1 string 勉強会 (2015/9/8,16) のまとめ

1 string 勉強会 (2015/9/8,16) のまとめ
まとめの内容
• 3.2.4 節「ゴースト座標の bosonization」について
– 対応関係
– 利便性 1
– world-sheet が 1 方向に有限であるとき
– 利便性 2
• 対応関係：ゴーストとボソン (右巻き成分) の対応関係は
c+ (σ + ) ∼: eiϕ
+
(σ + )
:, b++ (σ + ) ∼: e−iϕ
+
(σ + )
:
(3.2.79)
である。これらは
– 同じ運動方程式を満たし、
– 同じ相関関数を与え、
– 同じ反交換関係を満たす。
– ゴーストの個数カレントはボソンの並進カレントと一致する。(ゴースト保存
則とボソン並進対称性は同じである)
– ゴースト共役 b ↔ c とボソンの符号反転は同じである。
• 利便性１:ゴースト数保存の k 依存性 · · · ゴーストのエネルギー運動量テンソル
(3.2.54) を bosonization したものを与えるようなボソンの作用は
∫
√
1
i
Sk = −
d2 σ h(∂α ϕ∂ α ϕ − kR(2) ϕ)
2π
2
(3.2.92)
となり、曲がった時空で k ̸= 0 な場合にはゴースト数は保存しない。これをゴース
トのみで確認しようとすると 1-loop 計算をしないといけないので bosonization し
たほうが見やすい
• world-sheet が 1 方向に有限であるとき:周期境界条件 0 ≤ σ ≤ 2π でボソンの解
から、
ϕ+ (σ) = ϕ0 + σp0 + i
∑1
ϕn e−inσ
n
(3.2.93)
n̸=0
であり、p0 がゴースト数演算子になっている。c, b の bosonization でゴーストに
対して周期境界条件を課すと p0 (ゴースト数) は半整数でなければならない。これ
1
は 3.2.1 節の物理的な基底状態のゴースト数の議論と重なる部分である。もしゴー
ストに反周期境界条件を課すと p0 は整数になる。
• 利便性 2:ゴーストの normal ordering 定数の決定 · · · normal ordering 定数を含
∫ 2π
んだ Hamiltonian H = 0 dσT++ を考える。ボソンのものとゴーストのものは
一致するからすでに定数が分かっているボソンから、ゴーストの定数がもとまる。
これは p0 が整数、半整数のどちらであるかに依存する。
– 半整数の時、ゴーストは周期的でゴースト 1 つあたりの定数は +1/24 になる。
– 整数の時、ゴーストは反周期的でゴースト 1 つあたりの定数は −1/48 になる。
2

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