完全対策難関大・医大の整数問題の極意

整数問題なんかこわくない！
12パターン完全解説、別解満載！
ライバルを置き去りにする１冊！
完全対策
難関大・医大の
整数問題の極意
第1章因数分解・判別式と互除法と
不等式で解く整数問題
第2章計算で解けるさまざまな整数問題
第3章約数・倍数と素数の問題
第4章整数についての証明問題
第5章二項係数・多項係数にかかわる
整数問題
はじめに
●2015年に難関大・医大で出題された整数問題
今までの整数問題は応用問題・総合問題でした。高校数学の教科書の中に、
整数問題に関する記述はほとんどなく、何もないからこそ、真の数学力を測る
ことができました。しかし、新課程から数 A に整数の章が設けられた結果、以
前よりは準備しやすくなった反面、整数問題で真の数学力を測ることはむずか
しくなったと思います。しかしながら、難易度も出題頻度もたいして変わって
いません。2015 年には次のような問題が出題されています。
○組合せ記号が偶数になる最小の整数を求める問題（2015年東大理科5）
一般的には難問として評価されていますが、泥臭い答を考えれば、そんな
にむずかしい問題ではありません。
○２次式・３次式の整数命題の真偽を判別する問題（2015年東大文科1）
従来通りのレベルの、地道に考えれば解ける問題です。
○３次式が２次式で割りきれるかどうかの難問
（2015年京大理5文5）
この問題には色々な解法がありますが、どの考え方をとっても、かなりむ
ずかしい問題だと思います。
○最大公約数と最小公倍数の問題
（2015年東工大5）
そうむずかしい問題ではないのですが、なじみが薄い問題であり、難問の
部類に入ると思います。
○無理数の１次結合の問題
（2015年阪大理系3）
これは驚くほどやさしい問題です。
○整数との最大公約数が1の整数の個数の問題
（2015年一橋大1）
かなりの難問です。
○領域の表示と格子点の個数の極限値の問題
（2015年慈恵医大3）
慣れてさえいればやさしい問題です。格子点の個数の問題は整数問題とい
うよりは数列の問題を考えてよいでしょう。
○ユークリッド互除法の問題
（2015年センター数IA5）
2015 年唯一のユークリッド互除法の問題でした。
●整数問題は12種のパターンに分類できる
「整数問題」を苦手とする受験生諸君は多いと思うのですが、その原因は「ど
の方法を使えばよいのかわかりにくい」という点です。だからこそ、公式一辺
倒では解けない問題を出してくるわけです。
参考書の歴史も浅いため、あまりわかりやすいものもありません。あったと
しても「問題集」にすぎず、分類も不十分で、とてもわかりやすいといえるも
のではありません。
整数問題は、大きく３つに分類できます。
● 計算して解ける整数問題…これは簡単な部類の問題に属します。
● 証明が面倒な問題…一般的には手ごわい問題が多いようです。
● 他の分野との複合問題…これにはさまざまな難易度の問題があります。
特に、計算して解ける整数問題はやさしい問題です。この種の問題は、取り
こぼさないで得点する必要があります。
このような分類を元にして本書では、整数問題を次のように「12 のパターン」
に分類しました。
●計算で解ける整数問題
前半の６つのパターンは計算で解ける整数問題です。
[1] 不定方程式や不等式の問題（第1章）
本来は解けない問題を、整数という条件を適用して解く問題です。もっとも
代表的なものといえましょう。それぞれの場合に対して、やはりかならずパター
ンやテクニックがあります。場合によっては組み合わせることもあります。こ
れで解けない問題は少しむずかしくなります。
[2] ユークリッド互除法と２元１次の不定方程式の問題（第1章）
数 A に登場したユークリッド互除法を使う問題も今後頻出でしょう。これら
は第 1 章にまとめます。
方程式・不等式以外、
「約数の数と合計」の問題以外の計算可能な問題は、お
おむね第 2 章にまとめました。
[3] 桁ごとの数を未知数とおいて求める（第2章）
各桁の数を求める問題ですが、多くは計算問題であり、解きやすい問題です。
[4] 剰余類を利用して解く（第2章）
計算できるなら証明は容易です。剰余類はその最大の武器です。
[5] 新記号問題としての整数問題（第2章）
ガウス記号などの新記号問題は、既習の数学とどう関係づけるかが課題です。
約数・倍数・素数の問題は、「約数の数と合計」の問題を含めて第 3 章にまと
めました。本章の前半は計算問題、後半は証明問題です。
[6] 約数の数と合計の問題（第3章）
計算できるなら証明は容易です。約数の数と総計の計算は公式を利用します。
●証明が必要な整数問題
一部計算問題もありますが、後半の６つのパターンの多くは普通の論証や数
学的帰納法や背理法などを利用して解く、若干むずかしい問題です。約数・倍数・
素数は第 3 章、それら以外の証明問題は第 4 章に収録します。
[7] 約数・倍数・素数の総合問題（第3章）
約数・倍数・素数の性質を使って解く問題もあります。
[8] 「隣り合う整数は互いに素」の定理を使う（第3章）
証明問題が多く、結構厄介な問題です。
[9] 多項式の整数性などの問題（第3章）
多項式の整数性や複素数解に関する問題は、整数問題の中の大きな分野です。
[10] 多項式の割り算の問題（第3章）
多項式の割り算は、整数問題の中の大きな分野です。割り算を実際に実行した
り、因数定理を利用したりして解きます。
約数・倍数・素数に関する以外の証明問題は第 4 章にまとめました。
[11] 数学的帰納法を使って証明する（第4章）
正面切って解けない問題や、整数 n の絡んだ問題はこれで解ける場合があり
ます。
[12] 背理法を使って証明する問題（第4章）
有理数・無理数の問題など、整数 n が出てこない証明問題の大半は背理法を使っ
て証明します。
●二項係数・組合せ記号や二項定理・多項定理にかかわる問題（番外編）
整数問題と融合された二項係数・組合せ記号や二項定理・多項定理にかかわ
る問題も多く、これらの問題は、上の 12 パターンが使いこなせれば、そうむず
かしい問題ではありません。これらの問題を第５章にまとめます。
●本書の内容と難易度
本書では、数 A のみならず、すべての分野で登場する整数問題を一括してあ
つかいます。また本書は、
「すべての入試問題」を収録する「完全対策シリーズ」
に属するもので、
「難問」は特に詳しく解説しています。ただし、余りにも難問で、
再度の類題の出題がなかなか考えられない問題は割愛しました。
●本書の構成
したがって本書の構成は次のようになります。
○第1章：因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
もっとも解きやすい、整数方程式や整数不等式の問題の解法を解説します。
座標空間で考えるなら、x 座標や y 座標が整数の格子点について考える、計算で
解ける整数問題です。
○第２章：計算で解けるさまざまな整数問題
桁ごとの数を未知数とおいて求める問題、剰余類を利用して解く問題やガウス
記号問題の解法を解説します。これらも計算で解ける整数問題であり、多くは
証明問題よりやさしい問題です。
○第３章：約数・倍数と素数の問題
約数・倍数・素数の総合問題の他、「隣り合う整数は互いに素」の定理を使う
問題や、多項式の整数性や割り算の問題は第３章にまとめました。前半は計算
で解ける整数問題、後半は約数・倍数・素数にかかわる証明問題です。
○第４章：整数についての証明問題
前章までに紹介できなかった、主として約数・倍数・素数以外の事項にかか
わる整数の証明問題です。整数 n にかかわる数学的帰納法による証明問題や、
有理数・無理数にかかわる背理法による証明問題などです。
○第５章：二項係数・多項係数にかかわる整数問題
二項係数・組合せ記号や二項定理・多項定理にかかわる問題は本章にまとめ
ました。したがって、整数問題とはいえない問題も若干含まれます。これらの
事項の総合的理解を深めてください。
本書により、受験生諸君が 1 つの大きな武器を手にされることを祈願します。
2015 年６月
著者
CONTENTS
第１章　因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
1.1　不定方程式の解法と例題
●不定方程式の解法
●１次の不定方程式の解法と例題
《基本例題1.1》（2元１次の不定方程式）
●２次の不定方程式の解法と例題
《基本例題1.2》（2元2次の不定方程式）
●平方根が整数の例題
《基本例題1.3》（平方根が整数の問題…その1）
《基本例題1.4》（平方根が整数の問題…その2）
●1次と2次の不定方程式の入試問題
《入試問題1.1》2001立命館大、新作問題、2001立命館大
●３次の和の不定方程式の入試問題
《入試問題1.2》2005年京大文理共通
《入試問題1.3》2009年一橋大
《入試問題1.4》2013年一橋大
1.2　少し面倒な整数方程式の問題
●3次の積と和の整数方程式の問題
《入試問題1.5》2004年東京女子大
《入試問題1.6》2006年東大文理共通
●素数条件を利用して解く不定方程式
《入試問題1.7》2002年京大理系
●整数方程式の解の数と確率の問題
《入試問題1.8》2013年日大／医
1.3　分数形式の不定方程式
●和が１の問題
《入試問題1.9》1998甲南大、2001年神戸薬大、2004明治薬科大、2008年東北学院大
●積が定数の問題
《入試問題1.10》2011年一橋大
《入試問題1.11》2010年阪大理系
1.4　ユークリッドの互除法と一次不定方程式の解法
●ユークリッドの互除法とは何か
●ユークリッドの互除法の証明
●ユークリッドの互除法による最大公約数の計算
《基本例題1.5》（ユークリッドの互除法）
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2
2
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●ユークリッドの互除法による一次不定方程式ax+by=dの解法
●ユークリッドの互除法による一次不定方程式ax+by=cの一般解
1.5　ユークリッドの互除法と不定方程式の問題
《基本例題1.6》（ユークリッドの互除法）
《入試問題1.12》1998お茶の水女子大
●ユークリッドの互除法を基礎とする不定方程式の問題
《基本例題1.7》（ユークリッドの互除法と不定方程式の問題）
《入試問題1.13》2015年センター入試数IA
1.6　整数不等式の問題
●座標で考えて解ける問題
《基本例題1.8》（2元2次の不定不等式）2004年慶応大／総合政策
●２次不等式の解の数を数える問題
《基本例題1.9》（１元2次の不定不等式）2008年一橋大
《入試問題1.14》2012年慈恵医大
●多元１次不等式の解を求める問題
《基本例題1.10》（３元１次の不定不等式）2002年京大文系
●微分も利用する入試問題
《入試問題1.15》2015年東大文科
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第2章　計算で解けるさまざまな整数問題
2.1　桁ごとの数を未知数とおいて解く問題
●計算で解ける整数問題
●桁ごとの数から得られる常識
●桁ごとの数を未知数とおいて解く例題
《基本例題2.1》（2桁の整数を求める問題）
《基本例題2.2》（2桁の自然数を求める問題）2011年関西大理系
《入試問題2.1》2007年東大文科
《入試問題2.2》2004年東大理系
《入試問題2.3》2007年東京女子大
2.2　剰余類を使って解く問題
《基本例題2.3》（6の倍数であることの証明）
《入試問題2.4》2001年京大文系
《入試問題2.5》2013年阪大理系
《入試問題2.6》2004年早稲田大／政経
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CONTENTS
《入試問題2.7》2014年京大理系
《入試問題2.8》2008年神戸大文系
2.3　ガウス記号の例題
●ガウス記号の基礎問題
●ガウス記号の基礎例題
《基本例題2.4》（ガウス記号を使った方程式）
《基本例題2.5》（ガウス記号の総合問題）
《基本例題2.6》（ガウス記号の極限値の問題）
2.4　ガウス記号が使われた整数問題の入試問題
《入試問題2.9》2009年早稲田大／理工
《入試問題2.10》2014年早稲田大／商
《入試問題2.11》2011年北大理系
《入試問題2.12》2012年東工大
2.5　ガウス記号が使われたさまざまな融合問題
《入試問題2.13》2007年上智大／理工
《入試問題2.14》2007年早稲田大／商
《入試問題2.15》2000年阪大理系
《入試問題2.16》2015年東京医科歯科大
《入試問題2.17》2011年東大文科
《入試問題2.18》2008年東大理科大
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70
70
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第3章　約数・倍数と素数の問題
3.1　計算で解ける約数・倍数の問題
●約数の数と合計の問題
●計算で解ける約数・倍数の例題
《基本例題3.1》（約数の数と総和を求める問題）2004年明大／政治経済
《入試問題3.1》2006年東京理科大／理工
《入試問題3.2》2008年早稲田大／商
《入試問題3.3》2011年早稲田大／商
《入試問題3.4》2010年広島大理系
《入試問題3.5》2012年一橋大
3.2　完全数の問題
●完全数、過剰数、不足数とは何か
●友愛数は２つの自然数の組
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●完全数とメルセンヌ素数
●メルセンヌ素数と完全数の関係
《入試問題3.6》2000年佐賀大
《入試問題3.7》2007年千葉大理系後期
3.3　階乗に含まれる素数の問題
●ル・ジャンドルの定理
●ル・ジャンドルの定理の例題
《基本例題3.2》（階乗に含まれる2の個数の問題）2008年早稲田大／教育
《基本例題3.3》（末尾に続く０の個数の問題）
●ル・ジャンドルの定理の入試問題
《入試問題3.8》2009年東大文科
3.4　素数についての問題
●素数問題の例題
《基本例題3.4》（因数分解を利用する問題）2001年千葉大理系後期
《基本例題3.5》（双子素数の間の整数）
●素数問題の入試問題
《入試問題3.9》2007年京大文理共通
《入試問題3.10》2014年一橋大
3.5　倍数・約数についての問題
《基本例題3.6》（自然数を約数と最大公約数の積で表す問題）
《入試問題3.11》2015年東工大
《入試問題3.12》2014年東工大
《入試問題3.13》2010年一橋大
《入試問題3.14》2012年阪大理系
3.6　「隣り合う整数は互いに素」で解く問題
●「隣り合う整数は互いに素」の証明
●「隣り合う整数は互いに素」で解く例題
《基本例題3.7》（隣り合う整数は互いに素」を利用する問題）
●数式の割り算の入試問題
●「隣り合う整数は互いに素」を利用する入試問題
《入試問題3.15》2005年東大理科・文科共通
《入試問題3.16》2012年東大理科
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CONTENTS
第4章　整数の数式についての証明問題
4.1　数式の性質を証明する問題
●数式の整数性を証明する例題
《基本例題4.1》（3次関数の整数性を示す問題）2011年新潟大／医
《入試問題4.1》2007年東大理科
●方程式の複素数解に関する入試問題
《入試問題4.2》2010年一橋大
《入試問題4.3》2012年順天堂大／医
4.2　数式の割り算の問題
《基本例題4.2》（実際に割り算を行って解く問題）
《入試問題4.4》2014年自治医科大
《入試問題4.5》2002年東大文理共通
《入試問題4.6》2013年京大文系
《入試問題4.7》2013年京大理系
《入試問題4.8》2015年京大文理共通
4.3　数学的帰納法を使うその他の証明問題
《入試問題4.10》2013年東工大
《入試問題4.11》2013年静岡大理系、1994年東工大後期他
4.4　有理数・無理数の証明問題
●平方根が無理数であることを証明する例題
《基本例題4.2》（無理数であることを証明する問題）
《入試問題4.12》2015年阪大理系
《入試問題4.13》2012年京大理系
《入試問題4.14》2007年佐賀大文系
《入試問題4.15》2007年佐賀大文系
《入試問題4.16》新作問題
《入試問題4.17》新作問題
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第5章　二項係数・多項係数にかかわる整数問題
5.1　二項係数の問題
●二項定理・二項係数と整数問題
●二項定理・二項係数に関する例題
《基本例題5.1》（二項定理の証明）
《基本例題5.2》（二項係数の計算問題群）
●二項定理・二項係数に関する入試問題
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168
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《入試問題5.1》2010年佐賀大文系
《入試問題5.2》2005年・2013年横浜市大／医
5.2　組合せ記号や二項係数が登場する整数問題
●組合せ記号が登場する整数問題の例題
《基本例題5.3》（二項係数が自然数であることの証明）
●組合せ記号が登場する整数問題の入試問題
《入試問題5.3》2006年早稲田大／政経
《入試問題5.4》2009年東大文理共通
《入試問題5.5》2015年東大理科
5.3　整数・自然数の多元一次不定方程式の解数の問題
●整数を分割する不定方程式の解の数
●重複組合せの公式
●整数を分割する不定方程式の解の数
●整数・自然数の不定方程式の解の数の例題
《基本例題5.4》（整数・自然数の不定方程式の例題）
《入試問題5.6》2006年東京医科歯科大
5.4　多項定理の問題
●三項定理の証明
《基本例題5.5》（三項式の係数を求める例題）2013年北里大／医
《基本例題5.6》（四項式の係数を求める例題）1991年関西学院大
《入試問題5.7》2013年岩手大文系
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第１章
因数分解・判別式
と互除法と
不等式で解く
整数問題
を絞り込み、条件を満たす整数を探します。もっとも考えやすい解法です。
●不定方程式の解法
整数方程式は一般的に「不定方程式」と呼ばれる、方程式の数よりも未知数
の数が多い方程式として出題されます。一般的に、方程式の数と未知数の数が
同じ場合にはかならず方程式の解が定まりますが、方程式の数が未知数の数が
より少ない場合は、解が１つに定まりません。しかしここで「解が整数」とい
う条件があれば整数解が定まることがあります。そしてその解の数は多くは複
数になります。
整数問題が不定方程式に帰着できる場合には比較的簡単な問題です。同様に
不等式の場合も、得られる範囲から整数解が得られます。不定方程式を解く場
合には、多くは次のいずれかの手法を利用します。
(1) 値の範囲や倍数性などを調べる
(2) 因数分解・素因数分解で解く
(3) 座標平面上で考える
(4) 判別式を利用する（楕円に便利）
(5) 平方和・平方差に変形する（双曲線に便利、因数分解・素因数分解に持ち込む）
(6) ユークリッドの互除法を利用する
●１次の不定方程式の解法と例題
１次の不定方程式の問題では、値の範囲や倍数性などから解くか、座標平面
上で考えるか、ユークリッドの互除法を利用して解きます。
《基本例題1.1》
（2元１次の不定方程式）
x+2y=10 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
解題
x+2y=10 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
y
2 元 1 次の不定方程式を満たす自然数を求めるには、次の５つの方法がありま
y
2
す。今後もっと複雑な問題を解く準備のため
5
に、本問でこれらすべての解法を解説します。 5
本問で「どんな解き方があるのか」「どの解
き方がわかりやすいか／思いつきやすいか」
x
を学んでください。
O
10
(1) 範囲を絞って調べ上げる
O
自然数が正であることから不等式で範囲
10
x
(2) xy平面で考える
自然数が実数であることから方程式を座標平面上の直線で表し、条件を満た
す整数を探します。解が他にないことが実感できます。
(3) 移行して両辺の因数を調べる（少し手間がかかる）
移行して両辺を積の形に整理し、数因数がどの文字に含まれているかを考え
て解きます。
(4) ユークリッドの互除法を使って解く
新課程で取り入れられた解法であり、方程式が1次の場合に適用できます。
ユークリッドの互除法に関しては、P.■で再度詳しく解説します。
(5) クッタカの方法を使って解く
(3)に似た方法であり、これを使う解法も考えられます。
解法1 不等式で範囲を絞り込む
x と y=5-x/2 が自然数であることから、x が正の偶数であることと、5-x/ 2 ≧ 1（x
≦ 8）であることがわかり、したがって、x=2、4、6、8 となります。これらに対し
て y=4、3、2、1 となり、解は (2,4)、(4,3)、(6,2)、(8,1) となります。
解法2 座標平面上で解く
本問の関係式は直線上の一部の点を表しているので右図が描けます。この直
線上で、両座標とも自然数の格子点は (2,4)、(4,3)、(6,2)、(8,1) の４つだけです。
解法3 移行して両辺の因数を調べる
本問に適用するにはあまり一般的ではない解法ですが、もっと難しい問題で
使うことがあるので、やさしい本問に適用してみます。最初の関係式は、共通
な係数に着臆して、次のように変形できます。
x+2y=10 ⇔ 2(y-5)=-x
すると右辺の係数 -1 と左辺の係数 2 は互いに素なので、x は偶数でありかつ
y-5<0 であることがわかり、y は自然数なので y ≧ 1 であることから 1 ≦ y ≦ 4 と
なって、y=1、2、3、4 であり、そのとき x=8、6、4、2 となって解は (2,4)、(4,3)、(6,2)、
(8,1) となります。
解法4 ユークリッドの互除法を利用する
この手法を利用する場合は、まずこの方程式を満たす 1 組の解を見つけます。こ
れは x=2、y=4 が容易に見つかるでしょう。これらの 2 つの関係式の差を取ります。
x+2y=10
2+2・4=10
⇒ (x-2)+2(y-4)=0 ⇒ (x-2)k=2(4-y)k
この関係において、x-2 が 2 の倍数なので、整数 k によって、x-2=2k と表せ
ます。すると、k=4-y と記述できます。したがって、x、y は次の整数の組です。
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
1.1　不定方程式の解法と例題
3
両軸方向：
有限区間の範囲
軸に垂直な方向：
無限の直線の範囲
軸に平行な方向：
半直線の範囲
y
クッタカの方法を使って解く
整数 = 分数の形に変形し、分数の辺が整数になる条件を調べる方法です。
x+2y=10 ⇔ y=5-x/2
左辺は整数なので右辺も整数でなければならず、そのためには整数 t によって
x=2t と書けなければなりません。この関係から、x、y は次の整数の組です。
１
１つの方向：
無限の直線の範囲
もう１つの方向：
２つの半直線の範囲
y
y
解法5
O
x=2t
y=5-t
この解に x、y ≧ 1 であることを適用すると、x=2t ≧ 1 から t ≧ 1、y=5-t ≧ 1 か
ら t ≦ 9 から 1 ≦ t ≦ 4 となります。したがって、x=2、4、6、8 となり、これらに
対して y=4、3、2、1 となり、解は (2,4)、(4,3)、(6,2)、(8,1) となります。
補足
クッタカの方法は、この問題では威力半減であり、x、y の両方に係数がある「方
程式 3x+5y=1 を満たす整数 x、y をすべて求めよ」などのような問題の方が使い応え
があります。この問題に適用してみましょう。
3x+5y=1 ⇔ y=(1-3x)/5
左辺は整数なので右辺も整数でなければならず、そのためには整数 t によっ
て 1-3x=5t と書けなければなりません。この関係を x について解くと、x=(15t)/3=-2t+(1+t)/3 となり、ここで整数 s によって 1+t=3s（t=3s-1、ここでは t の
係数を１にします）
と書けなければなりません。x、y を s で表すと解が得られます。
x=-2(3s-1)+s=2-5s
y=3s-1
クッタカの方法は、このように変数の数だけ置き換えをして解きます。
4
●２次以上の不定方程式の解法と例題
かなり出題が多い２次以上の不定方程式の問題では、整数解は整数である前
に実数なので、当然ながら因数分解や判別式の手法が利用できます。また、実
数であるということは、座標平面で考えてもよいわけで、当然座標平面上での
推測も大きな助けになります。
ただし 2 元 2 次方程式の場合、判別式で得られる範囲は楕円の場合のみ両端
が確定した有限区間が得られて計算が容易になりますが、放物線の場合は区間
は半直線になり、双曲線の場合は区間は２つの半直線になって、それだけでは
x
AB>0
O
x
x
O
AB=0
AB<0
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
x=2k+2
y=4-k
この解に x、y ≧ 1 であることを適用すると、x=2k+2 ≧ 1 から k ≧ -1/2、y=4-k
≧ 1 から k ≦ 3 がわかり、0 ≦ k ≦ 3 となって、この制限から x=2、4、6、8 となり、
これらに対して y=4、3、2、1 となり、解は (2,4)、(4,3)、(6,2)、(8,1) となります。
Ax2+By2 +Cx+Dy+E=0
計算が終わりません。双曲線の場合は、さらに別の方策を考えねばならず、平
方差を完成させて因数分解・素因数分解に持ち込む方が簡単になります。楕円・
双曲線・放物線は、２次曲線の方程式の係数をみて簡単に判別できます。これ
を右頁上段図に示しておきます。なお、この分類では、楕円には空集合が、双
曲線には２直線の場合が含まれます。
また、
「自然数」とある場合は、かならず「自然数は正の整数」という条件を
利用します。さらに、たとえば「２より大きい自然数」などという変わった条件
があったら、「その条件を使わなければ解けない」という場合があります。
《基本例題1.2》
（2元2次の不定方程式）
(1) x 2 ＝ y 2 +12 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
(2) x 2 +4x - y 2 +2y - 2=0 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
(3) 2x 2 +4xy+3y 2 +4x+5y - 4=0 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
解題
y
y
2 元２次の不定方程式を満たす自然数を求めるには、次の４つの方法があります。
3
今後もっと複雑な問題を解く準備のために、本問でこれらすべての解法を解説し
2 3
ます。本問で「どんな解き方があるのか」
「どの解き方がわかりやすいか／思い
( 2,1)
O
x
5
つきやすいか」を学んでください。
-
O
1
x
5
(3) 2x 2 +4xy+3y 2 +4x+5y - 4=0 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
(1) x 2 ＝ y 2 +12 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
(2) x 2 +4x - y 2 +2y - 2=0 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
両辺が因数分解・素因数分解できる形に持っていける場合には、この方法が
もっとも簡単です。因数分解・素因数分解できない場合には、3つの方法が
あります。
(2) xy平面でグラフを描いて考える
与えられた関係式が座標平面上の曲線として表せる場合には、図示して考え
て解くこともできます。方程式の係数を調べると、(1)(2)の問題はAB <0な
ので双曲線を表し、(3)の問題はAB>0なので楕円を表します。
(3) 判別式や平方完成を利用する
整数・自然数は実数なので、図示して解く他に、片方の変数に着目して判別
式を調べる方法や、平方完成する方法があります。ただし、xyのような「交
差項」がある場合には、平方完成する方法は使いにくくなります。
解法1 因数分解・素因数分解で因数を探す
(1)の不定方程式は、因数分解・素因数分解で解けます。文字と定数をそれぞれ一
方の辺に集めるのが定石です。
x2＝y2+12⇔x2-y2＝(x+y)(x-y)=12=1×12、2×6、3×4
右辺が正であり、x+y ≧ 2 より x-y>0 も明らかで、x>y、さらに (x+y) と (x-y)
の積が偶数なので、(x+y) と (x-y) のどちらかが偶数です。さらに範囲を絞り込
むと、y2 ＝ x2-12>1 ⇒ x2>13 ⇒ x ≧ 4 と x の範囲が絞り込めます。
これらを調べたうえで、X ≡ x+y、Y ≡ x-y とおくと、X>Y であってかつ
x=(X-Y)/2、y=(X+Y)/2 であるから、x と y が両方とも自然数であるためには、
X と Y の和も差も偶数でなければならないので、X と Y の奇偶性が一致しなけ
ればなりません。そうすると、
(X,Y)=(12,1)、(6,2)、(4,3)
の中で (X,Y)=(6,2) しかありえません。したがって、
(X,Y)=(6,2) ⇒ (x,y)=(4,2)
となります。
(2)(3)の方程式は因数分解・素因数分解できないので、他の方法を考えます。
解法2 グラフを描いて考える
(1)(2) の曲線は双曲線を表し、グラフを描いて解くことができます。グラフを
描いて解けるなら、他に解がないことがはっきりするので、これ以上ない最良
の解き方かもしれません。(3) の問題では、グラフを描くのはかなり大変なので、
別の方法を考えます。
(1) は次のように整理すると、原点中心の双曲線となることがわかります。こ
れを右頁上段図に示します。
6
y
１
y
(3) 2x 2 +4xy+3y 2 +4x+5y - 4=0 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
y
y
2 3
O
x
3(-2,1)
