2015特選理系数学演習a1学期中間②

2015　特選理系　数学演習a　1学期中間②
(　)組(　)番　名前(　)　１
¦ABC の外心を O とする
(1)
(2)
めよ。
70,
20,
C
a
O
¦ABC の外心を O とすると
20,
30,
a
B
B
２
A
A
とき，右の図の角 a，b を求
b
C
b
(1)
O
(2)
A
き，右の図の角 a，b を求め
A
よ。
a
b
30,
25,
O
O
b
40,
a
B
３
C
35,
B
C
(1)　¦ABC の内心を I とするとき，右の図の角 a，b を求 (1)
A
めよ。ただし，点 D は AI と BC の交点である。
(2)　¦ABC の内心を I とし，直線 AI と辺 BC の交点を D
35,
とする。AB=8 ，BC=7 ，AC=4 であるとき，
I
AI：ID を求めよ。
a
b
B
４
(1)　¦ABC の内心を I とするとき，右の図の角 a，b を
30,
D
C
(1)
A
求めよ。
(2)　3 辺が AB=5，BC=8，CA=4 である △ABC の内
心を I とし，直線 CI と辺 AB との交点を D とする。
15,
このとき，CI：ID を求めよ。
B
-1-
a
I
b
C
50,
５
右の図の △ABC で，点 D，E はそれぞれ辺 BC，CA の中
A
点である。また，AD と BE の交点を F，線分 AF の中点
を G，CG と BE の交点を H とする。BE=9 のとき
G
(1)　線分 FH の長さを求めよ。
(2)　面積について，△EBC=
E
F
△FBD である。
B
６
右の図のように，平行四辺形 ABCD の対角線の交点
H
D
C
A
D
を O，辺 BC の中点を M とし，AM と BD の交点を
Q
P，線分 OD の中点を Q とする。
(1)　線分 PQ の長さは，線分 BD の長さの何倍か。
O
P
(2)　△ABP の面積が 6 cm 2 のとき，四角形 ABCD
B
の面積を求めよ。
７
M
C
終わった方用
(1)　△ABC の内心を I とする。このとき，△ABI：△BCI：△CAI の比を求めよ。
(2)　△ABC の内部に 1 点 P がある。△ABP= △BCP= △CAP の場合，P は △ABC
のどのような点か。
８
終わった方用
右の図の △ABC において，G は △ABC の重心で線分
A
GD は辺 BC と平行である。
このとき，△DBC と △ABC の面積比を求めよ。
G
B
-2-
D
C
１
２
３
４
５
s　(1)　a =50, ，b =20, (2)　a =40, ，b =100,
６
s　(1)　７
８
s　(1)　AB：BC：CA　(2)　重心
s　(1)　a =10,，b =50,　(2)　a =30, ，b =120,
s　(1)　a =65,，b =95,　(2)　12：7
s　(1)　a =65,，b =105,　(2)　12：5
s　(1)　2　(2)　3
5
倍　(2)　36 cm 2
12
s　1：3
-3-
１
(1)　OA=OB であるから
A
4OAB= 4OBA=20,
70,
ゆえに　4OAC=50,
20,
よって　a = 4OAC=50,
a
O
また，OB=OC であるから
B
4OBC= 4OCB= b
C
b
b
ゆえに　20, +70, +50, +2b =180,
よって　b =20,
(2)　4A=180, - 0 30, +20,1 =130,　…… ①
A
C
OA=OB=OC であるから
4OAB= 4OBA，4OAC= 4OCA，
B
4OBC= 4OCB= a
よって　4A= 4OAB+ 4OAC
O
360, - b
= 4OBA+ 4OCA
= 0 a +30,1 + 0 a +20,1
=2a +50,　…… ②
①，② から　2a +50, =130,
ゆえに　a =40,　また　b =180, -2 % 40, =100,
t　BA，AC に対する中心角と円周角の関係から
4BOA=24BCA=40, ，4AOC=24ABC=60,
ゆえに　b = 4BOA+ 4AOC=100,
また　a =
b
1
180, -100,1 =40,
20
-4-
２
(1)　O は ¦ABC の外心であるから　OA=OB=OC
A
30,
ゆえに　4OCA= 4OAC=30,
b
よって　4OCB= 4C- 4OCA=40, -30, =10,
ゆえに　a = 4OBC= 4OCB=10,
b
また　4OBA= 4OAB= b
よって　4A+ 4B+ 4C= 0 b +30,1 + 0 b +10,1 +40, B
30,
O
a
C
10,
=2b +80,
ゆえに　2b +80, =180,　よって　b =50,
t　4AOB=2 % 40, =80,
よって　b =
1
180, -80,1 =50,
20
(2)　O は △ABC の外心であるから　OA=OB=OC
A
△OAB で　4OBA= 4OAB=25,
25,
△OBC で　4OBC= 4OCB=35,
a
