長井工業高等学校 研究紀要『シグマ２６号』
山形県立長井工業高等学校
数学科
芳賀正明
工業高校での微分積分の指導
今回の寄稿内容は、平成２１年度山形県高等学校教育研究会数学部会研究大会の第２分
科会「数学Ⅱ・B の指導」において発表したものです。
単位数の少ない中で、いかに効率よく本質を指導するか、ということに配慮しています。
今回は特に「数学Ⅱの微分・積分」における実践を報告します。
なお、６＜実際の授業展開＞中における「授業プリント」については紙面の都合上割愛
させてもらいます。ご了承ください。
１
＜本校の概要＞
各学年４学科４クラス１６０人定員の工業高校である。在籍数は下表。（
機械ｼｽﾃﾑ科
電子ｼｽﾃﾑ科
環境ｼｽﾃﾑ科
福祉情報科
）は女子数。
合
計
１学年
３３（０）
４１ （８）
４０ （７）
３５（２８） １４９
（４３）
２学年
４０（０）
３９（１０）
３９（１０）
３９（３５） １５７
（５５）
３学年
３３（０）
３４（１１）
３５（１３）
３８（３４） １４０
（５８）
合
計
１０６（０）
１１４（２９） １１４（３０） １１２（９７） ４４６（１５６）
進路先は例年約６割が就職、残りが専門学校を含めた進学です。ただし、今年度は就職
難のためか就職希望者が５割を切っています。就職先は地元の製造業が中心です。四大進
学は１０数名であり、そのほとんどは推薦入試で進学します。そのうち、国公立大学は地
元山形大学工学部へ１～２名が進学する程度です。
ものづくり活動や各種の資格・検定への取組みでは大きな成果を上げており、今年度、
第３回ものづくり日本大賞文部科学大臣賞を受賞しました。しかし、いわゆる普通教科に
おける学習意欲や能力は決して高いとはいえません。
２
＜本校での数学の教育課程＞
本校では１学年次に数学Ⅰが必修３単位、２・３学年次に数学Ⅱが必修２単位ずつで計
７単位です。数学科の教員定数も２名だけです。近年の進度状況は下記のとおりです。
１学期
２学期
１学年
数と式
三角比と図形（面積～）
３単位
三角比（～拡張）
不等式と方程式
３学期
２次関数（～最大最小）
２次関数
２学年
２単位
（方程式･不等式～）
図形と方程式
図形と方程式
（直線の方程式～
円の方程式）
（～平面上の点）
３学年
２単位
微分積分
就職試験対策
指数対数
図形と方程式
（不等式の表す領域～）
独自教材
単位数そして本校生徒の学習能力をみても、教科書の内容全てを授業することは不可能
であり、指導教材の精選と工夫が必須です。
今回は「微分積分」の単元での精選と効率化について、授業の実践を報告します。
３
＜微分積分の指導に当たって心がけていること＞
① できるだけ具体物を持ち込んで興味や関心を惹くこと、具体的イメージをもたせること。
② 微分と積分の基礎基本の概念、本来の概念をイメージさせること。そのためには教科書
の内容にとらわれないこと。
③ 演習は基礎基本の問題だけに絞り、必要最小限の時間数でこの単元を終える。
④ 学習の到達目標を次のように設定する。
微分での目標・・・３次関数の増減表・グラフを用いて最大値・最小値を判定できる。
積分での目標・・・２曲線間の面積を定積分で求めることができる。
４
＜微分での工夫＞
・ ここでは、「微分」とは時間間隔を「非常に細かく分割して考えること」であることを
理解させ、「瞬間の速さ」を指導する。
・ できるだけ抽象化をさけるため、導関数の公式をまとめる段階まで、
「y´は瞬間の速さ」
として説明を繰り返す。
・ 極限値やその記号については最低限の説明に留める。微分の定義式はあえて指導しない。
したがって、導関数の性質（線形性）についても証明をせず、直感的な説明に留め、導
関数の公式を用いた計算方法の習熟に主眼を置く。
・ 導関数の公式を利用する計算問題も、「速さ」を絡めて出題する。
・ 曲線を非常に細かく分割すると「非常に短い直線のつながり」とみなせることを理解さ
せる。また、
「y´がグラフの傾き、つまり、非常に短い直線の傾き」であることは必ず