(1) x ＝ y +12 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
2
2
3
5
2 3
(2) x 2 +4x - y 2 +2y
( x,y )( を求めよ。
2,1)
O - 2=0 を満たす自然数の組
x
-
5
O
1
(3) 2x +4xy+3y +4x+5y - 4=0 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
2
2
O
y
x2
x 2 - y 2 = 12 Þ 2
2
x
2
x - y = 12 Þ
2
-
2
(2 -3) (2= 123)
2
O
x
x
= 12
3
2
(2 3 ) (2 3 )
2 3
x
y
y2
y2
1
(-2,1)
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
(1) 因数分解・素因数分解で因数を探す
5
解は x2 、+
y ≧ 1 の領域に最低
(4,2) ではないか
y 2+
-02 = 01 個あるはずで、それは図から
1
x + 4 x4-x y-2 +
y -22y =
O (5,4)
2
2
と見当がつきます。この点以外考えられるのは、
2
(1) x 2 ＝ y 2 +12 を満たす自然数の組
( x,y ) を求めよ。
yx- 1)であり、これらは
2)1)2 、
( (6,5)
2
2
( x + 2) ( x (+y 2
2
x+
=1
1 = 5 Þ2 ) (y -( 1y)-=1)2 +=42-+
ÞÞ
2) 21 =45-Þ
( x(+
条件を満たさず、それより先は双曲線上の点とその漸近線の間の距離が接近し
2 2 =1
2
(2) x 2 +4x y 2 +2y 2=0 を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
5
( 5 ) (5 5 )
すぎてもう格子点は存在しません。
2
2
2
(3) 2x 2 +4xy+3y
+4x+5y
4=0
を満たす自然数の組
(
x,y
)
を求めよ。
x
y
xx22 y 2 = 122 Þ
= 12
22,1) 中心の双曲線となることがわかります。こ
2 4 x - y +22 y - 22= 0
(2)も次のように整理すると、
x+
+ 4 x - y (+
- 2(2=(302 23y
)
)
2
Dx / 4 = 4y - (- y 2 + 22 y - 2) = y 2 - 2 y +
れを上右の図に示します。
2 6 = ( y - 1)y + 5 ³ 0 2
Dx / 4 = 4 - (- y + 2 y - 2) = y - 2 y + 6 = ( y - 1) + 5 ³ 0
2
2
-
( )
-
-
( )
y 2 - 2 y - ( x2 2 + 4 x - 2) = 0
x2 +
4x - y + 2 y - 2 = 0
y 2 - 2 y - 2x 2 + 4 x - 2 =
0
3
2
2
Dy / 4 = 12+ ( x + 4 x2 - 2) = x 2 + 4 x - 1 ³
x0+ 2) ( y - 1)
(
2
2
3 1) = 2 + 4 - 1 = 5 Þ
ÞD( x +
=1
2) ( y2 2
x - 2 = x + 4x 12 ³-0
y / 4=
( 2,1)
O1+ x + 4
-x4 ± 16 + 4
2
5
5
5
x + 4 x -1 = 0 Þ x =
= -2 ± 5
24 ± 16 + 4
1
2
2
x y1+=
2 O± 5
+
Þ
xx2x+
4 x542x y³
2y=x≧
0=1 の領域に最低=1この場合も、解は
x0、
個あるはずで、それは図から
(1,3)
ì
ï
x
2
1
³
Þ
ï
2
2
ï
ïDx / 4 = 4 - (- y 2 + 2 y - 2) = y 2 - 2 y + 6 = ( y - 1) + 5 ³ 0
ではないかと見当がつきます。この点より先は双曲線上の点とその漸近線の間
x £ -2 - 5 Þ x £ -5 Þ x ³ 1
íì
ï
x ³ 5 -2 2 Þ x ³ 1
ï
ï
2
ï
の距離が接近しすぎてもう格子点は存在しません。
ï
x
³ 12 y - ( x + 4 x ï
y
2 =0
ï
x 2 x)£ -y52 Þ x ³ 1
ï
î2ï
-Þ2 5 Þ
í-x £
y2 =2
12
解法3 x 判別式や平方完成を利用する
2 2 = 12
2
D
= 1y 2+-( x2 y+
=
=10³ 0
xï
y /14Þ
ï=
2 433x=-(2y)+
21x)(3 y+-43x)-
(
)
(
)
( )
-
( )
( ) ( )
x ³1
ï
(2) の問題では、整数は実数なので、判別式か平方差完成を利用します。交差
ï
î2³ 1 Þ y = 3 Þ ( x, y ) =4(1,3
yï
± ) 16 + 4
x + 4 x - 1 =2 0 Þ x =
= -2 ± 5
項がないので、いずれの方法でも解けます。
2 2y - 2 y - 3 = ( y
=
Þ
+
- 3) = 0
1
1
y
2
2x
)(
=
Þ
=
x
2
y
2
y
10
0
x + 4x - y + 2 y - 2 = 0
自然数の組の数が有限なので、
x
、
y
いずれかの範囲が判別式で絞られるはずで
ì
ï
xy³³ 15Þ
x3³Þ
1 ( x, y ) = (1,3)
- 2yÞ
2
2
ï
=
ï
( x + 2) ( y -1) y では範囲が分かれたの
2 2
2
2
す。この問題は最初に手を付けた
x
はすべて実数であり
xï
+
4
x
y
+
2
y
2
=
0
Þ
x
+
y
=
+
=
Þ
=1
2
1
2
4
1
5
) 5(2Þ x )£ -5 Þ x ³ 1
2
2
í x(£ -2 ï
=
Þ
=
x
2
y
2
y
10
0
5
5
2
2
( ) ( ) x が 1 つに絞られます。
で、与式が表す曲線は
+ 4 -1 = 5
(ïïxx+³21) - ( y -1) =y2軸方向に開いた双曲線であり、
ï
ï
î2
ì
xX
- 22y(2³+322) y - 2 2= 0 2
º14Þ
xx +
ï
2+
ïxx=
y -2y 1=
3)Y=)(0X - Y ) = 5
(-y2Y+=
)(0(yX-+
yÞ32X=
í + 4x - y +
2
2
ï
D
/
4
4
y
2
y
2
y
=
+
=
Y
º
y
1
³
0
(
)
) ) 2 y + 6 = ( y -1)2 + 5 ³ 0
ï
îy x³ 1 Þ y2 =(3 Þ ( x, y2 ) = (1,3
(x + 2³) 32-2( y -1) = 2 + 4 -1 = 5
ì
ï
yxX2=-+22YÞ
y -y( x-+
x2) =0 0
ï
y4Þ 2(X
+10
Y ,=
X - Y ) = (5,1) Þ (X , Y ) = (3, 2) Þ (x, y ) = (1,3)
íì
X
º
x
+
2
³
3
ï
(
)
ï
X
Y
>
ï
îDï / 4 = 1 + ( x 2 + 4 x Þ
0 Y )(X - Y ) = 5
- 2)X=2 x-2 +
Y 24 x=-(1X³+
í2y
2
ï
xïY
+º
4x y 1+
2 y02=0
y
³
(
)
î2
-4 ± 16 + 4
2
x=
4 x2 - 1 = 0 Þ
+
= -2 ± 5
(x2xìïx+
2 2) - ( y - 1)
2 = 2 + 4 -1 = 5
+33 y + 4 x + 5 y -24 = 0
ï X ++4Yxy³
7
( )
(
) (
8
2
2
ì
ïïï f ( x,1) = 2 x + 8 x + 4 = 2( x + 4 x + 2) = 0
ï
2
2
ïïï f ( x,0) = 2 x + 4 x - 4 = 2( x + 2 x - 2) = 0
2
2
2
１
f ( x, 2) = 2 x + 12 x + 18 = 2( x + 6 x + 9) = 2 ( x +íï3) = 0
2
2
ïï f ( x, -1) = 2 x - 4 = 2( x - 2) = 0
ïï
Þ x = -3 Þ ( x, y ) = (-3, 2)
ïï f ( x, -2) = 2 x 2 - 4 x - 2 = 2( x 2 - 2 x -1) = 0
2
2
2
f ( x, -3) = 2 x - 8 x + 8 = 2( x - 4 x + 4) = 2 ( x - 2ïî) = 0
( )
Þ x = 2 Þ ( x, y ) = (2, -3)
( )
2
2 x + 4 xy + 3 y + 4 x + 5 y - 4 = 0
ìÞ
ï
2012 年に東大文科で出題された問題を手直ししたもので、元の問題は「
x の最
ï X -º3 x£+y2£(³2 3) Þ X 2 - Y 2 = (X + Y )(X - Y ) = 5
í f x, y º 2 x 2 + 4 y + 4 x + 3 y 2 + 5 y - 4 = 0
(
)
(
)
ï
大値を求めよ」というものでした。
ï
îY º y - 1(³ 0)
2
/, 24Y)=
× (3=2
y 22次で入っているので、いわゆる「
+x52 y+-64x)+ 9 = 2 ( x + 3)2 = 0
ì
)もx-+
この方程式には
y218
も
2 次曲線」か、２
X(xx+
³(232xy2+
ï
fD
=
+x212
ï
Þ (X + Y , X - Y () = (5,1) Þ ()X , Y ) = (3, 2) Þ (x, y ) = (1,3)
í
2
2
2
X 4x>y=Yつの 1ïïîÞ
次式の積しかありません。この問題は、判別式で範囲を絞れます。
x につ
=
+38Þ
y +( x4, -3,
102y) + 8 = -2 y - 2 y + 12
y )6=y (2
2
いての=2 次式とみて
yxの範囲を絞り込むと、
両端が整数である区間が得られます。
2 6)
-82(=y 2- x22)(-y 4+x3+) ³
f ( x, 2-(3y) =+2yx- 8=
+
4)0= 2 ( x - 2) = 0
(
Þ
3£
y+
£x32, y 2 +
2 xx2-=
+
42xy
+35)y - 4 = 0
Þ
Þ
( ) = (42,x 2
2
ìf ( x, y ) º 2 x2 + (4 y + 4) x + 32 y + 5 y - 4 = 0
ïïï f ( x,1) = 2 x 2 + 8 x + 4 = 2( x +2 4 x + 2) = 0
2
2 x + 18 =2 2 ( x + 6 x + 9) = 2 ( x + 3) = 0
f ( x/ ,42)== 22yx ++212
ïïD
2
×
3
y
+
5
y
4
(
)
2
2
(
)
ïï f x( x,0) = 2 x + 4 x - 4 = 2( x + 2 x - 2) = 0
Þx=
2 -3 Þ ( x, y ) =2(-3, 2)
í=
8 y + 4 - 6 y -10 y + 8 = -2 y 2 - 2 y + 12
ïï f (4xy, -+
1) = 2 x22 - 4 = 2( x 2 - 22) = 0
ïïf ( x, -3)2 = 2 x - 8 x + 8 = 2( x - 4 x + 4) = 2 ( x - 2)2 = 0
ïï= -2( y + y -2 6) = -2( y - 2)(2 y + 3) ³ 0
f ( x, -2) = 2 x - 4 x - 2 = 2( x - 2 x -1) = 0
ïïîÞ
x=
Þ3 £2 Þ
y £( x2, y ) = (2, -3)
2
ì
4 = 2 ( x 2 + 4 x + 2) = 0
ïïï f ( x,1) = 2 x + 8xx +
この区間の両端の
座標を調べると、これらも整数なので、両端の座標は題
2
ï
22
2
- 18
4 ==22((xx2 ++26xx-+29))==02 ( x + 3) = 0
ïïïf f( (xx, 2,0) )==22xx ++124 xx +
意を満たします。
íÞ x = -3 Þ x2, y = -3, 22
ïï f ( x, -1) = 2(x -)4 =( 2( x )- 2) = 0
ïï
2
ïïf ( x, -3) = 2 x 2 2- 8 x + 8 = 2( x 2 2 4 x + 4) = 2 ( x - 2) = 0
ïïî f ( x, -2) = 2 x - 4 x - 2 = 2( x - 2 x -1) = 0
Þ x = 2 Þ ( x, y ) = (2, -3)
Þ x = 2 Þ ( x, y ) = (2, -3)
Þ -3 £ y £ 2
)
( )
2
= -2( y + y - 6) = -2( y - 2)( y + 3) ³ 0
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
O
x + 4x - y + 2 y - 2 = 0
x
2
2
y 2 - 2 y - ( x 2 + 4 x - 2) = 0
( x + 2) ( y -1)
2
2
Þ ( x + 2) - ( y - 1) = 2 + 4 - 1 = 5 Þ
=1
2
Dy / 4 = 1 + ( x 2 + 4 x2- 2) = x 22+ 4 x - 1 ³ 0 5 2
5
x
y
x 2 - y 2 = 12 Þ
= 12
2-4 ± 162+ 4
2 0 Þ2x =
3
2
3
4
1
xx22+
x
=
= -2 ± 5
+ 4x - y + 2 y - 2 = 0
2
2
2
D
/ 4 5=-4 2-Þ
-xy ³
+1 2 y - 2) = y 2 - 2 y + 6 = ( y - 1) + 5 ³ 0
ì
(
x³
ï
x
ï
2
ï
42xy - yx2 2++24yx--22==0 0
ïxy 2 +
2 - ( 5 Þ x £ -5) Þ x ³ 1
£
x
í
2
2
ï
ï
( x + 2) ( y -1)
2
2
2
2
1
³
x
ï
D
/
4
1
x
4
x
2
x
4
x
1
0
=
+
+
=
+
³
Þ
x
+
y
=
+
=
Þ
=1
2
1
2
4
1
5
(
)
(
)
(
)
ï y
2
2
ï
î
5
5
1 Þ y 2 - 2 y - 3 = (1)( y16-+3)4= 0
x=
y 4+±
x 22 + 4 x - 1 =
0Þ x=
= -2 ± 5
2
4x Þ2(yx1Þ
, y2) = (01,3)2
yx³+
y =y 3+
ì
2
ïDx ³
2 1
2
5 y2-(Þ
42y=
=x /24Þ
2 yyx-³+
102=
0 2) = y - 2 y + 6 = ( y - 1) + 5 ³ 0
xï
ï
ï
£ -2 - 52 Þ x £ -5 Þ x ³ 1
íyx2 2 y - ( x + 4 x - 2) = 0 1 つの座標は得られましたが、他の座標をすべて
ï
双曲線の場合、上の計算で
2
ï
xï x+³41x - y 2 + 2 y - 2 = 0
ï
2
ï
îDy / 42= 1 + ( x 2 +
調べないと結果が得られません。したがってこの手法は楕円には適しているの
2 4 x - 2) = x + 4 x - 1 ³ 0
=y5- 3 = 0
(xx +
=21)Þ-y(2y--21y) -=32=+( 4y +11)(
)
ですが双曲線や放物線ではグラフを併用しないと結論が得られません。
4
16 + 4
±
2
ì xX º
x
+
2
³
3
ï
(
)
x -y 1==30Þ
Þ( xx, =
= -2 ± 5
2 )
=Y(1,3
ï y ³+14Þ
Þ Xy2)=2(X + Y )(X
Y )= 5
xy-項がなければ、平方差を完成し、置換
次に、平方完成の手法を試します。
í
ï
Y
º 2y Þ
- 1y(³
2 0)
ï
î
=
=
x
2
y
10
0
ì
ï
x ³ 5 - 2 Þ x ³1
を行って、因数分解の手法に持ち込みます。
ï
ï
ì
X
Y ³3
ï
ï
ïí x +
x£
ÞY x) =
³ 1(5,1) Þ (X , Y ) = (3, 2) Þ (x, y ) = (1,3)
X+
Y ,-X5í
2 £ -2 - Þ
2 5(Þ
x
+
4
ï
ï
X > Yx - y + 2 y - 2 = 0
ï
îï
ïx ³ 1 2
2
(ïïîx + 2) - ( y -1) = 2 + 4 -1 = 5
2
x = 1 Þ y - 2 y - 3 = ( y + 1)( y - 3) = 0
ì
ï
2 º x + 2 (³ 32)
2 5 y 2- 4 = 0
ï2X
4 xy + 3 y + 4Xx +
-Y
íyx³+
1 Þ y = 3 ÞÞ
x, y ) =
(
(1,3=) (2X + Y )(X - Y ) = 5
ï
Y
º
y
1
³
0
2 )
(
ï
îf ( x, y ) º 22 x + (4 y + 4) x + 3 y + 5 y - 4 = 0
x = 2 Þ y - 2 y - 10 = 0
ì
2
ï
ïDX /+4Y=³(23yÞ
+(2X) +
-Y2,× X
(3-y 2Y+)5=y(-5,14))Þ (X ,Y ) = (3, 2) Þ (x, y ) = (1,3)
í
x
ï
X
Y
>
ï
îx 2 + 42 x - y 2 + 2 y - 22 = 0
= 4 y + 8 y + 4 - 6 y -10 y + 8 = -2 y 2 - 2 y + 12
2
2
+22()y 2-+( yy=2+
(=x これに対して
(3)
-16))の方程式は、座標平面上で楕円を表します。この問題は、
=
2(4y -12=
)( y5 + 3) ³ 0
ìï f ( x,1) = 2 x 2 + 8 x + 4 = 2( x 2 + 4 x + 2) = 0
ïï
ïï
2
2
ïï f ( x,0) = 2 x + 4 x - 4 = 2( x + 2 x - 2) = 0
í
ïï f ( x, -1) = 2 x 2 - 4 = 2( x 2 - 2) = 0
ïï
ï
2
2
ïïîï f ( x, -2) = 2 x - 4 x - 2 = 2( x - 2 x -1) = 0
y
最後の４つの方程式からわかるように、-2 ≦ y
≦ 1 の格子点の x 座標は整数の範囲で因数分解で
きず、したがって座標は格子点ではありません。
両端以外の格子点の座標は整数にならないので、
得られた 2 点だけが解となります。
2
1
-
1
0
1
x
1
-
補足
y
問題の方程式は右図に示す楕円を表します。
3
-
2
●平方根が整数の例題
1
1
0
1
x
《基本例題1.3》
（平方根が整数の問題…その１）
1
-
-
2
x - 24
（1）
が整数となるような整数
x を求めよ。
-3
（新作問題）
（2）
が整数となるような整数
x を求めよ。
x 2 + 24
（新作問題）
2
x - 24
（1）　が整数となるような整数
x を求めよ。
解題
（2）　が整数となるような整数
x を求めよ。
x 2 + 24
（新作問題）
（新作問題）
整数問題の中で、「判別式が平方数」を求められる問題は数多く、この種の問
題は確実に解かなければならないので、本問と次問で 4 つのパターンの例題を
示しておきます。「=n」とおいた２変数の不定方程式において、文字は集めて因
数分解し、整数は素因数分解して解きます。
解法平方根を整数nとおいて平方する
x , n Î ,
x 2 - 24 º n ³ 0
(1) 根号内を0にすると
xが整数にならないので、nは正です。
n = 0 Þ x 2 = 24 Þ x = 2 6 Ï  Þ x 2 - 24 = n > 0
x , n Î ,
x 2 - 24 º n ³ 0
n = 0 Þ x 2 = 24 Þ x = 2 6 Ï  Þ x 2 - 24 = n > 0
平方して右辺を整数だけにして左辺を因数分解し、x+n と x-n をそれぞれ a、
2
b とおくと、積が
x 2 - 24 = n24
Þで差が偶数の整数を探すことになります。ここでは合同式
x 2 - n 2 = ( x + n)( x - n) = 24 > 0
ì
ï
ïab = 24
24
ïìï=abx=
2
x 2 -ï
x 2
- n2 ï
( + n)( x - n) = 24 > 0 ïï
ì24
x +=nnºÞ
aÎ
ï
9
xxn,, =
nÎ
xx 22 24
- 24
n³
0
Þ, x 2 =
Þº
x=
2 06 Ï  Þ
x, n
nÎ
Î
,,
x2 - 24
24 º
ºn
n³
³0
0
x,=
nÎ
, x 22 =
x 24
-Þ
24 xº=n 2³ 06 Ï  Þ
n
0
Þ
n
n=
=0
0Þ
Þ xx 2 =
= 24
24 Þ
Þ xx =
=2
2 6
6Ï
Ï
Þ
Þ
n = 0 Þ x 2 = 24 Þ x = 2 6 Ï  Þ
x 2 - 24 = n > 0
xx 222 24 =
n>
0
x2 - 24
24 =
=n
n>
>0
0
x - 24 = n > 0
（1）　が整数となるような整数
x を求めよ。
x2 + 2x - 2
x 2 - 24 = n 2 Þ x 2 - n 2 = ( x + n)( x - n) = 24 > 0
ìïab
xx >
00 24
(( xx +
- 24
24 =
= nn Þ
Þ xxx ïìï-abnn ==
=24
+ nn)(
- nn)) =
= 24
24
>=
)( xx  ï- n = ( x + n)( x - n) = 24
+24
n º=anÎ Þ
ïïï > 0
ïïìxx xx ìïï-ab
n)(0 x - n) =
0b24
a n-=
b=24
=( x2+
n>
Þ24
a>
>=
ïììïíab
í - 24 = n ÞÞ
24
24
=
=
ïììïíab
ìab

b
Î
ìïïìïîxx +
ab
24
ab
24
=
=
n
º
a
ï
ïab
ïïíìaab
a
b
a
b
+
ï
ïïïííì x +
a
º
b
ì
a
b
=
2
n
>
0
Þ
>
b
24
24(mod 2)
=
=
Þ
+ nn º
º aa Î
Î
ï
Þ
a
b
=
2
n
>
0
Þ
a
>
b
î
ï
í
=b = 2n,>
n=
0
Þ ïíïïa > b
bba Î
 Þ ïïííax + nn º
Î

º
Î
ïííïïïîîì xxx 2 2bn > 0 aa 2 b Þ íïa >
+
- n º b Î  Þ ïíîa - baa=
º bb ((mod
2)
ïïîïî x - n º b Î  ïíïï xx =
a+
a+ bb ,, nn =
- bb ïïîïîîaa º
º b (mod
mod 22))
=
=
ï
,
x
=
n
=
2
2
a+
aïîîï x =
22 b , n =
22 b ïïîa º b (mod 2)
積が 24 となる a と
b の組は
(a,b)=(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)
とこれらの順序を
ïîïî
2
2
逆にしたものと符号を両方とも負にしたものですが、a>b かつ a ≡ b (mod 2) の
22
2
2
22
2
2
22
2
2
条件を満たす組み合わせは次の４つしかありません。これらから x と n を逆算
Þ (a, b) = (12, 2),(-2, -12),(6, 4),(-4, -6)
します。
Þ
2,
,(4,
=((12,
7,52)),(,(-),)(,6,(-44))5,1
)) ),(±5,1)
),12
(5,1
)=
(2,
12
4,
Þ ((aaax,,, bbbn)) =
=
-7,5
-±6667,5
Þ
12, 22)),,((2, 12)),,((6,
6, 4),,((4, ( )=
(12,
)
Þ
a
,
b
=
12,
2
,
2,
12
,
6,
4
,
4,
6
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) )),,((±
x
n
7,5
,
7,5
,
5,1
,
5,1
=
±
7,5
)
(
)
(
)
(
)
(
Þ ( xx,, nn) =
7,5),,(7,5),,(5,1
-5,1
5,1) =
±7,5
7,5
±5,1
5,1))
Þ
5,1
( ) = ((7,5
) (-7,5
) (5,1)),,(() = ((±
),(±
)
Þ ( x, n) = (7,5),(-7,5),(5,1),(-5,1) = (±7,5), (±5,1)
x + 24 º n > 0
2
24
n24
-º
x 2nn=
xx,, nn+Î
,,= n xxÞ+
>
(00n + x)(n - x) = 24 > 0
º
>
x,2n Î
Î
,
x +
+ 24
24
º
n
>
0
22
22
xx,22n+
Î24
,=
+nn24
º
n
>
0n + xx )(
nn xÞ
x
=
n - xx )) =
24 >
0
(
+
24
=
Þ
x
=
x 2 + 24 = n Þ n 22 - x 22 = ((nn +
+ x )(
- x) =
= 24
24 >
> 00
)(nn x + 24 = n Þ n - x = (n + x )(n - x ) = 24 > 0
2
2 22
2
22 2
2
2
置き換えをしないで解いてみましょう。
解法平方根を整数nとおいて平方する
(1) 根号内を0にするとxが整数にならないので、nは正です。
x2 + 2x - 2 º n ³ 0
x 22 + 2 x - 2 = 0 Þ x 2 + 2 x - 2 = 0 Þ x = -1 ± 3 Ï 
x2 + 2x - 2 º n ³ 0
2 x22º
n³
00
\ x 2 x+2 +
x2=
n>
x 2 + 2 x - 2 = 0 Þ x 22 + 2 x - 2 = 0 Þ x = -1 ± 3 Ï 
x + 2 x - 2 = 0 Þ x + 2 x - 2 = 0 Þ x = -1 ± 3 Ï 
平方して左辺を平方完成し、余った整数を右辺に移して、右辺の文字を左辺
\ x 22 + 2 x - 2 = n > 0
\ x + 2x - 2 = n > 0
に移して左辺を因数分解し、
x+1 を X とおくと、(X+n)-(X-n)=2n は偶数であ
ï
平方して右辺を整数だけにして左辺を因数分解し、n+x と n-x をそれぞれ c、
d とおくと、積が 24 で和が偶数の整数を探すことになります。和が偶数という
ì
ì
ï
cd = 24
ïcd = 24
ï
ことは、
今度は両者とも正です。
ì
xºc>0 ï
ï
ïn +両者の奇偶性が一致しているということであり、
ï
ï
ïc, d > 0
ïcd
ì
c +=
d 24
Þì
= 2n > 0
Þï
í
í
cd
= 24
ì
ï
ì
ï
cd
=
24
cd
ï
ï
ì
í
d
0
>
ì
ì
ï
cd
=
24
cd =
= 24
24
n
x
c
0
+
º
>
ï
ïîn + x º c > 0
ì
ï
ï
ï
ì
c
+
d
c
d
ï
ï
ï
c
=
d24
ì
ì
ï
(00mod 2)
c
d
2
n
0
c
,
d
Þ
+
=
>
Þ
>
cd
=
24
cd
=
n
x
c
0
+
º
>
ï
ï
í
í
c
d
2
n
0
c
,
d
Þ
+
=
>
Þ
>
ï
î
ï
ï
í
í
ïcn+
x=
=d = 2n, >
ï
ï
ì
í
0
c
,
d
0
Þ
>
d
n
c>
00 Þ ï
+ xx º
í
í
ï
ï
ï
í
n
d
º
>
î
ï
ï
ï
2 d2n > 0 c -2 d Þ ï
î
îc + dcc =
ï
+
c
,
d
0mod
ï
>
n- x º d >0 Þí
=
d
2))
(
í
í
ï
d
c
d
+
ï
î
c
=
d
mod
ï
(
î
ï
n
=
ï
ï
c + d ,, xx =
c-d
î
c
=
d
mod 2
2)
(
n
=
=
ï
ï
în - x º d > 0 í
ï
î
ï
n
,
x
=
=
2
2
î
c
+
d
c
d
ï
c = d (mod 2)
ï
2
2
î
ï
î
n
,
x
=
=
2
2
ï
î
ï
2
2
ï
î
積が 24 となる a と b の組は (a,b)=(1,24),(2,12),(3,8),(4,6) とこれらの順序を
逆にしたものと符号を両方とも負にしたものですが、両者が正でかつ a ≡ b (mod
xとnを
2) の条件を満たす組み合わせは次の４つしかありません。これらから
Þ (c, d ) = (12, 2),(2,12),(6, 4),(4,6)
逆算します。
Þ (cx,,dn) = (12,
6, 4)),,((-4,6
5,72)),(,5,7 ), (1,5
1,5)) = (±5,7), (±1,5)
(2,12
Þ
Þ ((cc,, dd )) =
= ((12,
12, 22)),,((2,12
2,12)),,((6,
6, 44)),,((4,6
4,6))
Þ
c
,
d
=
12,
2
,
2,12
,
6,
4
,
( x n) ((5,7
( 5,7))),,(((1,5
(4,6
1,5))) =
),)()),((±5,7
),(±1,5
)
Þ
Þ (( xx,, nn)) =
= (5,7
5,7)),,((-5,7
5,7),(1,5
1,5)),,((-1,5
1,5) =
= ((±
±5,7
5,7)),, ((±
±1,5
1,5))
Þ ( x, n) = (5,7),(-5,7),(1,5),(-1,5) = (±5,7), (±1,5)
《基本例題1.4》
（平方根が整数の問題…その2）
10
への
り、積が 3 で差が偶数の整数 X+n、X-n を探すことになります。前問ではここ
で置き換えをしましたが、今度は置き換えなしで解いてみましょう。これらの
条件を満たす (X+n,X-n) は (3,1),(-1,-3) しかありません。これらから x と n
ì
ï
を逆算します。
ï( X + n)( X - n) = 3
(2) 今度は24があるので
n>0が初めから確定しています。
2
x , n Î ,
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
（2）　が整数となるような整数
x を求めよ。
（新作問題）
x 22 + 2 x - 8
（1）　が整数となるような整数
x を求めよ。
（新作問題）
x2 + 2x - 2
（1）　が整数となるような整数
x を求めよ。
（新作問題）
x + 2x - 2
解題
2
x を求めよ。
（新作問題）
（2）　が整数となるような整数
x2 + 2x - 8
（2）　が整数となるような整数
x を求めよ。
（新作問題）
前問と比べて根号の中が若干面倒になった問題です。今度は
a、b、c、d
