改訂1追加分

講義
演習問題 82
難易度 ★★★
1
2
CHECK
3
CHECK
CHECK
四面体 O A B C において，点 O から 3 点 A ， B ， C を含む平面に下ろし
た垂線とその平面の交点を H とする。 O A BC ，O B O C ，O A ＝ 2 ，
( 京都大 )
OB ＝ O C ＝ 3 ， A B ＝ √ 7 のとき， O H を求めよ。
OB OC ，OB
＝
OC
＝ 3 から，xyz 座標系の
講義
x 軸上に点 B ( 3 ，0 ，0 )
をとり，y 軸上に点 C ( 0 ，3，0 ) をとると，考えやすくなるはずだ。そして，3 点 A ，B ，
C の座標が分かれば，平面 ABC の方程式を求めて，原点 O とこの平面との間の
距離が OH となるんだね。つまり，演習問題 80 と同様に解けばいい。
解答＆解説
＝
OC
＝ 3 より，右図に示すように
xyz 座標系において， x 軸上に点 B ( 3 ， 0 ， 0 ) ， y 軸
z
上に点 C ( 0 ， 3 ， 0 ) をとり，点 A を A (α ，β ，γ )
(γ ＞ 0 ) とおく。よって，
OA ＝ (α ，β ，γ ) ， OB ＝ ( 3 ，0 ，0 ) ，OC ＝ ( 0 ，3 ，0 )
BC ＝ OC − OB ＝ ( 0 ，3 ，0 ) − ( 3 ，0 ，0 ) ＝ ( − 3 ，3 ，0 )
A (α ，b ，γ )
2
O
H
＋
C
√7
( 0 ，3 ，0 )
y
講義
B
( 3 ，0 ，0 )
−β ，
−γ )
0，
0 ) − (α ，β ，γ ) ＝ ( 3 − α ，
AB ＝ OB − OA ＝ ( 3 ，
x
となる。
ここで，
･ OA BC より　OA ･ BC ＝ 0 となる。よって，
OA ･ BC
＝
( α ，β ，γ ) ･ ( − 3 ，3 ，0 ) ＝ − 3 α ＋ 3 β ＝ 0
∴ 3α ＝ 3β より，α ＝ β …………………………①
② −③より，
2
2
2
2
2
2
2
OA ＝ α ＋ β ＋ γ ＝ 4 ∴ α ＋ β ＋ γ ＝ 4 ……②
6α ＝ 6　∴ α ＝ 1
① より，α ＝β ＝ 1
･ OA ＝ 2 より，　OA ＝ 4 となる。よって，
2
2
･ AB ＝ √ 7 より，　AB ＝ 7 となる。よって，
2
2
2
2
AB ＝ ( 3 − α ) ＋ ( − β ) ＋ ( − γ ) ＝ 7
∴ (α − 3 ) ＋ β ＋ γ ＝ 7 ………………③
2
2
2
① ，②，③ を解いて，α ＝ β ＝ 1 ，γ ＝ √ 2 である。
7
8
空間ベクトル
より，
講義
平面ベクトル
OB OC ， OB
ココがポイント
数列
ヒント！
5
6
微分と積分法
空間座標と四面体
6α − 9 ＝ − 3
これを② に代入して，
12 ＋ 12 ＋ γ 2 ＝ 4
γ 2 ＝ 2　γ ＞ 0 より
γ ＝√2
よって，A ( 1 ，1 ，√ 2 ) となる。
257
3 点 A ( 1 ，1 ，√ 2 ) ， B ( 3 ，0 ，0 ) ， C ( 0 ，3 ，0 ) を通る平
面 ABC の方程式を
ax ＋ b y ＋ c z ＋ d ＝ 0 ……④ とおくと，
3 点 A，
B，
C の座標を④に代入しても成り立つので，
･ ⑥ より，d ＝ − 3a
･ ⑥ − ⑦ より
3a − 3b ＝ 0
∴ b＝a
･ d ＝ − 3a，b ＝ a を⑤
a ＋ b ＋ √ 2 c ＋ d ＝ 0 ……⑤
3 a ＋ d ＝ 0 ………………⑥
3 b ＋ d ＝ 0 ………………⑦
⑤ ，⑥ ，⑦ より， b ，c ，d を a で表すと，
b ＝ a ， c ＝ 1 a ， d ＝− 3 a となる。これらを ④ に
√2
代入して
ax ＋ a y ＋ 1 a z − 3 a ＝ 0 ( a ≠
0)
√2
√2
両辺に a をかけると，平面 ABC
a ＝ 0 とすると，
に代入して，
a ＋ a ＋ √ 2c − 3a ＝ 0
√ 2c ＝ a
1
a
√2
∴ c＝
この式は 0 ＝0 の
恒等式となって，
平面を表さない。
の方程式は，
√ 2x ＋ √ 2 y ＋ z − 3 √ 2 ＝ 0 ……④ ´ となる。
よって，原点 O ( 0 ，0 ，0 ) と平面 ABC との間の距離
OH
＝
OH
＝
＝
平面 ABC
O
A ( 1 ，1 ，√ 2 )
H C ( 0 ，3 ，0 )
y
OH は，
√2･0 ＋ √2･0 ＋ 0− 3√2
√(√2)2 ＋ (√2)2 ＋ 12
− 3√2
√5
＝
3√2
√5
＝
3√10
である。 …………(答)
5
点と平面の距離の公式： h ＝
258
z
ax1 ＋ by1 ＋ cz1 ＋ d
√a2 ＋ b2 ＋ c2
B ( 3 ，0 ，0 )
x
講義
演習問題 83
難易度 ★★★
1
2
CHECK
3
CHECK
CHECK
xyz 空間において，原点 O を中心とする半径 1 の球面 S : x 2 ＋ y 2 ＋ z 2
＝ 1，および
S 上の点 A(0，0，1) を考える。S 上の A と異なる点
P ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) に対して， 2 点 A ， P を通る直線と x y 平面の交点を Q
とする。
( 3 ) 球面 S と平面 y ＝ 12 の共通部分が表す図形を C とする。点 P が C
上を動くとき， x y 平面上における点 Q の軌跡を求めよ。 ( 金沢大 )
ヒント！ ( 1 ) ，( 2 ) は，図を描いて，導入に従って解いていこう。 ( 3 ) は，Q ( X ，Y ，
0 ) とおいて動点 Q の軌跡，つまり X と Y の関係式を求めればいいんだね。
ココがポイント
解答＆解説
右図に示すように，球面 S ( x ＋ y ＋ z ＝ 1 ) 上の点
2
2
2
z
る直線と x y 平面との交点を Q とおく。
( 1 ) 3 点 A ，P ，Q は同一直線上の点より
AQ ＝ t A P O Q − O A ＝ t ( O P − O A )
→
OQ − O A O P − O A
A ( 0 ，0 ，1 )
P ( x 0，y 0，z 0)
−1
x
1
球面 S
O
1
−1
y
Q
( X ，Y ，0 )
まわり道の原理
∴ O Q ＝ ( 1 − t ) O A ＋ t O P ……① ……………(答)
t は実数だね。
( 2 ) ① に， O A ＝ ( 0 ，0 ，1 ) ， O P ＝ ( x 0 ，y 0 ，z 0 ) を代入
して，まとめると
OQ ＝ ( 1 − t )( 0 ，0 ，1 ) ＋ t ( x 0 ，y 0 ，z 0 )
＝ ( t x 0 ，t y 0 ，1 − t ＋ t z 0 ) ……②
0
ここで，点 Q は x y 平面上の点より，その z 座標は
0である。よって，
t＝
1
z0
1 − ……
③
1 − t ＋ tz0 ＝ 0 より
( 1 − z 0) t ＝ 1
ここで，z0 ≠ 1
1
( ∵ P ≠ A)
より，t ＝ −
1 z0
259
7
8
講義
空間ベクトル
A ( 0 ，0 ，1 ) と， A 以外の S 上の点 P ( x 0 ，y 0 ，z 0 ) を通
講義
平面ベクトル
講義
数列
( 1 ) A Q ＝ t A P ( t は実数 ) とおくとき，O Q を t ，O P ，O A を用いて表せ。
( 2 ) O Q の成分表示を x 0 ， y 0 ， z 0 を用いて表せ。
5
6
微分と積分法
球面と軌跡の融合問題
③ を ② に代入して，
OQ ＝
(
)
y0
x0
0
④ …………(答)
1 − z 0 ，1 − z 0 ， ……
( 3 ) 右図に示すように，
2
2
2
球面 S ： x ＋ y ＋ z ＝ 1
…⑤と
1
平面：y ＝ ………………⑥で表される図形，
2
すなわち ⑤ と ⑥ の交わりの円C 上を点 P ( x 0 ，y 0 ，
z 0 ) が動くとき，点 Q ( X ，Y ，0 ) の軌跡を求める。
X と Y の関係式のこと
OQ ＝ ( tx0，ty0，0) ……②
1
t＝ 1 − z
……………③
0
z
P ( x 0，y 0，z 0)
x2 ＋
( 12 )
2
Q
( X ，Y ，0)
＋ z ＝1
2
x2 ＋ z2 ＝ 1 −
標を ⑤ ´ ，⑥ に代入して
3
1
2
2
x 0 ＋ z 0 ＝ ……⑦ かつ y 0 ＝ ……⑧となる。
4
2
ここで，動点 Q ( X ，Y ，0 ) とおくと，④より
x0
X ＝
1 − z0
y0
1
1
＝
Y ＝
∵ y 0 ＝ …⑧
2
1 − z 0 2 (1 − z 0)
x 0 ＝
y
交わりの円 C
3
1
2
2
x ＋ z ＝ 4 ……⑤ ´ かつ y ＝ 2 ……⑥である。
P ( x 0 ，y 0 ，z 0 ) は円 C 上を動くので，これらの座
よって， x 0 ，z 0 を X ，Y で表すと，
1
−1
⑤ ， ⑥ より，交わりの円 C の方程式は
(
1
2
O
1
x
y＝ 1
2
A ( 0 ，0 ，1 )
球面 S
−1
平面
)
1
4
＝
より
3
4
1
2Y より
1
z0 ＝ 1 −
2Y
･ x0 ＝ ( 1 − z 0 ) X
･ 1 − z0 ＝
＝
X
1
2Y − 1
⑨ z ＝ 1 − ＝
⑩
2 Y ……
2 Y　…… ， 0
2Y
(1
− 1＋
X
＝
2Y
⑨ ，⑩ を ⑦ に代入して，点 Q の軌跡，すなわち
)
1
2Y X
X と Y の関係式を求めると，
( 2XY ) ( 2 Y2 Y 1 )
2
＋
−
2
＝
3
より
4
2
2
X ＋ ( Y − 2 ) ＝ 3 となる。
∴ 点 Q の軌跡は，中心 ( 0 ，2 ，0 ) ，半径 √ 3 の xy 平
面上の円である。 ………………………………(答)
260
両辺に 4Y をかけて
2
X ＋ ( 2 Y − 1 ) 2 ＝ 3 Y2
X2 ＋ 4 Y2 − 4 Y ＋ 1 ＝ 3 Y2
X2 ＋ Y2 − 4 Y ＝ − 1
X2 ＋ ( Y2− 4 Y ＋ 4) ＝− 1 ＋ 4
2
X2 ＋ ( Y − 2 ) 2＝ 3

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