Linear Algebra 2 Problem Set 1 October 2015

Linear Algebras 2 Problem Set 1 November 2013
[1] R2 で次の点の移動を考える。そのうち線形変換と思われるものを選び、それを標準基底に
関して表現する行列を求めよ。
(1)
原点中心に反時計回りに 90◦ 回転させる。
(2)
x− 軸方向に１平行移動させる。
(3)
直線 x + y = 3 に関して対称移動させる。
(4)
原点に関して点対称移動させる。
[2] 線形変換 f : R3 → R3 を次式で定義する。
 
  
1 2 3
x
x
  
 
 
  
f  y  = 2 3 4 y 
  
 
z
1 1 1
z
(1)
平面 x − y + z = 0 はどのような図形に移されるかしらべよ。
(2)
平面 x − y + z = 1 はどのような図形に移されるかしらべよ。
(3)
平面 x + y + z = 1 はどのような図形に移されるかしらべよ。
[3] 次の線形写像
medskip
 T の与えられた基底に関する表現行列を求めよ。

2 4 1
 X : R3 −→ R2
(1) T (X) = 
1 5 3
[( 1 ) ( 1 ) ( 0 )]
[
]
R3 の基底 0 , 2 , 1 , R2 の基底 ( 12 ) , ( 23 )
1
(2)
2
1


2 4 3 1




T (X) = 0 −3 1 1 X : R4 −→ R3


1 2 1 0
R4 の基底
[( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )]
[( 1 ) ( 1 ) ( 0 )]
3 の基底
0 , 1
1 , 1 ,
1 , 0 , 1
、
R
−1
0
1
1
2
1
0
0
0
1
0
[4] 次の線形変換 T の与えられた基底に関する表現行列を求めよ。
[( 1 ) ( 2 ) ( 3 )]
( 2 0 1)
(1) T (X) = −1 −3 1 X : R3 −→ R3 , R3 の基底 1 , 1 , 1 、
(
(2)
T (X) =
2
5 2
1 −1 0 )
1 −2 1 X
−2 4 3
: R3 −→ R3 ,
0
1
1
0
1
1
[( 0 ) ( 1 ) ( 2 )]
R3 の基底 1 , 0 , 1 、
1
2
(3)
[
]
T (f )(x) = 2f 0 (x) + 3f (x) : P2 [x] −→ P2 [x]、P2 [x] の基底 1, x, x2
(4)
[
]
T (f )(x) = 2f 0 (x) + 3f (x) : P2 [x] −→ P2 [x]、P2 [x] の基底 1 + x, x + x2 , 1 − x2
[5] R3 から R3 への次の線形写像 φ が同型となる為の a の条件を求めよ。
 
 
 
 
x1
a
1
1
 
 
 
( )
 
 
 
 
φ x2  = x1 1 + x2 a + x3 1
 
 
 
 
1
1
a
x3
[6]


2 4 3 1




A =  0 0 1 1  に対して線形写像 TA : R4 −→ R3 の核 KerTA 、像 ImTA の基底と次


1 2 1 0
元を求めよ。


(1)
1 −2
1 0


 1 −2
1 0
(2) A = 

 −2
4 −2 0

1 −1
2 1
基底と次元を求めよ。

0


1 
 に対して線形写像 TA : R5 −→ R4 の核 KerTA 、像 ImTA の

2 

1
0
1
1
1
3


 −1 −2 −5 −1 −4
(3) A = 

 1
1
4
0
1

1 −1
2 −2 −5
の基底と次元を求めよ。




 に対して線形写像 TA : R5 −→ R4 の核 KerTA 、像 ImTA



[7] 2 次の正方行列全体の為すベクトル空間を M2 とする。A =
(a b)
c d
∈ M2 とし、写像
fA : M2 −→ M2 を fA (X) = AX, X ∈ M2 で定義する。
[( ) ( ) ( ) ( )]
M2 の基底 10 00 , 00 10 , 01 00 , 00 01 に関する fA の表現行列を求めよ。
3
[8] n 次正方行列全体の作るベクトル空間を Mn とする。
(1)
A = (aij ) ∈ Mn に対して T r : Mn → R を次式で定義する。
T r(A) = a11 + a22 + · · · + ann
このとき T r は線形写像であることを示せ。
(2)
A ∈ Mn に対して φA : Mn → R を φA (X) = T r(AX) で定義する。φA は線形であることを
示せ。
(3)
任意の線形写像 ψ : Mn → R は適当な A を用いて ψ = φA と書ける。n = 2, 3 のときこのこ
とを示せ。

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