接線を図示させて理解を助ける。
・ 最終目標は増減表、３次関数のグラフを理解し、箱の最大容積を求められることとする。
５
・
＜積分での工夫＞
積分を「微分の逆演算」とする導入はしない。積分本来の意味を重視するため、自然
数の和、自然数の２乗の和の公式を利用して、区分求積により積分の導入を行う。
「不
定積分」や「積分定数」については説明しない。
・ 区分求積をもとに積分記号の由来を説明する。面積を「超極細長方形の集まり」として
捉える考え方を強調する。
・ y＝１、y＝X、y＝X２のグラフと X 軸に挟まれた部分のｘ＝０～X の面積を表す式が X、
X２／２、X３／３となること（つまり、不定積分）は、それぞれ長方形の面積公式、三
角形の面積公式、そして区分求積の結果によって納得させる。
・ その後、ｘ＝a～b の面積が、ｘ＝０～b の面積とｘ＝０～a の面積の差であることを通
して定積分の計算方法（不定積分に上端 b と下端 a を代入し、差をとる）を理解させる。
天下り的に「引き算」を押し付けるのではなく、引き算が必然であることを納得させた
い。
・ 積分計算に主眼をおくため、グラフや図は毎回指導者が提示する。関数式を見てグラフ
を自力で描くことはほとんどの生徒が忘れているのが現実。また、面積を求めさせる図
は少しでも区分求積を意識させるために「斜線」でなく「縦線」を入れる。
・ ２曲線間の面積を求める際にも、区分求積（超極細長方形の集まり）の概念を強調して
指導する。つまり、長方形の高さ（縦の長さ）は、上端の点のｙ座標と下端の点のｙ座
標の差であるから、上側の曲線の式から下側の曲線の式を引いてから定積分の計算をす
ればよいことになる。
６
＜実際の授業展開＞
微分１時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№１＞の[１st step]
ねらい
・距離が時間の２乗に比例す
ることの確認。
・刻々と変化する速さの一瞬
学
習
活 動
・ カーテンレールでビー球を転がし、１０、４０、９０、１
６０ｃｍ、･･･の所を通り過ぎる瞬間に手をたたくと等間
隔に聞こえる。
一瞬の速さを求めることが
・ 仮に x 秒後の距離 yｍが y＝x２で表されるとき、x＝２で
当面のテーマであること。
の「瞬間の速さ」を求めるにはどう考えればよいか。
・
「瞬間の速さ」は時間間隔を
・ 等速運動での公式「速さ＝距離÷時間」を思い出す。
狭めて行ったときの「平均
・ 試しに２秒後から３秒後までの「平均の速さ」を求める。
の速さ」の極限であること。 ・ 時間間隔を狭めていくとこの「平均の速さ」がどうなって
・
「微分」とは「限りなく細か
く分割して考えること。ミ
いくかを表にまとめる。
・ 「平均の速さ」が限りなく 4ｍ/s に近づくことを確認し、
クロの世界観」であること
これが２秒後の「瞬間の速さ」であることを理解する。
を強調。
微分２時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№１＞の[２nd step] [３rd step]
ねらい
学
習
活 動
・
「平均の速さ」を求める計算
・ x 秒後の距離 yｍが y＝x２で表されるとき、x＝２での「瞬
を前時の様に何回も繰り返す
間の速さ」を求めるために、２秒後から２＋h 秒後までの
のではなく、１度きりで済ま
「平均の速さ」を求め、その後 h を限りなく０に近づけ
すには時間間隔を文字変数で
ることで、「瞬間の速さ」4ｍ/s が得られることを理解す
表せばよいこと。
る。
・また、時刻を x として同様
・ 極限値の記号 lim を用いて前述の内容を表す。
の計算を行うことで、任意の
・ 極限値の記号 lim を用いて、x 秒後から x＋h 秒後までの
時刻について「瞬間の速さ」
「平均の速さ」の極限値を求める計算を行い、「x 秒後の
が得られること。
瞬間の速さ」を求める。