x + 2x - 8
の表記を利用します。
22
2
2
（新作問題）
（1）
が整数となるような整数
x を求めよ。
x2 + 2x - 2
（新作問題）
（2）
が整数となるような整数
x を求めよ。
x2 + 2x - 8
（新作問題）
( X + n) - ( X - n) = 2n > 0 Þ ïí X + n = X - n (mod 2)
ï
ì( X + n)( X - n) = 3
ï
ï(XX++nn>
ì
ï
)( X - n) = 3
ï
ï
ï
( X + n) - ( X - n) = 2n > 0 Þ ïîí X + n = X - n (mod 2)
ï
2)n,(>-01,Þ
X n-)n=) (=3,1
(ïïì(XX++nn) ,-X( -3í
ï)X + n = X - n (mod 2)
ï
X +n> X -n
ï
ï
î XX+
ï
í
X
n
X
n
X n- n)
+
+
+nn>
(
)
(
)
(
) -X(ï
î
ï
, 1,n-=3)
ì(XX=+ n, X - n) = (3,1),(ï
ï
2
ì
î( X + n, X - n2) = (3,1),(-1, -3)
ï
ï
í ì ( X + n) + ( X - n)
ï
X
n
+
(
)
( X - n)
ï
( X(,Xn)+=n()2,1
(--2,1
í
=
ï
n)) ,Þ n( x=
n)),+)(,X
ïÞXï
()X=+
( X3,1-) n)
,
n
1,1
(
(
ï
í
2
2
, n=
î Xï=
ï
ï
ï x = X -1 2
2
ï
î î
ì
X , n) = (2,1),(-2,1)
ï
(
ï
ì
Þï
í( X , n) = (2,1),(-2,1) Þ ( x, n) = (1,1),(-3,1)
ï
Þï
Þ ( x, n) = (1,1),(-3,1)
= X -1
í
ï
î xx =
ï
X -1
2
ï
î
x + 2x - 8 º n ³ 0
(2) 今度は
2 n=0の場合が除かれません。
2
x 2 + 2 x - 8 = 0 Þ x + 2 x - 8 = 0 Þ x = -1 ± 3 Î 
x2 + 2 x - 8 º n ³ 0
2 x28º
n³
00
\ x 2 x+2 +
x8=
n³
x 2 + 2 x - 8 = 0 Þ x 22 + 2 x - 8 = 0 Þ x = -1 ± 3 Î 
x + 2 x - 8 = 0 Þ x + 2 x - 8 = 0 Þ x = -1 ± 3 Î 
\ x 22 + 2 x - 8 = n ³ 0
\ x + 2x - 8 = n ³ 0
平方して左辺を平方完成し、余った整数を右辺に移して、右辺の文字を左辺
に移して左辺を因数分解し、x+1 を X とおくと、(X+n)-(X-n)=2n は偶数であ
り、積が
9 で差が偶数の整数
X+n、X-n を探すことになります。これらの条件
2
x 2 + 2 x - 8 = ( x + 1) - 9 = n 2
を満たす ((X+n),(X-n)) は、(X+n)-(X-n) が許されるので、(9,1),(-1,-9),(3,3)
2
- n 2 通りがあります。これらから
= ( x + 12+ n)( x + 1 - n) = 9
( x2-+3)1)の
x と n を逆算します。
(-3,
x + 2x -4
8 = ( x + 1)2 - 9 = n 2
2
xX2 º
+ 2x x2+-18Î=
x+
(Þ
( X1)+-n9)(=X n- n) = 9
2
( x + 1)2 - n 2 = ( x + 1 + n)( x + 1 - n) = 9
9 X - n) = 9
( x + 1) - n = ( x + 1 + n)( x + 1ìïï(-Xn+
) =n)(
X º x + 1 Î  Þ ( X + n)( X - ï
n) = 9
ï
X+
- ínX
2nn³
)(0XÞ
) =+9n = X - n (mod 2)
(XXº+xn+
) -1 (ÎX-Þn)( =
ï
ì
X + n)( X - n) = 9
ï
(
ï
ì
ï
)( X - n) = 9
ï(XX++nn³
11
（2001 年立命館大）
（新作問題）
(2) 3x 2 +xy - 2y 2 +6x+y+1=0 を満たす整数の組を求めよ。 (3) 方程式 x 2+2y 2+2z 2－ 2xy － 2xz+2yz － 5=0 を満たす正の整数の組 ( x,y,z )
-
2
( x + 1) - n 2 = ( x + 1 + n)( x + 1 - n) = 9
X º x + 1 Î  Þ ( X + n)( X - n) = 9
ì
ï
( X + n)( X - n) = 9
ï
ï
( X + n) - ( X - n) = 2n ³ 0 Þ ïí X + n = X - n (mod 2)
（2001
2001 年立命館大）
年立命館大）
（
f ( x, y ) = 3 x 2 + xy - 2 y 2 + 6 x + y + 1
2
- 2y +6x+y+1=0 を満たす整数の組を求めよ。
を満たす整数の組を求めよ。（新作問題）
(2) 3x 2 +xy
（新作問題）
=3 x 2 +( y + 6) x -(2 y 2 - y -1)
- 2x -25y=0
2
(1
を満たす整数の組は
y の値を求めよ。
を満たす正の整数の組
x,y,z))
方程式
x +2y 2+2z
－ 2xy － 2xz+2yz4－組ある。このときの
5=0 を満たす正の整数の組
((x,y,z
(3) ) 2xy
=3 x 2 +( y + 6) x -(2 y + 1)( y - 1)
2001
（
（
2001年立命館大）
年京大後期）
をすべて求めよ。
（
2001
年京大後期）
ï
ï
ï
X n X n
ï
î + ³ ì( X + n, X - n) = (9,1),(-1, -9),(3,3),(-3, -3)
ï
ï
ï
í
( X + n) - ( X - n)
( X + n) + ( X - n)
ï
X=
, n=
ï
ï
2
2
ï
î
●1次と2次の不定方程式の入試問題
《入試問題1.1》（難易度B）
基本例題を少し発展させた小問群を示します。
(1) 2xy - 2x - 5y=0 を満たす整数の組は 4 組ある。このときの y の値を求めよ。
（2001 年立命館大）
(2) 3x 2 +xy - 2y 2 +6x+y+1=0 を満たす整数の組を求めよ。（新作問題）
(3) 方程式 x 2+2y 2+2z 2－ 2xy － 2xz+2yz － 5=0 を満たす正の整数の組 ( x,y,z )
（2001 年京大後期）
解題
12
f ( x, y ) = 3 x 2 + xy - 2 y 2 + 6(1)
x + は因数分解で解ける、
y+ 1
同系の問題を３題紹介します。
1 次の不等式に帰着
2
2
できる問題です。
(2)
=3 x +( y +
6)はかなりの難問で、平方根が整数になることを利用する問
x -(2 y - y -1)
題です。=3
(3)x 2は平方和に書き換えて数値を平方の和に分解する問題です。
+( y + 6) x -(2 y + 1)( y - 1)
解法まずは因数分解・素因数分解を試す
2
-( y + 6) ± ( y + 6) + 12(2 y + 1)( y - 1) -( y + 6) ± 25 y 2 + 24
(1) 当然、左辺に文字、右辺に定数を集めて、因数分解・素因数分解を試みます。
f ( x, y ) = 0 Þ x =
=
6 -1)-5=0⇒(2x-5)(y-1)=5 6
2xy-2x-5y=2x(y-1)-5y=2x(y-1)-5(y
ìï6 x = )±
したがって、2(2x-5,y-1)=(1,5)
、((y-+1,65)、D(5,1)、(-5,-1) しかありません。
D = 25 y + 24 Î  Þ ïí
ïï D = 25 y 2 + 24 º n 2
これらから (x,y) を求めます。
î
(x,y)=(3,6)、(2,-4)、(5,2)、(0,0)
したがって、
、y2 ) =
(n4+、52y、
)(n0- 5 y ) = 24
(n2 - 25y=6
(2) この問題は因数分解・素因数分解と判別式のいずれの方法でも解くことがで
(n + 5 y, n - 5 y ) = (±1, ±24),(±2, ±12),(±3, ±8),(±4, ±6),
(±6, ±4),(±8, ±3),(±12, ±2),(±24, ±1)
2
(2) 3x +xy 2y +6x+y+1=0
-( y + 6)を満たす整数の組を求めよ。
± ( y + 6) + 12(2 y + 1)( y 1) （新作問題）
-( y + 6) ± 25 y 2 + 24
うまく因数分解できない場合、１変数の場合は解の公式を使いますが、２変
f ( x, y ) = 0 Þ x =
=
6 を満たす正の整数の組
－ 2xz+2yz
－ 5=0
( x,y,z ) 6
(3) 方程式 x 2+2y2 2+2z 2－ 2xy
数の場合でも同様です。
xと
y が整数である場合、
うまく因数分解できなくとも、
f ( x, y ) = 3 x + xy - 2 y 2 + 6 x + y + 1
ìï6yx =
-( y + 6) ± D
をすべて求めよ。
（2001 年京大後期）
特定の値については
xを
ï で表す関係式も整数どうしの関係になっていなけれ
2
D
=3=x 225
+(yy + 24
6) xÎ-(2Þ
y 2í
y
1
)
2
2
ïï D = 2x5 を
ºn
y +y 24
で表します。そうすると、判別式が整数の２
ばなりません。したがって、
î
=3 x 2 +( y + 6) x -(2 y + 1)( y - 1)
乗になっていなければなりません。
2
2
2
ì
ï( X , n) = (5, 4),(-5, 4),(3,0),(-3,0)
Þ ( x, n) = (4, 4),(-6, 4),(2,0),(-4,0)
Þï
í
ï
ï
î x = X -1
をすべて求めよ。
-
-
2
f ( x, y ) = 3 x + xy - 2 y + 6 x + y + 1 22
+ 6) + 12(2 y +
+11)( yy -11) (f nx22,-y 25=y02 ) = (n +-5(2yy)(+n -6)5±y ) =( y24
+66))±
-((yy +
± 25
+24
25yy22 +
24
=3(x +)( y + 6Þ
) xx-=(2 y - y -1)
=
=
66
(n + 5 y, n - 5 y ) = (±1, ±24),(±2, ±12)6,(±3, ±8),(±4, ±6),
=3 x 2 +( y + 6) x -(2 y +ì 1)( y - 1)
-12,
D ±1)
(y +
,(±
±26)),±
(±6, ±4),(±8,ï±63x)=
(±24,
D = 25 y 2 + 24 Î  Þ ïí
2
2
22
2
6)º+n12
( yï+
(2 y + 1)( y -1) -( y + 6) ± 25 y 2 + 24
ì(n + 5 y ) + (n - 5D 6=) ±
25 y( y++24
ï( x, y ) = 0 Þ x = y ) =ïî 2n
fï
=
í
6
6
ï
n
5
y
n
5
y
10
y
+
=
(
)
(
)
ï
î
ì)(
この関係を満たす
n±5y
=
6n2,
xnを探します。多くの組み合わせが考えられますが、
6) ±
5-y())y,=
(n2 - 25 y 2 ) =-Î(5ny+
12,
=5と
±12
±24
±2)D
)xÞ
(yïïí±
(+
D\=(n25+y52 y+, n24
2
2
ï の倍数なので、組合せが
の和が２の倍数、差が
y が ±1 に
=
º
5 yy,)n=-(5±y7,
24
8)±
,(±
66),,
±2,
(\n(+n,5
)=
)5,(n)±Þ3, ±
4,4±
±通りに絞り込まれ、
,10
7,12±
y=
1±4,
5()±
±2)55,)(y=
(ïî1,±D±7,
(+±±24
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
（2001 年京大後期）
をすべて求めよ。
きますが、いずれも計算がかなり大変です。
組ある。このときの yy の値を求めよ。
の値を求めよ。
(1) 2xy - 2x - 5y=0 を満たす整数の組は 4 組ある。このときの
この関係式を因数分解しようとすると、うまくいきません。
2
x 2 + 2 x - 8 = ( x + 1) - 9 = n 2
決まり、これらに対して
x が１つずつ決まり整数の
x、y の組は (0,1),(-2,-1) です。
4)7,(±
3),(±12, ±2),(±24, ±1)
±78, ±
(±6, ±ì
ï
ïy =1Þ x =
=0Î
n+
)(n2n- 5 y ) = 24
(ìïíïïïn(2n-+255 yy)2+) =(n(56y5)y=
í
7 24),(±2, ±12),(±3, ±8),(±4, ±6),
5y5,1yn)Þ
(ïîíïïn(y+
)-=-5(5y±)±1,
n=
10
+
-5(xny=
=±
=y-2 Î 
ï
6
ï
î
,(±
),(±±224,
y,6,n±
1212,
\ (n + (5±
-45)y,()±=8,(±
±32,)±
±212,
),(±
) ±1)
ì
nxn±
ï
(3n(x+
2,1y),=
+ (3,±
=
(1,52) )=,((-±1,7,-±25)),(Þ
(-±2,11-1)
n,552yy) =
7,+5y5))+
,=
(1±)27,
ï(\
í
ï
ìï7=310
x -y2 y = -2
-52yy) +(3n=
ïì x = 0
ï
ï
-175 y±) ï
îì
ïí(3nyx+
ï
=0Î
=1Þ x = Þ í
Þ íï
ï
ï
x+
y 12
x+
= )1,Þ
ïî x(n++y5+y,1n=-25 y )6= ï
2, ±
\í
±2)y = 2 ï
(±212,
îï(±
îï y = 1
ï
5
7
±
ì3(ynx=
3x =
3=
x±yÎ=
-+(±
ï7,
,5
y2)1y=
7,
5)22=
\ï
51), (±ì
(±-7,4±5) Þ y = ±1 Þ ìïï x = -2
Þ
=ï
Þï
ï
ï
îïí x + y + 1 = -2 6 ïí x + y = -3 Þ 2 x + 2 y = -6 ïí y = -1
ì
ï
îï
îï
-7 ± 7 î
ï
ï
y =1Þ x =
=0Î
ï
ï
ï(3 x - 2 y + 3, x +6y + 1) = (1, 2),(-1, -2),(2,1),(-2,ì1
í
ïï-1) 1
ï
5
7
±
x
=ï
ïïxx =
ìïïï
=
-21
-222yyÎ
x --21yÞ
+x3 =
= 12 ïïìì
=
ï33xx=
ïìy3=
ï
= 00 5
ï
ï
ï
Þ
Þ
Þ
Þ
6 íí
ï
íí
îí
ïîï x + y + 1 = 12
ïîïï
+yy=
=10Þ
Þ22xx++22yy==20 ïîïïïyy =
=116
ïîxx+
ïï y =
この問題には、左辺に文字、右辺に定数を集めた因数分解を実現する別解があ
î-1) ïìïìï5xx =
3 x(4 2),(2,1),(-2,ï
-2
1)ïì=
1, 22)y,(=
1, -(ïìï33xx--22yy++3,3x=+-y1+
ïí = -2
Þ ïí
Þ
í
2
2í
Þ
ì
ï
ります。このような場合は、２次の項「
2y0ïîïïîïï」を因数分解して、これに付
1=
66=
x+
yyx =
-12 ïì3 xïîï=-23 Þ 2 x +3x2 y+xy
= ïì-x=-119
3=
2 yy =
y+
- y2 +
ïìïïîïì3xx+
ï
ï
ï
ì
ï3 x - 2 y + 3 = ï3 x - 2 y = -5
Þ2 í ï
Þí
5
íï
ïï
随する１次の項を処理し、定数だけを余らせてこれを右辺に移項します。まず、
ïîïíx + y + 1 = 2
ïîïÞ
í y = 1 Þ 2 x + 2 y = 2 ïîï y =Þ
1í
x+
ï
ï
ï
ì
y2 + 1 = -1
ïî x + y = -2 Þ 2 x + 2 y = -ïïìïï4x = îï x +
ïï y11= -- 1
3x2+xy
ìïïïì33ïïï x =ìïï22yを因数分解します。
33=
xx2y
x = -2 5
+
-21 ïììïï33xx--22yy==--14
y
+
=
ï Þ íïïî 55
ïíï
Þïíí
íïí 2
2
Þ
Þ
3x
+xy+-112y
-ïïîï2y)(x+y)
ïîïïxx+
2
3Þ
=
=2 x 2+x 2+y2=y 0= -6ïïí
1=(3x
ï ïîï6y6 = -1
ïî +yy+
ïî xx++yy==0-Þ
ïïï
=
ïyy =
この結果を利用し、次のように a、b を仮定して求めます。
55
ïîï
ï
î
ìï
1
ï
ì
99
x = -ïïì
2
ï
ï
ìïïx32x+-22yy2 +
ì
3
2
3
2
1
=
x
y
=
x
+ 2 z - 2 xy
2 xz + 2 yz - 5 = 0
ïïï5x =
ï
=ï
ï
ï
ì
ì
3
2
3
2
3
2
5
x
y
x
y
+
=
=
ï
ï
ì
ì
Þ
Þ
ï
55
íïï3 x - 2 y + 3 = -2 í ïï3 x - 2 y = -5
í
ï
ïï
13
後半の x,y はすべて分数になり、整数の x、y の組は (0,1),(-2,-1) のみです。
2
2
(3) x2+2y
+2z
-2xy-2xz+2yz-5=0
2
2
x + 2 y + 2 z 2 - 2 xy - 2 xz + 2 yz - 5 = 0
今度は３変数で、平方和に変形できる組合せであることに着目します。
2
(x2 - y2- z2) + y 2 + z 2 = 5
x +y +z 2xy-2xz+2yz=(x-y-z)2
2
2
x - 2y - z )2 = 0,1,
z 2 = 1, 4
(⇒
x +2y +2z2-4,2xyy-,2xz+2yz
-5=(x-y-z)2+y2+z2-5=0
2
é x - y - z )2 , y 22, z 2 ù2 = [0,1, 4],[0, 4,1]
Þ
⇒ êë((x
-y-z) +y +zúû =5
z の平方は
z )の平方は 0 以上なので、3 つの変数の組は次の
y、Þ
(x - y - z, y1, z以上、
) = (1,1, 2x)-,(y1,-2,1
ように決まります。
Þ (x, y, z ) = (3,1, 2), (3, 2,1)
(x-y-z,y,z)=(0,1,2)、(0,2,1)
したがって、x、y、z は次のように決まります。
(x,y,z)=(3,1,2)、(3,2,1)
●３次の和の不定方程式の入試問題
３次の不定方程式では、a 3± b 3=(a ± b)(a 2 ab+b 2) の因数分解を題材とした問
題が頻繁に出題されています。
±
14
（2005 年京大理系）
解題
まずは a 3- b 3=(a - b)(a 2 ab+b 2) の因数分解を利用する問題を２題続けます。
本問２題は代表的な整数問題であり、歴代の３次不定方程式の起源ではないか
と思える問題です。
º (Aが確定しており、
, B)
a 2 ab+b 2>0 も明らかなので、
この問題では初めから
(a - b, a 2 + ab + b2 )a>b
2
A≡a - b 、aB3 ≡-ab23 >ab+b
A、B の積から A、B を求めるのですが、
0 Þ Aとおいてともに正の
>0
2
A、B が独立ではない点に鍵があります。次の関係から、
æ
b ö÷
3 2
2
2
ç
2 + b = ç2a + ÷ + 2 b ³ 0
a + ab
=(a - b)çè +3ab=
B=aB2=ab+b
A
÷
2ø
4 +3ab ≧ 3ab
32
3
a +3ab
b =65 を満たす整数の組
(a,b) をすべて求めよ。 b=a
（2005
≧ 3ab という関係があるうえに、
- A年京大文系）
という置き換えを行っ
B(1=) A
(2) a3 b3=217 を満たす整数の組
(
a,b
)
をすべて求めよ。
（
2005
年京大理系）
2
2
て b を消去すると
となり、
B=
A 3) ab
B = a 2 + ab +
b 2A=+3a(a
= A2 + 3aa (が実数であることから判別式
a - A)
(a - b)-+
が正という条件がわかります。これら２つの条件がこの種の問題の鍵です。
Þ 3a 2 - 3 Aa + A2 - B = 0
解法判別式を利用する
ìï D = (3 A)2 - 12( A2 - B) = 12 B - 3 A2 = 3(4 B - A2 ) Þ D / 3 = 4 B - A2 ³ 0
ïï 文理両問の共通事項を解説します。まず、因数分解した結果において、
最初に、
ïí
A± D
A (a,b
D ) をすべて求めよ。（2005 年京大文系）
次のように置き換えてあつかいを簡単にします。
(1) a3 ïb3=653を満たす整数の組
ïa =
= ±
3ï 3
(2) a ï
を満たす整数の組
6 2 2
6(a,b) をすべて求めよ。（2005 年京大理系）
îb =217
2
+
ìï
9
ïx = ïïì3 x - 2 y + 3 = -2 ïïì3 x - 2 y = -5
ïïï
5
Þí
Þí
í
ïîï x + y + 1 = -1
ïïî x + y = -2 Þ 2 x + 2 y = -4 ïï
1
ïï y = -5
ïî
(2) a b =217 を満たす整数の組 (a,b) をすべて求めよ。
+
ìï
1
ïï x = ìïï3 x - 2 y + 3 = 2 ìïï3 x - 2 y = -1
ï
5
Þí
Þ ïí
í
ïïî x + y + 1 = 1
ïïî x + y = 0 Þ 2 x + 2 y = 0 ïï
6
ïï y =
5
ïî
（2005 年京大文系）
3- 3
+
ïì3 x - 2 y + 3 = 1 ïìï3 x - 2 y = -2
ïì x = 0
Þí
Þ íï
íï
ïîï x + y + 1 = 2
ïîï x + y = 1 Þ 2 x + 2 y = 2 ïîï y = 1
ìïï3 x - 2 y + 3 = -1 ìïï3 x - 2 y = -4
ïì x = -2
Þí
Þ ïí
í
ïîï x + y + 1 = -2
ïîï x + y = -3 Þ 2 x + 2 y = -6 ïîï y = -1
(1) a3-b3=65 を満たす整数の組 (a,b) をすべて求めよ。
+
(3x - 2 y + 3, x + y + 1) = (1, 2),(-1, -2),(2,1),(-2, -1)
１
《入試問題1.2》（難易度C）
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
(n + 5 y, n - 5 y ) = (±1, ±24),(±2, ±12),(±3, ±8),(±4, ±6),
(±6, ±4),(±8, ±3),(±12, ±2),(±24, ±1)
ì(n + 5 y ) + (n - 5 y ) = 2n
ï
ï 2
í +xy-2y2+6x+y+1=(3x-2y+a)(x+y+b)
3x
ï
ï
î(n +25 y ) - (n -25 y ) = 10 y
+xy-2y )+a(x+y)+b(3x-y)+ab
=(3x
\ (n + 5 y, n - 5 y ) = (±2, ±12), (±12, ±2)
⇒ 6x+y+1=(a+3b)x+(a-b)y+ab
\ (n,5 y ) = (±7, 5), (±7, ±5) = (±7, ±5) Þ y = ±1
⇒ a+3b=6、a-b=1、ab=1 ⇒ a=3、b=1
ì
-7 ± 7
ï
ï
y =1Þ
x = が満たされないので、両辺に
=0Î
これでは
ab=1
2 を加えます。
ï
ï
6
ï
2
2
í
3x
+xy-2y +6x+y+1+2=0+2=(3x
-2y+3)(x+y+1)
ï
-5 ± 7
ï
y = -1 Þ x =
= -2 Î 
ï
ï
6
ï
⇒
î (3x-2y+3)(x+y+1)=2
-
-
(a - b, a
+ ab + b )º (A, B )
a 3 - b3 > 0 Þ A > 0
2
æ
bö
3
B = a + ab + b = çça + ÷÷÷ + b 2 ³ 0
çè
2ø
4
2
2
ì
ï
AB = 65 = 5´13
ï
ï
23
ï
2
ここで
B>0 がわかります。
-, 3Bbab
==(1,65
A2 >
Bb 2³=20(a -Þ
)3>0
B =íaa=b=0
+2 0,
ab +とすると
b)a(A
+
Aの条件に反するので
+)3, (a5,13
(a -)A)
ï
a
b
,
a
+
ab
+
b
º
A
,
B
( )
( ï22
)
ということは
4AB、
Þ3 3ï
3 Aa
+B
A2 ≧
- B1=です。
0
ï
îaA-£
a - b3 > 0 Þ A > 0
この
は AB
を満たす
2 =65 2または AB =217
2
2 整数 A 、 B を求めるのですが、
2
ìï D先
2 B - 3 A = 3( 4 B - A ) Þ D / 3 = 4 B - A ³ 0
B) =
12
ïï = (23 A) - 12(2A æ
ö
b
3
2
ì
÷
ç
A
=
a
b
=
1
いずれも因数の組み合わせの数が多いので、その場合の数を絞り込むことが肝
ïíB =ï
ïa + ab + b = ççèa +D2 ÷÷ø + 4 b ³ 0
ïïa =í3 A ± 2D = A ±
2
2b を消去した
要です。本問ではまず、
a についての２次式の判別式を調べます。
ïï ï
î B =6a + ab2+ b 6= (a - b) + 3a (a - 1) = 65
î ï
2
2
B =3aa22 +
==(a0,-Db)=+ 39ab
a (a -ab
+=
3a+-b64
4 ×A32× +
643=
7 ×A3)× 37 Ï R
Þ 3a 2 - 3 Aa + A2 - B = 0
ì A = 2a - b = 25
ìï D =ï
(3 A) -12( A - B) = 12 B - 3 A2 = 3(4 B - A2 ) Þ D / 3 = 4 B - A2 ³ 0
ïï ï
í
ïíïì ABï=
65 a=2 5+´ab
13 + b 2 = (a - b)2 + 3a (a - 5) = 13
ï î3BA=
± D
A
D
ïïïïa =ï
±(A,2 B ) = (1,65),(5,13)
0,2 B ³ 0= Þ
ïïíï A >
2 = a6 - 5a + 4 = 0 Þ a = 1, 4
îï 23a -615a + 12
ï
ï
î A £ 4B
= (1, 4),(4, -1)
(a,Ab)と
つまり、
a が整数であることが必要です。まず、
「A、
D によって得られる
ì
A = a -b =1
ï
ï
í
ï B = a 2 + ab + b 2 = (a - b)2 + 3a (a - 1) = 65
15
= 9, -8
ìA = a - b = 7
ï
ï
í
ï
B = a 2 + ab + b 2 = 493 + 33 a (a3- 7) =
31
ï
î
2 以上の整数 m，n は m +1 =n +10 3 をみたす。m，n を求めよ。
3a 2 - 21a + 18 = a 2 - 7 a + 6 = 0 Þ a = 1,6
（2009 年一橋大）
(a, b) = (1, -6),(6, -1)
この場合も、得られた２つの組み合わせが両方とも解になります。したがって、
解は上に示した４つです。
3
3
3
3
3
3
m + 1 = n + 10 Þ m - n = 10 - 1 = 999
m3 - n3 = (m - n)(m 2 + mn + n 2 ) = 33 ´ 37 > 0 Þ m > n Þ m ³ n + 1
《入試問題1.3》（難易度C）
2
m 2 + mn + n 2 = (m - n) + 3mn
3
3
3
3
2
，mn
nは
+11 +
=n
2
+m
= 13をみたす。m，n を求めよ。
m 2-以上の整数
n ³ 1 Þ m 2m+
n2 ³
3 × 2+10
(
解題
)
（2009 年一橋大）
ïìï A º m - n
í
ïïî B º m 2 + mn + n 2
１
Þ ( A, B ) = (37, 27),(27,37),(9,111), (3,333), (1,999)
変数 m、n が左右両辺に散らばると因数分解できないので、変数ごと定数ごと
3
3
+ 1 = n3 + 103 Þ m3 - nm3 、
= n10≧
-21という条件が与えられていることであ
= 999
に集めます。前問との相違点は
ìï B m
= A2 + 3mn
2
2
ï
3
2
2
12
Þ
B
³
A
+
×
×
=
A
+
í
3
3
2
2
3
ïïîm,m
り、これを利用して場合の数を絞り込めるので、判別式を利用しなくとも解く
n ³-2n = (m - n)(m + mn + n ) = 3 ´ 37 > 0 Þ m > n Þ m ³ n + 1
ことができます。
AB = 999 ³ ( A2 + 12) A
2
m 2 + mn +2 n 2 2=次不定方程式の問題では、
m - n) + 3mn
(
つまり、この種の
「判別式を利用して絞り込む」
A = 27 Þ (27 + 12) × 27 > 999 Þ A £ 9
2
という方法と、
「それ以外の条件を活用して絞り込む」方法の
2 種類の解法があ
³1 Þ
+ n)2 ³ 1 + 3 × 22 = 13
m 2 +)mn
, B,(1,999
\ ( (Am
) =n)(9,111
),(3,333
ります。ìï A º m - n
ìï( A, B ) = (9,111) Þ B - A2 = 93 = 3 × 31
ïí
ïï
解法1 判別式を利用する
2
2
ï
2 º m + mn
B
îA = 3mn Þ ïí(+
B -ï
A,nB ) = (3,333) Þ B - A2 = 324 = 3 × 108 2
ïï
≡m - n 、 B≡m mn+n 2 とおいてとも
まず、前問と同様の解法を試します。
A
2
Þ ( A, B ) = (37,
,
27,37
,
9,111
,
3,333
)
(
)
(
)
(
),(1,999)
ïï( A27
, B ) = (1,999) Þ B - A = 998
に正の A、B の積からïî A、B を求めます。この解法では、m、n ≧ 2 という条件は
Þ A = m - n ¹ 1 Þ ( A, B ) = (9,111),(3,333)
