不安定性とバブルのマクロ経済理論

不安定性とバブルのマクロ経済理論
― 標準理論から一歩踏み出す試み ―（下）
小　島　祥　一
目次
4． 3 世代、T世代重複世代モデルへの拡張とラムゼー・モデルの再現
5．連続時間モデルによる分析
おわりに
付録
参考文献
（以上、本号（下）
）
（以下、前号（上）目次）
はじめに
1．標準バブルと信用バブルのマクロ経済計算
2．ラムゼー・モデルにおける不安定性とバブルの分析
3．重複世代モデルにおける不安定性とバブルの分析
4．3 世代、T 世代重複世代モデルへ
の拡張とラムゼー・モデルの再現
の 1 人当たり金融資産が 1 人当たり資本の関数
として表わされる。そのマクロ経済的な集計量
として、マクロの 1 人当たり金融資産が、マク
前節で若年期、老年期とも働く 2 世代重複世
ロの 1 人当たり資本の関数として表わされる。
代モデルを1時点効用関数 u (ct ) = log ct の場合
このやり方は、3 世代モデルから T 世代モデ
に分析した。この節では、その自然な拡張とし
ルにただちに一般化出来る。解が複数均衡にな
て、生まれて若年期、中年期に働き、老年期に
る様子は、前節の 2 世代モデルと同じである。
は働かず貯蓄を取り崩して消費し死ぬ、3 世代
安定性の分析は、3 世代モデルでは前節と同様
重複世代モデルを分析する。
に出来るが、T 世代モデルでは複雑になり難し
1 時点効用関数が u (ct ) = log ct の場合には、
い。しかし T が大きい場合には、1 人の消費者
各世代の 1 人の消費者の消費が、生涯所得に各
について成り立つオイラー方程式と予算制約式
世代の消費性向をかけたものになる。生涯所得
を直接マクロ的に集計し、マクロの集計量とし
は賃金率と金利の関数であり、これらは 1 人当
ての消費、金融資産の満たすべき関係式を導き、
たり資本の関数なので、1 人の消費者の消費は、
分析することが出来る。これによれば、T が大
1 人当たり資本の関数として表わされる。
きいときは、ラムゼー・モデルで近似されるこ
よって、予算制約式から、各世代の各時点で
とが分かる。
－ 101 －
－ 102 －
－ 103 －
産が、貯蓄残高マイナス借り入れ残高で、ネッ
とおき、生産の限界条件
f ( k t ) f c( k t ) k t
f c( k t ) r ( k t )
wt
rt
w ( k t ),
トでプラスになることを表わしている。当然の
ようだが、証明は微妙なものがある。
を使うと、 k t についての定差方程式を得る。
(4-13)
kt
定常状態を k t
k
E 1 f cc(k ) E 3 f cc(k )
(1 f c(k )) 2
0
よって、前節の図 3-1-1,2 と同様に、図 4-1-1,2,3
vt
nL
を得る。CES 型生産関数で、U ! 0 の場合には、
w( kt )
E1 (1 r (kt 1 )) w(kt 2 ) E 2 w(kt 1 ) E 3
1 r ( kt )
k
B c(k )
k t 1
k t 2
w(k ){E 1 (1 r (k )) E 2 定常状態が複数均衡の可能性がある。
(b) バブルなしの場合の定常状態の安定性
k とすると、
E3
1 r (k )
定常状態の安定性をみるため、前節と同様に、
}
0 は定常状態である。 k ! 0 については、
(4-16)
kt E 3
lt
w(k t )
1 r (k t )
(4-14)
とおき、 l t は k t の増加関数なので、この逆関数
E3
§ f (k )
·
f c( k ) ¸E 1 (1 f c( k ) E 2 ) 1
¨
1 f c( k )
© k
¹
も増加関数であり、それを k t
すると、前節(3-32),(3-33)のように記法を簡単
ここで
化して、
f (k )
f c(k ),
k
A(k )
E1 (1 f c(k )) E 2 B (k )
つまり、
E3
これは l t についての 2 階の定差方程式である。
前節でみたように、
1
B(k )
l
関数の場合について、前節ですでに分析した。
B (k ) は
wc(l ) ! 0, r c(l ) 0
lt 1 とおくと、 l t , l t1 についての 1 階の定
差方程式になる。
(4-17)
l t11
E 1 (1 r (l t1 )) w(l t ) E 2 w(l t1 )
l t 1
l t1
差分の形に書くと、
E1 E 2 E 3
n0 J
2
(1 n) n L
(4-18)
{(n 3) E 2 (1 n) E (1 n)} ! 0
l t11 l t1
E 1 (1 r (l t1 )) w (l t ) E 2 w (l t1 ) l t1
l t 1 l t
l t1 l t
l * , l t1
定常状態を l t
この不等式(4-15)が成り立つのは、
E
1
t
f
(4-15)
B (f )
E1 (1 r (l t 1 )) w(lt ) E 2 w(lt 1 )
lt 2
1 f c(k )
となる点である。 A(k ) については、CES 生産
B(0)
E1 (1 r (lt 1 ))w(lt 2 ) E 2 w(lt 1 )
lt
とおくと、定常状態は、
A(k )
g (lt ) とおく。
l * とすると、
(4-19) E 1 (1 r (l * )) w(l * ) E 2 w(l * ) l *
1
1
,0 T 1, E 1
1T
2
0
が成り立つ。定常状態が 2 つある場合は、その
うちの 1 つとする。このまわりでテーラー展開
n 1
で、{ }内の E の 2 次関数がプラスなことによる。
不等式(4-15)は、(4-13)において、賃金率が一
定、ゼロ金利のときに、マクロの家計の金融資
すると、 'l t
'lt11 'lt1
lt l * などとおいて、
E1{rc(l * )w(l * )'lt1 (1 r (l * ))wc(l * )'lt }
(E2 wc(l * ) 1)'lt1
－ 104 －
図 4-1-1 コブ・ダグラスまたは
CES生産関数で -1<ρ<0 のとき：
プラスの定常状態は1つ
図 4-1-2 CES 生産関数で ρ>0 でも、
プラスの定常状態が 1 つのとき
A(k )
A(k )
A(k)
1 / B(k )
1 / B(k )
0
0
0
k
k*
k*
1 / B( k )
A(k)
0
k
1 / B( k )
k*
k*
k
k
図 4-1-3 CES 型生産関数で ρ>0 で
プラスの定常状態が2つのとき
A(k )
A(k )
1/(E1 E2 E3)
1/(E1 E2 E3)
1 / B(k )
1 / B(k )
0
0
k ****
k
k* *
k
