赤阪正 純 (httじ グ nupri Web fc2 com) 1 0が 外心 ￨ かつ OH=OA+OB+OC Hが 垂心 Hが 垂心 → → o前 ● ξ 0《 AH・ 力 BC OA)・ tヒ ま ょ す ク拍 =(OH― (OC一 〇B) =(OB+OC)。 (OC― OB) 2 =配 121萌 =0(0は 外心なので磁 = かつ ○必 OH=OA+OB+OC 心 ￨“ 121昴 F,倒 ぼ この官 2 =(OC十 OB)・ (OC-OB) =(OH― OA)。 (OC― OB) 象毎す ク 、 ゴ∼、 ′ =AH・ BC =0(Hは 垂心なので AH■ BC) ￨“ ) ょって,1硫 =￨“ CA=0,CH・ AB=0に ので ,Hは 三 角形 ABCの 垂 心 であ る 同様 に して ,BH・ なる て,￨“ 同様にし ￨ に =￨こ司,1薇 =1轟 な るので ,Oは 三 角形 ABCの 外 心 で あ る さて,先 ほどは具体例で重心 G,垂 心 H,外 心 ○ は同一直線上にあ り,OG:GH=1:2に ことを確認 しました 今度 は,こ のことを一般的 にベ ク トルを用 いず に証明 してみよう ABCの 重心 を G,垂 心 を H,外 心 を Oと す る 上 にあ り,OG:GH=1:2で あ る こと を証 明 せ よ 例 題 (3) オイ ラ ー 線 三 角形 考え方 ィメージ しやすいように,鋭 角三角形で考 えてみます 重心 なっている G,垂 心 H,外 心 ○ は同 一 直線 3点 が一直線上にあることをベ ク トルを 用いず に証明するのはなかなか難 しい 方針 としては,OHと ALの 交点 を G′ とす るとき,垂 心 と外心 の条件 だけか ら,AG′ :LG′ =2:1で あることを導 き出し,そ の結果 ,実 は G′ は重心 Gそ のものであることを示 します 口ぼIれ ‖R ｀ 早中千けじ ,こ 10■ 0● 年7 "tて τtす る ゞが ゞ」夕｀ 、,卜 ヽ じ すι のぐ ヾ 一つ幾 ほ工ヽ 七 げソ不足兼 チし tヽ 1`に inupri web fc2 com) 赤阪 正 純 (httpン ク オイ ラー線 Ш 略 [『 三角形 ABCの 辺 BC,CA,ABの 中点をそれぞ L,M,Nと れ 上 の 証 明 の ① ② 部 分 の 別 証 明 を紹 介 し よう 下 図 の よ うに三角形 の外接 円 を考 え ,直 径 する (4) 言 うまで もないが ,直 径 OL tt BC, BC〃 NINよ り, OL tt MN とる (″ 注 OM⊥ CA,CA〃 NLよ り, OM tt NL ON tt AB, AB〃 LMよ り, ON tt L卜 よって,三 角形 ABCの 外心 Oは ,三 角形 LMN を通 ってい る) BPを BPは 外心 ○ /1 の垂心 である また,三 角形 ABC∽ 三角形 LMNで ,相 似比 は 2:1で ある ABCの 垂心 ,Oは 三 角形 … ① LMNの 垂心なので,AH:LO=2:l よって ,Hは 三 角形 OHと ALの 交点 を G′ とす る Hは 三角形 ABCの 垂心なので ,AH tt BC Oは 三角形 ABCの 外心なので,LO tt BC よって,AH〃 LO… ② AGH∽ 三 角形 LG′ O … ③ よって , AG′ :LG′ =211 さ て ,三 角 形 ABCの 重 心 を Gと す る と ① ,② よ り,三 角形 PC⊥ BC, OL tt BCよ り, PC〃 , ④ よって,AH〃 PC CH⊥ AB, PA tt ABよ ③ ,④ より,G′ とGは 一致する り, CH〃 nttapJO・ “ひす lo° PA よって,四 角形 AHCPは 平行四辺形 である 以上より,外 心 ○,重 心 G,垂 心 Hは 同一直線 ∴ PC=AH PCi OL=2:1な 上にあり,OG:GH=1:2で ある ″榊 AG:LG=2:1… OL OL AH tt BC, OL tt BCよ り, AH〃 ∠PCD iT 憂 この上の 一 ので,AH:OL=2:1 今回,三 角形 の重心 ,垂 心 ,外 心の間に成 立する不思議な性質 を紹介 しましたが ,三 角形 の五心に 関 して,他 にも興味深 い性質 がイ ロイロあるので,参 考 までに紹介 しておこう 証明 は各 自で考 えて くださ 疹曰 い どれもこれも有名な性質なので,参 考書や問題集 に必ず載 って ると思 い ます △ABCに おいて,辺 BC,CA,ABに 関 して外心 ○ と対称な点をそれぞれ P,Q,Rと する この とき,○ は△PQRの 垂心に一致する 1 鋭角 三角形 ABCの 頂点 A,B,Cか ら対辺 におろした垂線 をそれぞれ AD,BE, ￨ とき,Hは △DEFの 内心 に一致す る (△ DEFを △ABCの 垂足三角形 とい う) 点 Pを 鋭角三角形 ABCの 内部の点 とし,AP,BP,CPの 延長が △ABCの 外接円 と交わ る点をそ れぞれ D,E,Fと す る このとき (1)Pが △ABCの 垂心 ==⇒ Pは (2)Pが △ABCの 内心 ― Pは △DEFの 内心 △DEFの 垂心 ι犠 しよメ /鋳 イ 伽 ぉ 前 りにイ ι ″
© Copyright 2024 ExpyDoc
