤線の関係グラフでほぼ重なる。 したがって距離誤差は誤差伝播の法則による，この結果は パターン Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ とも同 じである（以下説明省略）。 6 角誤差の伝わり方 誤差伝播の法則が合っていれば上表（A 直線，50m ピッチ，９９通りからの開放の結果）の６ 行目，４列の値 0.028 下表６行目，５列目の値 0.0071 は同じになるはずがならない，これは角 誤差が誤差伝播の法則に従っていないことを意味する。 測量の中で「誤差は伝播法則によって伝わっていく」という一般的な説明で納得？してきたこ とが間違いだったことになる，これと似かよったことに「標準偏差と平均二乗誤差は同じか」とい う疑問に，同じであると解説されている書籍がほとんどであるが二変量の正規分布から見れば この見解は間違いであることは証明出来る，このようなことと似ている。 角誤差がどのような式になっているか不明なので，誤差伝播式の値との倍数と誤差の平均と の倍数を表，図にしてみた。 Ａ 角度 直線 50 ピッチ Ａ 角誤差 合成 a 0.0032 0.0068 0.0114 0.0164 0.0219 0.0281 50mピッチ 合成ａ/伝播 合成ａ/平均 1.2 1.7 2.3 2.9 3.4 4.0 1.1 2.4 4.0 5.7 7.5 9.7 このＡパターンが最も 合成ａ/伝播 の倍率が大きい，しかし個々の観測誤差は通常は不明 である，合成ａ/平均 の倍率から閉合差から個々の誤差の推定はできる。 Ｂ 角度 交互 50 ピッチ Ｂ 角誤差 交互 50mピッチ 合成 a 合成ａ/伝播 合成ａ/平均 0.0032 1.2 1.1 0.0056 1.4 1.9 0.0089 1.8 3.1 0.0123 2.1 4.2 0.0161 2.5 5.6 0.0205 2.9 7.1 7 Ｃ 角度 直線 30，50，70 ピッチ Ｃ 角誤差 30，50，70ピッチ 合成 a 合成ａ/伝播 合成ａ/平均 0.0025 0.0060 0.0126 0.0178 0.0210 0.0296 1.6 1.8 2.3 2.9 3.3 3.9 0.8 2.1 4.3 6.1 7.2 10.1 このＣパターンが最も 合成ａ/平均 の倍率が 10.1 倍と大きいのでこれを基準に考えればよ いのではないか。 Ｄ 角度 交互 30，50，70 ピッチ Ｄ 角誤差 交互 30，50，70ピッチ 合成 a 合成ａ/伝播 合成ａ/平均 0.0025 1.6 0.8 0.0052 1.6 1.8 0.0100 1.8 3.4 0.0131 2.1 4.5 0.0154 2.4 5.3 0.0221 2.9 7.5 B 90 度交互，50m ピッチ，９９通りからの開放の結果 90度交互 50ピッチ 点番 角 σm 1 2 3 4 5 6 0.003 0.005 0.008 0.011 0.015 0.020 角 σn 0.000 0.002 0.002 0.003 0.002 0.003 √（角σm ²＋角σn 距離σm ²） 0.003 0.005 0.008 0.012 0.016 0 .0 2 0 距離σn √（距離 σm²＋距 離σn²） 0.000 0.002 0.002 0.003 0.003 0.003 0.002 0.003 0.003 0.004 0.005 0.0 05 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 合成 a 0.003 0.006 0.009 0.012 0.016 0 .0 2 0 99個混合 99個混合 99個混合 計算から 計算から 計算から √（σm² σm σn ＋σn²） 0.003 0.002 0.003 0.005 0.003 0.005 0.008 0.003 0.009 0.012 0.003 0.012 0.016 0.004 0.016 0.020 0.004 0.0 20 （Ｂ，Ｄ の誤差伝播の式による計算値） 角誤差 点番 1 2 3 4 5 6 30，50，70ピッチ 点毎の角誤 d/206265*S ㎡＝m1²＋ 距離 Smm 差 d秒 mm m2²・・・mN² 10.786 30000 1.569 0.0 0 1 6 12.233 50000 2.965 0.0 0 3 4 12.903 70000 4.379 0.0 0 5 5 11.397 50000 2.763 0.0 0 6 2 12.197 30000 1.774 0.0 0 6 4 12.206 70000 4.142 0.0 0 7 6 平均 2.932 距離誤差 点番 1 2 3 4 5 6 平均 8 点毎の距離 ㎡＝m1²＋ 誤差 ｍｍ m2²・・・mN² 1.946 0 .0 01 9 1.997 0 .0 02 8 2.018 0 .0 03 4 2.045 0 .0 04 0 1.958 0 .0 04 5 1.726 0 .0 04 8 1.948 伝播合成 0.0025 0.0044 0.0065 0.0074 0.0078 0 .0 09 0 平均 平均誤差 mm／点 0.0025 0.0036 0.0048 0.0034 0.0026 0.0045 0.0035 C， 直線，30，50，70m ピッチ，９９通りからの開放の結果 直線 30，50，70ピッチ 点番 角 σm 1 2 3 4 5 6 角 σn 0.002 0.005 0.012 0.017 0.021 0.029 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 √（角σm ²＋角σn 距離σm ²） 0.002 0.005 0.012 0.017 0.021 0 .0 2 9 距離σn √（距離 σm²＋距 離σn²） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.003 0.004 0.004 0.005 0.0 05 0.002 0.003 0.004 0.004 0.005 0.005 99個混合 99個混合 99個混合 計算から 計算から 計算から √（σm² σm σn ＋σn²） 合成 a 0.002 0.006 0.013 0.018 0.021 0 .0 3 0 0.002 0.005 0.012 0.017 0.021 0.029 0.002 0.003 0.004 0.004 0.005 0.005 0.002 0.006 0.013 0.018 0.021 0.0 30 D， 90 度交互 30，50，70m ピッチ，９９通りからの開放の結果 90度交互 30，50，70ピッチ 点番 角 σm 1 2 3 4 5 6 角 σn 0.002 0.004 0.009 0.012 0.015 0.021 0.000 0.001 0.002 0.002 0.002 0.004 √（角σm ²＋角σn 距離σm ²） 0.002 0.004 0.009 0.013 0.015 0 .0 2 2 距離σn √（距離 σm²＋距 離σn²） 0.000 0.002 0.002 0.003 0.003 0.003 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.0 05 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 合成 a 0.002 0.005 0.010 0.013 0.015 0 .0 2 2 99個混合 99個混合 99個混合 計算から 計算から 計算から √（σm² σm σn ＋σn²） 0.002 0.002 0.002 0.005 0.002 0.005 0.009 0.003 0.010 0.013 0.003 0.013 0.015 0.004 0.015 0.022 0.005 0.0 22 角誤差は誤差伝播には従わない，トラバーの形状，屈折角と距離の違いによって複雑に変 化するようである。 角誤差から誤差伝播部分を除いてみる Ａ 角誤差 直線 50mピッチ 実計算値 d/206265*S 点毎の角誤 距離 Smm mm 差 d秒 点番 1 2 3 4 5 6 10.786 12.233 12.903 11.397 12.197 12.206 50000 50000 50000 50000 50000 50000 平均 0.00261 0.00297 0.00313 0.00276 0.00296 0.00296 0.00290 ㎡＝m1²＋ m2²・・・mN² 伝播法則 0.00261 0.00395 0.00504 0.00575 0.00646 0.00711 Ｂ 角誤差 交互 50mピッチ 点毎の角誤 d/206265*S ㎡＝m1²＋ 点番 距離 Smm 差 d秒 mm m2²・・・mN² 1 10.786 50000 0.00261 0.00261 2 12.233 50000 0.00297 0.00395 3 12.903 50000 0.00313 0.00504 4 11.397 50000 0.00276 0.00575 5 12.197 50000 0.00296 0.00646 6 12.206 50000 0.00296 0.00711 平均 0.00290 9 角 σm 0.0026 0.0062 0.0109 0.0159 0.0214 0.0277 Ｖ 実測値 Ｖ ／角σm －伝播法則 0 0.0048 0.0097 0.0148 0.0204 0.0268 0 .0 1 .6 3 .3 5 .1 7 .0 9 .2 実計算値 角 σm 0.0026 0.0049 0.0082 0.0116 0.0155 0.0199 Ｖ 実測値 Ｖ ／角σm －伝播法則 0.0000 0 .0 0.0029 1 .0 0.0065 2 .2 0.0101 3 .5 0.0141 4 .9 0.0186 6 .4 Ｃ 角誤差 直線 30，50，70ピッチ 実計算値 点毎の角誤 d/206265*S ㎡＝m1²＋ 距離 Smm 差 d秒 mm m2²・・・mN² 点番 1 2 3 4 5 6 10.786 12.233 12.903 11.397 12.197 12.206 30000 50000 70000 50000 30000 70000 平均 0.0016 0.0030 0.0044 0.0028 0.0018 0.0041 0.0029 0.0016 0.0030 0.0044 0.0028 0.0018 0.0041 Ｄ 角誤差 交互 30，50，70ピッチ 点毎の角誤 d/206265*S ㎡＝m1²＋ 点番 距離 Smm 差 d秒 mm m2²・・・mN² 1 10.786 30000 0.0016 0.0016 2 12.233 50000 0.0030 0.0030 3 12.903 70000 0.0044 0.0044 4 11.397 50000 0.0028 0.0028 5 12.197 30000 0.0018 0.0018 6 12.206 70000 0.0041 0.0041 平均 0.0029 √（角σm² ＋角σn²） 0.0016 0.0053 0.0121 0.0173 0.0205 0.0292 Ｖ 実測値 Ｖ ／角σm －伝播法則 0.0000 0.0044 0.0113 0.0171 0.0204 0.0289 0 .0 1 .5 3 .8 5 .8 7 .0 9 .9 実計算値 √（角σm² Ｖ 実測値 Ｖ ／角σm ＋角σn²） －伝播法則 0.0016 0.0000 0 .0 0.0044 0.0033 1 .1 0.0094 0.0083 2 .8 0.0125 0.0122 4 .2 0.0148 0.0147 5 .0 0.0216 0.0212 7 .2 この結果から 式 を導いてみる，Ａ，Ｂの直線的なトラバーはあり得ないのでＣ，Ｄを想定す ると y = 1.9335x - 2.1015 から Ｙ＝２Ｘ－２ の式が導かれる。 （C,D は Ｙ＝1.5Ｘ－1.5 の 式の倍率） 角誤差は①誤差伝播の法則に従う部分（点数の平方根に比例）＋②誤差平均値の倍率に 従う部分＋③距離誤差（誤差伝播の法則に従う部分，点数の平方根に比例）の 3 つから成る。 誤差は使用している TS の性能，観測者の視力などから想定出来るのでどの程度の誤差から 構成されているかが解るはずである。 10 次にこれを根拠に座標閉合差の試算をしてみる ４級レベル（街区補助点，細部図根点）の基準点で Ｃパターンを想定していると仮定して５ 秒精度のＴＳと１０秒精度のＴＳで計算してみる。 １０秒ＴＳ Ａ 角誤差 50ピッチ ５秒ＴＳ 直線 Ａ 角誤差 50mピッチ d/206265*S ㎡＝m1²＋ 点毎の角誤 距離 Smm 点番 m m2²・・・mN² 差 d秒 1 10.786 50000 0.0026 0.0026 2 12.233 50000 0.0030 0.0040 3 12.903 50000 0.0031 0.0050 4 11.397 50000 0.0028 0.0057 5 12.197 50000 0.0030 0.0065 6 12.206 50000 0.0030 0 .00711 平均 0.002898 ５秒TS Ｃ 角誤差 1 2 3 4 5 6 点毎の角誤 d/206265*S ㎡＝m1²＋ 距離 Smm 差 d秒 mm m2²・・・mN² 1 2 3 4 5 6 10.786 12.233 12.903 11.397 12.197 12.206 11.015 12.879 13.080 12.038 12.439 12.710 距離 Smm d/206265 ㎡＝m1²＋ *Smm m2²・・・mN² 50000 0.00267 0 .00 27 50000 0.00312 0 .00 41 50000 0.00317 0 .00 52 50000 0.00292 0 .00 60 50000 0.00302 0 .00 67 50000 0.00308 0.0073 50 平均 0.002996 １０秒ＴＳ Ｃ 角誤差 30，50，70ピッチ 30，50，70ピッチ 点番 点毎の角 誤差 d秒 点番 30000 50000 70000 50000 30000 70000 平均 0.0016 0.0030 0.0044 0.0028 0.0018 0.0041 0.002932 点毎の角 誤差 d秒 点番 1 2 3 4 5 6 0.0016 0.0034 0.0055 0.0062 0.0064 0 .00764 11.015 12.879 13.080 12.038 12.439 12.710 距離 Smm d/206265 ㎡＝m1²＋ *Smm m2²・・・mN² 30000 0.00160 0 .00 16 50000 0.00312 0 .00 35 70000 0.00444 0 .00 57 50000 0.00292 0 .00 64 30000 0.00181 0 .00 66 70000 0.00431 0.0079 00 平均 0.003034 距離誤差 点番 1 2 3 4 5 6 平均 点毎の距 離誤差 ｍｍ 1.946 1.997 2.018 2.045 1.958 1.726 0.001948 ㎡＝m1² ＋m2²・・・ mN² 0 .00 19 0 .00 28 0 .00 34 0 .00 40 0 .00 45 0.004 78 距離誤差は同じ。 表の値は標準偏差なので約３倍（測量業界は標準偏差の３倍を公差，基準にするのが好き なようなので）を使って座標閉合差を計算してみる。 ① 角誤差の伝播の部分（表の５列目，６行目から）＊３ ② 距離誤差の伝播の部分（下表の３列目６行目から）＊３ ③ 角誤差平均値の倍数にあたる部分（表の４列目，７行目から）＊３＊１０倍 閉合差の試算値 Ａ ５秒 50㎡ピッチ Ｃ ５秒 30，50，70 Ａ 10秒 50㎡ピッチ Ｃ 10秒 30，50，70 ① 0.02133 0.02292 0.02205 0.02370 ② 0.01434 0.01434 0.01434 0.01434 ③ 0.0869 0.0880 0.0899 0.0910 閉合差（試算値） 0.091 0.092 0.094 0.095 おおよそ閉合差が９１ｍｍ～95ｍｍ程度を想定してあるようだ。（但し１０秒ＴＳは一対回なの で対回数を増やせば５秒ＴＳに近づくだろう） 11 街区補助点の点検基準 ２０＋４√S ｍ（パターンＡ，Ｃの条件で S＝300ｍ）で計算すると８９． ３mm となる，多少条件が変わるだろうがほぼこの値（標準偏差）で想定されていそうだ。 1 点あたりの誤差を「Ａ ５秒 50ｍピッチ」計算すると，計算表の③は計算誤差なので除いて √（0.02133²＋0.01434²）＝0.02570 これをＸ，Ｙに分解すると √（0.02570²/2）＝0.01817 と なる。 補助点の点検基準，別表 22 の距離較差 20ｍｍ，角較差 60 秒について考察すると，距離誤 差は 18.17ｍｍ，角誤差は 50ｍで 75 秒，70ｍで 54 秒となり，点間距離 70 として考えれば別表 ２２は妥当な数字と言えるのではないだろうか。 境界点測量に与える影響への考察 境界測量で多角点の展開を開放でする方は少ないと思うが念のため言えば，実際はＤパタ ーンの展開が多いと思う。