－ 105 －
k
k
'l t 1 'l t
2 a11 a12 ! 0 の条件のもとで、 a11 ! 0 のと
きや a11 0 で a11 a12 ! 0 のときは、鞍点であ
り、 a11 0 で a11 a12 0 のときは、収束する
'l t1 'l t
これを行列形式で書くと、
§ 'lt11 · § 'lt1 ·
¸
¸ ¨
¨ 'l ¸ ¨ 'l ¸
© t 1 ¹ © t ¹
(4-20) ¨
§ a11
¨¨
© a 21
a11
E 1 r c(l * ) w(l * ) E 2 wc(l * ) 1
a12
E 1 (1 r (l * )) wc(l * ) ! 0
a 21
1, a 22
'lt , 'l
結節点である。その他の場合には発散する。
a12 ·§ 'lt1 ·
¸
¸¨
a 22 ¸¹¨© 'lt ¸¹
定常状態が 1 つの場合は、収束するケースが
あてはまり、2 つの場合は、1 つが収束するケ
ース、もう 1 つが発散するケースになると考え
られる。
1
1
t 座標、つまり
(c) バブルありの場合
3 世代重複世代モデルにバブルを入れるには、
'lt , 'lt 1 座標で定差方
程式(4-17)の位相図を描くと、図 4-2-1,2,3,4 の
(4-11)に戻り、(1-38)にならって、t 1 期首の金
ようになる。
融資産 Vt 1 は、 t 1 期首における企業の資本保
'l t 1 'lt 線は、45 度線であり、その上方で
は 'l t は増加し、その下方では減少する。
'lt11 'l t1 線は、 a11 ! 0 のときは、傾きがマ
1
イナスで、その上方では 'l t は増加し、その下
有 K t 1 のための貸し付けと、 t 期中に購入した
バブル Bt からなるとする。
(4-21)
方では減少する。もし傾きがマイナスの分枝の
V t 1 K t 1 Bt
ここで vt 1 Vt 1 / N 0,t 1 、 k t 1 K t 1 / N 1,t 1 、
bt Bt / N 0t として、両辺を N 0t で割って、1 人
傾きの絶対値が 1 未満ならば、図 4-2-1 のよう
当たり変数に変換する。前と同様に、
に、定常状態は鞍点になる。しかし傾きがマイ
N 0,t 1 / N 0t
1 n 、
N L ,t 1 / N 0t
N L ,t 1 / N 0,t 1 N 0,t 1 / N 0t
ナスの分枝の傾きの絶対値が 1 を超えるならば、
図 4-2-2 のように、鞍点とならずに発散する。
(1 n)n L
これは、離散的な動きのため、方向は原点の方
向に向かっていても、原点を行き過ぎてしまう
とおいて、
(1 n)vt 1
ためである。
a11 0 のときは、 a11 a12 ! 0 ならば、
'lt11 'l t1 線は、45 度線の上方にあり、もし傾
きがマイナスの分枝の傾きの絶対値が 1 未満な
らば、図 4-2-3 のように、定常状態は鞍点にな
る。
(1 n)n L k t 1 bt
よって、
(4-22)
1
1
vt 1 bt
nL
n L (1 n)
k t 1
(4-13)、(4-14)と同様にして、
E 1 (1 r (k t )) w(k t 1 ) E 2 w(k t )
k t 1
a11 0 かつ a11 a12 0 ならば、
'lt11 'l t1 線は 45 度線の下方にくるため、も
し 2 a11 a12 ! 0 の条件が成り立ち、傾きがマ
(4-23)
イナスの分枝の傾きの絶対値が 1 未満ならば、
(4-24)
図 4-2-4 のように、定常状態は結節点になる。
両辺を N 0t で割って、1 人当たりバブルの式は、
E3
w( k t 1 )
1
bt
1 r ( k t 1 ) n L (1 n)
バブルの定差方程式は、
(付録 6.参照)
Bt 1
(1 n)bt 1
以上から、3 世代複合世代モデルによるバブ
*
*
ルなしの場合の定常状態 l ないし k は、 l t , l t 1
座標ないし k t , k t 1 座標において、
(1 rt 1 ) Bt
(1 rt 1 )bt
よって、
(4-25)
－ 106 －
bt 1
1 r (k t 1 )
bt
1 n
図 4-2-1　鞍点となるとき
a11 ! 0 ࠿ࡘ
'lt 1
'lt1
'lt 1
'lt1
1 ࡘࡢศᯞࡢഴࡁࡢ⤯
ᑐ್ࡀ 1 ᮍ‶ࡢ࡜ࡁ
a11 ! 0 ࠿ࡘ
1 ࡘࡢศᯞࡢഴࡁࡢ⤯
ᑐ್ࡀ 1 ᮍ‶ࡢ࡜ࡁ
0
0
a11 ! 0 ࠿ࡘ
'lt 1
図࡝ࡢศᯞࡢഴࡁࡶ
4-2-2　鞍点とならずに発散するとき
⤯ᑐ್ 1 ࢆ㉸࠼ࡿ࡜ࡁ
a11 ! 0 ࠿ࡘ
࡝ࡢศᯞࡢഴࡁࡶ
'lt 1
'l
'l t 1
'lt ⥺
'l t 1
'lt ⥺
45 $
'lt
45 $
'lt
1
t
'lt11
'lt1 ⥺
'lt11
'lt1 ⥺
'l t 1
'lt ⥺
'l t 1
'lt ⥺
'lt1
⤯ᑐ್ 1 ࢆ㉸࠼ࡿ࡜ࡁ
$
'lt
45 $
'lt
45
0
0
－ 107 －
'lt11
'lt1 ⥺
'lt11
'lt1 ⥺
図 4-2-3　鞍点となるとき
a
a11 0 ࠊ 12 ! 1
a11
'l t 1
࠿ࡘ
'l t 1
a
0 ࠊ 12 ! 1
1a11ࡘࡢศᯞࡢഴࡁ
a11
ࡢ⤯ᑐ್ࡀ 1 ᮍ‶
࠿ࡘ
ࡢ࡜ࡁ
1 ࡘࡢศᯞࡢഴࡁ
'l t1
'lt 1
'lt ⥺
'lt 1
'lt ⥺
'l t1
45 $
0
'lt
ࡢ⤯ᑐ್ࡀ 1 ᮍ‶
ࡢ࡜ࡁ
45 $
0
a
a図114-2-4　結節点となるとき
0 ࠊ 12 1
a11
࠿ࡘ 2 ࡘࡢศᯞࡢഴࡁ
a
a11 0 ࠊ 112ᮍ‶
1
ࡢ⤯ᑐ್ࡀ
a11
ࡢ࡜ࡁ
࠿ࡘ 2 ࡘࡢศᯞࡢഴࡁ
ࡢ⤯ᑐ್ࡀ 1 ᮍ‶
'lt11
'lt1 ⥺
'lt11
'lt1 ⥺
'lt
'lt 1
'l t1
'lt 1
'l t ⥺
'lt 1
'l t1
'lt 1
'l t ⥺
0
45 $
'lt
0
45 $
'lt
ࡢ࡜ࡁ
'l t11
'l t1 ⥺
'l t11
'l t1 ⥺
－ 108 －
(4-23),(4-25)は、 k t , bt についての定差方程式に
おいて、 b
なる。(4-16)と同じように、 k t の増加関数 l t を
つあることになる。
(4-26)
lt 1
w(k t 1 )
k t 1 E 3
1 r (k t 1 )
とおき、この逆関数を k t
g (lt ) とおくと、こ
れも増加関数である。前のように記法を簡略化
1
t
1
bt
n L (1 n )
lt l * などとおくと、
'l t
'lt11 'lt1 E1{rc(l* )w(l* )'lt1 (1 r(l* ))wc(l* )'lt }
'l t 1 'l t
1
程式を得る。
