3 項間の漸化式とは，具体的には a n ＋ 2 ＋ pa n ＋ 1 ＋ qa n ＝ 0 ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，… )
( p ，q ： 定 数 ) の形の 漸 化 式 の こ と で，実際に 3 項 a n と a n 1 と a n 2 の関係式に
＋
＋
なっている。
空間ベクトル
この場 合 ， 初 項 a 1 だ けでなく，第 2 項 a 2 の値も与 え ら れ る 。
具体例を出しておこう。
{
a1 ＝ 1，a2 ＝ 5
p ＝ − 5 ，q ＝ 6 の場合
a n ＋ 2 − 5 a n ＋ 1 ＋ 6 a n ＝ 0 ………① ( n ＝ 1 ， 2 ， 3 ，… )
講義
①を変 形 し て ， a n ＋ 2 ＝ 5 a n ＋ 1 − 6 a n ………① ´となる ね 。そ し て ，
a 3 ＝ 5 a 2 − 6 a 1 ＝ 5・5 − 6・1 ＝ 2 5 − 6 ＝ 1 9
1
a 4 ＝ 5 a 3 − 6 a 2 ＝ 5・1 9 − 6・5 ＝ 9 5 − 3 0 ＝ 6 5
19
講義
5
・n ＝ 3のときも同様に
a 5 ＝ 5 a 4 − 6 a 3 ＝ 5・6 5 − 6・1 9 ＝ 3 2 5 − 11 4 ＝ 2 11
…………………………………………
…………………
と，こ の 後 も a 6 ， a 7 ， a 8 ，…を，その前の 2 項の 値 か ら ① ´を 使 っ て 求 め て
いける こ と が 分 か っ たと思う。
では ， こ の 一 般 項 a n はどのように求めるのか ? そ の 手 順 を ① の 例 題 を
使って解説していこう。
まず， a n ＋ 2 − 5 a n ＋ 1 ＋ 6 a n ＝ 0 …①の漸化式の a n ＋ 2 に x 2 を ， a n ＋ 1 に x を ，
x2
x
確率分布と統計的推測
・ n ＝ 2 の と き ， a n ＋ 2 ＝ a 2 ＋ 2 ＝ a 4 ， a n ＋ 1 ＝ a 2 ＋ 1 ＝ a 3 ， a n ＝ a 2 よ り ① ´は ，
数列
・ n ＝ 1 の と き ， a n ＋ 2 ＝ a 1 ＋ 2 ＝ a 3 ， a n ＋ 1 ＝ a 1 ＋ 1 ＝ a 2 ， a n ＝ a 1 よ り ① ´は ，
5
1
2
3
4
平面ベクトル
● 3 項間の漸化式にもチャレンジしよう！
1 を代入する
そして a n に 1 を 代 入 してできる次の 2 次方程式② を 特 性 方 程 式 と 呼 ぶ 。
x 2 − 5x ＋ 6 ＝ 0 … ② これを解いて
特性方程式
( x − 2 )( x − 3 ) ＝ 0 より， x ＝ 2 ， 3
155
この特性方程式②の解 x ＝ 2，3を用いると，
{
a1 ＝ 1，a2 ＝ 5
a n ＋ 2 − 5 a n ＋ 1 ＋ 6 a n ＝ 0 …①
x 2 − 5 x ＋ 6 ＝ 0 …………②
②の解 x ＝ 2，3
①の 3 項 間 の 漸 化 式 か ら，次のように 2 つの
等 比関数列型の漸化式を導くことができる。
a n ＋ 2 − 2・a n ＋ 1 ＝ 3 ( a n ＋ 1 − 2・a n ) ……③
[ F(n ＋ 1)
]
a n 2 − 3・a n 1 ＝ 2 ( a n 1 − 3・a n ) ……④
[ G ( n ＋ 1 ) ＝ 2 ・ G ( n ) ]
＋
＝ 3・ F ( n ) ＋
＋
・ ③ に つ い て ， こ れを変形すると，
a n ＋ 2 − 2 a n ＋ 1 ＝ 3 ( a n ＋ 1 − 2 a n ) 右辺を左辺に移項して
3a n ＋ 1 − 6a n
a n ＋2 − 2 a n ＋1 − 3 a n ＋1 ＋ 6 a n ＝ 0
a n ＋ 2 − 5 a n ＋ 1 ＋ 6 a n ＝ 0 となって，ナルホド①と一 致 す る 。
ま た ， F ( n ) ＝ a n ＋ 1 − 2 a n とおくと， F ( n ＋ 1 ) ＝ a
n＋1＋1
n ＋2
− 2 a n ＋1
となるので，
n の代わりに，n ＋ 1 を代入したもの