そこから言えることは想定された以上の誤差が計算されてしまうと言 うことである。 Ｄパターン Ｃパターン 平均誤差 0.00352の 倍数 平均誤差 0 .0 0 3 5 2 の倍数 0.7 1.4 2.7 3.7 4.4 6.3 0 .7 1 .7 3 .6 5 .0 6 .0 8 .4 これは観測誤差の問題よりは計算方法の問題であって避けられないことである，したがって 多角点（トラバー）の開放展開を出来るだけ避けるしかない。 多角点（トラバー）の展開は必ず結合させることが重要である。単純には開放点 2 点でそこか ら境界点を測った時点で計算誤差は約３倍になる，仮に多角点（トラバー）も開放であって６点 目が境界点とすれば６．３倍に計算誤差が膨らむことになる。Ｃパターンではもっと大きくなる。 だいぶ時間がかかったがここまでとしておく。 基準点測量は既知点から既知点へ結合させる方式なので，本例で取りあげている開放を６ 点も展開することは想定していない。ところが境界測量を行う土地家屋調査士にはいまだに基 準点を使わずに行っているものが多い，開放で行うことの危険性を具体的に説明した書面が ない，この分野を実務としている土地家屋調査士の業界で検証がなされていないことが問題 なのであろうと思ってあえてまとめてみた。（土地家屋調査士 小野孝治） 12 ここからは散布図の結果です，可能な限りのデータを載せてあります，角誤差と測距誤差が 計算結果にどのような形で反映されるか確認できますので参考にしてください。 A パターン 直線，50m ピッチ，混合計算結果 点1 σm 0.0026 σn 0.0019 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0029 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 -0.287 点2 σm 0.0062 -0.646 13 点3 σm 0.0109 σn 0.0035 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0040 Xav -0.002 Yav 0.000 相関係数 -0.813 点4 σm 0.0159 -0.882 14 点5 σm 0.0214 σn 0.0045 Xav -0.003 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0047 Xav -0.006 Yav 0.000 相関係数 -0.914 点6 σm 0.0276 -0.944 15 A パターン 直線，50m ピッチ，角誤差のみの計算 点1 σm 0.0026 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点2 σm 0.0062 -1.000 16 点3 σm 0.0109 σn 0.0000 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav -0.002 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点4 σm 0.0159 -1.000 17 点5 σm 0.0214 σn 0.0000 Xav -0.003 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点 6 σm=0.0277，σn=0.0000，ρ=1.000 σm 0.0276 σn 0.0000 Xav -0.006 Yav 0.000 相関係数 -1.000 18 A パターン 直線，50m ピッチ，距離誤差のみの計算 点1 σm 0.0019 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点2 σm 0.0029 -1.000 19 点3 σm 0.0035 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点4 σm 0.0040 -1.000 20 点5 σm 0.0045 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点6 σm 0.0047 -1.000 21 B パターン 90 度交互，50m ピッチ，混合計算 点 1 σm=0.0027，σn=0.0020，ρ=-0.287 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 135 点 2 σm=0.0048，σn=0.0026，ρ=-0.543 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 18 22 点 3 σm=0.0081，σn=0.0029，ρ=-0.780 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 166 点 4 σm=0.0117，σn=0.0033，ρ=-0.846 分布中心Y -0.001 分布中心X -0.002 楕円角 9 23 点 5 σm=0.0156，σn=0.0038，ρ=-0.889 分布中心Y 0.001 分布中心X -0.003 楕円角 172 点 6 σm=0.0200，σn=0.0042，ρ=-0.914 分布中心Y -0.001 分布中心X -0.004 楕円角 7 24 B パターン 90 度交互，50m ピッチ，測角誤差のみ計算 点 1 σm=0.0026，σn=0.0000，ρ=-1.000 σm 0.0026 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 