(4-27)
E1 (1 r (lt1 ))w(lt ) E 2 w(lt1 ) E 4 (1 r (lt1 ))bt
'bt 1 'bt
'l t1 'l t
1
r c(l * )b * 'lt1
1 n
これを行列形式で表示すると、
§ 'l t11 · § 'l t1 ·
¨
¸ ¨
¸
¨ 'l t 1 ¸ ¨ 'l t ¸
¨ 'b ¸ ¨ 'b ¸
© t 1 ¹ © t ¹
§ 'l t1 ·
¨
¸
A¨ 'l t ¸
¨ 'b ¸
© t¹
lt 1
l
1
t
(4-30)
bt 1
1 r (lt1 )
bt
1 n
ここで行列 A の要素は、 r (l )
*
これを差分の形に書くと、
(4-28)
a12
a 21
l lt1 E1(1 r(lt1))w(lt ) E2w(lt1) lt1 E4 (1 r(lt1))bt
lt11
lt1 lt
a31
r(lt1) n
bt
1 n
l t1
l 1 曲面は、同時に lt 1
lt
l 曲面で
もあり、
(4-29) E1(1 r(l1))w(l) E2w(l1) l1 E4 (1 r(l1))b 0
かつ
bt 1
l1 l
bt 曲面は、 r (l 1 )
n に注意して、
a11 E1rc(l* )w(l* ) E2wc(l* ) 1 E4rc(l* )b*
1
t 1
bt 1 bt
*
E2wc(l* )'lt1 'lt1 E4{rc(l* )b*'lt1 (1 r(l* ))'bt }
1
とおいた。
nL (1 n) 2
よって、次のように、 l t , l t , bt に関する定差方
lt 1 lt
*
のまわりで(4-28)をテーラー展開する。
E 1 (1 r (l t1 )) w(l t ) E 2 w(l t1 ) E 4 (1 r (l t1 ))bt
lt11
さらに代数的に厳密に見るため、定差方程式
*
1
E 1 (1 r (l t1 )) w(l t ) E 2 w(l t1 ) bt 1
n1 (1 n )
ここで、 E 4
4-3 のようになる。
(4-28)の定常状態を 1 つとり、l , l , b とし、そ
lt 1 とおき、 bt 1 は
(4-25)を代入すると、
l t11
3-3,3-4 と同様になると考えられる。
1
E 1 (1 r (l t )) w(l t 1 ) E 2 w(l t ) t を t 1 にすすめ、 l
l t , l t1 , b t 座標における位相図は描けないが、
b 0 平面では、図 4-2-1~4-2-4 となるはずであ
1
る。また、 l t l t 平面上の位相図は、前節図
以上の議論を l t , l t , bt 座標上で図示すると、図
すると、(4-23)は、
l t 1
l は、1 つか 2
0 としたときの l 1
E1 (1 n), a13
E 4 (1 n)
0
1, a 22 1, a 23
1
r c(l * )b* , a32 0, a33 0
1 n
行列 A の固有方程式は、固有値を O として、
a11 O a12 a13
1
M(O)
1 O 0
a31
0
O
O3 (a11 1)O2 (a11 a12 a13a31)O a13a31
n
O3
(4-29)は、バブルなしの場合の(4-19)に対応する。
(4-19)の場合は、その前に、(4-15)の形で、 k な
いし l がプラスの定常状態が 1 つか、2 つかを
調べた。従って、バブルありの場合の(4-29)に
－ 109 －
{E1r c(l * )w(l * ) E2 wc(l * ) 2 E4 r c(l * )b*}O2
{E1r c(l * )w(l * ) E2 wc(l * ) 1 2E4 r c(l * )b* E1 (1 n)}O
E 4 r c(l * )b* 0
図 4-3　3 世代重複世代モデルにおけるバブルなし、バブルありの定常状態
bt
ᶆ‽ࣂࣈࣝࡢሙྜ
l t1 , bt ᖹ㠃ୖ࡛
lt
㠡Ⅼ
lt1
0
l t , lt1 ᖹ㠃ୖࡢ
ࣂࣈࣝ࡞ࡋᐃᖖ≧ែ
lt
ಙ⏝ࣂࣈࣝࡢሙྜ
l t1 , bt ᖹ㠃ୖ࡛ ≧Ⅼ
lt
ࡸ⤖⠇Ⅼ
固有値を Oi (i
を vi (i
*
信用バブルで b 0 の場合は、
1,2,3) 、対応する固有ベクトル
M (0) 0, M (1) 0
1,2,3) とすると、定差方程式(4-30)の解
であり、固有方程式の O の係数がマイナスであ
3
は、
§ 'lt1 ·
¨
¸
¨ 'lt ¸
¨ 'b ¸
© t¹
ることに注意して、3 根の積はマイナスである。
3
¦ c v (1 O )
i 1
i i
i
t
3 次曲線の形から、3 根が実根ならば、
と書ける。
O 1 O2 O3 1
O1 1 0 O2 O3
*
標準バブルで b ! 0 の場合は、
のいずれかが成り立つ。－２より大きい固有値
M (0) E 4 r c(l * )b * ! 0
M (1) E1 (1 n) 0
があれば、それに対応する分枝は収束する。他
の分枝は発散する。
なので、3 次曲線の形から、固有値は実根で、
上記以外の場合には、1 つがマイナスの実根
O1 1 O2 0 O3 となっていることが分か
る。よって、 O 2 に対応する分枝は収束する。さ
らに、 2 O1 1 の場合には、これに対応す
る分枝も収束する。O3 に対応する分枝は発散す
O1 1 、他の O2 , O3 は共役の虚根となる。O1 に
対応する分枝は収束または発散し、虚根に対応
する分枝は定常状態のまわりを回りながら収束
または発散する。
る。
－ 110 －
(2) T 世代重複世代モデルの分析
(a) 各世代の各時点での金融資産の集計とマク
ws , s t
ws t , t
ws , s t
0, t
T1 1,..., T 1
3 世代重複世代モデルでは、1 人の消費者が
若年期、中年期に貯蓄して得られる金融資産を、
1 時点効用関数 u (c)
log c のときに求め、それ
らのマクロ集計量として全体の金融資産を求め、
金融資産は銀行を介してすべて企業の資本保有
のために貸し付けられるとして、財市場の均衡
を表わす資本蓄積の方程式からマクロの 1 人当
たり資本の定常状態を求めた。これは、一般の
O s , s t ! 0, t
(図 4-4 参照)
時間を t
0,1,2,... とし、各 s 0,1,2,... につき、
s 期首に生まれる人口を N s とし、人口増加率を
n とすると、 N s 1 (1 n) N s
s 期生まれの１人の消費者は、若年期の s 期、
s 1 期、…、 s T1 期に企業で働き、労働所得
を稼ぎ、消費し、貯蓄し、老年期には、s T1 1
期に退職し、 s T 1 期まで働かず、元利を含
む貯蓄を取り崩して消費し、 s T 1 期末に死