△OCA で　4OCA= 4OAC= a
△ABC の内角の和は 180, であるから
25,
O
2 % 25, +2 % 35, +2a =180,
a
よって　a =30,
35,
また　b =180, -2 % 30, =120,
３
b
35,
B
C
(1)　4IAC= 4IAB=35, であるから
A
a = 4IAC+ 4ICA
=35, +30, =65,
よって　b = a + 4ICD=65, + 4ICA
I
=65, +30, =95,
B
D
C
(2)　直線 AD は 4A の二等分線であるから
A
BD：DC=AB：AC=2：1
8
2
14
よって　BD= BC=
3
3
I
B
直線 BI は 4B の二等分線であるから
AI：ID=BA：BD=8：
14
=12：7
3
-5-
7
D
4
C
４
(1)　I は ¦ABC の内心であるから
A
4IBC= 4IBA=15,，4ICB= 4ICA=50,
ゆえに　a = 4IBC+ 4ICB=15, +50, =65,
また　4B=24ABI=30,，4C=24ACI=100,
I
よって　4A=180, - 0 4B + 4C1 =180, - 0 30, +100,1
=50,
B
C
1
ゆえに　4IAC= 4A=25,
2
よって　b =180, - 0 4IAC + 4ICA1 =180, - 0 25, +50,1 =105,
(2)　△ABC において，CD は 4C の二等分線であるから
5 D
AD：DB=CA：CB=4：8=1：2
よって　AD=
1
1
5
% AB= % 5=
1+2
3
3
A
4
I
B
C
8
また，△ADC において，AI は 4A の二等分線である
から　CI：ID=AC：AD=4：
５
5
=12：5
3
(1)　AD，BE は △ABC の中線であるから，その交点 F
A
は △ABC の重心である。
よって　BF：FE=2：1
G
1
1
ゆえに　FE=
% BE= % 9=3
2+1
3
E
F
H
また，C と F を結ぶと，CG，FE は △AFC の中線であ
るから，その交点 H は △AFC の重心である。
よって，FH：HE=2：1 から
FH=
B
D
C
2
2
% FE= % 3=2
2+1
3
(2)　△FBC：△FBD=BC：BD=2：1
A
よって　△FBC=2△FBD
また　△EBC：△FBC=EB：FB=3：2
ゆえに　△EBC=
3
3
△FBC= % 2△FBD
2
2
F
1
E
2
=3△FBD
B
-6-
D
C
６
(1)　AO=CO，BM=CM より，点 P は △ABC
の重心であるから　BP：PO=2：1
A
6 cm
1
1
PO= BO ，OQ= OD であるから
3
2
O
P
1
1
PQ=PO+OQ = BO+ OD
3
2
Q
1
2
B
=
1
1
1
1
1
1
+ BD
% BD+ % BD =
3
2
2
2
6
4
=
5
BD
12
したがって　D
2
8
9
5
倍
12
(2)　PD=PO+OD=PO+3PO=4PO
よって　BP：PD=2PO：4PO=1：2
ゆえに　△ABD=3△ABP=3 % 6=18 0 cm 21
したがって，四角形 ABCD の面積は　2 % △ABD=36 0 cm 21
-7-
M
C
７
(1)　点 I から辺 BC，CA，AB に下ろした垂線を IP，IQ，
A
IR とする。
I は △ABC の内心であるから，内接円の半径を r とす
R
ると　IP=IQ=IR= r
r I
ゆえに　△ABI：△BCI：△CAI
=
r
Q
r
1
1
1
AB ･ IR： BC ･ IP： CA ･ IQ
2
2
2
B
P
C
r
r
r
= AB： BC： CA=AB：BC：CA
2
2
2
t　AI と BC の交点を D，BI と CA の交点を E とする。
A
このとき　△ABI：△CAI= △IBD：△IDC
=BD：DC
AD は 4A の二等分線であるから
E
I
BD：DC=AB：AC
ゆえに　△ABI：△CAI=AB：AC　…… ①
同様に考えて
B
C
D
△ABI：△BCI=BA：BC　…… ②
①，② から　△ABI：△BCI：△CAI=AB：BC：CA
(2)　AP と BC の交点を D，BP と CA の交点を E とする。
A
△ABP= △CAP であるから，それぞれの三角形の底辺
を AP と考えると
BD=DC
E
P
すなわち，AD は中線である。　…… ①
同様に考えて，△ABP= △BCP であるから
EA=CE
B
D
C
すなわち，BE は中線である。　…… ②
①，② から，P は △ABC の重心である。
８
直線 AG と辺 BC の交点を E とする。
A
GDSEC であり，G は △ABC の重心であるから
AD：DC=AG：GE=2：1
このとき
△DBC：△ABC=DC：AC
D
G
=1：3
B
-8-
E
C

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