利用しません。
ìï B = A2 + 3mn
ï
Þ B ³ A2 + 3 × 2 × 2 = A2 + 12
í
次の関係から、
ïïîm, n ³ 2
2
2
2
2
2
A=m
= m - nmn+n
= 9 : B=(m
= A-+n)
3mn
= 81 + 3Amn+3mn
= 111 Þ mn = 10
+3mn=
B
2
2 AB = 999 ³ ( A + 12) A
n ++3mn
9)n = 10
= 2 × 5 Þ n = 1, n ³ 2 Þ NG n=m - A という置き換えを行って n
という関係があるうえに、
B=(A
2 2 + 12
A=n27
27A>
999
(27
A= m
=BÞ
3=: A
B
= A2 +)3×mn
=
9 + 3Þ
mnA=£333
Þ mn = 108
を消去すると
+3m(m
) となり、
a9が実数であることから判別式が正
2
3
108
× 3 )Þ
n = 9 )Þ
m = 12
(n + 3\)n( A=, B
という条件が得られます。
,(3,333
,(1,999
) ==(29,111
)
+
2
=
6
2
(a, b) = (9,8),(-8,9)
+
2
a=
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
16
a - b2 > 0 Þ A2> 0çæ
bö
3 2
3 = a23 + ab + b 2= a + ÷
÷2 + b ³ 02
ç
22> Þ
3
a
3
Aa
+
A
B
=
aB
b
>
0
Þ
A
0
B = a + ab + b = çèæ(a - bb20)ø÷ö2+ 34
3ab 2= A + 3a (a - A)
2
2
÷
2 +
ç
B
=
a
+
ab
+
b
=
a
+
2
÷
2 0
2
2
2
22 ç
ìD =
æ =
2A A3)ab
12
-+
=
Aa
+b(A
) =b20ö÷÷ø÷212+B 43-bb32A³
ççèçaBB+
ïïïÞ
B =3aa(23+
=³
0 3(4 B - A ) Þ D / 3 = 4 B - A ³ 0
÷
ç
2
2
2
ïíB = a + ab
+ b 2 =2 è(a - b2)ø + 34ab =2A + 3a (a - 2A)
ì =3(3AA±)2 -D
Aの条件を満たし、
12A
3(4=65
B - Aまたは
3 = =217
4 B - A2を満たす整数
- B)D= 212 B - 3 A =AB
³0
) Þ D / AB
かつ
≧
B ≧ 1ïïïaD
B
A、
4
= 22
=(2A」
2 ±
2
Aa++bA=
B
=
0
B =3aa +63ab
a
b
+
3
ab
=
A
+
3
a
a
A
ïïîíÞ
(
)
(
)
2
6
2
Aa (を整数（実数）にできれば、それが正解です。
±abD
B を求め、それらが
a322A+
+ b 2 2=
a -Db) + 3ab = A2 + 3a (a - A)
ïBa =
2
=
=
±
22
ìïïÞ
3
a
3
Aa
+
A
D = (3 A) - 12( A -BB=
= 3(4 B - A2 ) Þ D / 3 = 4 B - A2 ³ 0
)6=0012 B -653 Aを構成する素因数は
(1)ïïïîの文系の問題を解きます。
5 と 13 の２つしかなく、
Þ 3a 2 - 632Aa + A22- B =
íïìï D =3(3AA±) -D12( AA2 -2B)D= 12 B - 3 A2 = 3(4 B - A2 ) Þ D / 3 = 4 B - A2 ³ 0
「A、
1 かつ2 412
B ïì≧
B=≧
± B」
= (3 A) = 12 B - 3 A2 = 3(4 B - A2 ) Þ D / 3 = 4 B - A2 ³ 0
ïaD=
( A22 A
)6の条件を満たす組み合わせは次の２つしかありません。
ïîíï
6
3A ± D
A
D
= 3=A65
5´=13A ± D
±6=D
ïïíïìïïaAB
îïïïa =
=2± 6
ïîìí A > 0, 6B ³ 0 2Þ (A6, B ) = (1,65),(5,13)
ï
AB = 65 = 5´13
ï
ï
A2 £ 4 B
ï
î
í A > 0, B ³ 0 Þ (A, B ) = (1,65),(5,13)
ï
ï 2
ì
ï
AB
=465
A £
B = 5´13
まずïîïïì A(A
)=(1,65)
の場合を調べます。
=,B
ab =1
>=
0,65B=³5´
0 13 Þ (A, B ) =
(1,65),(5,13)
ì
íí A
ï
AB
2
2
2
ï
ï
ì
ab
+
b
=
a
b
+
3a (a - 1) = 65
B
=
a
+
ï
(
)
=a465
5´13
ì
ï
A2>
=£
î AB
BbB==
ï
³10 Þ (A, B ) = (1,65),(5,13)
A
0,í
ï
î
ï
í A22> 0,2 B ³ 0 2 Þ (A, B ) =
2
ï
í
-ab
=b0, D
=5,13
× 37 Ï R
3aA =
64 +
33×a64
==
1)7=)× 365
(a -9b+) 4+(×1,65
()a,(ï
£a34aB+
ïB
î
2
ï
A =£a4Bb = 1
ïì
î
ï3a 2 - 3a - 64 = 0, D = 9 + 4 × 3 × 64 = 7 × 3 × 37 Ï R
í
2
ìB
A=
a 2bab
=
ï
ì
A
=a
-+b
= 15+ b 2 = (a - b) + 3a (a - 1) = 65
ï
î
ï
í
ì
2
A2= a 22- b = 1 22
í
ï
2
この場合は判別式が平方数にならないので
a が整数にならず、不適です。次
ï
B
a3a-+
b
=
a
+
3a
=× 365
13
ì3aB
ab
+
b0, D
==
a-9b
b+
+3
a (a
a+
ï
(
)
A=
=
a
bab
= 5+
=
=15))7=
× 37 Ï R
64
î
ï
í
î
2
2
ï B = a + ab + b = (a - b)2 4+× 33×a64
ï
(aa-=1)1,=4 65
2
2
は (A,ïîíï3Ba)=(5,13)
の場です。
2
2 - 15
12
+
=-=
+× 330×aÞ
-a32aa+
-+ab
==b0,2aD
= 5)7=× 313
× 37 Ï R
64
64
(a5a-9+b+)44=
(a ï
î3aB2=
=
=
+
×
×
=
×
× 37 Ï R
3
a
3
a
64
0,
D
9
4
3
64
7
3
ì
-=4)5,(4, -2 1)
a15(ïï3aaA,2b=)=
(a1,b+
12 = a - 5a + 4 = 0 Þ a = 1, 4
í
2
a 2=4)5+,(b4,2-=1()a - b) + 3a (a - 5) = 13
ab
1,b(ïîìïïìaBA, b=) =
(+
A = a 2- b = 5 2 2
í
ï
2
ï3aB2=
b)42 =
+ 30aÞ
(aa-=5)1,=4 13
ï
í -a152 a++ab12+=b 2a=-(a5a-+
î
ï
B
=
a
+
ab
+
b
=
a
b
+
3
a
(
)
(a - 5) = 13
2b = 21, -4 , 4, )b15
( ba22)1-º
) 5(aA+
, a(a+
, B4)= 0 Þ a = 1, 4
+ab
=
12) +
(ïî3aa,3a 2 - 15a + 12 = a 2 - 5a + 4 = 0 Þ a = 1, 4
2 1)
=
,b)b=
4)7,+
((ìïaaAB
(21,+-=
(´4,b31
º A, B
ab
, a217
(ïïïa, b) = (1, -4),(4, -)1) ( )
この場合は得られた２つの組み合わせが解となります。
>
³
Þ
A
B
0,
0
(A, B ) = (1, 217),(7,31)
í
ì
=の理系の問題を解きます。
217 = 7 ´ 31
次にïïï AB
(2)
2
º ((A
ab0+ b 2 )Þ
(ïîíaAA->£b0,,4aB2 +B ³
A,, B
B)) = (1, 217),(7,31)
ï
2
2
2 b, a + ab + b
(ïïïîìaAB
)º (A, B)
=4217
= 7 ´ 31
£
AB
2
ï
+=
a
ab1 + b 2 )º (A, B )
(ïìïíì AA >
=b0,
a, a- b
Þ (A, B ) = (1, 217),(7,31)
B³0
íì
ï AB = 2217 = 7 ´231
ï
2
=
=
´
AB
217
7
31
B
=
a
+
ab
+
b
=
1 +A3,aB(a=
217
ïA >
ï
BbB=
ì
îí
=£0,
a4³10
Þ
217
( ) -(11,) =
),(7,31)
ï
î
ï
íï
22> 0,2 B ³ 0 2 Þ ( A, B ) = (1, 217 ), (7,31)
A
ï
-ab
3aA =
216+=b 0,=D1=
4 ×13)×=216
ï
+ 3a9(+
a217= 3´17
£a34aB+
ï
îï B
2
£
A
B
4
ï A2=3 a±-3´
171 1 ± 17
ìî
=
ï
- 3a -b 216
9+
== 0, D =
-84 × 3 × 216 = 3´(17
9,
(A,Bïíï3aa)=の組合せの数は
2=つであり、まず
A,B)=(1,217) の場合を調べます。
2 6
2 2
B
=
a
+
ab
+
b
=
+
a
1
3
ì
(a - 1) = 217
b=
ï
171 1 ± 17
î A 3 ±-3´
ï
=8,9
= 9, -8
, b=) =
(ìíïïaaA=
(9,8
),1(a 2b=
2 )
6-ab
+ 3a9(+
a217= 3´17
-a32a+
3aB2=
216+=b 20,=2D1=
4 ×13)×=216
ï
í
î
ï
B
=
a
+
ab
+
b
=
+
a
a
=
1
3
1
217
(
)
(ïî3aa,2b)3=
),(-8,9
±(39,8
´17
1 ±)17 9 + 4 × 3 × 216 = 3´17
-8
a =2 3a - 216== 0, D == 9,
-a3a-6-b 216
= 0, D = 9 + 4 × 3 × 216 = 3´17
3aA =
ì
ï
3 ± 3´=
177 1 ±217
ï
í
=
=
= 9, -8
a
´ab
17
12 ±2)17
, b=)3=
8,9
(ìïïaaB=
(3+
),(++9,
a±249=
3a-(8a - 7) = 31
69,8
=b =
îA =
=
a
b
7
ï
ï
6
2
2
9,8
, ((í3aa,2b)=
2(a
2a )- 7 a + 6 = 0 Þ a = 1,6
+)18
=8,9
a21
9,8ab
(ïïîaB, b=) =
(+
),(+-b8,9=) 49 + 3a (a - 7) = 31
-=6)7,(6, -2 1)
(ìï3aaA,2b=)=
(a1,b+
a2118 = a - 7 a + 6 = 0 Þ a = 1,6
ï
この
í 場合2 は得ら 2れた２つの組み合わせが両方とも解になります。次は
ab
=6)7+,(b6, -=1)49 + 3a (a - 7) = 31
a1,b(ìïïîïaBA, b=) =
(+
(A,B)=(7,31)
ì
í A2= a 2- の場合です。
b=7 2 2
ï
ï
ab18+=b a=-497 a++3a6(=
a7) =
311,6
-a21a++
a=
3aB =
0Þ
ï
í
î
ï
B2= a 2 + ab + b 2 =
49 + 3a (a - 7) = 31
ï
2
î
-618
(3aa, b) =21(a1,+
),=
(6,a-1-) 7a + 6 = 0 Þ a = 1,6
ìï( A, B ) = (9,111) Þ B - A2 = 93 = 3 × 31
ïï
ìA = m - n
ï
ï
ï
2
2
í B2 A = 3mn
2 Þ í( A, B ) = (3,333) Þ B - A = 324 = 3 × 108
ï
ï
ï
î B = m + mn + n
ï
ï(2 A, B ) = (1,999) Þ B - A2 = 998
2
B = (m - n) + 3mn = Aï
ïî + 3m (m - A)
=-mAA2 +Þ
3mA(m
0 ( A, B ) = (9,111),(3,333)
) -n B¹=1 Þ
3m 2 - 3 Am + ( A2 - B) = 0
17
m ÎAR=
A 9-: 12B( A= ÞmD-=n9=
0 Þ=4 B
) ³3mn
A2B+
81³+A3mn = 111 Þ mn = 10
2
3
2
2
3
3
2
+ nq2)(=p(2 m
--pqn)+
q 23)mn
- pq ( p + q )
( p+
+3mn
+
mP2=
2
2
pqmn
+ q+2 )npq1ùú+ 3 × 22 = 13
) éêë13(Þp 2m-2 +
³
m(-pn+) q³
(=
û
2
2
n
ïìï=A(ºp m
+ q )(3 p - 4 pq + 3q )
í
削ることを考えます。ここで、
AB が一定なので、A が 27 以上だと AB が 999 よ
ïïî B º m 2 + mn2 + n 2
\ ( p + q )(3 p - 4 pq + 3q 2 ) = 3´ 61´11
り大きくなることから
であることがわかり、
A ≦),9(9,111
B と A2 の差が３の倍数であ
Þ ( A, B ) = (37, 27),(27,37
),(3,333),(1,999)
ることから、A≠1 がわかって、２つの場合に絞られます。
ìï B = A2 + 3mn
2 2
ï 2
2Þ B ³ A +
3 ×22(×p22=
Aq22 )+³122( p 2 + q 2 ) > p + q ³ 2
3í
p , n-³4 pq
+
3
q
=
p
q
+
+
(
)
ïïîm
2
\
q,3³
p 2(3q 2 ) = (3,61´11),(11,61´ 3),(3´11,61)
( p=+999
AB
A24+pq12+) A
A = 27 Þ (27 2 +ìï12
) × 27 > 999 Þ A £ 9 2
ïï( A, B ) = (9,111) Þ B - A = 93 = 3 × 31
1,999) Þ B - A2 = 324 = 3 × 108
( AA, 2B=
) =3mn
(9,111
Þ íï)(,(A3,333
B\, B ) =),((3,333
ïï
ì
=((1,999
9,111))Þ
ÞBB-AA22=
=998
93 = 3 × 31
ïïîïïï((AA,,BB))=
ï
ï
BA2 m=-3mn
- A) 2 = 324 = 3 × 108
í( (AA, B
Þ
A=
n ¹Þ
1Þ
, B) )==(3,333
,(3B
,333
(9,111))Þ
ïï
2
ïïîï( A, B ) = (1,999) Þ B - A = 998
場合の数が 2 つまで減ったので、後は代入して確認します。
Þ A = m - n ¹ 1 Þ A, B = 9,111 , 3,333
A = m - n = 9 : B = (A2 +)3mn( = 81)+(3mn =) 111 Þ mn = 10
2
2
2
3Ap=
pq (+
10 pq
) -Þ
274 Þ
2732q+=
123)(× p27+>q999
A£9
\ ( A, B ) = (9,111),(3,333),(1,999)
ìï( A, B ) = (9,111) Þ B - A2 = 93 = 3 × 31
ïï
B - A2 = 3mn Þ ïí( A, B ) = (3,333) Þ B - A2 = 324 = 3 × 108
ïï
ïï( A, B ) = (1,999) Þ B - A2 = 998
ïî
Þ A = m - n ¹ 1 Þ ( A, B ) = (9,111),(3,333)
(n + 9)n = 10 = 2 × 5 Þ n = 1, n ³ 2 Þ NG
A = m - n = 3 : B = A2 + 3mn = 9 + 3mn = 333 Þ mn = 108
ì
A= m-n
ï
2
3
ï
í(n + 3)n2 = 108 = 22 × 3 Þ n = 9 Þ m = 12
ï
ï B = m + mn + n
î
n ≧ 2 から m2-n≠9、したがって答えは
m=12、n=9 のみです。
ìA
Bï
mm--nn) + 3mn = A32 + 33m (3m - A3 )
==
(
ï
2í 以上の整数 m，n は m +1 =n +10 をみたす。m，n を求めよ。
2
2
2
mnA+
+Aï
) -nB = 0
ï
î B+=3m (m
（2009 年一橋大）
判別式を利用しない
2
2
A20+ 3m (m - A)
- n+
) (+A32 mn
-(m
- B=) =
3Bm=
3 Am
定数の素因数分解で
37
という大きな素数が現れて、先の見通しが立ちます。
2
2- B = 0 2
A
m
m
A
+
3
(
)
m Î R Þ D = 9 A m>n
- 12( A
- B ) ³ 0 Þ 4 B ³ A2
この変形結果から、
が明らかであり、さらに
m ≧ n+1 がわかります。
解法2
3
3
Am
+Þ
- B=) 3=
3m 2=-333 ´
( A423AB
3 ³ A
´033 =n
´ 37
Þ A£9<
37
2AB
以上の整数
は m 4+1
+10 3 をみたす。
m3，´n5.3
を求めよ。
3
3 m，n
m + 1 =3 n + 10 2Þ m3 -2n3 = 103 - 1 = 999 2
ì
RÞ
Î=
= 9 A - 12( A 3 - B) ³ 0 Þ
4B ³ A
ï
3 ´D37
（2009 年一橋大）
23
ïmAB
´
´m
1,3mn´+37n)2,)(3,3
37
,(9,3
37>
)
)
í
m3 - n33 = (m(-An, B)()m=2 (+
=
3
´
37
>
0
Þ
n
Þ m ³ n +1
ï
A £=93 ´ 37 Þ 4 AB = 4 ´ 33 ´ 37 ³ A3 Þ A £ 9 < 3´ 5.3
ïAB
î
3
ì AB
2
ï
2 = 3 ´ 37
右辺の素因数分解の結果を左辺の因数の組み合わせで実現するためには、左
ï
+
+ n 2 (=A,(B
m
mn
m)3mn
=n()1,3+3 ´
37),(3,32 ´ 37),(9,3´ 37)
í
ï
9 2
辺の各因数のとり得る値の範囲が必要になります。ここで
m-n ≧ 1 はわかって
ï
î A3 £
2
2
3 +n
3 3 × 2 2 = 13
-1n=
+mmn
1+
(m +
) ³
m
n31+Þ
10m3 Þ
- n3 =³10
- 1 = 999
2
いるので、次は
m2+mn+n
のとり得る値の範囲を計算しますが、これを得るた
3 ºm
3 -n
2
2
3
ì
A
ï
m
ïí - n = (m - n)(m + mn + n ) = 3 ´ 37 > 0 Þ m > n Þ m ³ n + 1
めには、次のように評価します。以降は、それぞれの因数を
A、B と定義します。
2
2
ï
ïî B º m + mn + n
2
2
Þ2 (+Amn
=n(37,
, B )+
9,111), (3,333), (1,999)
=27
m
n) +)3,(mn
(m),-(27,37
2
(m - n) ³ 1 Þ m 2 + mn + n 2 ³ 1 + 3 × 22 = 13
ìï B = A2 + 3mn
ïìïíïA º m - n
Þ B ³ A2 + 3 × 2 × 2 = A2 + 12
íï
, n ³2 2
îBmº
ïïîï
m + mn + n 2
2
+),12
AB
( A27
) A ),(9,111),(3,333),(1,999)
Þ
( A=, B999
) =³
(37,
(27,37
18
A = 27 Þ (27 2 + 12) × 27 > 999 Þ A £ 9
これらの
5 通りしか許されません。しかしこれでもまだ多いので、場合の数を
ïì\B(=
A2) =
+ (39,111
mn ),(3,3332),(1,999)
A, B
Þ B ³ A + 3 × 2 × 2 = A2 + 12
íï
ïïîm, n ³ 2
ìï( A, B ) = (9,111) Þ B - A2 = 93 = 3 × 31
ï
場合の数が 2 つまで減ったので、後は代入して確認します。後は［解法１］と
ìp + q = 3
ï
ï
pqÞ=mn
27
- 10
61´
< 0 のみです。
同じです。
n n≧=29 :から
、したがって答えは
m=12
、11
n=9
B =mA-22n
+≠39mn
= 81 + 3mnÞ
=10
111
=
íA = 2m 2
ï3 p - 4 pq + 3q = 3 × 3 - 10 pq = 61´11
ï
(în + 9)n = 10 = 2 × 5 Þ n = 1, n ³ 2 Þ NG
《入試問題1.4》
A = m - n =（難易度C）
3 : B = A2 + 3mn = 9 + 3mn = 333 Þ mn = 108
p++33)qn==211
108 = 22 × 33 Þ n = 9 Þ m = 12
(ìïïín　Þ 10p、
pqq=の組をすべて求めよ。
363 - 183 = 180
3p －p q－pq2+3q3=2013 を満たす正の整数
2
2
2
ï
ï
î3 p - 4 pq + 3q = 3 × 11 - 10 pq = 61´ 3
ìA = m - n ì
ï
ï p + q = 11
ï
íÞ pq =2 18 Þ ï
í 2
ï
ï
B
m
mn
n = 18
=
+
î
ï
î+pq
解題 ï
2
Þ=t 2(0Þ
q )3=
(9,) 2)
B
m 11
m(2,9
m -),A
-tn+
+ 3=mn
= (Ap2,+
) 18
（2013 年一橋大 1）
一橋大の出題が続きます。これも典型問題です。左辺を因数分解し右辺を
A2 + 3m (m - A) - B = 0
素因数分解して、つじつまの合う組合せを探します。本問は、
p 3- q 3=(p - q)
2
2
ìm
Am
3ï
p 2+-q23)=
33+ ( A2 - Bp)3=
ではなく
pq+q
) の関係を利用し、p+q ともう
(p 2 pq+q
+0q 3=(p + q)(p
ï
Þ
10
pq
=
3
×
332 - 61=3206
í 2
222
222
3
3
2
ï
3
p
4
pq
+
3
q
=
3
×
33
10
pq
=
61
2013
ï
1 つの因数に因数分解します
Rº
Þ3Dp=-9 Ap q
-³ 3A´ 61´11
12pq
4B =
îm Î P
( A -+B3)q³=0 Þ
2
ìï p333 ´
2013
2016 年にも
q3 Þ
= (4 pAB+=q )2013
pq ³
+ Aq32 )Þ A £ 9 < 3´ 5.3
AB年の問題なので
=
´の素因数分解を題材にしています。
4(´p3337
ï +37
5í
2
2016=2
ì
ï
ABï×
= 2333 ´×
37 72 を利用した問題が出題されることでしょう。
3 q)
p+
ï
B )pq
= ((1,3
´ 37),(3,32 ´ 37),(9,3´ 37)
ïî p q + pq( A,=
í ï
解法1ï
£9
ï
î A判別式を利用する
P = 3( p + q )( p 2 - pq + q 2 ) - pq ( p + q )
この問題も、判別式を利用して解くことができます。そのためには、p か q の
= ( p + q ) éê3( p 2 - pq + q 2 ) - pq ùú
いずれかを残し、その実数性を利用します。
ë
û
+
3
=22×25× 3Þ
Þ
n 1,
= 9 nÞ³m2 =
10 =
n=
Þ12
NG
((nn++39))nn==108
-
2
AA=
++
3mn
==
333
=mm-nn=
=39:: BB==AA2++33mn
mn==981
3mn
111ÞÞmn
mn==108
10
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
í2
2
ïïîA
n22 +
-3m
nm
mn0+ n 2 ³ 1 + 3 × 22 = 13
1-ÞA+)m(Bmº
)2 (+³
mmn
B=
+
Þ
A-, B
37,
-=n(+
m
3ïìïmA(2º
3)Am
( A272 -),(B27,37
) = 0),(9,111),(3,333),(1,999)
í
2
2
ïïî B º m + mn + 2n
m
Î R Þ D = 9 A - 12( A2 - B) ³ 0 Þ 4 B ³ A2
ìïÞB(=A,AB2)+
=3(mn
37, 27)B,(³
27,37
2 ),3(9,111), (3,333
2
),(1,999)
+A
12
íï = 33 ´ 37 Þ Þ
AB
£ 9 < 3´ 5.3
4 AB = A
4 ´+
3 3´× 237× 2³=AA3 Þ
ïïîm, n ³ 2
3
ì
ï
AB = 32 ´ 37 2
ï
ìï B = 999
A
( A,+B12
) =) A(1,323 ´ 37),(3,32 ´237),(9,3´ 37)
A +³3(mn
íAB
ï
ï
Þ
B ³ A + 3 × 2 × 2 = A + 12
A
£
9
ïí
î
2 (27 2 + 12) × 27 > 999 Þ A £ 9
=, n27³Þ
Aïïîm
B と\AB
A(2Aの差が３の倍数であることから
A≠1 がわかって、２つの場合に絞られます。
=
( A2 )+,(12
) A ),(1,999)
, B999
3,333
) = (³9,111
ìï p +=q(º
A q )(3 p 2 - 4 pq + 3q 2 )
p+
ï
í 2
2
ïï3 p - 4 pq + 3q 2 =
2 3( p + q ) -210 pq º B
4 pq + 3q ) = 3´ 61´11
î \ ( p + q )(3 p 2
2
B = 3 éê( p + q ) - 2 pq ùú - 4 pq = 3( p + q ) - 10 pq
ë
û
= 3 A2 - 10 p ( A - p ) Þ 10 p 2 - 10 Ap + 3 A2 - B = 0
2
2
D =3100
A2 4-pq
4 ×+
103× (q32A=
) ³q0)2 +
Þ25(Ap2 2-+2(q32A
Bq ³2
p2 q 2 )A>£p2+
( pB) 2³-2B()p³2 +0 Þ
2
A
2
2
2
Þ(\
p+
B ³ ´11),(11,61´ 3),(3´11,61)
( pq)+ £q,32(p32p--4 4pqpq++33qq2 ))=Þ(3,61
2
19
したがって A=11 だけが残ります。
-
P = 3( p +é q )(2 2p - pq + 2q2 ) - pq
( p + q)
=
+ q3q)2pq ù
) 3 p --44pq
\ (( pp +
pq
=
+ qq )((êë 3(pp 2 2pq +
+ 32q )) = 3úû´ 61´11
= ( p + q ) éê3( p2 - pq + q )2- pq ùú
=
+ qq )(ë33 pp2 pq +
+ 33qq2 ) = 3û´ 61´11
\ (( pp +
)( 2 - 44 pq
)
2
=
p
+
q
3
p
4
pq
+
3
q
2
2)
(
)
(
\ ( p + q )(3 p - 4 pq + 3q ) = 3´ 61´11
2
2
2
= 23(´p61
)(3+p32 q-2 4=pq
3\p(2p-+4qpq
+´q11
( p+-3qq)2 )+
) ³ 2( p 2 + q 2 ) > p + q ³ 2
,3 +
p 2 3-q 24=
pq +
3qq2 )2=+(23,61
3\p(2p-+4qpq
³ 2( p´2 3+),q(32 ´
p +)q ³ 2
(p)
( p 2´+11q)2,)(11,61
) >11,61
2 2
2
2
2
3\p 2p-+4qpq
p( p23,61
³ 2( p´2 3+,q32 ´
p+q³2
10
( ppq
p 2 3-q 4=
pq(3+
3+
qq2)q)2)=+´+11q),)(11,61
(
) ( 2 ) >11,61
)
(2 ,3 +
2
2
2
2
3\p p-+4qpq
+
2 3q = ( p - q2) + 2 ( p + q ) ³ 2 ( p + q ) > p + q ³ 2
2
,3
p
4
pq
+
3
q
=
3,61
´
11
,
11,61
´
3
,
3
´
11,61
(
)(
)(
)
3 p(2 - 4 pq +2 3q 2 = 3( p +2 q) ) - 10 pq
つまり、相加平均≧相乗平均の関係から、左辺の２番目の因数は先頭の因数
\ (2p + q,3 p - 24 pq + 3q ) =2 (3,61´11),(11,61´ 3),(3´11,61)
3 p - 4 pq + 3q = 3( p + q ) - 10 pq
より大きいので、右辺の因数の組合せは上に示した３通りしかありません。こ
2
3 p 2 - 4 pq + 3q 2 = 3( p + q ) - 10 pq
5
A
10
121
£ 183 < 353
2
ì
+=
q 183
= 11Þ 121 £ 183 < 353
ï
Þp B
ï
121
ï
2
Þ<t 2353
- 11t + 18 = 0 Þ t = 2,9
íÞ B =363
Þ183
183183
121=£18
ï
pq
=
ìÞp B
2 £ 183 < 353
+
q
=
11
ï
=
Þ
183
ï
10 32
î
3
ï
ì
3p
p2q－
+3q
=2013 Þ
を満たす正の整数
q の組をすべて求めよ。
p－+
112=pq
t 2 - 11t + 18 =p0、Þ
t = 2,9
ï
í
363
183
ï
p
,
q
2,9
,
9,
2
\
=
(
)
(
)
(
)
ï
ìp
pq+=q = 11
= 18 Þ t 2 - 11t + 18 = 0 Þ t = 2,9
ï
ï
í
（2013 年一橋大 1）
- 183
ï
î
2
ï pq = 36310
í
363 - 183 = 18 Þ t - 11t + 18 = 0 Þ t = 2,9
ï
ï
10
=は上の２組、
î\pq
, q ) = (2,9
218
( p=
),(q9,
)
したがって、
p、
(p,q)=(2,9),(9,2) だけです
ï
ï
î\ p, q = 10
( ) (2,9),(9, 2)
\ ( p, q ) = (2,9),(9, 2)
Þ B = 183 Þ