ぬ。0 期首には、0 期生まれから (T 1) 期生
まれまでの T 世代がいる。
s 0,1,2,... につき、 s 期生まれの 1 人の消費
者は、生涯の金利 rs t , t 0,1,2,..., T 1 、賃金率
ws t , t 0,1,2,..., T1 を所与とし、生涯の消費
c s , s t , t 0,1,2,..., T 1 から得られる生涯効用
U s を、各期の予算制約のもとで、 s t 期首の
金融資産 v s , s t , t 1,2,..., T 1 を調節しながら、
0,1,2,..., T 1 とすると、
(4-33)
T 1
¦E
Ls
t
log c s , s t
t 0
T 1
¦ O s , s t {w s , s t (1 rs t )v s , s t c s , s t v s , s t 1 }
t 0
1 階の条件は、
wLs
wc s , s t
T 世代重複世代モデルに一般化出来る。
Et
c s ,s t
ただし E
0, t
T 1
¦E
t 0
t
0,1,2,..., T 1
よって、
cs,st 1
cs,st
EOs,st
Os,st 1
E (1 rst 1 ), t 0,1,...,T 2
ゆえに、
(4-34)
c s , s t
t
(1 r
s i
i 1
)
E t c s ,s , t 1,2,..., T 1
これがオイラー方程式である。
各時点の予算制約式(4-32)から、第 2 節
(2)(a)と同様にして、生涯予算制約式が求まる。
s 期生まれの 1 人の消費者にとって、 s t 期の
消費 1 単位は、 s 期の消費
1
Ots
(4-35)
t
(1 r
i 1
c s , s t v s , s t 1
t
O s , s t
wLs
Os,st Os,st 1(1 rst 1) 0, t 0,1,...,T 2
wvs,st 1
最大化を図る。
(4-32)
とおく。
ラグランジアンを Ls 、ラグランジュ乗数を
ロの定常状態
(4-31) max U s
0,1,2,..., T1 ,
s i
単位
)
に相当する。
log c s , s t
Ots
ws , s t (1 rs t )v s , s t ,
(4-36)
0,1,2,..., T 1
1 /(1 T ) 、 0 T 1 は時間選好率、
v s , s t , t 0,1,2,..., T は s t 期首の金融資産で
v s , s 0, v s , s T 0 、 s t 期に稼ぐ賃金率
ws , s t , t 0,1,2,..., T 1 は、
Ots1 (1 rs t 1 ), O0s
O s , s t
1 だから、
O s , s Ots
つまり、 s 期生まれの 1 人の消費者にとって、
s t 期のラグランジュ乗数は、生まれた時点の
ラグランジュ乗数 O s, s だけを決めて、後は所与
の金利 {rt }t
－ 111 －
0 ,1, 2 ,... のうち、自分が生きている期
－ 112 －
T ᮇ⏕ࡲࢀ
⌧ᙺᮇ
T1
㏥⫋ᮇ
㸫1
0 ᮇ⏕ࡲࢀ
⌧ᙺᮇ
T1 T
s
㏥⫋ᮇ
1
s ᮇ⏕ࡲࢀ
0
⌧ᙺᮇ
T T1
0 ṓ࠿ࡽ T1 ṓ ⱝୡ௦ ⌧ᙺᮇ ാࡁ࡞ࡀࡽᾘ㈝ࠊ㈓⵳
T 11 ṓ࠿ࡽ T ṓ ⪁ୡ௦ ㏥⫋ᮇ ㈓⵳ࢆྲྀࡾᔂࡋ࡚ᾘ㈝
0 ṓ࡛⏕ࡲࢀࠊࡍࡄാࡁࠊ T1 ṓࡲ࡛ാࡁࠊ T ṓ࡛Ṛࡠ
T 1 ᮇ⏕ࡲࢀ
T
図4-4 T世代重複世代モデルの人口構成
⌧ᙺᮇ
T1
㏥⫋ᮇ
㏥⫋ᮇ
s T1 T
s T
᫬㛫
間の分 {rt }t
s , s 1,..., s T 1 で決まる
Ots をかければ得
とおくと、
られることになる。死後のラグランジュ乗数は
O s , s T
(4-37)
0
s 期生まれの 1 人の消費者の生涯予算制約式
Jhs , s
c s,s
もちろん 0 である。
c s ,s t
(4-40)
E t Jhs , s , t
t
(1 rs i )
は、
01,..., T 1
i 1
(4-38)
このように、 s 期生まれの１人の消費者の各
T 1
¦O
t 0
T 1
¦O
c
s , s t s , s t
t 0
Os , s ¦ Ots cs , s t
t 0
cs , s t
s i
¦
t 0
¦
t 0
)
(1 r
s i
i 1
(1 r
i 1
ws t
t
t
s i
)
得との差である。
T 1
¦W
hs , s は生涯労働所得であり、生涯予算制約の
t
c s , s t ws , s t
t W
(1 r
s W i
i 0
規模を示す。
v s , s W 各世代 s の 1 人の消費者は、
生涯の金利 rs t , t
0,1,2,..., T 1 、
0,1,2,..., T1
賃金率 ws t , t
J をかけたものになる。
の金融資産は、それ以降の生涯の消費と労働所
hs , s
)
t
s 期生まれの 1 人の消費者の各期の予算制約
式(4-32)から、W 1,2,..., T 1 について、s W 期
ws , s t
T 1
(1 r
T1
性向 E
t 0
t
i 1
決まる。生まれてから t 期目の消費の生まれた
時点における現在価値は、生涯所得 hs , s に消費
Os , s ¦ Ots ws , s t
t 0
?¦
期の消費は、現在および将来の金利と賃金率で
ws , s t
T 1
T 1
T 1
s ,s t
T 1
¦W
t
t W
t
)
(1 r
)
T 2
v s , s t 1
s W i
i 0
v s,s t
T 1
¦W
(1 rs t )v s , s t v s , s t 1
t W 1
1
(1 r
s W i
i 0
)
¦
t W
t W
(1 r
i 0
s W i
)
v s , s W
を所与として、この生涯予算制約式のもとで、
よって(4-40)から、
生涯効用の最大化を図る。T , T1 d T は有限なの
で、生涯予算制約式は有限であり、ラムゼー・
モデルのような、T o f のときの収束の条件は
不要である。つまり、金利の無限系列 {rt }t
について、(4-35)の Ot をつくり、
v s , s W
¦O
t 0
s
t
s i
T 1
c s , s t ws , s t
i 1
t
(1 r
放題なし条件は、(4-37)で満たされている。
¦E
t 0
t
c s,s
J
T 1
ここで、 E
hs , s
T 1
W
¦W E J
t
t
¦W E
t
¦E
t
t
T 1
1 E T W W
E
1 E T
t 0
とおく。 E W は、生まれて W 期目から死ぬまでの
よって、
(4-39)
)
§
·
¨ T 1
¸
T 1
w
s ,s t
¨ E t Jh ¸
r
(
1
)
¦