③ は ， 等 比 関 数 列型漸化式 F ( n ＋ 1 ) ＝ 3・F ( n ) になっていることも分かる。
同様に，
・ ④ に つ い て も ， これを変形すると，
a n ＋ 2 − 3 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 − 6 a n より，
a n ＋ 2 − 5 a n ＋ 1 ＋ 6 a n ＝ 0 となって，ナルホド①と一致す る 。
ま た ，G ( n ) ＝ a n ＋ 1 − 3 a n とおくと， G ( n ＋ 1 ) ＝ a
n＋1＋1
n ＋2
− 3 a n ＋1
となるので，
n の代わりに，n ＋ 1 を代入したもの
④ も 等 比 関 数 列 型漸化式 G ( n ＋ 1 ) ＝ 2・G ( n ) になっている。
後は ， ア ッ と い う 間に一般項が求まるんだよ。
a 1 ＋1 ＝ 5
1
③よ り ， a n ＋ 1 − 2 a n ＝ ( a 2 − 2・ a 1 )・3
[ F(n)
＝
F(1)
・ 3
n−1
n−1
＝ ( 5 − 2 )・3
]
n−1
＝3
n
……………③ ´
F ( n ) ＝ a n ＋ 1 − 2 a n の n に n ＝ 1 を代入したもの が F ( 1 ) ＝ a 2 − 2 a 1 だ 。
1＋1
156
1
{
[ G(n)
＝
G(1)
・ 2
n−1
]
……………④´
以上よ り ，
空間ベクトル
a n ＋ 1 − 2 a n ＝ 3 n … … ③´
a n ＋ 1 − 3 a n ＝ 2 n … … ④´ から
③ ´ − ④ ´ を 求 め る と ， a n＋1 − 2 a n − ( a n＋1 − 3 a n) ＝ 3 n − 2 n よ り
− 2a n ＋ 3a n ＝ a n
一般項 a n ＝ 3 − 2
n
n
( n ＝ 1 ，2 ，3 ，… ) が求まるんだ ね 。 面 白 か っ た ?
講義
何 で F ( n ＋ 1 ) ＝ r ・F ( n ) の 形 の 漸 化 式 が 出 来 る ん だ … な ど な ど ， 疑 問 が
次々に 浮 か ん で き て ると思う。これから，詳しく 解 説 し て お こ う 。
( p ，q ：定 数 ) が 与 えられたら，ボク達は，これを 変 形 し て 2 つ の 定 数 α ，
{
β を用 い て ， 次 の 2 つの等比関数列型の漸化式に も ち 込 み た い ん だ ね 。
a n ＋ 2 − α・a n ＋ 1 ＝ β ( a n ＋ 1 − α・a n ) ……( b )
＝ β ・ F ( n ) ]
[ G(n ＋ 1)
＝ α ・ G ( n ) ]
a n ＋ 2 − β・a n ＋ 1 ＝ α ( a n ＋ 1 − β・a n ) ……( c )
この ( b ) ， ( c ) は ， い ずれもまとめると，同じ式：
a n ＋ 2 − (α ＋ β ) a n ＋ 1 ＋ αβ a n ＝ 0 ……( d ) となるの は 大 丈 夫 だ ね 。
p
q 1
x
x2
そして ， こ の ( d ) は ， ( a ) と一致するので，
p ＝ − (α ＋ β ) ， q ＝ αβ となる。ここで
この ( d ) の a n ＋ 2 に x 2 を， a n ＋ 1 に x を，そして a n に 1 を 代 入 す る と ，
特 性 方 程 式 x 2 − (α ＋ β ) x ＋ αβ・1 ＝ 0 ……( e ) が 導 け る ね。 そ し て， こ れ
を解く と ，
( x − α ) ( x − β ) ＝ 0 よ り， x ＝ α ，β となる。
つま り ( d ) ， す な わ ち ( a ) から導いた特性方程式 ( 2 次 方 程 式 )( e ) は ，
157
確率分布と統計的推測
一般に ， 3 項 間 の 漸 化 式 a n ＋ 2 ＋ p a n ＋ 1 ＋ q a n ＝ 0 ……( a ) ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，… )
数列
で も ， 今 キ ミ 達 の 頭 の 中 で は， 3 項 間 の 漸 化 式 の 特 性 方 程 式 っ て 何 ！?