・ 「x 秒後の瞬間の速さ」を「y´」で表すことにする。
微分３時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№１＞の[４th
ねらい
学
活 動
・ 距離を表す関数が y＝x でなく、y＝x３、y＝x、y＝１の場
２
・微分の公式
（xn）´＝nxn－１
習
step]
をまと
める。
合に「x 秒後の瞬間の速さ y´」を前回と同様に極限値記号
を用いて求める。
・ それらの結果から規則性を発見し、公式としてまとめる。
微分４時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№２＞
ねらい
・導関数の性質
学
習
活 動
・ 左記導関数の性質が成り立つことを直感的に説明（単位時
（kｆ(x）)´＝kｆ´(x）
間当たりの移動距離が k 倍になれば速さも k 倍と考えられ
（ｆ(x）＋g(x）)´＝
る）し、多項式関数の導関数を求める計算練習を行う。
ｆ´(x）＋g´(x）
による、微分の計算。
・ 例題「秒速４０m の速さでボールを真上に投げ上げたとき
の x 秒後の高さｙm は y＝－５x２＋４０x＋２で表される。
最高何 m まで到達するか？」の解法を通して、計算の方法
や考え方を学習する。
・ 同様の投げ上げや落下運動など、速さを絡めた文章題で演
習する。
微分５時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№３＞
ねらい
・導関数の性質を用いた微
分の計算演習。
・専門用語の説明。
学
習
活 動
・ 前時の復習をしながら、
「導関数」
「微分」
「微分係数」など
の用語を初めて説明する。
・ 記号ｆ(x）、ｆ´(x）、ｆ´(a）および変数が x 以外の関数で
の導関数の求め方について説明する。
・ 本時は計算方法の習熟を目的とする演習の時間とする。
微分６時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№４＞
ねらい
・導関数 y´がグラフの接線
の傾きを表すことの理解。
学
習
活 動
・ y＝x２のグラフにおいて、y´＝lim（(x＋h) ２－x２）／h）
という式が接線の傾き（あるいはグラフを直線とみなした
ときの傾き）であることを、教科書と同様に説明。
・
「ミクロの世界観」の強調。 ・ 曲線が「非常に短い直線の集まり」であるという捉え方。
例として百面体サイコロを見せたり、水平線の話や 1 円玉
・接線の求め方の理解。
の縁を顕微鏡で見る話をする。
・ y＝（１／４）x２のグラフの各点における接線の傾きを微分
の公式で求め、接線の方程式を求める。さらに、実際にこ
の接線を図示することで微分係数が傾きに等しいことを確
認する。
微分７時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№５＞
ねらい
・接線の求め方の演習。
学
習
活 動
・ 様々な関数のグラフの接線の方程式を求め、それを図示す
る演習。グラフはあらかじめ描いておく。
・ 直線の方程式を求める公式 y－y１＝m（x－x１）の復習。
微分８時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№６＞
ねらい
学
習
活 動
・導関数 y´の符号により、 ・ 導関数 y´の符号と関数の増減の関係をまとめる。
関数の増減が判断できるこ
・ ２次関数について増減表を作成し、グラフの概形を描く。
と。
微分９時間目
ねらい
学
習
活 動
・身近に３次関数があるこ
・ 教科書の例題「一辺１２ｃｍの正方形の四隅から小さい正
とを知り、増減表を用いる
方形（一辺 xｃｍ）を切り取ってふたのない箱を作るときの
とそのグラフの概形が描け
容積 y の最大値」を微分で解決する。増減表をもとにグラ
ること。
フの概形を把握させ、３次関数の存在を知らせる。
・ 事前に、実際に x＝１，２，３，４，５ｃｍの場合の箱を見