s i ¨ ¦
s,s
t
¸
t W
t W
i 1
(1 rs i ) ¸
¨

i 1
©
¹
する、と要求する必要がない。横断条件、借り
T 1
s i
W 1
は T o f のとき収束
(4-34)を(4-38)に代入すると、
t
i 1
0 ,1, 2 ,...
s
T 1
W 1
(1 r )¦W
1
T 1
¦E
t
1 E
1 E T
合計の消費性向である。すると、上の金融資産
の式は、
t 0
－ 113 －
－ 114 －
(4-51)
とおくと、 (4-41)~(4-45)から、
(4-48)
nL kt
T1
nW v
¦
W
vt
1
T1
t W ,t
T 1
¦ nW v
W
T 11
W 1 W 1
nW E W ¦ (1 r
¦
W
T1
T 1
¦
t W i
j 0 i j 1
1
W T1 1
1
) wt W j
j W
W 1
t W i
i
)
B (0) f 、 B c(k ) 0
については、前と同様である。
f (k t ) f c(k t )k t
f c(k t )
B (f) ! 0 は、賃金率一定、ゼロ金利のとき、
w(k t ),
r (k t )
マクロの家計の金融資産が、貯蓄残高マイナス
から、 k t についての定差方程式を得る。
借り入れ残高として、ネットでプラスになるこ
とを意味する。そうなるかどうかをみる。
(4-53)
vt
nL
1
nW E W
nL
W 1 W 1
j 0 i j 1
n E
¦ W W
W T1 1 n L
¦
W 1
T1
t W i
1
) ) w ( k t W j )
T1
¦
W 1
W 1
¦ (1 r ( k
j 0 i j 1
nW (1 E W ) T1
¦
nL
j W
T1
¦
W
B (f )
¦ (1 r ( k
T 1
T1
1
B (k )
て、前節ですでに分析した。 B (k ) は、
(4-49)
T1
T1
(4-52) A(k )
ここで、生産の限界条件
wt
t W i
T1
T 1
nW E W
n E
W ¦ W W (T1 1)
nL
W T1 1 n L
nW (1 E W )
(T1 W 1)
nL
n
W
{E W W (1 E W )W }
¦
n
W
)) w ( k t W j )
1
L
T 1
(T1 1){¦
w ( k t W j )
W 1
j
(1 r ( k t W i ))
T1
¦
W
i W
1
プラスの定常状態の 1 人当たり資本を k とし、
(4-49)ですべての k t を k とおいて、両辺を k で
T 1
T 1
nW (1 E W )
n (1 E W )
n E
¦ W
¦ W W}
nL
n
W T1 1
W T1 1 n L
L
T 1
T 1
n (1 E W )
n
nW
¦ W}
W (T1 1){¦ W
nL
nL
W 1
W T1 1 n L
ここで、 r
1 /(1 n) とおくと、 nW
W 1
JW
nE
f (k)
1 {
f c(k)}u{¦ W W ¦(1 f c(k))W j 1
k
W 1 nL j 0
T1
W 1
T1
1
nW EW T1
n (1 EW ) T1
(1 f c(k))W j 1 ¦ W
}
¦
¦
nL j W (1 f c(k))j W 1
W 1
T1 1 nL j 0
¦
W
J
W
これは、3 世代重複世代モデルの(4-14)と同じ形
T
であり、そこと同様に、
(4-50) A(k )
1 EW
¦E
t
¦E
t
t 0
T 1
W 1
J¦Et
t 0
t 0
T 1
f (k )
f c(k )
k
n0 r W
さらに、
割ると、
nW EW T1
¦(1 f c(k))W j1
T1 1 nL j 0
T 1
¦
W
A(k ) については、CES 生産関数の場合につい
j
W (1 r
とおくと、定常状態 k では、
wt W j
T1
j 1
j 0
L
j 0 i j 1
T1
¦
W
W 1
n (1 EW )
1
¦ W
¦
nL j W (1 f c(k))j W 1
W 1
W 1
¦ nW (1 E W )¦
kt
nE
T1
t W ,t
nW E W ¦ (1 rt W i )wt W j
rt
T1
W W
¦
¦(1 f c(k))W
n
W
B(k)
J
1 EW 1
, E 1
1 E 2
,E
T 1
1
1 / ¦ E t ,J T
1
とおく。
t 0
J W は、生まれてから W 期までの消費性向の累積
であり、 E 1 ならば、上に凸で 1 に向かい、
E 1 ならば、生涯均等に消費する。
－ 115 －
B (f )
(4-54)
n0
M ( E , r , T , T1 ) とおくと、
nL
よって、 t 期における t W 期生まれの 1 人の消
費者の消費のオイラー方程式は、
M ( E , r , T , T1 )
T1
r W W (T
¦
W
1
1
T 1
1)¦ r W J W (T1 1)
¦ rW
W
W 1
E (1 rt 1 )ct W ,t ,
ct W ,t 1
(4-55)
T 1
W
0,1,..., T 1
t 期における全人口の消費を集計したマクロ
T1 1
B(f) の符号をみるには、 M ( E , r , T , T1 ) の符
号をみればよい。
各人が死ぬまで働き、時間選好率がゼロなら
ば、各人は稼いだ所得を消費に回すだけで、マ
クロの家計の金融資産はゼロになることが予想
される。実際、これは証明される。
の消費は、
(4-56)
T 1
c
¦
W
Ct
0
t W ,t
N t W
よって、(4-55)の右辺の和を作ると、
T 1
E (1 r
¦
W
E (1 rt 1 )C t
死ぬまで働くのでなく、老年期に備えて貯蓄
T 1
c
¦
W
する場合には、マクロの家計の金融資産がプラ
0
t W ,t 1
c
¦
W
人口増加率がゼロの近傍で、かつ時間選好率が
1
(付録 7.参照)
0
1
t (W 1),t 1
N t (W 1)
t 1W ,t 1
N t 1W
t 1W ,t 1
N t 1W ct 1,t 1 N t 1 ct 1T ,t 1 N t 1T
T 1
c
¦
W
ゼロの近傍の場合には、これが証明される。
)ct W ,t N t W
T
c
¦
W
N t W
T
スになり、 B (f) ! 0 となることが予想される。
t 1
0
C t 1 c t 1,t 1 N t 1
よって、このような条件が成り立っているとき
は、図 4-1-1,2,3 と同様の結果を得る。CES 型
ここで、 t 1 期には t 1 T 期生まれは死んで
生産関数で、 U ! 0 の場合には、定常状態が複
いるので、ct 1T ,t 1
数均衡の可能性がある。
このような条件が成り立たない場合には、
B(f) 0 の可能性がある。 B c(k ) 0 だから、
ある k ! 0 が存在して、 B ( k ) 0 となる。これ
は第 3 節の図 3-1-1,3-1-2 の状況に似ている。
ただし、 B (0)