判別式を利用しない
両辺をそれぞれ因数分解・素因数分解します。
解法2
P º 3 p 3 - p 2 q - pq 2 + 3q 3 = 2013 = 3´ 61´11
ïìï p 3 + q 3 = ( p + q )( p 2 - pq + q 2 )
í 2
ïï p q + pq 2 = pq ( p + q )
ïî
P = 3( p + q )( p 2 - pq + q 2 ) - pq ( p + q )
= ( p + q ) éê3( p 2 - pq + q 2 ) - pq ùú
ë
û
2
2
= ( p + q )(3 p - 4 pq + 3q )
\ ( p + q )(3 p 2 - 4 pq + 3q 2 ) = 3´ 61´11
左辺の後ろの 2 次式はこれ以上因数分解できないので因数の数は２つである
2
のに対し、右辺には３つの因数があります。ここで
3 p 2 - 4 pq + 3q 2 = ( p - q ) + 2( p 2 + q 2 ) ³ 2( p 2 + q 2 ) > p2+次式をもう少し工夫して
q³2
取り得る値の範囲を絞り込みます。
2
2
\ ( p + q,3 p - 4 pq + 3q ) = (3,61´11),(11,61´ 3),(3´11,61)
2
20
3 p 2 - 4 pq + 3q 2 = 3( p + q ) - 10 pq
こがキーポイントです。
さらに左辺の第２の因数を第１の因数を使って分解すると、p+q と pq で表す
ことができます。ここまでが最初の式から得られる関係です。以降は得られた
情報から場合を絞り込んでいきます。
ì
ï
p、q を探します。
ここまで整理したうえで、３つの場合ごとに
ïp + q = 3
Þ 10 pq = 27 - 61´11 < 0
í 2
ï3 p - 4 pq + 3q 2 = 3 × 32 - 10 pq = 61´11
ï
î
ìp + q = 3
ï
ï
Þ 10 pq = 27 - 61´11 < 0
í
ì
q=
3 + 3q 2 = 3 × 32 - 10 pq = 61´11
ï3pp+2 4 pq
ï
î
Þ 10 pq = 27 - 61´11 < 0
í
2 q=3
2
2
ì
ïï
ì3ppp+
+q 4=pq
11+ 3q = 3 × 3 - 10 pq = 61´11
ï
î
ï
Þ
´11
0
íí 2
Þ10
10pq
pq =
= 27
363--61
183
=<
180
22
2
ïï33pp 2 +
=
´´
113
この場合、
10pq
-44pq
+33qq は正でなければならないので不適です。
= 33××3112--1010pqpq==6161
pq
ï
î
ï
î
ì
p + q = 11
ï
ï
Þ 10 pq = 363 - 183 = 180
ì p2+ q = 112
í
ï
2 q = 11
ì
ï
-=418
+ï
3pp+
pqÞ
Þ
pq
í3q = 3 × 11 - 10 pq = 61´ 3 Þ 10 pq = 363 - 183 = 180
ï
î
ï
í 2
pq = 18 2
î
ì
q=
11 + ï
ï
× 11
3pp+ 4 pq
3qp2+=q3=
ì
11 - 10 pq = 61´ 3 Þ 10 pq = 363 - 183 = 180
ï
ï
î
2
íÞ tpq
=1118
Þ18ï
22 0 Þ ( p,2q ) = ( 2,9), (9, 2)
+
=
t
í
ï
× 11
3qp
ï
=
11 - 10 pq = 61´ 3
=q318
pq+=
ï
î3 p - 4 pq + ì
î
Þ pq = 18 Þ ï
í
2
ï
p
q18
=( 11
pq+
Þ tpq
-=1118
t +Þ18ì
0=Þ
p, q ) = (2,9),(9, 2)
ï
î=
Þ
í
2
ï
ì
=
pq
18
q 11
= t33
ï
Þp t+ + 18ï
î = 0 Þ ( p, q ) = (2,9),(9, 2)
ï
Þ 10 pq = 3 × 332 - 61=3206
í 2
2
2
ï
3 pt - 11
4 pq
3 ×(33
10(pq
t ++183q= 0=Þ
p, q2,9=
9, 2)
)=
),(61
ïÞ
î
ì
p + q = 33
ï
ï
この場合、
10pq=180
であり、
p、qÞが２組得られます。
10 pq = 3 × 332 - 61=3206
í
2
2
ì3pp+2 q
=
33
ï
4
pq
+
3
q
=
3
×
33
10
pq
=
61
ï
î
Þ 10 pq = 3 × 332 - 61=3206
í
2
2
ì3pp+2 q
=
33
ï
4
pq
+
3
q
=
3
×
33
10
pq
=
61
ï
î
Þ 10 pq = 3 × 332 - 61=3206
í
2
2
2
ï
3
p
4
pq
+
3
q
=
3
×
33
10
pq
=
61
ï
î
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
=
3 A3 ê(-p10
-2ppq
p B=0
)Þ
B=
p ++q3)A-4 pq
3(Ap
+pq()A=10
210 pq
ú -10
ë
2
2A
2
2 û
2
= 3(Ap22+-q10
p
A
p
Þ
10
p
10
Ap
+
3
A
B =2 0
(
)
2
2
2
3
p
4
pq
3
q
B
Þ
£
+
Þ
³
2 2
D 3=A100
A) p-(4A×(10p× ()3Þ
A 10
-pB2)³10
0)Ap
A 0- B) ³ 0 Þ A2 £ 2 B
Þ+5 A
-2-2(B3=
A
3
=
- 10
2
2
2
2
D = 100 A22 - 4 × 10 ×2(3 A2 - B) ³ 02 Þ 5 A A 2(3 A22 - B) ³ 0 Þ A22 £ 2 B
2
Þ
+ qA) £42×(10
3 p× (3-A4 pq
B
³
( p100
D=
- B+) 3³q 0) Þ
Þ 5A A22(3 A - B) ³ 0 Þ A £ 2 B
2
Þ ( p + q )2 £ 2(3 p 22 - 4 pq + 3q 22 ) Þ B ³ A22
Þ ( p + q ) £ 2(3 p - 4 pq + 3q ) Þ B ³ 2
2
2
3A - B
2
3( p + q ) - 10
Þ pq =
> 1 Þ B < 3 A2 - 10
これと同様に
pqpq≧=1Bからも条件が得られます。
10
3 A2 - B
2
3( p + q ) - 10 pq = B Þ pq = 2
> 1 Þ B < 3 A2 - 10
3 A10
B
2
3( p + q )2 - 10 pq = B Þ pq = 3 A2 - B > 1 Þ B < 3 A22 - 10
3AB
-×10
(p+
ì
= q3)× 11
61pq =
ï
ì AB2 Þ pq2= 10 > 1 Þ B < 3 A - 10 B
ï
条件をまとめると次のようになります。領域を右
ï
ï = 3 A - 10 10
ï
Þ A= 4 Þ A> 4
ï
2
ï
ï2
A
ï
ï
図に示します。
B
³
Þ
2
ì AB = 3 × 11× 61 ì
í
í
ï
ï
ï
ï
2
ïA
A22 = 3 A2 - 10
ï
ï
Þ10A = 4 Þ A > 4
ì AB =A32 2× 11× 61 ï
ï
ï
ì A2 £ B £2 3 A2 ï
ï
ï
B
A
£
3
10
2
ì
10
AB³= 32 × 11× 61 Þ ï
ï
ïB
î
ì A22 = 3 A2 - 10 Þ A = 4 Þ A > 4
í
í
ï
î
ï
ï
A22
ï
A2 = 3 A - 10
ï
2 Þ A= 4 Þ A> 4
ï
B
³
Þ
í
í 22 £ B £ 3 A - 10
ï
A
ï
5
ï
£ 32A2 - 10 Þ ï
í
í A22
2
ï
ï
î
ï
îB ³
ï
ï
B
A
£
£
3
10
2
A
ï
ï
O
B £ 3 A22 - 10
2 £ B £ 3 A2 - 10
ï
î
ï
î
ï
ï
B
A
£
3
10
-5
2
ï
ï
î
ï
î
この場合、左辺が 10 の倍数であるのに対し右辺は 10 の倍数ではないので不
適です。したがって、p、q は上の２組、(p,q)=(2,9),(9,2) だけです。
ïìï p + q º A
í 2
ïï3 p - 4 pq + 3q 2 = 3( p + q )2 - 10 pq º B
ìîï p + q º A
ï
2
2
íìïBp=+23qé(º
2 3 p+q
p+
A q -22 pq ù - 4 pq =
( pq º) B-10 pq
ïî3 p -êë 4 pq +) 3q = 3úû( p + q ) - 10
íìï p +2 q º A
2
2 4 pq +23q 2 = 3( p + q2 ) - 10 pq º 2B2
33pAïî=
pq()A-2ppq
p 10 Ap + 3 A - B = 0
é(-p10
ù -10
)Þ
3
4
pq
+
=
íB =
2 3( p + q ) - 10 pq
úû
2
ïï3 p 2 -êëé 4 pq
2
+
3
q
=
3
p
+
q
10 pq º 22B
(
)
îB
D=
= 3100
102×pq
B2)=
³ 30( pÞ
q )4 ×+ q) 10
( pA+2 ()3ÞùûúA-210-4 pq
2(B3pq
A2 0- B) ³ 0 Þ A2 £ 2 B
= 3 A2ëê- 10 p ( A
p
p
10
Ap +5 A
32A2 =
2
2
ù - 4 pq2 = 3( p + q ) B = 32éê( p +22 q ) - 2 pq
2A 10 pq
2
=
Þ
2×(3 pp×2()33³q10
Þ
+
£(4A
pq
Þ+
B 3³A
ë-q10
ûúA4210
(Ap100
2 - B =2 0
D 3=
A) p10
-pB+)0)Ap
5
2(3 A - B) ³ 0 Þ A2 £ 2 B
Þ
A
2
2
22
2 B =2 0
=
- 10
+ 3A
2 A2
D 3=A100
A22 p-(4A×10p× )3Þ
A210
-pB ³10
0 Ap
Þ B5 A
Þ ( p + q )2 £ 2(3 p 2( - 42 pq +) 3q 2 ) Þ
³ -22(3 A - B) ³ 0 Þ A £ 2 B
2
2
A2
D = 100 A 2 - 4 × 10 × 3 A - B ³ 0 Þ 5 A2 B ³ 22(3 A - B) ³ 0 Þ A £ 2 B
Þ ( p + q ) £ 2(3 p 2( - 4 pq +) 3q 2 ) Þ
A2
2
Þ ( p + q ) £ 2(3 p 2 - 4 pq + 3q 2 ) Þ B ³
2
3 A2 - B
2
3( p + q ) - 10 pq = B Þ pq =
> 1 Þ B < 3 A2 - 10
21
したがって、x ≦ y ≦ z の場合 (x,y,z) は (1,2,3) に限られます。これに対して
前節の問題は基礎的な問題が多いのですが、本節ではワンレベル上の問題を解
説します。
P =6 通りの組合せがすべて解です。
(x,y,z)=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)
3 3
《入試問題1.6》（難易度D）
●3次の積と和の整数方程式の問題
整数問題の入試問題においては、xn+yn+zn=x+y+z という関係式を満たす整数
問題が 1 つの分野を構成しています。難しい問題もありますが、たかだか n=3
程度の問題なので、一度解いておけば大丈夫でしょう。
n を正の整数とする。実数 x，y，z に対する方程式
x n +y n +z n =xyz ………　①
を考える。
①を満たす正の整数の組 (x, y, z) で、x≦y≦z となるものをす
(1) n=1 のとき、
べて求めよ。
《入試問題1.5》（難易度B）
(2) n=3 のとき、
①を満たす正の実数の組 (x,y,z) は存在しないことを示せ。
（以上 2006 年東大文科第３問）
(3) n=2 のとき、
①および x≦y≦z を満たす正の整数の組 (x, y, z) で、y≦3 と
なるものをすべて求めよ。
(4) n=2 のとき、組 (a,b,c) が①および x≦y≦z を満たすならば、組 (b,c,z) が
①および x≦y≦z を満たすような z が存在することを示せ。
①および x≦y≦z を満たす組 (x,y,z) は無数に存在することを
(5) n=2 のとき、
示せ。
（以上 2006 年東大理科第 4 問、改題）
x+y+z=xyz をみたす自然数 x, y, z の組み合わせをすべて求めよ。
（類題、2004 年東京女子大）
解題
次の東大の最初の問題の類題です。一般的には和より積の方が大きいので、何
かの上限が得られるはずです。前節にもありましたが、この種の問題では、x、y、
z の大小関係を仮定して始めます。次問のように、問題で大小関係を設定してく
れれば簡単な問題になります。
解法不等式を利用して解く
このような簡単な数式の場合には、幻惑されることなく、簡単な数字を入れて
みて、ようすをつかみます。(x,y,z)=(1,1,1) では成立しませんが、(x,y,z)=(1,2,3)
では成立し、(x,y,z)=(1,3,4) でも成立しません。小さな数字から順に当てはめて
いく場合、一般的には、和より積の方が数字が大きくなるので、この関係が成立
するのは、
「全部が 1 ではないがかなり小さい数字ではないか」と見当をつけます。
x ≦ y ≦ z と仮定すると、x, y, z が自然数であることから、2 つの不等式が得ら
れます。
3x ≦ x+y+z=xyz ≦ 3z ⇒ xy ≦ 3、3 ≦ yz
これらの不等式のうちどちらを使うかというと、前者の不等式から上限が得ら
れるので、(x,y) の組は次のいずれかとわかります。
22
(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3)
わずかに 3 組しかないので、これでほとんど先が見えています。
(x,y)=(1,1)： 2+z=z
z≠0から解なし
(x,y)=(1,2)： 3+z=2z
z=3
z=2<yから解なし
(x,y)=(1,3)： 4+z=3z
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
1.2　少し面倒な整数方程式の問題
解題
2006 年に n=1 と n=3 の比較的やさしい問題が文系に、n=2 の若干難しい問題
が理系に出題されました。両問を比較しやすいように、理科問題を改題してあり
ます。
文科問題は前問をやさしくした、整数方程式の典型的な問題です。理科問題の
うち、(4) は z をうまく定義するのが定石です。(5) は「無数に存在する」という
ことをどう表すかというあたりが難関です。(4) から、数列の利用が思い浮かべ
ば解けます。
解法具体例から始める
(1)：n=1の場合
本問は前問の前半と同じであり、(x,y,z)=(1,2,3) が唯一の答えです。
(2)：n=3の場合
このような問題の場合、(2) は (1) の発展型であることが多いので、まず同様の
方法を試します。
x3+y3+z3=xyz ≦ z3
この関係の両辺から z3 を除くと次の関係が得られます。
x3+y3 ≦ 0
23
文系問題と同様のテクニックを使ってみます。
x2+y2+z2=xyz ≦ 3z2、x2+y2+z2=xyz ≦ z3
これらの不等式から次の不等式が得られます。
x2+y2 ≦ 2z2、xy ≦ 3z、xy ≦ z2
これらの不等式からは z の上限が出てこないのですが、1 ≦ x ≦ y ≦ 3 の関係
から、(x,y) の組みわせは、(x,y)=(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)、(3,3) のたか
だか 6 通りしかありません。
ただし今度は z に関する二次方程式になるので、最初の不等式の不等号を等号
に置き換えて、上限が得られず条件もはっきりしない z を変数とみて、判別式で
(x,y) に対する条件を絞り込みます。ここで判別式を使うことに考えがおよべば、
もう解けたも同然です。2 次式が出てきたら判別式を思い出しましょう。
z2- xyz+x2+y2=0
D=(xy)2-4(x2+y2) ≧ 0
x2=X、y2=Y とおいて
XY-4(X+Y)=(X-4)(Y-4)-16 ≧ 0
(x2-4)(y2-4) ≧ 16
(X-4)(Y-4) ≧ 16 ⇒
(x,y)=(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)、(3,3) を適用すると、(1,1) では左辺が 9、
(1,2) では左辺が 0、(1,3) では左辺が -15、(2,2) は左辺が 0、(2,3) は左辺が 0 で
すべて不適、
(3,3) だけは左辺が 25 で、これだけが適します。(x,y)=(3,3) のときは、
方程式が次のようになります。
x2+y2+z2=18+z2=9z
この式から z も決まります。
z2-9z+18=(z-3)(z-6)=0、z=3、6
したがって、(x,y,z)=(3,3,3)、(3,3,6) と決まります。
(4)：n=2の場合
24
この文章はかなり意味が取りにくいので戸惑った方も多いでしょう。書き直す
と、
「a2+b2+c2=abc と a ≦ b ≦ c の関係を満たす a,b,c」に対して「b2+c2+z2=bcz
と b ≦ c ≦ z の関係を満たす z」が必ず存在することを示せ、という問題です。
これら２つの関係を、z に関する方程式と考えて辺々減ずると、
(b2+c2+z2)-(a2+b2+c2)=bcz-abc
∴ z2-a2=bc(z-a) ⇒ (z-a)(z+a-bc)=0
したがって、z=a または z=bc-a です。
z=a の場合：これがすべての関係を満たすのは明らかですが、これは題意を満
たさないと考えるべきでしょう。
z=bc-a とすると、「b2+c2+z2=bcz」を満たします。
確認するには、
「b2+c2+z2=bcz」に「z=bc-a」を代入して、結果の 0 を導き出
します。
b2+c2+z2-bcz = b2+c2+z(z-bc)= b2+c2+(bc-a)(-a) =a2+b2+c2-abc=0
(3) より「b、c ≧ 3」すなわち「b、c>2」がわかっているので、
z-c=bc-a-c=c(b-1)-a>c-a ≧ 0 ⇒ z>c
（ここで、≧の比較ではなく > の比較を示しておくと楽です）
ゆえに、z=bc-a とすれば題意を満たす z が生成できます。
(5)：n=2の場合
(4) の設問が暗示している「x2+y2+z2=xyz かつ x ≦ y ≦ z を満たす組 (x,y,z) が
無数に存在する」ことを示すための 1 つの方法が、
「x2+y2+z2=xyz かつ x ≦ y ≦
z を満たす組 (x,y,z) を無数に生成できる」ことを示すことです。これを、(4) の
結果をどのように利用して示すか、が課題です。
a,b,c のままでは新しい組の表現がわかりにくくなるので、最初の組を
A1 ≡ (a1,b1,c1)=(3,3,3)
として、以降の組をどう表すかを考えます。それは、
「z=bc-a」を組み込んで、
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
x、y は正の整数なので、この関係を満たす x、y は存在しません。したがって、
①を満たす正の実数の組 (x,y,z) は存在しません。以上証明終わり。
(3)：n=2の場合
x2+y2+z2=xyz と x ≦ y ≦ z および y ≦ 3 を満たす正の整数の組を探します。y
≦ 3 という、y の解の可能性を 3 つにまで絞り込める都合のよい関係もあるので、
an+1=bn
bn+1=cn
cn+1=bncn-an
とおくということです。まとめて表記すると、
An+1 ≡ (an+1,bn+1,cn+1)=(bn,cn,bncn-an)
とおくということです。そうすると、(3) で求めた第 2 の解：(x,y,z)=(3,3,6) が
最初に現れます。
a2=b1=3、b2=c1=3、c2=b1c1-a1=3 × 3-3=6
そして、A2=(3,3,6)、A3=(3,6,15)、A4=(6,15,87)…となります。あとは「無数
に生成できる」ことの論証ですが、cn の存在は (2) で証明済みであり、n ≧ 3 の
場合は an+1=bn>an、bn+1=cn>bn であり、(2) の z>c より cn+1=bncn-an>cn ですか
ら cn+1>cn となり、(an、bn、cn) はすべて異なって無限に存在します。証明終わり。
補足
文系問題は簡単な問題なのですが、理系問題の (4)(5) は難問です。(4) の種の
問題は z を a、b、c で定義するのが定石、(5) の種の問題は数列を使うのが定石
です。
25
ïî
《入試問題1.7》（難易度C）
f ( x ) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+1 は整数を係数とする x の 4 次式とする。4 次方程式
f ( x ) =0 の重複も込めた 4 つの解のうち、2 つは整数で残りの 2 つは虚数であると
、 b 、 cは整数を係数とする
の値を求めよ。 x の 4 次式とする。4 次方程式
f (いう。このとき
x ) =x 4 +ax 3 +bxa2 +cx+1
4
（2002
年京大／理系 3）
x ) =xの重複も込めた
+ax 3 +bx 2 +cx+1
は整数を係数とする
x の 4 次式とする。
4 次方程式
f　( xf )( =0
4 つの解のうち、
2 つは整数で残りの
2 つは虚数であると
fいう。このとき
( x ) =0 の重複も込めた
a 、 b 、 c4 つの解のうち、
の値を求めよ。2 つは整数で残りの 2 つは虚数であると
f ( x ) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+1 は整数を係数とする x の 4 次式とする。4 次方程式
解題
（2002 年京大／理系 3）
いう。このとき a 、 b 、 c の値を求めよ。
4
3
2
f
(
x
)
=0
の重複も込めた
4
つの解のうち、
2
つは整数で残りの
2 つは虚数であると
f ( x ) =x +ax +bx +cx+1 は整数を係数とする x の 4 次式とする。
4 次方程式
（2002
年京大／理系
3）
4　次式の解が満たす４つの条件から３つの未定係数を求める問題。条件が整数
・
いう。このとき
a
、
b
、
c
の値を求めよ。
f ( x ) =0 の重複も込めた 4 つの解のうち、2 つは整数で残りの 2 つは虚数であると
虚数なので、不定方程式を解くことになります。
（2002 年京大／理系 3）
いう。このとき
a 、 b 、 c の値を求めよ。
解法
変数の数を減らし付帯条件の使い方を考える
_ ìï p + q + a + a = -a
（2002 年京大／理系
( A) 3）
ïï
４根を p、q、α、α とすると、次の関係が成立します。
ïìïa, b, c, p, q Î Z ïï pq + pa + pa + qa + qa + aa = b ( B )
ìï pÞ+íq + a + a = -a
( A)
í
ïï ï pqa + qaa + aa p + a pq = -c
ïa Î C
(C )
ï
î
ï
ì p ++
A)
+qaa + qa + aa = b ( B
ïïq p+aa++paa =
ïïíìa, b, c, p, q Î Z Þ ïíï pq
ï ï
pq
aa
( D)
= 1+ qa + qa + aa = b ( B)
î+
a, Î
b, C
c, p, q Î Z ïï pqa+
pa
+ p+aaa
qaa
p + a pq = -c
C
ïïìa
îí
Þ ïïíì p + q + a + a = -a
( A)
ï pqa
ïïîa Î C
qaa
(C
aa+=
1 + aa p + a pq = -c
D)
ìïïa, b, c, p, q Î Z ïïïìî pq
+q p+aa++pa
a=
+qaa + qa + aa = b (( B
ppq+aa
A)))
(D
=1
Þ ïîíï
í
これら
4
つの方程式に、
a
、
b
、
c
、
p
、
q
∈
、α∈
Z
ïïîìa
ï
Î C q Îq Z+ a ï+pq
++a
=
pq
qaaa
=+p-a
Þ
+ca
aa+
, p+aa,aa
p, qqpaÎ
Zqpq
aaa
+
+
a+
=Î
b Z((C
BC
)) の条件を適用して a、b、
ïía, b(,Ac), p,+
ïíï
Þ
c の値を求めます。
2
pq
aa
D))
pq
qaaa
p +aa+pqa =
((C
-a
Îq ++ap+aa+ïïî=p
a,+=
,1p, q+Îaa
ZÞ
Zc
ïîï(aA)Î(pBC+
) pq
ïï a + qa + qa + aa = pq + ( p + q )(a + a )+ a = b
2
aa
( D+
Î Z=Þpqa++
(( B
A)) pq
p ++q p+aa++pa
a,+=
,1p+
, qaa
2 (a
a îï=
+pq
qa
qaa
pÎ
+ Zq )(a + a
)) a = b
pq, p + q, a + a , b Î Z Þ a Î Z
2
2 pq + ( p + q )(a + a ) + a = b
( B) pq + pa + pqa, a++qa
+ qaZ+Þaa
=
2
Î Za + a Î Z
+ a = -a
( A) p + qpq+, pa+
a, b Î
a, p, q ÎaZ Þ
pq (a + a )+ ( p + q ) a = -c
(C ) pqa + qaa + aa p + a pq =
2
2
2
qa
a=
a
baÎ
aZ(=aÞ
Îpq
+p+
Î
(C
A) pq
p +a+qpq
a+
,,+
,Zp+
,Þ
qaa
+p+,a
qpa
aa
=
pq
+Zaa++
p Zq+ qa) a
-ca = b
B
++
a, aa
++qpa
qapq
a
+
+ a=+
)+ap(Î
(
)(
)
2
2
pq
2+ qaa + aa p + a pq = pq (a + a ) + ( p + q ) a = -c
+pq
++pa
((C
B))) pq
p=,appq
qaZ+Þaa
a
=+q1a ,+
D
pqa
a =Îpq
qa, a+
bÎ
Z + ( p + q )(a + a )+ a = b
2
( D) pqa 2 = pq
a =1
2
2
2
2
2
((C
D)) pq
pqa
apq
pq
a
++
q, aa
a=+1pa+, baÎpq
Z=
Þpq
a (aÎ+Za )+ ( p + q ) a 2 = -c
+=,qpaa
ïì a = 1
26
ï2 1= 1p + a pqp、
C
=q、
pq
a )+ ( p + q ) a = c
(B) (と
(pq
から３つの整数
| α(a|2+の積が１なので、
すべてが±
1 であり、(p,q)
Da) 2+
a+
ïìïÞ
D) pq
=qaa
pq
a=
íaa
2 a =1
pqa = 12 Þ íì ï
p
,
q
1,1
or
1,
1
=
(
)
(
)
(
)
2
ïîq )1=
ï(apa,=
は２組に絞られます。
=1(1,1)or (-1, -1)
a = pq
( D) pq
pqa 2 = 1 Þ íïî
ïï( p, q ) = (1,1)or (-1, -1)
ìïî a = 1
2
ï1,1)or (-1, -1):
p
,
q
=
(
)
(
pq
1
a
=
Þ
-1):
( p, q ) = (1,1)íïìïor
(-q1,)1=
(1,1)or (-1, -1)
ïî(ap,=
2
ï
pq
1
a
=
Þ
p,2ï
1,1
1,=
1-a=
ìq±
(ìï±
)
(
)
(
c = -(a + a )  2
íor
2
a
a
a)c:= -ïìca = cïìïa==
+
+
a
a
+
+
=
ï
ïí ï
p
,
q
1,1Þ
1, 1)-(a + a )  2
=
(
)
(
)oríï(-Þ
ï
í
í
î
ì±2ï2+
= 2-((2aa±
+2aa()a
+
=
-)ba)に代入します。正確に±と∓を使い分けます。
) +2 a )
aaor
b c ïìa = cïb±
±
=その結果を
((B
C
+
(aa(21,1
)+=
+
ïîq )2=
-1, -1): Þ íïîb = 2ï
î =
(ïïíî2p,±
) )(
(a
ï2 ± 2(a + a ) = b
ïb = 2 ± 2(a + a )
p,2q+
-1-)c: ïïìïîa = c = -(a + a )  2
(ìïïîï±
) =a(1,1
+ a)or
=(-a1,=
Þí
í
2
2
22 ±
2(aa+
+aa =
=-ba = -c (aïïïì+ba a
±
a
++
a(a)aa)))
ìïïî±
)
(
2
2
a
=
±
a
c
=
+
 42a ) - 4
(
2
+
(
a
+
a
±
+
(
)
î
ï
ïíx -x 2(a-+aa+
x
+
1
Þ
x
=
2
)
( a )x + 1 ÞÞ
+ a )± 2(a + a ) - 4
(xaíï=
ïï22 ± 2(a + a ) = b
îx - (a + a )x + 1 Þ x = ïîb = 2 ± 2(a + 2a )
2
(a + a ) - 4
2
+ a )2 - 4
2((a
a + a) - 4
2
2
α、α が虚数（純虚数ではない）となるための条件は、判別式が負であること、
_
この条件から α + α が求まります。
ïìïa + a Î Z
Þ a + a = -1,0,1
íìïa + a Î2 Z
ïïì(aa++aaÎ) Z- 4 < 0 Þ a + a < 2
Þ a + a = -1,0,1
ïîíï
í(a + a )22 - 4 < 0 Þ a + a < 2 Þ a + a = -1,0,1
ïïî(a + a ) - 4 < 0 Þ a + a < 2
î
b
=c
-1,3
2、
ïìïa = c = -(a + aa)、
その結果、次の通り６通りの
の組が定まります。
a + a = -1:
a + a = -1:
a + a = -1:
a +a = 0:
a +a = 0:
a +a = 0:
a + a = 1:
a + a = 1:
a + a = 1:
 22 
= 2c ±
= 2-((aa+
+aa))=
=2-=
1,3
ïììïíïba =
0, 4