せ、直感で最大容積の箱を生徒に尋ねてみると、ｘ＝３が
多数派になる。実際は x＝２で最大なので、直感を裏切る結
果となる。
微分１０時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№７＞
ねらい
学
習
活 動
・３次関数の増減表を作り、 ・増減表の作り方、グラフの描き方の復習をしながら、「極値」
そのグラフの概形を描く演
や「極大・極小」の説明をする。
習。
・プリントでの演習。ただし、誘導形式にして、増減表の枠や
グラフの軸等もあらかじめ示しておく。
・x３の係数によって増減の順序が決まることや増減の速さが非
常に大きいことなどに気付かせたい。
微分１１時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№８＞
ねらい
学
・増減表で最大・最小の応
習
活 動
・ 箱作りの問題の類題を演習する。やはり、誘導形式のプリ
用（文章）問題を解決する。
ントで演習する。
・ あえて定義域には触れない。増減表やグラフを描いた後で
考えさせる程度にする。
積分１時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№９＞の①②③
ねらい
・自然数の和、自然数の
２乗の和の公式を知る。
学
習
活 動
・ ガウスの逸話を題材に自然数の和１＋２＋３＋･･･＋１００を
考えさせる。生徒は様々な考え方で答えてくれる。
・ ○を三角形状に並べた図を用いて、１＋２＋３＋…＋１０の和
を求める。同様にして、１＋２＋３＋…＋n の和が n（n＋１）
／２となることを理解する。
・ ソフトテニスのボールをピラミッド状に４段重ね、ボールの個
数の和を問う。この和が１２＋２２＋３２＋４２で表されることを
確認する。この和を、①を１個、②を２個、③を３個、④を４
個三角形状に積み上げた図中の数の総和とみて、この図を３枚
重ねた図を利用して和を求める。これと同様にして、１２＋２２
＋３２＋…＋n２の和が n（n＋１）
（２n＋１）／６となることを
理解する。
・ 上記２つの和の公式を用いた演習問題を行う。
積分２時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№９＞の⑤
ねらい
学
習
活 動
・ 区分求積法により、 ・y＝x のグラフと直線 x＝１および x 軸とで囲まれた図形の面積 S
２
面積を求める。
を多数の長方形の面積の総和として近似する。まず、x 軸の０か
ら１の間を１０等分して、この図形に外接する１０個の長方形を
・「積分」とは「非常に
作る。これらの面積の和 S10 を、前時の数列の和の公式を用いて
細かく分割したものを
求めると０．３８５になる。
総合する考え方」
・分割数を多く（長方形の横幅を小さく）すれば、誤差が小さくな
ること。分割数を文字 n で表し、長方形の面積も n の式で表して
から n に具体値を代入すればよいことを知る。
・同様に n 等分して n 個の長方形の面積の和 Sn を求めると、（n＋
１）
（２n＋１）／６n２となる。n＝１００、１０００、１０００
０とすると Sn＝０．３３３３３…となる。式変形をしながら Sn
→１／３、つまり S＝１／３であることを理解する。
積分３時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№１０＞の⑥
ねらい
学
習
活 動
・放物線と x 軸との間の ・ボール紙で上記の図形を３枚、１辺１の正方形を１枚作り、上皿
面積は長方形の１／３
天秤に載せると釣り合うことで、面積 S が正方形の１／３である
であることを理解する。
ことを再度確認する。さらに、一般に横 x、縦 x2 の長方形の面積
x３が放物線によって３等分されることを同様の教具で確かめる。
・y＝x２のグラフと直線 x＝１および x 軸とで囲まれた図形の面積 S