f 、1 / B(0)
0 だから、複数均
0 である。T が大きければ、
t 1 期に生まれたばかりの世代の消費
ct 1,t 1 N t 1 は無視してよい。よって、
(4-57) C t 1 E (1 rt 1 )C t
マクロの 1 人当たり消費を ct
両辺を全人口 N 0t で割ると、
衡にならず、プラスの定常状態は 1 つになる。
(b) T が大きいときはラムゼー・モデルに近似
前項のやり方で T 世代重複世代モデルの定
常状態の安定性の分析をするには、T 1 次の定
Ct とし、
N 0t
(1 n)ct 1
E
E (1 rt 1 )ct
1 とおくと、上の式は、
1T
(4-58)
ct 1
1 rt 1
ct
(1 T )(1 n)
差方程式を扱う必要があり、難しい。しかし
これは、第 2 節のラムゼー・モデルにおいて、
T が大きいときは、個々の消費者のオイラー方
特に 1 時点効用関数 u (ct )
程式を直接マクロで集計して人口で割ると、マ
log ct とした時のオ
イラー方程式(2-30)になる。これから、T , n, rt 1
クロの 1 人当たり消費行動が、再びオイラー方
が小さいときは、(2-61)と同様に、
程式で近似出来ることが分かる。
s 期生まれの１人の消費者の消費のオイラー
方程式は(4-34)から、
c s , s t 1
(4-59) ct 1 ct
が出る。
E (1 rs t 1 )c s , s t
－ 116 －
ct ( f c(k t 1 ) T n)
他方、マクロの資本蓄積の方程式は、各消費
者の予算制約式を集計してマクロの金融資産を
求め、それが企業の資本保有のために貸し付け
られるとして求めることが出来る。
よって、財市場の均衡を表わす資本蓄積の方程
式が出る。
(4-65)
K t 1
K t F ( K t , N Lt ) C t
t 期における t W 期生まれの 1 人の消費者の
労働人口 1 人当たり資本、労働人口比率を
予算制約式は、(4-32)と同様に、
(4-60)
ct W ,t vt W ,t 1
W
wt W ,t (1 rt )vt W ,t
(4-66) vt 1
T1
i 0
を用いて、 Wt
t i
(4-61)
wt N Lt と書く。
T 1
v
¦
W
T 1
0
t W ,t 1
1
N t W
T 1
v
¦
W
1
(1 n)k t 1
t 1W ,t 1
(1 rt )k t wt n L ct
k t f (k t ) n L ct
これは第 2 節ラムゼー・モデルにおける資本蓄
N t W
t W ,t
とおくと、 vt T 1,t 1
v
¦
W
(4-67)
0 に注意して、
Vt
n L k t 1
(4-65)の各辺を N Lt で割ると、
マクロの消費(4-56)と同様に、マクロの金融
資産を、 vt ,t
N Lt
N 0t
とおくと、1 人当たり金融資産の運用(4-64)は、
マクロの労働所得を、労働人口
¦N
Kt
, nL
N Lt
kt
0,1,..., T 1
N Lt
K t rt K t Wt C t
積の式(2-5)と類似している。これを差分の形に
0 に注意して、
書くと、(2-59)と同様に、
T 2
(4-68) k t 1 k t
v
¦
W
0
N t 1W
t W ,t 1
N t W
1
( f (k t ) nk t n L ct )
1 n
(4-59)を再掲すると、
Vt 1
(4-59) ct 1 ct
となる。
ct ( f c(k t 1 ) T n)
よって、(4-60)の両辺に人口をかけて集計する
よって、マクロの集計量の 1 人当たり平均の
と、マクロの家計の予算制約式を得る。
間の関係式として、ラムゼー・モデルに類似の
(4-62)
k t , ct についての定差方程式が得られた。
C t Vt 1
Wt (1 rt )Vt
人口 1 人当たり金融資産を v
t
このように、マクロの集計量の 1 人当たり平
Vt とおき、
N 0t
(4-62)の両辺を N 0t で割ると、
(4-63) ct (1 n)vt 1
均は、あたかも、無限寿命の 1 人の消費者が、
金利 {rt }t
式(2-6)を、マクロの 1 人当たり平均量の関係と
して表わすものである。
max U
K t 1
T
¦E
t 0
(4-69) ct (1 n)vt 1
t
金融資産がすべて企業の資本保有のために貸
Vt 1
01, 2 ,...
を所与とし、
のもとで、生涯効用を最大化するように動く。
これは、ラムゼー・モデルの最初の予算制約
(4-64)
{wt }t
その人生の n L 分だけ働いて、予算制約式(4-63)
n L wt (1 rt )vt
し付けられているとすると、
0 ,1, 2 ,... 、賃金率
t
log ct
n L wt (1 rt )vt ,
0,1,2,...
この最大化問題のラグランジアンを L 、ラク
ランジュ乗数を Ot とすると、
－ 117 －
－ 118 －
5. 連続時間モデルによる分析
 F ( K ( t ), N ( t ))
 K (t )
 F ( K ( t ), N ( t ))
w (t ) 
 N (t )
r (t ) 
(1) ラムゼー・モデルにおけるマクロ経済計算
第 1 節では、離散時間の場合のマクロ経済
(5-1), (5-2)から、財市場の均衡を表わす資
計算を述べたが、ここではそれを連続時間の
場合に述べる。連続時間の場合は期首、期中、
期末の区別がないので、分析が簡単化される
とともに、現実との対応で捨象される点があ
本蓄積の式が出る。
(5-4)
ることに注意すべきである。
時間軸を t  0 とし、時点 t における人口を
dK (t )
 r (t ) K (t )  w (t ) N (t )  C (t )
dt
 F ( K (t ), N (t ))  C (t ), t  0
以上のマクロの集計量を人口で割って、人
N (t ) とし、増加率 n で増えるとする。
口 1 人当たり変数に変換する。ラムゼー・モ
1 dN (t )
N (t ) dt
デルでは、この人口 1 人当たり変数を、1 人
n
の代表的消費者が体現していると考える。
各家計は、金利 r (t ) 、賃金率 w(t ), t  0 を
所与として、労働所得を稼ぎ、消費し、貯蓄
し、金融資産を蓄積し、取り崩す。時点 t に
おけるマクロの家計全体について集計した金
融資産を V (t ) 、消費を C (t ) とすると、家計全
体の予算制約式は、
C (t )
V (t )
K (t )
, v (t ) 
, k (t ) 
,
N (t )
N (t )
N (t )
Y (t )
F ( K (t ), N (t ))
y (t ) 
, f ( k (t )) 
 F ( k (t ),1)
N (t )
N (t )
c (t ) 
(5-1)の両辺を N (t ) で割ると、
dV (t ) dv (t )
dN (t )