ïíïïîa = c = -(a + a )  2 = -1,3
íïb = 2 ± 2(a + a ) = 2  2 = 0, 4
îïb = 2 ±
Þ2((aa, b+, ca))==(-10,),4(3, 4,3)
2=
2 1,0,
î
Þ
=
a
b
c
,
,
1,0,
4,3)
(
)
(
ìïa = c =
= 2 1,0,
2 11)),,((3,
) (Þ-((aa, b+
, ca
3, 4,3)
)=
ï
 22 
= 2c ±
= 2-((aa+
+aa))=
=2=
22
ïììïíïba =
ïíïïîa = c = -(a + a )  2 = 2
íïb = 2 ± 2(a + a ) = 2  2 = 2
îïb = 2 ±
Þ2((aa, b+, ca))==(-22),(2, 2, 2)
 22,=
2 2,
î
a
b
c
Þ
=
,
,
2,
2,
2),(2, 2, 2)
( , ca
) ) (ìïa = c =
=2,
-3,1
Þ-((aa, b+
2),(2, 2, 2)
)=
( 2 2,
ï
íïìa = c = -(a + a )  2 = -3,1
ïïìïba =
 22 ±
= 2-((aa+
+aa))=
= 2-=
3,14,0
îïí = 2c ±
íïïb = 2 ± 2(a + a ) = 2 ± 2 = 4,0
îïb = 2 ±
Þ2((aa, b+, ca))==(),(1,0,1)
±4,
=34,0
2 3,
2î
Þ (a, b, c) = (-3, 4, -3),(1,0,1)
Þ (a, b, c) = (-3, 4, -3),(1,0,1)
●整数方程式の解の数と確率の問題
確率の問題ですが、その中の事象の数を求めるには、整数方程式を解く必要が
あり、解くのがむずかしいのは整数方程式の方です。そしてその整数方程式の
解法が面倒な例を紹介します。これも「変数の数を減らし付帯条件の使い方を
考える」問題です。
2
2
2
(a + a )± (a + a ) - 4
x - (a + a )x + 1 Þ x =
2
(a + a )± 2(a + a ) - 4
2
2
(a + a )±
x 2 - (a + a )x + 1 Þ x =
(a + a )±
x 22 - (a + a )x + 1 Þ x = (a + a )±
x
a
+
a
x
+
1
Þ
x
=
)
_ (
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
●解の条件から係数を求める不定方程式
解が整数や複素数であるという条件からも係数が得られます。
( p, q ) = (1,1)or (-1, -1):
p, q ) =a(1,1
or
-a1,=
-1):
(ìï±
+ a))or
=((1, -1-)c: ïìïa = c = -(a + a )  2
(ïp,2q+
) = (1,1
íïì±2 + a + a = -a = -c Þ íïìa = c = -(a + a )  2
2±
2(aa+
+aa =
) =-ba = -c Þ ïïìîïba_ =
2 ± 2(a + a )
2+
ïìîïí_±
í = c = -(a + a )  2
Þ+íïïïbα =
α +ïíïîïα2 を求めるために、α
が根となる方程式を求めます。
± 2(a + a ) = b
2 ± 2(a + a )
ïîîb = 2 ± 2(a + a )
îï2 ± 2(a + a ) = b
27
箱の中に、数字
-
1、1、2 がそれぞれ１つずつ書かれた３枚のカードが入っ
ている。異なるカードには異なる数字が書かれている。この箱の中から１枚の
カードを取り出し、カードに書かれた数字を記録して箱に戻すことを n 回繰り
返し行うとする。このとき、記録された n 個の数字の総和を Sn で表す。ただし、
１枚のカードを取り出す事象はどれも同様に確からしいとする。
(1) S3=2 となる確率を求めなさい。
(2) S6=2 となる確率を求めなさい。
(3) m を自然数とし、n=6m かつ Sn=2 となる場合を考える。-1、1、2 が書
かれたカードを取り出した回数を、それぞれ、x、y、z で表すとき、x、y、
z がとり得る値の組 (x、y、z) はいくつあるか。m を用いた式で答えなさい。
（2013 年日大／医 2、改題）
解題
S3=2 となる場合とは、順不同で -1、1、2 がそれぞれ１回ずつ出る場合であり、
それ以外にありません。(3) で定義される記号 ( , , ) を利用すると、これは (1,1,1)
と表されます。(a,b,c) についての総和 Sn については Sn=-a+b+2c の関係が成立
し、かつ S6=2 となる場合は、
「-a+b+2c=2」かつ「a+b+c=6」であり、係数が
最大の c の値で場合分けするのが定石です。
これは、abc 空間で考えれば、２つの平面の交線上の格子点の数を数える問題
です。格子点は等間隔で並んでいるであろうことが推測できます。したがって、
格子点の数が m の値に対してどのように存在するのかを調べます。
解法係数が最大の値で場合分けする
(1) S3=2となる確率は(1,1,1)となる確率であり、すべての場合の数が33である
のに対して、 3 つの数- 1 、 1 、 2 が 1 回ずつ出る組合せは 3！なので、確率は 3！
/33=2/9 です。
(2) 「-a+b+2c=2」と「a+b+c=6」からbを消去すると、
-a+(6-a-c)+2c=2 ⇒ 2a=c+4
となり、c=0の場合はa=2、b=4、c=1の場合は2a-4は偶数なので不適、c=2の
場合はa=3、b=1なので、(a,b,c)=(2,4,0)、(3,1,2)しかありません。この計算から
6 × 5 6 × 5 × 4 × 3 36です。(2,4,0)である場合とは、出る6
確率を計算します。すべての場合の数は
+
15 + 60
25
2 1である場合であり、その組合せは
6
6C2 ×4C4 +6C3 ×3C1
=
=
=
つの数のうち
2つが1
、
4
つが
6C2・4C4=6C2、
6
6
6
3
3
3
243
(3,1,2)である場合とは出る6つの数のうち３つが-1、１つが 1（残りが2）である
場合であり、その組合せは6C3・3C1です。確率は次のようになります。
28
6× 5 6× 5× 4× 3
6× 5 + 6× 5× 4× 3
15 + 60
25
+
6C2 ×4C4 +6C3 ×3C1
C × C = 62× 5 + 66× 566× 4 × 3 = 15 +6 60 = 25
6C2 ×4C4 +
66 3 3 1 = 2
=
=
36 6C3 ×3C1
36
15 3+6 60 243
25
6C2 ×4C43+
= 62× 5 +366× 56× 4 × 3 = 3 6 = 243
6
3
3 6
3
243
2× 5 となる場合の、次の整数方程式の解
6C2 ×4C4 +6C3 ×3C1
6 × 5 × 4 × 3 = 15 + 60 = 25
(3) 求めるものは、
x、y、z の組み合
S
=6m6=2
6
6
6
+
3
3 6
3 60 243
15 +
25
2
6C2 ×4C4 +6C3 ×3C1
=
=
=
わせの数です。
(1)(2)では
n が決まっていたので、係数が最大の
z を残して、y を
36
36
36
243
消去しましたが、n が決まっていない場合にはもっと慎重に、x と y のどちらを
消すか決めずに、それぞれからどんな条件が得られるのかを調べます。
ì
= y + 2z - 2
ìïïïïS = -x + y + 2 z = 2 Þïììïïíxx =
y + 2z - 2
ïïïìS 6 m = -x + y + 2 z = 2 Þ ïíïì
z -2 z2
= 2y + x2 ïïïïS6 m = -x + y + 2 z = 2 Þïïîyyx =
2 + x - 2z
ïîí
íï 6 m
íïïìx + y + z = 6m
ìïïî xy = 2y + 2x z--22z
y + z = 6m
ïïïïïíxS+
6 m = -x + y + 2 z = 2 Þ í
+ xy, +
= 6m
£
y, z £
ïïïîïïìï00x£
ïìïî xy = 2y + 2x z--22z
+ 6ym+ 2 z = 2 Þ ïí
ïîïíS6 m x=, y-, zx £
ïïî0x £
£ 6m ïì y + 2 z ïïî-y2=
y, z =
+ xy,+
x2 z2 y + 3 z - 2 = 6m（x を消去した場合）
y+
z=
) +2 +
ïïíx + y + z = 6m Þìïïïí((y + 2 z 2) + y + z = 2 y + 3 z - 2 = 6m（x を消去した場合）
£6m
yz, =
xïïî0+
+y xy+,+
x£
z=
6mÞ íìï( y++(22+
+ zz =
=22xy-+z3+
z -x 2-) +
z2=
6m（
（yx を消去した場合）
を消去した場合）
2 z )y+
2=
6m
ïïx + y + z = 6m Þïïïîíxx +
+
+
=
+
=
2
x
2
z
z
2
x
z
2
6
m
（y を消去した場合）
(
)
ïïî0 £ x, y, z £ 6m îìï(xy++(2 z+-x2-) +
+ zz =
= 22xy+z3+
z -2 2==6m
6m（xy を消去した場合）
2 zy) +
x + y + z = 6m Þ ïîí
+ zz =
= 22xy+z3+
z -2 2==6m
6m（xy を消去した場合）
ïì(xy++(2 z+-x2-) +
2 zy) +
まずx +
x を消去した関係式から何が得られるかを調べます。
y + z = 6m Þ ïîí ì
3
ï
ïï xì
ï+ (=2 3+mx-32 z )++1z£=3m
2 x+-1z + 2 = 6m （y を消去した場合）
îï
ïïïìyy =
3m - 2 z + 1 £ 3m + 1
2 y + 3 z - 2 = 6m Þïïïíïï y = 3m -23 z + 1 £ 3m + 1
2 y + 3 z - 2 = 6m Þ íïì
223
2
2
= 2m +
£ 2m +12 < 2m + 1 Þ z £ 2m
2 y + 3 z - 2 = 6m Þïïïïïízzy=
-232 yyz +
+ 1232£
£32mm+
+ 32 < 2m + 1 Þ z £ 2m
ïïîï =23mmï
2m -323 y + 3 £ 2m + 3 < 2m + 1 Þ z £ 2m
2 y + 3 z - 2 = 6m Þïîíïïìïï zy =
ïî = 3m - 322 z + 132£ 3m + 1 32
2 y + 3 z - 2 = 6m Þ ïíïï z = 2m - y + £ 2m + < 2m + 1 Þ z £ 2m
ïîï
23
23
23
y の上限 3m+1 と z の上限
y、z の上限
- はいずれも正なので、これらからは
y + £ 2m + < 2m + 1 Þ z £ 2m
ïï z = 2m2m
3
3
3
ïî
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
《入試問題1.8》（難易度C）
が得られます。幅が狭い z の上限が利用できそうです。次に y を消去した関係式
ìz º 2z¢ Þ 0 £ z¢ £ m
ï
ï
ï
から何が得られるかを調べます。
2 x - z + 2 = 6m Þ ì
ïíz º 2 z ¢ Þ 0 £ z ¢ £ m
2 x - z + 2 = 6m Þ íïìxz ¢Þ
º z2¢z+
1 =03£mz ¢ £ m
ï
îx z ¢ + 1 = 3m
2 x - z + 2 = 6m Þï
ï
îí
ï
ì
¢Þ
1 =0 3£mz ¢ £ m
º z2¢z+
ï
î zx 2 x - z + 2 = 6m Þ ï
í
ï
ì
¢Þ
1 =0 3£mz ¢ £ m
º z2¢z+
ï
ï
î xz 2 x - z + 2 = 6m Þ í
ï
ï
î x - z ¢ + 1 = 3m
右辺が偶数なので左辺も偶数であり、z は偶数でなければなりません。そこ
で z ≡ 2z とおくと x を消去した場合の関係式 z ≦ 2m から 0 ≦ z ≦ m となり、
z の数は m+1 個存在することがわかります。一方ここで、最後に得られた関係
ïì x = z¢¢ + 3m - 1
x = z + 3⇔
m「x-zìïïïïï+1=3m
x 1＝ z-1+3m」に注目します。これは、x が z と m によって決
ïïíïì yx = 2z ¢+
+(3zm
¢ +-31m - 1) - 2(2 z ¢) = 1 - 3z ¢ + 3m
ï
íïïy = 2 + ( z ¢ + 3m - 1) - 2(2 z ¢) = 1 - 3z ¢ + 3m y、z も次のように定まります。
まる値であるということができます。同様に
ïì
¢+
= 2z2z¢+
-31m - 1) - 2(2 z ¢) = 1 - 3z ¢ + 3m
¢+(3zm
ïïïïîízxy =
ïîïïìz = 2 z¢ ¢ ¢
+
-31m - 1) - 2(2 z ¢) = 1 - 3z ¢ + 3m
¢ (3zm+
íïïî zxy = 2z z+
ïï
ïíï zy = 2z+
¢ ( z ¢ + 3m - 1) - 2(2 z ¢) = 1 - 3z ¢ + 3m
îï
ïï
ïî z = 2 z ¢
m の 1 つの値に対して z の値が m+1 通りあり、z の値 1 つに対して y、z の値
が 1 つずつ定まるので、(x、y、z) の組は m+1 個です。
29
y = 2: y = 2
本節では、2 つの種類の分数和の問題を紹介します。多くは自然数の問題であ
り、左辺が和か積かで解法が分かれます。
●和が１の問題
最初の問題は、和が１の自然数を求める問題であり、自然数の上限が容易に得
られるので、こういう問題の場合には、大小関係を仮定して解き、その後で仮定
を外します。大小関係があらかじめ設定されている場合は大幅に簡単になります。
《入試問題1.9》（難易度C）
1
x
1
y
1
x
1
y
1
z
1
x
1
y
1
z
+ =1
(1)　をみたす自然数
x, y の組み合わせをすべて求めよ。
+ + =1
(2)　をみたす自然数
x, y, z の組み合わせをすべて求めよ。
+ + =1
x, y, z の組み合わせをすべて求めよ。
(3)　をみたす相異なる自然数
（類題、
1 11998 甲南大、2001 年神戸薬大、2004 明治薬科大、2008 年東北学院大）
+ =1
(1)　をみたす自然数
x, y の組み合わせをすべて求めよ。
x y
1 1 1
解題
+ + =1
(2)　をみたす自然数
x, y, z の組み合わせをすべて求めよ。
y zが、(2) は x=y=z=3 が解であることはすぐにわかると思います。
(1) は xx=y=2
1 1 1
自然数の範囲が限られているので、まずその範囲を調べます。
(1) は非常に簡単
+ + =1
(3)　をみたす相異なる自然数
x, y, z の組み合わせをすべて求めよ。
x y z
な問題で、(2) が主題で、(3) は (2) の解の部分集合の問題です。本問ではまず、
ì
1 1甲南大、2001 年神戸薬大、2004 明治薬科大、2008 年東北学院大）
1998
ï
x ≦（類題、
y と仮定して解を求め、最後に
ï
ìy ³ 2
2 ï
ï x + y = 1 x £ y Þ 1 ³ 1 xÞ≦2 y£の仮定を外してすべての解を求めます。
1£ Þ ï
Þ x = 1, 2
í
í
上に示したように非常に多くの大学で出題されています。
ï
x£2
x y
y
x ï
ï
î
ï
ï
ï
î x, y Î N
解法不等式を利用して解く
x = 1: NG
(1) x≦yと仮定すると、その逆数の大小関係が決まり、小さな方の
xの値域が決ま
y
=
2
:
y
=
2
ります。x=1の場合はyの値がないのでx=y=2だけが解です。
ì
1 1
ï
ï
ì
y³2
ï x + y = 1 x £ y Þ 1 ³ 1 Þ 2 £1£ 2 Þ ï
ï
Þ x = 1, 2
í
í
ï
x£2
x y
y
x ï
ï
î
ï
ï
ï
î x, y Î N
x = 1: NG
yì
ï=1 2 : y1= 21
30
ïï + + = 1
1 1 1
3
3
x zと仮定すると、その逆数の大小関係が決まり、最小数の値域が決まり
y z
x £ y £ z Þ ³ ³ Þ £1£ Þ x £ 3
(2) x≦yíï≦
x y z
z
x
ïï x, y, z Î N
ます。x=1
ïî は不適であり、x=2、3が解です。x=2の場合はy、zが２組、x=3の場
x =1Þ
1 1
+ = 0 Þ NG
y z
合はy、zが１組得られます。したがって、 x≦y≦zの条件下では3組の解が得られ
ますが、その条件を外すと、解は10組得られます。
ìï 1 1 1
ïï + + = 1
1 1 1
3
3
x £ y £ z Þ ³ ³ Þ £1£ Þ x £ 3
íx y z
ïï
x y z
z
x
ïïî x, y, z Î N
1 1
x = 1 Þ + = 0 Þ NG
y z
1 1 1
2 1 2 ïì y £ 4
x = 2 Þ + = Þ £ £ Þ ïí
y z 2
z 2 y ïïî y ³ x = 2
y=4Þ z=4
y =3Þ z = 6
1 1 2
2 2 2 ìï y £ 3
+ = Þ £ £ Þ ïí
Þ x= y= z=3
y z 3
z 3 y ïïî y ³ x = 3
ìï x £ y £ z
ïí
ïï(x, y, z ) = (2, 4, 4),(2,3,6),(3,3,3)
î
x =3Þ
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
1.3　分数形式の不定方程式
\ (x, y, z ) = (2, 4, 4),(4, 2, 4),(4, 4, 2),(3,3,3),
(2,3,6),(2,6,3),(3,6, 2),(3, 2,6),(6,3, 2),(6, 2,3)
(3) この場合はx<y<zと仮定します。(2)から相異なる解を抜き出すと
(x,y,z)=(2,3,6)以下の6通りのみが解です。
●積が定数の問題
積が与えられた問題は、分数を払って、前節と同様に両辺をそれぞれ因数分解・
素因数分解して解きます。
《入試問題1.10》（難易度C）
(1) 自然数 x、y は、1<x<y および
ö
æ
öæ
çç1 + 1 ÷÷çç1 + 1 ÷÷ = 5
èç
x ø÷çè
y ø÷÷ 3
をみたす。x、y の組をすべて求めよ。
(2) 自然数 x、y、z は、1<x<y<z および
öæ
æ
öæ
ö
çç1 + 1 ÷÷çç1 + 1 ÷÷çç1 + 1 ÷÷ = 12
÷
÷
çè
ç
÷
ç
x øè
y øè
z ø÷ 5
をみたす。x、y、z の組をすべて求めよ。
（2011 年一橋大 1）
31
øçyè、
x÷÷ç
y÷÷ø=1<x<y<z
3
ççè1 +x、
(2) をみたす。
自然数
および
+zyは、
の組をすべて求めよ。
÷çè1x、
çè
÷÷ 3
ø
x
y
ø
をみたす。
x
、
y
の組をすべて求めよ。
æ
ö
æ æ 11ö÷çöæ 11÷öæ 5 1 ö 12
çç1ç1++
ç1、
÷÷÷÷=
+z+yは、
(2) 自然数
x、÷y÷÷1x、
ç1<x<y<z
+ ÷÷÷ = および
をみたす。
の組をすべて求めよ。
ç ç x、÷ç
÷÷ç11<x<y<z
ç÷yç、
z は、
および
(2) 自然数
è èç
xxøèøçè
yyø÷øèç 3 z ø
5
（2011 年一橋大 1）
ち込んで範囲を絞って解く方法もあり、
［解法 2］として紹介します。こちらの方
が簡単かもしれません。
解法1 因数分解・素因数分解して解く
(1) 左辺が２因数の積の場合は比較的簡単です。
ö
æ
öæ
çç1 + 1 ÷÷çç1 + 1 ÷÷ = 5
÷ç
ç
÷÷
æè 1xö÷øæçè 1yö÷ø 53
ççæ1 + 1÷ç
öæ1 +
1÷ö= 5
ççÞ 3( x÷÷æçèç+
1 1+)(1yyöø÷÷÷÷÷+=153) = 5 xy Þ 2 xy - 3 x - 3 y - 3 = 0
æèççè1 +1xxö÷øø÷ç
÷
ç
çç1 + æ÷ççè1 + öæy÷÷ø÷= 3 ö
3 ÷ 1)33=÷ 5 xy Þ92 xy15
÷ 1)(
çÞ
3Þ
x=
3 +Þ 2=xy33)(
2 y00- 3) = 15
Þ32(xçxöxøxæçè+
-1)(1÷÷÷yyççyöø÷y+
-15) =
(-233xyy-÷÷ =
æèÞ
+
5
xy
3
x
3
=
÷
ç
ç+
çç1 +31(èçç÷÷ç
øè
ø
2
2
1 +2 ÷÷ = 32ö
çèÞ 3(çæxxø÷çè+ 13)(öæ
5 xy
Þ92=xy15
-Þ
3 x -23x y--33 =
÷ö=
yççyø÷y+-1)33=
3
Þ 2çæx - 3÷÷÷öæ
+
(
)(2 y0- 3) = 15
9
15
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
Þ 2æèç x -32öæ
øè
2 Þ (2 x - 3)(2 y - 3) = 15
÷÷çç y -32öø÷÷ = 3 +92 =15
ç 1)(
Þ
2=xy 3 x -23x y--33 =
Þ
2Þ
÷ø=
左辺が整数の積で、
x5 xy
と
y 2大小関係が決まっていて、
çyy+-1)2=
3
Þ 32(ççèxx +
- 2÷÷÷øè
+
(
)(2 y0- 3) = 15 右辺は素因数分解すると 1・
÷
ç
÷
ç
èæç
øè
ø
2
2
2
2
öæ
3 ö 2 y -93 ³ 15
3・5 Þ
なので、次の組合せしかありません。
1 2<çç xx < 3y÷÷Þ
= 3 + = 0 Þ (2 x - 3)(2 y - 3) = 15
ççç y 2-x -÷÷÷ 3,
÷
çè
2 øè
2ø
2
2
2 xx-<3,y2Þ
y -23x)-=3,(1,15
),3(3,5
1(<
2y ³ 0) Þ ( x, y ) = (2,9),(3, 4)
1 < x < y Þ 2 x - 3, 2 y - 3 ³ 0
x - 3, 2 y -23x)= (1,15
),(33,5
( x, y ) = (2,9),(3, 4)
1(2<
2y ³ )0Þ
2 xx-<3,y2Þ
y - 3 =3,1,15
, 3,5
Þ x, y = 2,9 , 3, 4
(
) ( )( ) ( ) ( )( )
y -23öx)= (1,15),(33,5
(1æ2<x x-1<3,öæy2 Þ
³ )0Þ ( x, y ) = (2,9),(3, 4)
1 æ 3,12öy -12
(2) 左辺が３因数の場合はそう簡単にはいきません。
ç1 + ÷ç1 + ÷÷ç1 + ÷÷ =
(æççè2 x -xö3,ø÷÷æèçç2 y -yö3ø÷÷æ)çèç= (1,15
zö÷ø ),(53,5) Þ ( x, y ) = (2,9),(3, 4)
1
1
1
÷
ççæ1 + 1÷÷öççæ1 + 1÷öççæ1 + 1÷÷ö= 12
12 xyz
ç z + 1÷÷) =12
çç5( x +÷÷1çç)( y +÷÷1÷ç)(
æèç1 + xöø÷æèç1 + yöø÷÷æèç1 + zöø÷ = 5
çççè1 + 1x÷÷ø÷ççèç1 + 1y÷÷ø÷ççèç1 + 1z÷÷ø÷= 125
ç5( x +
èç z +z1öø÷) = 12
xöø÷1æèç)( y +
yö1ø÷÷æ)(
5 xyz
æè5( x 1+
1
1 ÷1) =12
+
1
y
z+
12 xyz
)(
çç1 + ÷÷çç1 + ÷÷1çç)(
1+ =
çè5( x +
çè z +z1÷÷ø) = 12
x ø÷1èç)( y +y1ø÷÷)(
5 xyz
5ì
xyzxyz
左辺に因数
5y 1があるのに、右辺にはそれが出てこないので、
xyz のいずれかが
+)(1z)(+z 1+) 1=) 12
= 12
ïï( 5x (+x 1+)(1y)(+
Þ ( x + 1)( y + 1)(5k + 1) = 12 xyk
í
5 の倍数であることがわかります。まず、
z を 5 の倍数と仮定します。
ìïïïî5z( º
x +5k1)( y + 1)( z + 1) = 12 xyz
ïíìï5( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 12 xyz Þ ( x + 1)( y + 1)(5k + 1) = 12 xyk
ï
5k1)( y + 1)( z + 1) = 12 xyz Þ ( x + 1)( y + 1)(5k + 1) = 12 xyk
ìïïîíï5z(º
x+
ïíïî z º
5k
Þ ( x + 1)( y + 1)(5k + 1) = 12 xyk
k1)( y + 1)( z + 112
5
ìïïî5z(º
+
=
z
x
12
xy
)
xyk
ïí Þ x + 1 y + 1 =
Þ ( x + 1)( y + 1)(5k + 1) = 12 xyk
(
)(
)
ïï z º 5k
5k + 1
î
12 xyk
k を整数として、
k も自然数であり、5k+1>0 となるので、両
Þ ( x + 1)( y + 1) z=は自然数なので
12 xyk
Þ ( x + 1)( y + 1) =12
5kxyk
+1
辺を 5k+1
で割ります。
Þ (x +
1)( y + 1) = 5k + 1
5kxyk
+1
12
Þ ( x + 1)( y + 1) =
5k + 1
Þ ( x + 1)( y + 1) = 2 xy
32
左辺は自然数なので、右辺も自然数です。しかし、x<y<z=5k なので、5k+1
Þ ( x + 1)( y + 1) = 2 xy
は 12 の因数でなければなりません。
k が自然数の場合、6 ≦ 5k+1 ≦ 12 かつ
1)1= 2 xy
Þ
x+
Þ(xy
-1x)(-y +
y=
Þ ( x + 1)( y + 1) = 2 xy
5k+1=6,12
Þ ( x -から、
1)( y - 16=5k+1
) = 2 、k=1 となります。すると方程式は、
Þ xy - x - y = 1
Þ
y+
Þ( xxy+-1)(
xy 1=) =
1 2 xy
<1)(
1 <( xxyÞ
Þ
y y-2=
1£
)1=x 2< y Þ x -1, y -1 ³ 1
Þ
xy
x
Þ ( x - 1)( y - 1) = 2
512
k xyk
+1
5k + 1
ìï5( x + 1)( y + 1)( z +
1xyk
) = 12 xyz
12
ïí
Þ ( x + 1)( y + 1)(5k + 1) = 12 xyk
Þ
x + 1)( y + 1) =
(
ïï z º 5k
5k + 1
î
Þ ( x + 1)( y + 1) = 2 xy
Þ ( x + 1)( y + 1) = 2 xy
Þ ( x + 1)( y + 1) =
となります。以降は
(2) と同様にして解きます。
x+
Þ (xy
-1x)(-y y+=1)1= 2 xy
12 xyk
Þ (x+ 1)( y + 11) =
Þ
Þ (xy
x - 1x)(-y y-=
1) = 25k + 1
Þ
yy +
( xxx+
) = 2 xy
-11y)(
x)(Þ
y21=
<
£1x < y Þ x - 1, y - 1 ³ 1
1Þ<(xy
<((xxx <
1Þ
21)£
x(<
1 ³)1Þ ( x, y, z ) = (2,3,5)
Þ
-1,
1y)(yÞ
y-1=
)=
Þ (xx1,22y) Þ
, y1,) y=-(2,3
Þ
=
xy
x
y
1
Þ
1,
, y1,) =
(2,3
<
£=zx(=
<25y) Þ (xx1x <
y1 ³)1Þ ( x, y, z ) = (2,3,5)
=( x2<1,yyyÞ
=-321)<
Þ
-311<
=
21, 25) Þ ( x, y ) = (2,3) Þ ( x, y, z ) = (2,3,5)
((xx2-<11,)(
x=
y yy=z (=
Þ
))=
Þ ( x + 1)( y + 1) = 2 xy
1x<=x2<<y yÞ
=23£
<xz<
= y5 Þ x - 1, y - 1 ³ 1
この解はすべての条件を満たしているので、これが求める解です。次に、z 以
Þ ( x - 1, y - 1) = (1, 2) Þ ( x, y ) = (2,3) Þ ( x, y, z ) = (2,3,5)
xy - x - y = 1
の倍数の場合を考えます。
x が 5 の倍数の場合、x は自然数なので x ≧ 5
外が 5Þ
x = 2< y = 3< z = 5
æ
1ö æ
1ö æ
1ö 6
) =52£なので、この場合与式の右辺は
でありかつ
51)(≦
x<y<z
=(5xk-<
xÞ
y y<z1Þ
x < y < z Þ çç1 + ÷÷,çç1 + ÷÷÷,çç1 + ÷÷ <12/5 になりえません。
æçè
1 ö÷ æç
1 ö÷ æç
1 ö÷ 6
<2z£
Þx5<£yxÞ
< xy<1,z yÞ
+1x ÷÷÷ø,ççè1 + y ÷÷÷ø,ççè1 + z ÷÷÷ø < 5
x1 =
< 5xk<<y yÞ
-ççç11³
ç
ç
èæ x1øö èæ
y1 ø÷ö èæ z1øö 56
3
ö÷æ 51,£
æyx6,<ö÷y )z=
÷÷(,ççx1,+
÷÷ <
11,ö÷æçy <
1)Þ
1)xö÷Þ
216
12
çç1 +) Þ300
<
Þ
,ç1(+
xÞ=æç(15x+
k-<
z
=
y
,
z )÷÷÷=
2,3,5
1
2
2,3
(
(
(
)
ç
ç
3
÷
Þ
+
+
<
=
<
=
1
1
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ççæ
ç
ç
÷ø çèç
÷
è
ø
ø÷ 5
æ
ö
x
y
z
÷
÷
÷
è
ö
æ
ö
æ
ö
ç
ç
1
1
1
6
216
300
12
÷
ç
è
ø
è
ø
è
ø
x
y
z
5
125
1
25
5
è
ø
÷
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
Þ
+5 ÷ < ç ÷÷ 3 = æ < ö æ = ö æ
x=
çç1 2+< ÷÷yçç1=+3 <÷÷÷ççz1=
56øöz Þ125
5÷÷,ç1 + 1 ö÷÷ < 6
øö÷èæ5 £ z1x ø÷ö< yèçæ<
çç1 + 112
çç1 + 1 ÷÷1300
216
=èæç15k+<x1øö÷yèæç1<+z y1Þ
,25
xÞ