∫0１
・区分求積法の考え方を
を、無数の超極細長方形の面積の総和と考え、この面積を
もとに積分記号を説明
x２
する。
が長方形１個分の面積、∫は合計 sum の頭文字Ｓを引き伸ばし
dx
と表すことを知る。（x２は長方形の縦、dx は横、x２dx
たもので無数の長方形の面積の総和を意味する。）
・A4 コピー用紙の束や分厚い雑誌「蛍雪時代」を利用して、区分
求積法の概念を説明する。
積分４時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№１０＞の⑦
ねらい
・積分(面積)公式
∫0X xn
dx ＝
xn+１／（n＋１）を
理解する。
学
・ ∫0X １
習
活 動
dx は長方形の面積 x であること、∫0X x
dx は
正方形の面積の半分 x２／２であることを図形的に確認する。
前時に確認した∫0X x２
dx＝x３／３と合わせて、規則性が
あることを確認し、この面積を表す式（不定積分）を利用す
れば、面倒な区分求積法に頼らず面積が求められることを理
・積分は微分の逆演算で
あることを知る。
解する。
・ 下端が０であるから、面積の式が x の単項式になることに注
意する。
・ 上端のｘ、被積分関数中の x、積分記号 dx の x の意味の違い
を意識させながら説明する。
・ 面積の式（不定積分）を微分するとグラフの式であること、
つまり、面積を求めること（積分）は微分の逆演算であるこ
とを知る。
積分５時間目・・・別紙授業プリント＜要提出１学期№１０＞の⑧⑨
ねらい
・定積分の定義と計算方
法を知る。
学
習
活 動
・前時の公式（面積を表す式）を利用して定積分の計算方法につ
いて説明する。特に「引き算」の理由付けについて強調する。
（例）∫１４
x２
dx＝∫０４
x２
dx－∫０１
x２
dx＝４３／３
－１３／３であることを図で理解させる。そして、この引き算
の部分を［x３／３］14 という記号で表すこととする。
・同様の∫ab xn
dx（n＝０，１，２）のタイプの問題を演習。
積分６時間目・・・別紙授業プリント＜要提出２学期№１＞
ねらい
・ｆ(x)が多項式の時の面
積∫ab ｆ(x)
dx を求め
学
習
活 動
・ ｆ(x)が多項式となっても積分(面積)公式を各項に応用すれば
よいだけであることを説明。つまり、
∫abkf（x）dx＝k∫abf（x）dx
る。
∫ab {f（x）＋g（x）}dx＝∫ab f（x）dx＋∫ab g（x）dx
・ その際、やはり、超極細長方形の集まりであることをイメー
ジして説明する。つまり、長方形の縦が k 倍になれば面積も
k 倍になる、２つの長方形を縦につなげば面積は２つの長方
形の和になるということ。
・プリントで演習。ただし、図はあらかじめ描いておく。面積を
求める図には斜線でなく縦線を数多くひいて区分求積のイメ
ージを常に持たせる。
積分７時間目・・・別紙授業プリント＜要提出２学期№２＞
ねらい
学
習
活 動
・定積分の計算練習。面
・ プリントで定積分の計算演習。
積と限定せず、定積分が
・ ［
負になる場合も扱う。
］ab の中に入る不定積分を公式により形式的に求めら
れるようになるための演習。
・ 上端下端を代入後の分数の和差計算の要領にも触れる。
・ 定積分の値が負になる場合について生徒から疑問が出るの
で、探求の場面とする。
積分８時間目・・・別紙授業プリント＜要提出２学期№３＞
ねらい
・２つのグラフの間の面
積を求める。
学
習
活 動
・超極細長方形の集まりと考える。その中の１個の長方形に注目
したとき、縦の長さが長方形の上端の y 座標と下端の y 座標の
差であることから、２つのグラフの式の差をとってから定積分
すればよいことを理解する。
・プリントで演習。あらかじめ図を示す。さらに誘導形式にして
計算方法を身につけさせる。
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