N (t )  v (t )
dt
dt
dt
(5-1) C (t )  dV (t )  w (t ) N (t )  r (t )V (t ), t  0
dt
V (0)  V0 (所与)
などに注意して、1 人の代表的消費者の予算
時点 t で、家計の金融資産 V (t ) は、すべて
銀行に預金され、銀行はそれをすべて企業の
制約式は、
(5-5)
資本保有 K (t ) のために貸し付けるとすると、
(5-2)
V (t )  K (t ), t  0
c (t ) 
dv (t )
 nv (t )  w(t )  r (t )v (t ), t  0
dt
v(0)  v0 (所与)
1 人当たりの家計の金融資産の方程式として
K (0)  K 0  V0
表わすと、
時点 t で、企業は資本 K (t ) 、労働人口 N (t )
を生産に投入して、1 次同次の生産関数 F に
(5-6)
dv(t )
 (r (t )  n)v(t )  w(t )  c(t )
dt
より財を Y (t ) 生産し、生産により得た所得は、
家計の金融資産がすべて企業の資本保有のた
レンタル所得 r (t ) K (t ) 、労働所得 w(t ) N (t ) に
めに貸し付けられている条件は、
分配される。生産関数は、これまでと同様に、
減価償却控除後のネットの生産関数と考える。
(5-7)
v(t )  k (t ), t  0, k (0)  k 0  v 0
企業の生産の条件は、
(5-3)
Y (t )  F ( K (t ), N (t ))
 r (t ) K (t )  w(t ) N (t ), t  0
生産の限界条件は、
(5-8)
y(t )  f (k (t))  r(t)k (t)  w(t ),t  0
(5-9)
r (t )  f ( k (t )),
w(t )  f ( k (t ))  f ( k (t )) k (t ), t  0
－ 119 －
(5-12)
資本蓄積の方程式は、
(5-10)
dk (t )
 (r (t )  n)k (t )  w(t )  c(t )
dt
 f (k (t ))  nk (t )  c(t ), t  0
T

0
0


(2) ラムゼー・モデルにおける 1 人の消費者の
t
c ( t ) exp(   ( r ( )  n ) d  ) dt
T
t
w ( t ) exp(   r ( )  n ) d  ) dt  v ( 0 )
0
0
となる。
消費・貯蓄行動の定式化
この消費者が時点 t  0 に生まれてから時
ラムゼー・モデルにおいては、1 人の代表
点 t  T に死ぬまでの全生涯の効用を、生涯
的消費者が時点 t  0 に生まれ、働き、労働所
予算制約式のもとで最大化しているならば、
得を稼ぎ、消費し、貯蓄し、金融資産を蓄積
その任意の途中時点 t  s においても、時点 s
し、取り崩し、時点 t  T に死ぬとして消費・
の金融資産 v(s ) を所与として、時点 s 以降の
貯蓄行動を定式化し、その後 T   とする。
この 1 人の消費者は、時点 t  0 における金
融資産 v(0) 、各時点 t の金利 r (t ) 、賃金率 w(t )
を所与として、働き、労働所得を稼ぎ、消費
生涯予算制約式のもとで、時点 s 以降の生涯
効用を最大化しているはずである。
(5-13) max U ( v ( s )) 
し、貯蓄し、金融資産を蓄積し、取り崩す。
(5-14)
消費者は、1 人当たり消費 c(t ) から u (c(t )) の

効用を受け、それを時間選好率  ,0    1 で
T
s
u ( c ( )) exp(  ) d 
t
c ( t ) exp(   ( r ( )  n ) d  ) dt
s


時点 t  0 に割り引いて合計した、生涯効用を
T
s
t
w ( t ) exp(   ( r ( )  n ) d  ) dt  v ( s )
s
これは、ベルマンの原理と同じことである。
最大化しようとする。
(5-11) max U (v ( 0 )) 
T
s


T
0
この積分制約下の積分最大化は、変分法で
u ( c ( )) exp(  ) d 
等周問題と呼ばれるものであり、関数空間で
この消費者にとって、時点 t における 1 人
当たりの消費 c(t ) の時点 t  0 に引き戻した
考えると、ラグランジュ乗数法と同じやり方
で解くことが出来る。(付録 10、12 参照)
価値は、第 1 に、金利上昇分で割り引くため、
それによれば、(5-13)の積分 U (v( s )) を、関
t
数空間において c(t ) の汎関数と考えて微分
0
(フレッシェ微分)すると、ラグランジュ乗数
exp(   r ( ) d  )
を乗ずる必要がある。第 2 に、時点 t の人口
 (s) が存在して、h(t ) を任意の可積分関数と
は時点 t  0 の人口の
して、
e nt  exp(

t
0
(5-15)
nd  )
倍になっているので、これを乗ずる必要があ
る。両者をあわせて、時点 t における 1 人当
たりの消費 c(t ) の時点 t  0 に引き戻した価
D cU ( v ( s )) h 