[ F(n ＋ 1)
1
2
3
4
平面ベクトル
a 1 ＋1 ＝ 5
④より ， a n ＋ 1 − 3 a n ＝ ( a 2 − 3・ a 1 )・2 n − 1 ＝ ( 5 − 3 )・2 n − 1 ＝ 2 n
講義
たま た ま だ け れ ど ， F ( n ＋ 1 ) ＝ β F ( n ) …( b ) と G ( n ＋ 1 ) ＝ α G ( n ) …( c ) を
3
3
3
3
3
3
3
3
作る の に 必 要 で 大事な定数 α ，β を解にもつ方 程 式 に な る ん だ ね 。
これ で 謎 は す べ てクリアになったと思う。
それ で は ， 次 の 練習問題で実践練習しておこう 。
33 項間の漸化式
項間の漸化式
練習問題 34
1
CHECK
2
CHECK
3
CHECK
次の 漸 化 式 を 解 け 。
( 1 ) a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 7 a n
＋2
− 7 a n＋1 ＋ 1 2 a n ＝ 0
( n ＝ 1 ，2 ，3 ，…)
( 2 ) a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 a n
＋2
− 2 a n＋1 − 3 a n ＝ 0
( n ＝ 1 ，2 ，3 ，…)
3 項 間 の 漸 化 式 の 問 題 な の で， a n ＋ 2 に x 2 を， a n ＋ 1 に xを ， a n に 1 を 代 入 し た 特 性 方 程
式 を 解 い て ， そ の 解を使って等比関数列型の 漸 化 式 を 2 つ 作 れ ば い い ん だ ね 。 後 は
ア ッと い う 間 に 解 けるからね。
(1) a1 ＝ 1，a2 ＝ 7
a n ＋ 2 − 7 a n ＋ 1 ＋ 1 2 a n ＝ 0 ……① ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，…) と お く 。
x2
{
{
x
1
① の 特 性 方 程 式： x 2 − 7 x ＋ 1 2 ＝ 0 を解い て ，
( x − 3 )( x − 4 ) ＝ 0 ∴ x ＝ 3 ， 4
こ の 解 3 と 4 を 用いて，①を変形すると，
a n ＋ 2 − 3・a n ＋ 1 ＝ 4 ・( a n ＋ 1 − 3・a n )
[ F ( n ＋ 1 )
＝ 4・
F ( n ) ]
[ G ( n ＋ 1 )
＝ 3・
G ( n ) ]
a n ＋ 2 − 4・a n ＋ 1 ＝ 3・( a n ＋ 1 − 4・a n )
よって，
7
1
a n ＋ 1 − 3 a n ＝ ( a 2 − 3 a 1 )・4 n − 1
[ F ( n )
＝ F ( 1 ) ・4
n−1
7
1
a n ＋ 1 − 4 a n ＝ ( a 2 − 4 a 1 )・3
[ G ( n )
158
＝ G ( 1 ) ・3
アッ !
]
n−1
n−1
]
という間
{
n
n
a n ＋ 1 − 4 a n ＝ 3 ……③ より，
n
n
② − ③ を 求 め て ，一般項 a n ＝ 4 − 3 ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，…) と な る 。
(1) a1 ＝ 1，a2 ＝ 2
x
①の 特 性 方 程 式 ： x 2 − 2 x − 3 ＝ 0 を解いて，
( x − 3 )( x ＋ 1 ) ＝ 0 ∴ x ＝ 3 ， − 1
この 解 3 と − 1 を用いて，④を変形すると，
a n ＋ 2 − 3・a n ＋ 1 ＝ − 1・( a n ＋ 1 − 3・a n )
[ F ( n ＋ 1 )
＝ − 1・
[ G ( n ＋ 1 )
＝ 3・
an＋2−(−1)an＋1＝3・{an＋1−(−1)・an}
F(n) ]
a n ＋ 2 ＋ 1・a n ＋ 1 ＝ 3・( a n ＋ 1 ＋ 1・a n )
よっ て ，
2
G(n) ]
1
a n ＋ 1 − 3 a n ＝ ( a 2 − 3 a 1 )・( − 1 )
[ F ( n )
＝ F ( 1 ) ・( − 1 )
2
1
a n ＋ 1 ＋ a n ＝ ( a 2 ＋ a 1 )・3
[ G(n)
∴
{
＝ G ( 1 ) ・3
アッ !
n−1
n−1
講義
]
という間
n−1
n−1
]
a n ＋ 1 − 3 a n ＝ ( − 1 ) ……⑤
a n ＋ 1 ＋ a n ＝ 3
n
n
…………⑥ より，
n
n
⑥ − ⑤から，4an ＝ 3 − (− 1)
1
4
n
n
よっ て ， 求 め る 一般項 a n は， a n ＝ − { 3 − ( − 1 ) } ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，…)
とな っ て ， 答 え だ。面白かった ?
講義
確率分布と統計的推測
{
1
数列
{
空間ベクトル
a n ＋ 2 − 2 a n ＋ 1 − 3 a n ＝ 0 ……④ ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，…) と お く 。
x2
1
2
3
4
平面ベクトル
∴
a n ＋ 1 − 3 a n ＝ 4 ……②
以上 で ， 数 列 の 漸 化式の講義も終了です！ エッ ， 骨 が 折 れ た っ て ！?
そうだね。特に，今日の講義は内容満載だったからね。だから， 1 回で理解
しようと気負う必要はないよ。 2 回， 3 回…と繰り返し練習してマスターし
ていこう！
では， 次 回 で 数 列 も 最終回だけれど，みんな元気 で な 。 バ イ バ イ …。
159
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