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
+
<
=
<
=
1
ç
ç
÷
÷
÷
ç
çç
ç
ç
è
øè
y5÷÷ø çè
z ÷ø 5
è
125 x 125
x ø÷èç
y ÷ø÷èç
z ø÷ èç 5 ø÷
3
æ
1 ö÷ æç
1ö 6
1 ö÷æç
1 ö÷æç
1 ö÷ æç 6 ö÷
216 æç 3001 ö÷ 123 æç
ç
÷÷,ç1 + ÷÷÷ <
+
<
+
x<
1
,
1
÷÷ç11+£ x÷÷<
Þ
+z Þ
<5ç £÷÷ y=< z Þ<
=
÷
ç
ç
çç1y+= 5÷÷ççk1<
æ
ö
÷
æ
ö
æ
ç
ç
ç
ç
1
3
1
1z öø÷ 6
÷
÷
ç
è yy=が
x ÷ø <52 ,çè1 + xy ≧
5
x 5øèk5<の倍数の場合、
÷÷ø,çè11+でありかつ
øè 1 £zxø< 5è 5£ø y <
同様に
x125
1 ≦ x<5 ≦
Þ ççè11+25
zは自然数なので
x<
zyÞ
÷÷ 1 ö ççæ
÷÷ <
ç
÷
æ
æ
ö
ö
ç
ç
1
1
6
÷
ø
è
ø
x
y
2
z
5
2 ç è
æ
ö
÷
è
ø
ç
æ
ö
÷
÷
æ
ö
1÷ 6
=
< zz1Þ
Þ
£1xxö<
<53y£<æy6z<
+ç12/5
+ 3÷12
1108
,ççç1 + 1 ÷ <
ö÷æ 15£
÷,120
æ y5k=1<5öæçky <
öÞz ççÞ
ç11÷になりえません。
y<z なので、この場合も与式の右辺は
ç
xx <
çç1x+
5 z ø÷÷ < 5
Þ
<÷ø çèx ÷÷ø <=y2÷ø÷,ççèèç1 + yz ÷÷÷øø,çèç1 +
çççæ1 + 1 ö÷÷÷ççæ1 + 1 ÷÷÷öçæçç1 + 1 ö÷÷÷ < 3 × æççç 6 ö÷÷÷2 =è 108
è
120 12
5
Þ èççæ1 + x ø÷÷÷öèççæ1 + y ø÷÷÷öèççæ1 + z ø÷÷÷ö< 2æ × èççö35 ø÷÷÷ 2 = 5æ0 < 50
æ5 1 ö÷ æ
ö÷ =
çèæç x1øö÷çèæç y1÷øö÷èçæç z1øö÷ 2ç 6èçæ÷5 øö 2165ç0 300
1
3
1ö 6
12
50
ç
3 çy÷ 6<
<çç1y1+
= 15÷k÷÷çç1<
5£
1<+< 120
1 + ÷÷,çç1 + ÷÷÷ <
xÞ
z=Þ108
Þ
+
+z 1Þ÷÷÷÷çç111£
+x1<
<
=
= =,12
1+
÷<
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
÷
÷
<
×
+
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷è
÷çè
ççè
è
ø 25 è
øç
ø è çø
x 50
zø 5
è
xxø÷èçè yy÷ø÷øèç
zzø÷ 25 èç 5 ø÷ 12550 125
5 yø
2
æ
1 öæ
1 öæ
1ö 3 æ 6ö
108 120 12
Þ çç1 + ÷÷÷çç1 + ÷÷÷çç1 + ÷÷÷ < × çç ÷÷÷ =
<
=
çè
ç
ç
÷
ç
50
x øè
y øè
z ø 2 è 5ø
50
5
æ
ö÷ 3 æç
1
1ö æ
1ö 6
x < y = 5k < z Þ 1 £ x < 5 £ y < z Þ çç1 + ÷÷ < ,ç1 + ÷÷÷,çç1 + ÷÷÷ <
ç
2
ø 1 2 çè 5 y ø÷ çè 5zø 35
ö
5 æç
1 öæ
1ö æ
1(x,y,z)=(2,3,5)
1 è 5 xのみです。
したがって、唯一の解は
= æç1 + ö÷÷÷æçç1 + ö÷÷÷ £ æçç1 + ö÷÷÷2 Þ 12+ ³
-1 =
Þ ³
5 -3 3
æççè 11xö÷÷øæçççè 11yö÷÷ø÷æ çèç 1 ö÷ 1x ÷ø3 æ 6 ö÷ 1x108 53 1201x 12 53
3=
解法2 5
ç1ç1++ ÷÷÷ç1ç1++ ÷÷÷çç1£+ç1 +
ç 1÷ += ³ < Þ =³
-1 =
Þ不等式を利用して解く
÷÷ < ÷ø÷ 2 ×Þ
ç
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
è
ø
è
35 è æ xx1øèöèæ yy1ø÷øèö æ z ø x1 ö2 è 5 ø x1 50 35 50 x1 5 35
5 -3 3
3 1 + 15
こちらの解法の方が簡単そうには見えますが、数値の評価が意外と大変です。
= çç1 + ÷÷÷çç31 + ÷÷÷ £3çç1 +5 +÷÷÷ Þ
³+ 3 Þ7 ³
-1 =
ç
ç
ç
Þ
=
3 x è£ x ø3è
3 2,3
y ø÷ 3è 5 x+ø 3 = x15 + 33 < 7xÞ x =
3
2 2
2
2 Þ x = 2,3
(1) 等式の変数を
つにまとめて、その変数の値の範囲が不等式ではさまれるよ
5ö31=
Þ
x
£
=
<
æ
ö
æ
æ
ö
5- 3
5 ç
1 ç
1÷ ç
1÷
1
5
1
5
27xが分母に来る因数に統一して
-1 =
= ç1 +æ 5÷÷÷³2 + 3Þ
³
÷÷ Þ311ö+ 515
çç131+
æ+
çç3ö÷1 +352より、小さな方の
ö÷3æç ÷÷÷ £1 x<y
1
10
うに変数を選びます。
xの上
ç
÷
ç
è
ø
è
ø
3Þ
3= y2,3
x
x Þ xÞ
ø ÷ = x 1 + ÷÷=
3
+
=9
1y=
13+ < =
x =x2£: çæç1x+è ö÷ç
ö÷ø÷ = 53 Þ
ç 5 -1x ø÷÷æçèç3 1y ö÷÷ø÷ 322çæçèç
1
1
10
2
2
è
9
y
y
限を計算します。
1 + 3÷÷ = 5 +
x = 2 : çç1 + ÷ç
ç1 + ÷ = Þ 1 + = Þ y = 9
èçææ 3x1öø÷öçèææ
9
y1 ÷øöö÷ 23æçèæ 3 y1 ö÷÷øö÷ 3515 + 3 y17 10
x£
Þ
= 2,3
÷÷ççç1=+ 1 ÷ = 4 çç1 + 1 ÷== 5 Þ 1 +<1 =Þ5 x Þ
+ 1 ÷÷ç
=
÷
÷
=
1
+
=
Þ
1
+
=
Þ y y==49
+
xx =
32:: çæççè151+
1
ç
÷
2
2
2
ç
2
3
ç
÷
÷
æ
ö
æ
ö
ø
÷
ö
2
3
9
x
y
y
y
ç
è
ø
è
ø
4
1
5
1
5
1
1
÷
÷
ç
ç
5 y =1 4 Þ5y = 4 5 - 3
çè 1 ö÷ y ÷ø÷æç= 3 çèç11ö÷+ y ÷ø÷ = 31 Þ 1 +
çè11+öæçx ÷ø+
x5==3æç1: +
-1 =
Þ 4³
ö÷÷÷øöçç1 +
æçèæ ÷÷ Þ
ö÷÷ø÷ö1 +53 ³
÷öæçèæ1 +÷÷÷1£
çç æççèæ ÷÷÷1ççx1ö÷ø÷ç
3
1
3
y
y
5 Þ3y = 9
3 ( 2xè,:yçç)ç1=
x (ø2,9
y3,ø 14÷)÷è= 4ççxç1ø+ 1÷÷= 5xÞ 1 +3 1y1 =x10
è1 ÷çç1),+
3
(
xÞ
÷
÷
÷
÷
1
1
y
=
+
=
Þ
+
=
Þ
=4
= 3 : èçç1+
+ x ø÷ç
+
x=
1
÷÷ç
çèç y ÷ø÷÷ 2 çèçç y ÷ø÷÷ 3
9
y
÷
ç
è
ø
Þ ( x, y ) = (2,9
y 4
x è),(3, 4y )ø3 35 è+ 3y ø 3
3öæ
ö÷ = 5 15 + 3 1< 7 Þ
ö÷ 4 æ
æ
1
5 x = 2,3
1
1
Þ
£
=
x
,(3, 4)
ç
÷ç1)+
=(3x,: yçç)1=
+(2,9
xÞ
÷çè3 y ÷÷÷ø = 3 2ççè1 + y ÷÷ø÷ = 3 Þ21 + y =2 4 Þ y = 4
çè 5 -x ø÷ç
æ
1 ö÷æç
1 ö÷ 3 æç
1 ö÷ 3 5
1 10
çç=
x
,
y
2,9
,
3,
4
Þ
÷
(
)
(
)
(
)
2
+
+
=
+
Þ y1 = 93 12
1
1
1
=
x
:
÷ç
ç
æ
ö
12 æç çè 1 ö÷çx ø÷çè 1 ÷æçy ÷÷ø 12ö÷ çè æç y ÷÷÷ø1=ö÷ 3 Þ 1 +1 y =3 12
= çæ1 + ÷ö÷çæ1 + ÷ö÷çæ1 + ö÷÷ < æç1 + ö÷÷3 Þ 1 + > 9 Þ > 33 - 1
12
1y ø÷÷èç 1z ø èç
1ø
1
12
1
12
5 = èçç1 + 1x ø÷çèç1 +
ö÷x ÷÷÷ 35Þ 1 + x 1> 3 55 Þ x > 3 5 - 1
ç æç ÷÷çç1 ö÷æç ÷÷÷ççç11ö÷+ 4÷÷÷ æç< ççç1 +
1
ç
3
øöèæ 1 +
è ÷x1=øö Þ 1 +x1 3= 12
5 Þ y3 x1= 4 12
y1 ø3öèæ ÷ =z1øöç1 +
x5 = 3èæ: 3ç15x+
12
÷ø ÷ 3Þ3 1 +
300
+55 - 1
720
÷+
÷÷çè<2 çæç1 +
3 4 +
ç èç 1 ÷÷ççx1ø÷ç
çè ÷÷÷ççy51÷÷ø+ 3312
2
3÷
>
Þ
>
y
y
÷
x5<=3 èçç1 +
=
+
60
+
5
=
3
3
x3ø÷çè
y 3ø÷èç
z ø÷ èç
x ø÷
x 3 5 3x
5
(
(
(
)
)
)
(
)
(
(
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
æ x、
öæ z は、
1 ö÷æç 1<x<y<z
1 ö 12
(2) 自然数
および
ççæ1 + 11÷÷yöççx、
æ1、
をみたす。
÷÷ö÷çæz1 の組をすべて求めよ。
+yyの組をすべて求めよ。
+ 1÷÷÷ö÷= 12
1、
をみたす。
ç
çèçç1 + x ø÷÷÷æçèçç1x、
ç
÷
÷
=
+
+
1
è
ø
y
z
5
÷
ø
ç
ö
æ
解題
1xö÷yø÷ç、
1y÷÷÷øæçèç1<x<y<z
1 ö÷ 125
ç z は、
(2) 自然数
çççè1 +x、
÷÷ç1 + z÷÷÷ø= および
÷÷çè1 +
（2011 年一橋大 1）
çè
ç
をみたす。
x
、
y
、
z
の組をすべて求めよ。
÷
ç
xöøæè 1yöøæè 1zöø 12
5
左辺が積なので、分母を払って因数分解・素因数分解で解きます。分子を払っ
æ
1
をみたす。
x
、
y
、
z
の組をすべて求めよ。
çç1 + ÷÷çç1 + ÷÷çç1 + ÷÷ =
（2011 年一橋大 1）
çè
をみたす。
x ø÷çèx、yy、÷÷øèçz の組をすべて求めよ。
z ø÷ 5
て積の形に持ち込むのが定石なるも、若干面倒な形です。同類項を整理し、係数
（2011 年一橋大 1）
（2011 年一橋大 1）
をみたす。x、y、z の組をすべて求めよ。
のつじつまが合うように、両辺を整数の積に整理します。この他に、不等式に持
îÞ ( x + 1)( y + 1) =
)
)
33
(
)
(2) こちらも同様に解きますが、２段階の操作が必要になります。まずxを求めます。
3
12 æç
1 öæ
1 öæ 1 ö æ
1 ö3
1
12
1 3 12
12 = çæ1 + 1 ö÷÷çççæ1 + 1 ö÷÷÷çæç1 + 1 ö÷÷ < çæç1 + 1 ö÷÷ Þ 1 + 1 > 3 12 Þ 1 > 3 12 - 1
5 = èççç1 + x ø÷÷÷èççç1 + y ø÷÷÷èççç1 + z ø÷÷÷ < èççç1 + x ø÷÷÷ Þ 1 + x > 3 5 Þ x > 33 5 - 1
5 è
5
x øè
y øè
zø è
xø
x
x
5
3
3
3
3
5
5
720 + 300 + 5
x < 3 3 5 3 = 3 5 33 1222 + 33 60 + 33 522 = 3 720 + 3 300 + 5
x < 3 12 - 3 5 = 12 - 5 12 + 60 + 5 =
7
7
12 - 5 12 - 5
ìï 33 720 < 33 729 = 9
9
7
5
+
+
ìïï 720 < 729 = 9 Þ x < 9 + 7 + 5 < 3 Þ x = 2
íï 3
<3Þ x = 2
7
< 33 343 = 7 Þ x <
ïîíïï 3 300
7
ïî 300 < 343 = 7
((
))
次に y と z を順に求めます。
12 çæ
1 öæ
1 öæ
1ö 3 æ
1 öæ
1ö
12 = ççæ1 + 1 ö÷÷÷ççæç1 + 1 ÷÷ö÷æççç1 + 1 ö÷÷÷ = 3 çççæ1 + 1 ÷÷÷öæççç1 + 1 ö÷÷÷
5 = èçç1 + x ø÷÷èçç1 + y ø÷÷÷èçç1 + z ø÷÷ = 2 çèç1 + y ø÷÷÷èçç1 + z ø÷÷
5 è
x øè
y øè
zø 2è
y øè
zø
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
2
24 8
1
1
1
1
8 2
Þ 24 = 8 = æççç1 + 1 ö÷÷÷æçç1 + 1 ö÷÷÷ < æççç1 + 1 ö÷÷÷ Þ 1 + 1 > 8 = 2
Þ 15 = 5 = çè1 + y ÷ø÷èç1 + z ÷ø÷ < çè1 + y ÷÷ø Þ 1 + y > 5 =
15 5 çè
5
y ø÷çè
z ø çè
y ÷ø
y
1 2 2- 5
5
5
5
Þ 1 > 2 2- 5 Þ y<
= 5 2 2+ 5 =
Þ y>
Þ y<2 2- 5 = 3 2 2+ 5 =
5
3
y
5
2 2- 5
\ y = 3(> 2 = x)
\ y = 3(> 2 = x)
æ
12 çæ
1 öæ
1 öæ
1ö 3 4 æ
1ö
1ö
12 = çæ1 + 1 ö÷÷çæç1 + 1 ö÷÷÷æçç1 + 1 ö÷÷ = 3 × 4 æçç1 + 1 ö÷÷ = 2æçç1 + 1 ö÷÷
5 = ççèè1 + x ÷÷øøççèç1 + y ø÷÷÷èèçç1 + z øø÷÷ = 2 × 3 èèçç1 + z øø÷÷ = 2èèçç1 + z øø÷÷
5
x è
yø
z
2 3
z
z
1 6
Þ1+ 1 = 6 Þ z = 5
Þ1+ z = 5 Þ z = 5
z 5
( xx,, yy,, zz ) =
(2,3,5)
(
) = (2,3,5)
((
))
2
2
5
5
40 + 5
40 + 5 < 4
<4
3
3
《入試問題1.11》（難易度C）
オイラーの多面体定理を利用して、正多面体の種類を調べる問題です。この問
題から、正多面体の数が 5 種類しかないことがわかります。
l、m、n を 3 以上の整数とする。等式
æ n n ö÷
çç - + 1÷l = 2
çè m 2 ÷ø
を満たす l、m、n の組をすべて求めよ。
（2010 年阪大理系 1）
34
１
解題
これは「任意の多面体において，頂点の数を V、辺の数を E、面の数を F とお
くと、V − E+F=2 が成立する」という「オイラーの多面体定理」から正多面体
が５種類しかないということを証明する問題です。問題の関係式は、面の数 F を
l で、1 つの頂点に集まる面の数を m で、1 つの面の辺の数を n で表しています。
正多面体が、 l 個の正 n 角形を持つとすると、辺の数は nl であり、１つの辺は
２つの面に属するので「nF=2E」が成り立ち、「E=nl/2」が得られます。V個
の頂点にm本の辺が集まり、１つの辺は２つの頂点を結ぶので，「mV=2E」が
成り立ち、「V=2E/m」が得られ、これに「E=nl/2」を組み合わせると「V=nl/
m 」が得られます。これらの関係をオイラーの多面体定理に代入すると「 nl/
m-nl/2+l=2」となります。
解法因数分解・素因数分解して解く
与式の分母を払うと、次の関係が得られます。
(2n-mn+2m)l=4m
この左辺の第 1 項の変形がキーポイントです。
2n-mn+2m＝4-(2-m)(2-n)
したがって次式が成立します。
l [4-(2-m)(2-n)]=4m
ここで、l、m>0 から 4-(2-m)(2-n) ＞ 0 が成立し、これから (m-2)(n-2)<4、
すなわち (m-2)(n-2) ≦ 3 が得られ、1 つの頂点に集まる面の数 m は 3 以上なの
で、m-2、n-2 ≧ 1 であり、これらから m-2、n-2 の値は次の 5 通りに定まります。
(m-2,n-2)=(1,3),(3,1),(2,1),(1,2),(1,1)
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
3 =
Þ x£
= 15 + 3 < 7 Þ x = 2,3
Þ x£ 5- 3 =
=
< 2 Þ x = 2,3
2
2
2
2
2
5- 3
ö÷ 3 æ
ö÷ 5
æ
ö÷æçæ
1
1
1
1
10
ö
æ
ö
ç
x = 2 : æççç1 + 1 ö÷÷çç1 + 1 ÷÷ = 3 çç1 + 1 ÷÷ = 5 Þ 1 + 1 = 10 Þ y = 9
÷
÷
ç
+
=
+
=
Þ
+
=
1
1
1
x = 2 : èç1 + x ø÷ç
ç
2
3
9 Þ y=9
y
y
y
è
ø
è
ø
çè
9
x ø÷çè
y ÷ø÷ 2 çè
y ÷ø÷ 3
y
ö÷ 5
ö÷ 4 æ
æ
ö÷æç
1
1
5
1
1
x = 3 : ççæç1 + 1 ö÷÷çæç1 + 1 ö÷ = 4 çççæ1 + 1 ö÷÷ = 5 Þ 1 + 1 = 5 Þ y = 4
x = 3 : çè1 + x ø÷ççè1 + y ÷ø÷ = 3 çè1 + y ÷ø÷ = 3 Þ 1 + y = 4 Þ y = 4
çè
y ÷ø 3
y 4
x ø÷çèç
y ÷ø 3 çèç
Þ ( x, y ) = (2,9),(3, 4)
Þ ( x, y ) = (2,9),(3, 4)
(m,n)=(3,5),(5,3),(4,3),(3,4),(3,3)
(m-2,n-2)=(1,3),(3,1)⇒l=4m=12,20
(m-2,n-2)=(2,1),(1,2)⇒2l=4m=16,12⇒l=8,6
(m-2,n-2)=(1,1)⇒3l=4m=12⇒l=4
(l,m,n)=(12,3,5),(20,5,3),(8,4,3),(6,3,4),(4,3,3)
補足
これらは順に、正 12 面体、正 20 面体、正 8 面体、立方体、正４面体に対応し、
正多面体はこれらだけです。
なお本問は、正多面体の頂点を構成する正多角形の候補を絞り込んでいって証
明することもできます。頂点を構成するには正多角形が３つ以上必要であり、頂
点を構成するには正多角形の内角の和が 360 度未満でなければならず、したがっ
て内閣は 120 度未満でなければなりません。これを満たすのは正三角形・正方形・
正五角形に限られ、頂点を構成するには正三角形× 3 ∼ 5、正方形× 3、正五角
形× 3 しかありません。したがって正多面体は 5 種類に限られます。
35
●ユークリッドの互除法とは何か
新学習指導要領において、整数問題が数 A に正式に追加された際に、この主
題も登場しました。ユークリッドの互除法とは、「自然数 a、b(a ≥ b) に対して、
a を b で割った余りを r とおくとき、
《基本例題1.5》
（ユークリッドの互除法）
(1) ユークリッドの互除法を用いて 390 と 273 の最大公約数を求めよ。
(2) ユークリッドの互除法を用いて 2013 と 1159 の最大公約数を求めよ。
（新作問題）
gcd(a,b)=gcd(b,r)
が成立し，これを繰り返し用いると、aとbの最大公約数が求まる」というもの
です（最大公約数GCM：Greatest Common Measure）。
この手法の何が便利かというと、2 つの数の最大公約数は素因数分解を利用し
て求めることもできますが、大きな数字の場合は、素因数分解よりもユークリッ
ドの互除法を利用した方が圧倒的に計算量が簡単ということです。またこの互
除法から、一次不定方程式 ax+by=d の解を求めることができます。
●ユークリッドの互除法の証明
この証明が難しいという方々が多いようなので、証明を 2 つ紹介します。
●証明1（公約数の大小を利用しない方法）
自然数 a,b (a ≥ b) に対して、a を b で割った商を q、余りを r とおくと、
「a=bp+r」と書けて、b と r の公約数は a の約数です。つまり、b と r の公約数
は a と b の公約数でもあります。
逆に、r=a-bq より a と b の公約数は r の約数であります。つまり、a と b の
公約数は、b と r の公約数です。つまり、a と b の公約数は、b と r の公約数で
もあることになります。
以上から、［a と b の公約数全体］=
［b と r の公約数全体］が言えるので、
gcd(a,b)=gcd(b,r) となります。
●証明2（公約数の大小を利用する方法）
自然数 a,b (a ≥ b) に対して、a を b で割った商を q とすると
a=bq+r
36
と書けます。a と b の最大公約数を gcd(a,b)、b と r の最大公約数を gcd(b,r)
とします。a=bq+r の右辺は gcd(b,r) で割り切れるので、左辺の a も gcd(b,r)
で割り切れます。すると gcd(b,r) は a と b の公約数となり、gcd(b,r) ≦ gcd(a,b)
が成立します。
一方 a=bq+r を変形すると、r=a-bq となり、この式の右辺は gcd(a,b) で割
り切れるので、左辺の r も gcd(a,b) で割り切れます。すると gcd(a,b) は b と r
の公約数なので、gcd(a,b) ≦ gcd(b,r) が成立します。
したがって、gcd(a,b)=gcd(b,r) が成立します。
１
●ユークリッドの互除法による最大公約数の計算
ユークリッドの互除法を利用する
(1) 素因数分解では390=3・10・13、273=3・7・13ですが、ユークリッドの互除法
では、
390=273・1+117
273=117・2+[39]
117=[39]・3+0
最後に 117 を割り切る 39 が GCM なので、390 と 273 の GCM は 39 です。
これくらいではまだ威力がわかりにくいのですが…。
(2) 素因数分解では2013=3・11・61、1159=19・61となり、19も61も見つけるに
はかなり大変です。しかしユークリッドの互除法では、次の計算で容易に61が
見つかり、その後に素因数分解することも容易です。
2013=1159・1+854
1159=854・1+305
854=305・2+244
305=244・1+[61]
244=[61]・4+0
最後に 244 を割り切る 61 が GCM なので、、2013 と 1159 の最大公約数は 61
です。
解法
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
1.4　ユークリッドの互除法と一次不定方程式の解法
●ユークリッドの互除法による一次不定方程式ax+by=dの解法
この主題は、次のようなストーリーで証明されます。このストーリーの証明
自体が問題として出題されることもあります。
［完全剰余系の基本定理］
⇒［ax+by=1 が整数解を持つ⇔ a と b は互いに素］
⇒［ax+by=c が整数解を持つ⇔ c は gcd(a,b) の倍数］
［完全剰余系の基本定理（整数論の基本定理）］
この定理にはいくつかの形式がありますが、内容は同一です。
37
1a、2a、3a、…、(n −1)a
をnで割った余りは、1 からn-1までの全ての整数が1回ずつすべて (順不同で)
現れる。
（形式2） a、n が互いに素であるとするとき、n個の相異なる整数
0a、1a、2a、3a、…、(n−1)a
をnで割った余りは、0 からn-1 までの全ての整数が1回ずつすべて (順不同で)
現れる。
［完全剰余系の基本定理の証明］
形式 2 の定理を背理法で証明します。0、1a、2a、3a、…、(n-1)a の中で、ia
と ja（0 ≦ i < j ≦ n-1）を n で割った余りが同じであると仮定すると、(j-i)a は
n の倍数となりますが、0 ≤ j-i <n-1<n であり、かつ a と n は互いに素なのでこ
れは矛盾です。したがって、ia と ja (i>j) を n で割った余りはすべて異なります。
0、1a、2a、3a、…、(n-1)a は n 個の整数であり、これらを n で割った余りが
すべて異なるならば、余りは 0 から n-1 まで n 種類有り、余りはすべて異なり
ます。
［x,yに関する二元一次不定方程式の定理］
これにも２つの定理があります。
ax+by=1が整数解を持つ ⇔ aとbは互いに素
ax+by=cが整数解を持つ ⇔ cはgcd(a,b)の倍数（ベズーの等式）
［ax+by=1が整数解を持つ⇔aとbは互いに素　の証明］
○「ax+by=1が整数解を持つ⇒aとbは互いに素」の対偶を示します。
a と b が 2 以上の公約数 d を持つとすると、ax+by は d の倍数となり、
ax+by=1 は解を持ちません。したがって「ax+by=1 が整数解を持つ⇒ a と b は
互いに素」が示されました。
○「aとbは互いに素⇒ax+by=1が整数解を持つ」を示します。
a と b が互いに素であるとき、完全剰余系の基本定理により、0a、1a、2a、3a、…、
(n-1)b を b で割った余りは全て異なるので、余りが１となるものが存在します。
0a、1a、2a、3a、…、(n-1)b の中で余りが１となるものを ma とおき、b で割っ
た商を q とおくと、ma=bq+1 ⇔ am-bn=1 となり、(m,-n) は整数解になって
います。
38
［ax+by=cが整数解を持つ⇔cはgcd(a,b)の倍数　の証明］
○「ax+by=cが整数解を持つ ⇒ cはgcd(a,b)の倍数」を示します。
a、b は gcd(a,b) の倍数なので整数 x、y に対して ax+by も gcd(a,b) の倍数で
あり、c は gcd(a,b) の倍数です。
○「cはgcd(a,b)の倍数 ⇒ ax+by=cが整数解を持つ」を示します。
a、b は、gcd(a,b) と、互いに素な整数 a、bを用いて、
 gcd(a,b)、b=b・
 gcd(a,b)
a=a・
と書けます。上で示した結果から、「am+bn=1 は整数解を持つ」ので、この
式の両辺を gcd(a,b) 倍すると、
 gcd(a,b)・m+b・
 gcd(a,b)・n=gcd(a,b)⇒am+bn=gcd(a,b)
a・
となり、am+bn=gcd(a,b) も整数解を持ちます。したがって、c が gcd(a,b) の
倍数のとき、両辺を整数倍すれば右辺が c となるので ax+by=c は整数解を持ち
ます。
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
（形式1） a、n が互いに素であるとするとき、n−1個の相異なる整数
●ユークリッドの互除法による一次不定方程式ax+by=cの一般解
ユークリッドの互除法に基礎を置く「ax+by=c が整数解を持つ⇔ c は gcd(a,b)
の倍数」の定理によって、c が gcd(a,b) の倍数であれば、最低１つの整数解の存
在が保証されています。そうすると、この解を「特殊解」と呼んで (x,y)=(α,β)
が満たす方程式との差分を取ります。
ax+by=c
aα+bβ=c
⇒ a(x-α)=-b(y-β)
この結果から、x- αは b の倍数、y- βは a の倍数であり、符号を考えて、
x-α=-bk、y-β=ak
とおくことができるので、
x=α-bk、y=β+ak
と表すことができ、これが一次不定方程式 ax+by=c の一般解です。
39
解題
●ユークリッドの互除法の問題
まだ新学習指導要領に基づく入試の歴史が浅いので、あまり出題は多くない
ようですが、2015 年のセンター入試 IA で、不定方程式の問題が出題されました。
ユークリッドの互除法に関する入試問題は、若干古い問題を紹介します。
《基本例題1.6》
（ユークリッドの互除法）
5a + 12b
3a + 7b
a、b を互いに素な自然数とする。このとき、
が既約分数であること
を示せ。
（新作問題）
解題
ユークリッドの互除法は、a=bq+r の形にすることが重要なので、数ではなく文字
でも成立します。
解法ユークリッドの互除法を文字に適用する問題
ユークリッドの互除法を文字に適用します。
5a+12b =1・(3a+7b)+2a+5b ⇒
gcd(5a+12b,3a+7b)=gcd(3a+7b,2a+5b)
gcd(3a+7b,2a+5b)=gcd(2a+5b,a+2b)
3a+7b =1・(2a+5b)+a+2b ⇒
gcd(2a+5b,a+2b)=gcd(a+2b,a+b)
2a+3b =1・(a+2b)+a+b ⇒
⇒
gcd(a+2b,a+b)=gcd(a+b,b)
a+2b =1・(a+b)+b
⇒
gcd (a+b,b)=gcd(b,a)=1
a+b
=1・b+a
与式の分母と分子の最大公約数が 1 であり、与式の分数は既約分数です。
《入試問題1.12》（難易度C）
正の数 k、l（k≧l）に対して数列 {an }、{bn } を次のように定義する。
a1 =k、b1 =l
ìïbn (bn ¹ 0)
ìï an を bn で割った余り (bn ¹ 0)
ï
ï
=
=
a
,
b
í
í
n>1 について n +1
n +1
ïïan (bn = 0)
ïï bn
(bn = 0)
î
î
(1) k=1998、l=185 について、{an }、{bn } をそれぞれ第 5 項まで計算せよ。
(2) 任意の k、l、n について bn ≧bn+1 （等号は bn =0 のときに限る）を示せ。
(3) 任意の k、l について bn =0 となる n が存在することを示せ。
(4) bn =0 となる n について an が k と l の最大公約数になっていることを示せ。
（1998 お茶の水女子大）
40
an+1 は、bn が 0 の場合 an、bn が 0 ではない場合 bn であり、bn+1 は、an を bn で割っ
た余りが 0 の場合 bn、0 ではない場合 an です。これはユークリッドの互除法のア
ルゴリズムを表した連立漸化式です。ユークリッドの互除法では、商と余りの関
係式がキーポイントです。漸化式の取り扱いが難関です。
解法因数分解と剰余類を利用する
(1) k=1998、l=185として、ユークリッドの互除法を適用します。
1998=185・10+148
185=148・1+[37]
148=[37]・4+0