楕円角 135 点 2 σm=0.0046，σn=0.0017，ρ=-0.757 σm 0.0046 σn 0.0017 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 -0.757 25 楕円角 17 点 3 σm=0.0080，σn=0.0019，ρ=-0.898 σm 0.0080 σn 0.0019 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 -0.898 楕円角 163 点 4 σm=0.0114，σn=0.0024，ρ=-0.910 σm 0.0114 σn 0.0024 Xav -0.001 Yav -0.001 相関係数 -0.910 26 楕円角 8 点 5 σm=0.0153，σn=0.0024，ρ=-0.951 σm 0.0153 σn 0.0024 Xav -0.003 Yav 0.000 相関係数 -0.951 楕円角 171 点 6 σm=0.0196，σn=0.0031，ρ=-0.949 σm 0.0196 σn 0.0031 Xav -0.004 Yav -0.001 相関係数 -0.949 27 楕円角 7 B パターン 90 度交互，50m ピッチ，測距誤差のみ計算 点 1 σm=0.0019，σn=0.0000，ρ=-1.000 σm 0.0019 σn #NUM! Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点 2 σm=0.0020，σn=0.0019，ρ=-0.076 σm 0.0020 σn 0.0019 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -0.076 28 点 3 σm=0.0028，σn=0.0020，ρ=-0.330 σm 0.0028 σn 0.0020 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -0.330 点 4 σm=0.0028，σn=0.0028，ρ=-0.013 σm 0.0028 σn 0.0028 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -0.013 29 点 5 σm=0.0035，σn=0.0029，ρ=-0.210 σm 0.0035 σn 0.0029 Xav -0.001 Yav 0.001 相関係数 -0.210 点 6 σm=0.0035，σn=0.0032，ρ=-0.090 σm 0.0035 σn 0.0032 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -0.090 30 Ｃパターン 測角誤差と測距誤差の混合計算 点 1 σm=0.0016，σn=0.0019，ρ=-0.212 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 91 点 2 σm=0.0053，σn=0.0029，ρ=-0.546 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 2 31 点 3 σm=0.0121，σn=0.0035，ρ=-0.847 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 2 点 4 σm=0.0173，σn=0.0040，ρ=-0.899 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.002 楕円角 1 32 点 5 σm=0.0205，σn=0.0045，ρ=-0.907 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.003 楕円角 1 点 6 σm=0.0292，σn=0.0047，ρ=-0.950 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.006 楕円角 0 33 Ｃパターン 測角誤差の計算 点１ σm 0.0016 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点２ σm 0.0053 -1.000 34 点３ σm 0.0121 σn 0.0000 Xav -0.001 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav -0.002 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点４ σm 0.0173 -1.000 35 点５ σm 0.0205 σn 0.0000 Xav -0.003 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav -0.006 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点６ σm 0.0292 -1.000 36 Ｃパターン 測距誤差の計算 点１ σm 0.0019 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点２ σm 0.0029 -1.000 37 点３ σm 0.0035 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点４ σm 0.0040 -1.000 38 点５ σm 0.0045 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 