したがって、1998 と 185 の最大公約数は 37 です。したがって、
a1=1998、b1=185、
a2=185、b2=148、
a3=148、b3=37、
a4=37、b4=0、
a5=37、b5=0
(2) bn≠0のとき、bn+1はanをbnで割った余りであるから明らかに0≦bn+1<bnであ
り、 bn=0のときは定義からbn+1=bnなので、任意の k、l、nについてbn≧bn+1が成立
します。
(3) もし、bn=0となるnが存在しないとすると、すべてのnに対してbn+1<bnが成り
立つことになり、bnが構成する集合には無限の数の整数が存在し、最小値が存在
しないことになりますが、bnは割り算で生じる商と余りの数列であり、これは自
然数の範囲の集合であって、最小値が存在しないはずはなく、これは矛盾です。
したがって、任意の k、lについて bn=0となるnが存在します。
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
1.5　ユークリッドの互除法と不定方程式の問題
(4) bn=0 ⇒ an=gcd (k,l)を示します。
an を bn で割った商を qn と定義すると、商と余りの関係式は次のように記述で
きます。
an=bnqn+bn+1
これから an と bn の公約数は bn+1 の約数になり、bn と bn+1 の公約数です。bn と
bn+1 の公約数で最大のものが最大公約数 gcd (bn, bn+1) なので、
gcd (an, bn) ≦ gcd (bn, bn+1)
が成立します。また、bn と bn+1 の公約数は an の約数になるので、同様に、
gcd (an, bn) ≧ gcd (bn, bn+1)
が成立します。したがって、
gcd (an, bn)=gcd (bn, bn+1)
となります。bn ≠ 0 のとき an+1=bn なので、
41
のとき、
●ユークリッドの互除法を基礎とする不定方程式の問題
《基本例題1.7》
（ユークリッドの互除法と不定方程式の問題）
( 1 ) x+2y=10 を満たす整数の組 ( x,y ) をすべて求めよ。
（新作問題）
解題
「x+2y=10 を満たす自然数の組 (x,y) をすべて求めよ。
」という問題は P.2 で取り
上げました。自然数の場合は 10-x=2y ≧ 2 などとして範囲を絞り込んで解くこと
ができますが、整数解を求める場合には、特殊解を求めてから一般解を求めます。
(2) の「47x+23y=17 を満たす整数」の問題では、特殊解を求めるのが容易では
ないので、その前段階として、前節での定理にしたがって、まず「47x+23y=1 を
満たす整数」を求めてから「47x+23y=17 を満たす整数」を求めます。
解法ベズーの等式を利用する
(1) 「x+2y=10」を満たす特殊解の１つは(x,y)=(4,3)であり、この解の組に対して
成立する方程式と一般解の満たすべき方程式との差を取ります。
x+2y=10
4+2・3=10
⇒ x-4=-2(y-3) ⇒ (x-4)k=-2(y-3)k（k は整数）
x-4=-2k、y-3=k ⇒ x=4-2k、y=3+k
(2) まず、「47x+23y=1」を満たす特殊解を求めます。これは(x,y)=(1,-2)であるこ
とは容易にわかります。その両辺を17倍して次の関係式を得ます。
47(17・1)+23(17・(-2))=17
すなわち特殊解の１つは (17,-46) であり、この解の組に対して成立する方程式
と一般解の満たすべき方程式との差を取ります。
42
47x+23y=17
47・17+23・(-46)=17
⇒ x=17-23k、y=46+47k（k は整数）
補足
gcd (k,l)=gcd (a1,a2)=gcd (a2,a3)=…=gcd (aN,aN+1)
bN=0 から aN+1=aN であり、
gcd (k,l)=gcd (aN,aN+1)=gcd (aN,aN)=aN
なので、bn=0となるnについてanはkとlの最大公約数です。
( 2 ) 47x+23y=17 を満たす整数の組 ( x,y ) をすべて求めよ。
⇒ 47(x-17)k=-23(y-46) k
「x+2y=10 を満たす自然数の組 (x,y) をすべて求めよ。
」という問題は容易に解け
ても「x+2y=10 を満たす整数の組 (x,y) をすべて求めよ。
」という問題は少し面倒
でり、ユークリッドの互除法を基礎とする手法を利用して解きますが、状況が微
妙な問題があります。
「ax+by=d」という不定方程式は、a と b が互いに素であれば、必ず整数解 (x,y）
が存在しますが、
「自然数解」が存在するかどうかは「微妙」な問題です。これは、
xy 平面上で第Ⅰ象限の x,y ≧ 1 の領域内で ax+by=d の直線が格子点を通過するか
どうかということになります。たとえば「x+2y=p ∈ N を満たす自然数解 (x,y)」
は、p=3 の場合は (x, y)=(1,1) という特殊解がありますが、p=2 の場合はこの方
程式を満たす特殊解はありません。
「x+2y=p ∈ N を満たす自然数解 (x,y)」がどんな場合に存在するかを調べます。
x+2y=p を満たす特殊解は、(x, y)=(3p,-p) であればよいので、x+2y=p を満たす
一般解は次のように得られます。
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
gcd (an, bn)=gcd (bn, bn+1)⇔gcd (an, an+1)=gcd (an+1, an+2)
となります。 (3)から、自然数 N が存在して、bN-1≠0かつbN=0となります。こ
x+2y=p
3p-2p=p
辺々減じて
x-3p=-2(y+p) ⇒ (x-3p)k=-2(y+p)k
この方程式を満たす一般解は、1 と 2 が互いに素なので、
(x-3p, y+p)=(-2k, k) ⇒ (x, y)=(3p-2k, k-p)
x,y ≧ 1 の範囲でこれらの関係を満たす整数 k が存在すればよいのですが、その
ためには、
3p-2k ≧ 1、k-p ≧ 1 ⇒ p+1 ≦ k ≦ (3p-1)/2
この k がかならず整数であるためには、不等式の示す範囲の幅が 1 以上であれ
ばよいので、
(3/2)p-1/2-(p+1)=p/2-3/2 ≧ 1 ⇒ p ≧ 5
したがって、p ≧ 5 の場合にはかならずこれらの関係を満たす整数 k が存在し
ます。p=5 の場合、6 ≦ k ≦ 7 より k=6、7 であり、この場合は両端が格子点です。
しかし k<5 の場合には、調べてみなければどちらとも言えません。幅が 1 未満
の場合でも k ∈ Z が存在する場合があります。
p=4： x+2y=4 ⇒ (x, y)=(2, 1)
⇒ 5≦k≦11/2 ⇒ k=5
p=3： x+2y=3⇒ (x, y)=(1, 1) ⇒ 4≦k≦4 ⇒ k=4
これらが最小の値であり、p ≦ 4 の場合は個別の場合を調べて判別します。こ
43
y
p=5, k=6,7
p=4, k=5
p=3, k=4
O
x
《入試問題1.13》（難易度B）
以下では、a=756 とし、m は自然数とする。
(1) a を素因数分解し、a の正の約数の個数を答えよ。
am が自然数となる最小の自然数 m を答えよ。
(2) am が自然数となるとき、m はある自然数 k の 2 乗の定数倍で表される。
(3) am の値を答えよ（この値を A とする）。
m を k の 2 次式で表し、そのときの　(4) 次に、自然数 k の A 倍の数であって、11 で割った余りが 1 となる最小の
k を求める。1 次不定方程式
れます。
(11・11+5)k−11l=11(11k-l )+5k=1
この方程式の１つの特殊解は (11k-l ,k)=(1,-2) であり、k=-2、11k-l ＝ 1 から
l=-23 となって、特殊解は
126(-2)−11(-23)=1
126k−11l=1
辺々減じて両辺を整数 n 倍すると次の関係式が得られるので、
126(k+2)-11(l+23)=0 ⇒126(k+2)n=11(l+23)n
126 と 11 が互いに素なので、この関係から次のように一般解が得られます。
k+2＝11n 、l+23＝126n ⇒ (k,l)=(11n-2,126n-23)
k>0 となる k の最小値は n=1、k=9 であり、その場合の l は 103 となります。
(5) 題意は非負の整数qによって次のように表せます。
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
の状況を右図に示します。p<3 の場合は自然
数を座標とする格子点は存在しません。
126k=11q+1
これは(4)と同じ不定方程式であり、m=21k2です。mの最小値は\k\の最小値が与
え、\k\の最小値は(4)の場合と一致するのでk=9であり、このときm=1701です。
Ak－11l=1
を解くと、k>0 となる整数解 (k,l) のうち、k が最小の場合の k、l を求めよ。
(5) am が 11 で割ると 1 余る自然数であるとき、そのような自然数 m の最
小値を求めよ。
（2015 年センター IA 問題 5）
解題
(1) は約数の個数の計算公式で計算します。(2)(3) は平方根が自然数となる、よ
くある整数問題、(4)(5) はユークリッドの互除法の応用問題です。
因数分解と剰余類を利用する
(1) aを素因数分解し、その結果から約数の数を求めます。
756=22337 ⇒ 3・4・2＝24
解法
(2) am=756m=22337 m
44
これが最小の自然数となるためには am=2 2 3 3+1 7 1+1 となることが必要であり、
m=21となります。
(3) この場合amは22337×21k2となり、A=213271=126です。
(4) 1次不定方程式は次のようになります。
126k−11l=1
これはまさにユークリッドの互除法の発展型としての2元1次の不定方程式であ
り、126=213271=11・11+5は11と互いに素です。方程式は次のように書き換えら
45
となり、x の座標が絞られます。x=0、±1、±2 と x2+y2<9 から格子点の数は次
のように得られます。
本節では、3 種類の整数不等式の例題を紹介します。
○座標で考えて解ける問題
方程式の解の数を数えるという場合には、問題の難易度はだいぶ高くなりま
すが、不等式を満たす自然数の数を数える場合には、空間座標で解くか不等式
を解いて解を数えることができ、難易度がだいぶ低くなります。
○２次不等式の解の数を数える問題
2 次方程式の解の公式で解ける問題が多くなります。
○多元１次不等式の解を求める問題
条件を組み合わせて、１次不等式の整数解を求めます。
x=0： y=0、±1、±2
（5個）
x=±1： y=±1、±2
（8個）
x=±2： y=±2
（4個）
x ≧ 1、y ≧ 1 を適用すると (x,y) ＝ (1,1)、(1,2)、(2,2) の 3 つのみとなります。
●２次不等式の解の数を数える問題
《基本例題1.9》
（１元2次の不定不等式）
k を正の整数とする。5n2-2kn+1<0 をみたす整数 n が、ちょうど 1 個であ
るような k をすべて求めよ。
（一橋大 2008 年 1）
●座標で考えて解ける問題
《基本例題1.8》
（2元2次の不定不等式）
x +y( x,y
<9)、を求めよ。
x ≦ y を満たす自然数の組 ( x,y ) を求めよ。
x 2 +y 2 <9 、 x 2 ≦ y 2 を満たす自然数の組
k を正の整数とする。5n2-2kn+1<0 をみたす整数 n が、ちょうど 1 個であ
解題
るような k をすべて求めよ。
不等式の解の個数に関する伝統的な名問です。まったく同様の問題が 2012 年
（一橋大 2008
年 1）
（2004 年慶応大／総合政策 21、改題）　k を正の整数とする。5n2-2kn+1<0 をみたす整数 n が、ちょうど
1 個であ
（2004 年慶応大／総合政策 21、改題）
慈恵医大に出題されました（次問で紹介します）
。
k
が正の整数、
n が整数とい
るような
f (nk)をすべて求めよ。
= 5n 2 - 2kn + 1 < 0
う若干複雑な問題ですが、解を求めてこれが整数であるための条件を求めます。
（一橋大 2008 年 1）
k ± k2 -5
解題
2
2
解法解の間の距離を求める
5n - 2kn + 1 = 0 Þ n =
, k ³5
y
5
２変数の不定不等式の場合には yxy 平面を使う
不等式を解いて整数条件を１つずつ当てはめます。
3
のが定石です。ただし、不等式を解いても解は
f (n) = 5n 2 - 2kn + 1 < 0
3
得られます。解は右図に示す通り、(x,y) ＝ (1,1)、
k ± k2 5
2
2
2
2
5fn(n+1k=
0-Þ
(1,2)、(2,2) の 3 つしかありません。
3
5kn2kn
+
3
5 1n<=0 k +5 k 2 - ,5 k ³ 5
) =2kn
x
O
aº
<n<
ºb
-3
元の問題は「条件を満たす整数の個数」を問うも
3
5
x
O
25
k ± k -5
5n 2 - 2kn + 1 = 0 Þ n2= 2 k2 ≧ 5 ,が必要です。
k 22 ³ 5
ので、整数の個数は 5+3+1+3+5=17 個です。
n が実数であるためにはまず
n が 1 個しか許されないの
5
b
a
=
b
a
=
k
5
<
2
Þ
k
- 5 < 5 Þ k 2 < 30
3
5
解法1 xy平面で図示して解く
で、f(n)=0 の x 軸との交点の間の距離は
2 未満となり、これから k の範囲が絞
2
2
2
2
2 -3
2
2
5£
k <k 30
k-Þ
+ k -5
5 k = 3, k4,5
右図からわかるように、x +y <9 は半径３の円の内部、x ≦ y は y= ± x で
られます。
aº
<n<
ºb
5
5
はさまれた４つの領域のうち、y 軸を内部に含む領域であり、その重複部分は右
k=-3 : kf2(k2 -5
5 2 2 -2k6+
ka
図のグレーの部分です。この領域の中の格子点が整数の組を表し、これと x、y
= b -na)=<5nn <
k -n5+<1 2 Þ ºk 2b- 5 < 5 Þ k 2 < 30
ab º
5
5
5
が自然数であるブルーの領域の重複部分に含まれる格子点が自然数の組を表し
f (21) = 0, f (2) = 9 Þ {n} = f
5 £ k < 30 Þ k =23, 4,52
2
2
bます。
ka
==
4 :b f-(na)=
= 55n 2 k- 8-n5+<1 2 Þ k - 5 < 5 Þ k < 30
右図から、整数の個数が 17 個（黒丸と青丸）、自然数の個数が 3 個（青丸）
2, k f=(2 23,)4,5
-Þ
= 3 Þ {n} = {-2} Þ N {n} = 1
5 £fk(21)<=30
3
:
5
6
k
=
f
n
=
n
n +1
(
)
であることがわかります。
k = 5 : f (n) = 5n 2 - 10n + 1
f (1) = 0, f (2)k=は許されません。ここで
9 Þ {n} = f
解法2 不等式を解く
これらの３つしか
n の個数を確認します。
2
f
1
=
4,
f
2
=n1+Þ1 {n} = {-4} Þ N {n} = 1
k = 3(: ) f (n) = 5n (2 -) 6
2
2
2
2
k = 4 : f (n) = 5n - 8n + 1
図を使わないなら、2x ≦ x +y <9 の関係と x が整数であることから x ≦ 4
f (1) = 0, f (2) = 9 Þ {n} = f
f (1) = -2, f (2) = 3 Þ {n} = {-2} Þ N {n} = 1
k = 4 : f (n) = 5n 22 - 8n + 1
2
2
2
2
１
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
1.6　整数不等式の問題
-
-
46
47
ì
1
5a + 2
ï
ï
ïa + 2 < x = a + 1, a + 2,, a + 10 < 3 < a + 11
í
ï
ï
ï
îa , x Î 
5
2
5 £ k < 30 Þ k = 3, 4,5
f (1) = 0,
f (2) = 9 Þ {n} = f
k = 4 : f (n) = 5n 2 - 8n + 1
f (1) = -2,
f (2) = 3 Þ {n} = {-2} Þ N {n} = 1
k = 5 : f (n) = 5n 2 - 10n + 1
f (1) = -4,
f (2) = 1 Þ {n} = {-4} Þ N {n} = 1
したがって k=4、5 のみです。
１
ìï
28
ïïa >
= 14
5a + 2
ï
2
< a + 11 Þ í
Þ a = 15
a + 10 < b =
ïï
31
3
<
=
a
15.5
ïï
2
ïî
したがって、a=15 となります。
●多元１次不等式の解を求める問題
《基本例題1.10》
（３元１次の不定不等式）
《入試問題1.14》（難易度B）
今度は解の数が 1 個ではなく 10 個の問題です。
4 個の整数 1、a、b、c は 1＜a＜b＜c を満たしている。これらの中から相異なる
2 個を取り出して和を作ると、1+a から b+c までのすべての整数の値が得られる
という。a、b、c の値を求めよ。
x の２次方程式
6x
2-
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
k = 3 : f (n) = 5n 2 - 6n + 1
（2002 年京大／文系 5）
( 16a+7 ) x+ ( 2a+1 )( 5a+2 ) <0
を満たす整数 x が 10 個となるように、正の整数 a の値を定めよ。
（2012 年慈恵医大 11、改題）
x の２次方程式
解題
x の２次方程式
6x 2- ( 16a+7 ) x+ ( 2a+1 )( 5a+2 ) <0
前問と同様に、方程式の解をα、βとおいて、
| β−α | の大きさを a で表します。
6x 2 ( 16a+7
) x+個となるように、正の整数
( 2a+1 )( 5a+2 ) <0
を満たす整数
x が 10
a の値を定めよ。
実はこの大きさは判別式の平方根に等しいのですが、各解の整数性を考慮してそ
を満たす整数 x が 10 個となるように、正の整数 a の値を定めよ。
（2012 年慈恵医大 11、改題）
ì
の幅を評価します。
12a + 6 （22012
a + 1年慈恵医大
1
ï
ïa º
=
= a + 11、改題）
ï
16a + 7 ± (4a + 1) ï
解法因数分解・素因数分解して解く
12
2
2
x=
=í
ï
20
a
+
8
5
a
+
2
12
まず、不等式を満たす両端の整数を考えます。判別式が平方数なので、不等式
ïb º
=
(> a )
ï
ï
12
3
ï
î
を満たす両端の値 α、β（α < β）は次のように決まります。
-
ì
12a + 6 2a + 1
1
ï
ïa º
=
=a+
ì
12
a
+
6
2
a
+
1
1
16a + 7 ± (4a + 1) ï
ï
a º 12 = 2 = a + 2
x = 16a + 7 ± 4a + 1 = ï
í
ï
(
)
ï
2
2012
a + 8 5a2+ 2
12
x =ì
=ï
íb º
1
2 a)
= 5a +(>
ï
ï
ï
ï
20
a
+
8
5
a
+
2
12
a
x
a
1,
a
2,
,
a
10
a
+
<
=
+
+

+
<
<
+ 11
î
ï
ï
b º 12 = 3 3 (> a )
ï
2
í
ï
12
3
ï
î
ï
ï
ï
a は正の整数なので、区間
( α , β ) における最小の整数 x は a+1 であり、x は
îa , x Î 
次のように決まります。
48
ì
1
5ì
ï
ïa + 2 28
ï
11
ïa + 12 < x = a + 1, a + 2,, a + 10 < 5ï
a > < a=+14
ì
ï
ía + < x = a + 1,5aa +
+2,2, a + 10 < ïïa 3+ 2 <
ï
2
a + 11
ï
< a + 11 Þ í 3
Þ a = 15
ï
2+10 < b =
í
a, xaÎ
ï
î
ïï
31
3
ï
ï
ïïa < = 15.5
ï
îa , x Î 
2
ïî
ìï
28
ïïa >
= 14
ìïï
28
+2
この範囲の上限 5βaが満たす不等式から
a の範囲が決まります。
2
= 14 Þ a = 15
< a + 11 Þ íïa >
a + 10 < b =
5a 3+ 2
ï
2
< a + 11 Þ íïïa < 31
a + 10 < b =
= 15.5 Þ a = 15
ïïî
31
3
2
ïïa < = 15.5
2
ïî
解題
4 個の整数はすべて異なり、その中から２個を選ぶ組合せの数は６種類しかな
く、それら「6 つの数が連続する自然数である」ことをどう表すかが課題です。
a ≧ 2、b ≧ 3、c ≧ 4、
３≦ a+1<b+1<c+1、a+b ＜ a+c ＜ b+c
であって、c+1 と a+b の大小関係が不明であり、この点がキーポイントです。
具体例として、まず (a,b,c)=(2,3,4) を試しておくと、部分点は確保できます。
a+1=2+1 ＜ b+1=3+1 ＜ c+1=4+1 ＝ a+b=2+3=5 ＜ a+c=6 ＜ b+c=7
となるので (a,b,c)=(2,3,4) は c+1=a+b の場合の１つの解です（この場合、
1+a と b+c の差は 7-2=5 です）。
c+1 と a+b の大小関係を場合分けすると、6 つの数の大小関係がすべて確定
し、6 つの数が連続する自然数であるとした不等式が書き出せます。
大小関係が不明な部分を場合分けする
まず、c+1=a+b の場合を考えると、
a+1 ＜ a+2=b+1 ＜ b+2=c+1 ＝ a+b ＜ a+b+1=a+c ＜ a+c+1=b+c
⇒ b=a+1、c=b+1、b+2=a+b
⇒ a=2、b=3、c=4 ⇒ (a,b,c)=(2,3,4)
次に c+1<a+b の場合を考えると、
a+1 ＜ a+2=b+1 ＜ b+2=c+1<a+b=b+3 ＜ a+b+1=a+c ＜ a+c+1=b+c
解法
⇒ b=a+1、c=b+1、a+b=b+3
⇒ a=3、b=4、c=5 ⇒ (a,b,c)=(3,4,5)
49
nf 3¢ ( x ) = 3x 2 -2 52 x =
3 x (3 x 2 52) = 0
+ 100
52³ n Û n - 26n + 2600 ³ 0
26
x = 0,52 , f (0) = 2600
x = 0, 3 3, f (0)2 = 2600
f ( x ) º3x - 26 x + 2600
●微分も利用する入試問題
整数問題はすべてのテクニックを総動員する必要があり、次に紹介する問題
は微分を利用します。
《入試問題1.15》（難易度B）
そう難しくはないのですが、なかなか取り組みにくい問題でしょう。
n と m は整数であり、f(0,0)=0 ですが、n≠0≠m の場合は f(m,n)<0 です。とこ
ろで、f(m,n)=0 のときは n=m=0 ですが、このときは l が整数にならないので、
f(m,n)<0 となります。
以下の命題 A、
B それぞれに対し、その真偽を述べよ。また、真ならば証明を与え、
以下の命題
A、B それぞれに対し、その真偽を述べよ。また、真ならば証明を与え、
偽ならば反例を与えよ。
2
n3
3 が成り立つ。
+ 100 ³ n 2
命題 A n が正の整数ならば、
n
26 ³ n 2
+ 100
命題 A n が正の整数ならば、
が成り立つ。
命題 B 整数 n、m、l が26
5n+5m+3l=1 を満たすならば、10nm+3ml+3nl<0
整数 n、m、l が 5n+5m+3l=1 を満たすならば、10nm+3ml+3nl<0
が成り立つ。
が成り立つ。
１
2
æ
æ
1 ö2
1 ö2
1
n, m Î  Þ f (m, n) £ f (0,0) = -5æçç0 - 1 ö÷÷÷÷ - 5æçç0 - 1 ö÷÷÷÷ + 1 = 0
n, m Î  Þ f (m, n) £ f (0,0) = -5ççèç0 - 10÷÷ø - 5ççèç0 - 10÷÷ø + 10 = 0
èç
èç
10 ø
10 ø 10
\ f (m, n) £ 0
\ f (m, n) £ 0
f (m, n) = 0 Þ (m, n) = (0,0) Þ 3l = 1 - 5(m
2 + n = 1 Þ2l Ï 
æ 1 - 51(ö÷m + næ))= 1 1Þö÷ l Ï 1
f (m, n) = 0 Þ (m, n) = (0,0) Þ 3l =
ç
ç
n\, mf Î
< )0= -5ççè0 - 10 ø÷÷ - 5èçç0 - 10 ø÷÷ + 10 = 0
(m, nÞ
) ¹f 0(mÞ, n)f £
(mf, n()0,0
\ f (m, n) ¹ 0 Þ f (m, n) < 0
偽ならば反例を与えよ。
命題 B
ff¢ ((17
x ))==317
x 23--52
3x -) =
524913
) = 0 - 4914 = -1 < 0
x 2 x-(100
26x(=
f (17) = 173 - 26( x 2 - 100) = 4913 - 4914 = -1 < 0
52
x = 0, , f (0) = 2600
3
(2) nと
m
が対等なので、lを消去するのが定石です。符号を判別したい式をAとお
5n + 5m + 3l = 1 Þ 3l = 1 - 5(m + n)
23l = 1 - 5( m + n )
5f n(17
+)5=
m 17
+ 33l-=26
1 (Þ
xf(m,n)
- 100と定義して、これが負であることを示します。この式
) = 4913 - 4914 = -1 < 0
いて、さらにこれを
A º 10nm + 3ml + 3nl = 10nm + 3l (m + n) = 10nm + éë1 - 5(n + m)ùû (m + n)
A º 10nm + 3ml + 3nl = 10nm + 3l (m + n) = 10nm + éë1 - 5(n + m)ùû (m + n)
には平方完成が使えます。
2
f (m, n) º 10nm + (m + n) - 5(m + n)2 = (m + n) - 5(m 2 + n22 )
f (m, n) º 10nm + (m + n) - 5(m + n) = (m2+ n) - 5(m 2 +
2 n )
ö÷2
æ
ö÷2
1
1
1
2 3l = 1 Þ 3l =
2 1 - 5( m + næ)
5=
n +-55mm+
ç
- 5æççn - 1 ö÷÷÷ + 1
(
÷
2 + m) + (-5n2 + n) = -5æç m - 1 ö
÷
÷
= (-5m + m) + (-5n + n) = -5ççèçm - 10÷ø - 5ççèçn - 10
÷ø + 10 ù
é1 Aº
10nm + 3ml + 3nl = 10nm + 3lèç(m +10
n)÷ø= 10nm
èç +10
ë ø÷ 5(n10+ m)û (m + n)
2
f (m, n) º 10nm + (m + n) - 5(m + n) = (m + n) - 5(m 2 + n 2 )
2
2
æ
æ
1ö
1ö
1
= (-5m 2 + m) + (-5n 2 + n) = -5ççm - ÷÷ - 5ççn - ÷÷ +
÷
÷
ç
èç
ø
è
ø
10
10
10
因数分解・判別式と互除法と不等式で解く整数問題
次に c+1>a+b の場合を考えると、
a+1 ＜ a+2=b+1 ＜ b+2=a+b ＜ b+3=c+1<c+2=a+c ＜ a+c+1=b+c
⇒ b=a+1、a=2、c=b+2
⇒ a=2、b=3、c=5 ⇒ (a,b,c)=(2,3,5)
以上合わせて、解は、(a,b,c)=(2,3,4)、(2,3,5)、（3,4,5)。
（2015 年東大文科 1）
（2015 年東大文科 1）
\ f (m, n) £ 0
解題
(1) は、うまい方法が思いつかないので、n の代わりに実数 x の不等式とみて
微分を利用します。(2) もうまい方法が思いつかないので、変数を減らして考え
したがって命題
B は真です。
f (m, n) = 0 Þ (m, n) = (0,0) Þ 3l = 1 - 5(m + n) = 1 Þ l Ï 
\ f (m, n) ¹ 0 Þ f (m, n) < 0
ますが、平方完成が使えます。
解法因数分解・素因数分解して解く
(1) まずnの代わりに実数 x で次のような f(x) の挙動を調べます。
n3 n3
2
3 n + 2600
+ 100
³ n 2³Ûn 2n3Û
- n26
0 ³0
+ 100
- 26n 2 + ³
2600
26
26
2
f ( x ) º x 3 - 26
3 x + 2600
2
f ( x ) º x - 26 x + 2600
f ¢ ( x ) = 3x 2 - 52
2 x = x (3 x - 52) = 0
f ¢ ( x ) = 3x - 52 x = x (3x - 52) = 0
52
, 52f (0) = 2600
x =30, , f (0) = 2600
x = 0,
x
f ´( x) +
0
0
52/3
-
0
+
f (x) ↗ 2600 ↘ ？ ↗
3
x=52/3
の場合の値を計算してもよいのですが、反例を
1つ示せば十分です。
f (17) = 173 - 26( x 2 - 100) = 4913 - 4914 = -1 < 0
3
2
f (17) = 17 x=17
- 26(の際の
x - 100f(x)
4913 - 4914 = -1 < 0
) = を計算するとこれは負になるので、この命題
x=52/3に近い整数
は偽であり、反例はn=17の場合です。
50
5n + 5m + 3l = 1 Þ 3l = 1 - 5(m + n)
n+
3l+=31nlÞ
l=
-35l((m + n)) = 10nm + éë1 - 5(n + m)ùû (m + n)
A º510
nm5m
++
3ml
=310
nm1+
2
nmnm
++3ml
+ nn))-=5(10
mnm
++
n 2 )é1 - 5(n + m)ù (m + n)
f (mA, º
n) 10
º 10
m nm
+ n+
(m + 3nnl
) -=5(10
) 3=l (m +
2
51
第2章
計算で解ける
さまざまな
整数問題
52

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