σn 0.0000 Xav 0.000 Yav 0.000 相関係数 -1.000 点６ σm 0.0047 -1.000 39 Ｄパターン 測角，測距誤差の混合計算 点１，σm=0.0019，σn=0.0015，ρ=－0.212 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 45 max scale0.08 点２，σm=0.0045，σn=0.0022，ρ=－0.603 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 32 40 点３，σm=0.0092，σn=0.0030，ρ=－0.804 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 161 点４，σm=0.0125，σn=0.0033，ρ=－0.869 分布中心Y -0.001 分布中心X -0.002 楕円角 4 41 点５，σm=0.0149，σn=0.0037，ρ=－0.887 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.002 楕円角 175 点６，σm=0.0216，σn=0.0050，ρ=－0.901 分布中心Y -0.002 分布中心X -0.004 楕円角 14 42 Ｄパターン 角誤差のみ 点 1，σm=0.0016，σn=0.0000，ρ=1.000 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 135 点２，σm=0.0043，σn=0.0011，ρ=0.877 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 29 43 点３，σm=0.0092，σn=0.0020，ρ=－0.908 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.001 楕円角 159 点４，σm=0.0123，σn=0.0024，ρ=－0.928 分布中心Y -0.001 分布中心X -0.001 楕円角 3 44 点５，σm=0.0146，σn=0.0022，ρ=－0.957 分布中心Y 0.000 分布中心X -0.002 楕円角 173 点６，σm=0.0212，σn=0.0042，ρ=－0.931 分布中心Y -0.003 分布中心X -0.004 楕円角 14 45 Ｄパターン 距離誤差のみ 距離誤差のみ 点１，σm=0.0019，σn=0.0000，ρ=１.000 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 45 点２，σm=0.0020，σn=0.0019，ρ=－0.076 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 100 46 点３，σm=0.0028，σn=0.0019，ρ=－0.330 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 49 点４，σm=0.0028，σn=0.0028，ρ=－0.013 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 103 47 点５，σm=0.0035，σn=0.0026，ρ=－0.210 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 49 点６，σm=0.0035，σn=0.0031，ρ=－0.090 分布中心Y 0.000 分布中心X 0.000 楕円角 42 Ｄパターン 混合計算に於いて測距誤差に＋２mm の定誤差ある場合の分布の変化を確認 48 出来ます，標準偏差そのものは変化ありませんが中心に影響が出ます。 Ｄパターン 混合 点 1（測定距離に＋2mm の定誤差を加えて計算），σm=0.0019，σ n=0.0015，ρ=－0.212 分布中心Y 分布中心X -0.001 -0.002 楕円角 46 Ｄパターン 混合 点２（測定距離に＋2mm の定誤差を加えて計算），σm=0.0045，σ n=0.0021，ρ=－0.603 分布中心Y -0.003 分布中心X -0.001 楕円角 32 Ｄパターン 混合 点３（測定距離に＋2mm の定誤差を加えて計算），σm=0.0092，σ 49 n=0.0030，ρ=－0.805 分布中心Y 分布中心X -0.004 -0.003 楕円角 161 Ｄパターン 混合 点４（測定距離に＋2mm の定誤差を加えて計算），σm=0.0126，σ n=0.0033，ρ=－0.869 分布中心Y -0.006 分布中心X -0.002 楕円角 4 Ｄパターン 混合 点５（測定距離に＋2mm の定誤差を加えて計算），σm=0.0150，σ 50 n=0.0037，ρ=－0.886 分布中心Y 分布中心X -0.007 -0.005 楕円角 175 Ｄパターン 混合 点６（測定距離に＋2mm の定誤差を加えて計算），σm=0.0212，σ n=0.0071，ρ=－0.901 分布中心Y -0.011 分布中心X -0.006 楕円角 14 51 今回散布図か書いていて最も分布が円に近いのがＢパターンの測距誤差のみの点２であっ た，相関係数が－０．０７６，ここにその分布の散布図を示す。 ｎ＝９９ σm 0.00204 σn 0.00190 Xav -0.0001 Yav 0.0004 相関係数 -0.076 ＥＮＤ 52
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