T
s
u ( c ( t )) exp(  t ) h (t ) dt
T
t
s
s
  ( s ) D c {  ( c (t )  w ( t )) exp(   ( r ( )  n ) d  )dt  v ( s )}
T
t
s
s
  ( s )  exp(   ( r ( )  n ) d  ) h ( t ) dt
となる。 h(t ) は任意だから、積分記号をはず
値は、
t
したもの同士が等しく、 s  t  T について、
0
(5-16)
c ( t ) exp(   ( r ( )  n ) d  )
となっている。1 人当たり賃金 w(t ) についても
同様なので、この消費者の生涯予算制約式は、
t
u (c(t )) exp(t )   ( s ) exp(  (r ( )  n)d )
－ 120 －
s
ハミルトニアンを
が成り立つ。
(5-26)
これは、積分形式のラグランジアンを
H (c (t ), v (t ),  (t ), t )  u ( c (t )) exp( t )
  (t ){( r (t )  n )v (t )  w(t )  c (t )}
(5-17)
L ( s )  U ( v ( s ))
T
t
s
s
とおくと、(5-22)、(5-25)、(5-6)から、ポント
  ( s ){  (c (t )  w(t )) exp(   ( r ( )  n ) d ) dt  v ( s )}
リャーギンの最大値原理の式が出る。
積分の内側のラグランジアンを
H
0
c(t )
d (t )
H

dt
v(t )
dv(t )
H

dt
 (t )
(5-18)
l ( s )  u ( c ( t )) exp(  t )
(5-27)
t
  ( s )( c ( t )  w ( t )) exp(   ( r ( )  n ) d  )
s
とおいて、
(5-19) Dc L( s )  0
時点 t 以降の生涯効用 U (v(t )) が金融資産
(5-20) l ( s )  0
c(t )
v(t ) を所与として最大化されているとき、こ
の所与の金融資産 v(t ) が動いたときに生涯効
用 U (v(t )) がどう動くかは、(5-17)を
とすればよいことを示す。
(5-16)で特に t  s のとき、
(5-21) u (c( s )) exp(s )   ( s )
(5-28)
t  s を任意に固定し、時点 t 以降の生涯効用
L(t)  U (v(t))
を最大化しても同じ結果が出るから、
 (t){ (c(s)  w(s))exp( (r( )  n)d )ds  v(t)}
(5-22) u ( c (t )) exp(  t ) 
 (t )
t
線定理により、
s
(5-29)
 (t )   ( s ) exp(   ( r ( )  n ) d  )
t
 (t )   ( 0 ) exp(   ( r ( )  n ) d  )
0
となる。(5-22)、(5-24)により  (t ) は、(5-12)
で直感的に求めたように、時点 t における消
費 1 単位の時点 t  0 に引き戻した価値を表
わす。
時点 s 以降の生涯予算制約式(5-14)は、t で微
分すると、微分形式の予算制約式(5-6)そのも
(5-6)
dv(t )
 (r (t )  n)v(t )  w(t )  c(t )
dt
となるから、 v(t ) による偏微分の中が等しい
とおけば、U (v(t )) が最大化されているとき、
の方程式が成り立つ。
d (t )
 (r (t )  n) (t )
dt
のになっているから、再掲すると、
U ( v (t ))

D v ( t )U ( v (t ))  D v ( t )
t
t
d  (t )
H


dt
 v (t )
次のように、ハミルトン・ヤコビ・ベルマン
(5-23)を t で微分すれば、
(5-25)
Dv ( t )U (v(t ))  Dv (t ) L(t )   (t )
これから、
特に s  0 のときは、
(5-24)
s
t
と書いて、関数空間での微分についての包絡
これを(5-16)に代入して、
(5-23)
T
t
(5-30)
U (v(t ))
 H
t
同じく、時点 t 以降の生涯効用 U (v(t )) が最
大化されているとき、将来の特定時点 s 0  t
における賃金率 w( s 0 ) 、金利 r ( s 0 ) が動くと
U (v(t )) がどう動くかは、パラメータ w( s) 、
r (s ) にインパルス w( s 0 ) 、 r ( s 0 ) が入った
－ 121 －
ときの変化  wU (v(t )) 、  r (v(t )) を求めれば
よい。 (5-28)に包絡線定理を適用し、
(5-34)
(5-31)

T
t
exp(   ( r ( )  n) d )dt 
0
 w U ( v ( t ))   w L ( t )
0
は T   で収束
s0
  ( t ) exp(   ( r ( )  n ) d  ) w ( s 0 )
しなければならない。このためには(付録 13)
t
  ( s 0 ) w ( s 0 )
lim t   (t )  0
(5-35)
(5-32)
が必要である。これは、横断条件である。
 rU (v (t ))   r L (t )
T
(5-33-1)で t のところに 0 を入れ、s 0 のところ
s
  (t )  (c ( s )  w( s ))r ( s0 ) exp(   ( r ( )  n ) d ) ds
s0
t
に t を入れると、
s0
  (t ) exp(   ( r ( )  n ) d )v ( s0 )r ( s0 )
t
(5-36)  ( t ) 
  ( s0 )v ( s0 )r ( s0 )
 wU ( v ( 0 ))
 w (t )
であるから、横断条件は、遠い将来の賃金率
よって、
(5-33-1)  ( s 0 ) 
1 T
 ( ) d
 (0) 0
 w U ( v ( t ))
w ( s 0 )
 r U ( v (t ))
(5-33-2) v ( s 0 )   r ( s 0 )    w ( s 0 )
 wU ( v (t ))
r ( s 0 )
w ( s 0 )
変化が生涯効用に及ぼす影響は、ゼロに近づ
くことを意味する。
さらに、時点 s 以降の積分
U max

T

T
s
s
このように、時点 t における将来時点 s 0 の
t
c ( t ) exp(   ( r ( )  n ) d  ) dt ,
0
t
w ( t ) exp(   r ( )  n ) d  ) dt
0
は、 T   、 s   のとき、ゼロに収束し
ラグランジュ乗数  ( s 0 ) は、その将来時点に
なければならない。(5-14)よりこの 2 つの積
おいて賃金率 w( s 0 ) が高まったとき、生涯効
分は、
用 U (v(t )) がどれ位高まるかを表わす。
T
また、時点 t における金融資産 v(t ) は、将
来時点 s 0 において賃金率 w( s 0 ) が下がった

s
t
c(t ) exp( (r ( )  n)d )dt
0
T
t
s
s
0
0
  w(t ) exp( (r ( )  n)d )dt  v(s) exp( (r ( )  n)d )
とき、金利 r ( s 0 ) が高まって金融資産の価値
となっている。 T   、 s   のとき、右
が高まり、もとの生涯効用水準 U (v(t )) を維
辺第 2 項もゼロに収束しなければならないが、
持出来るように持つのが最適ということにな
(5-24)から、それは
る。
ラムゼー・モデルでは、消費者は寿命 T が
(5-37)
lim t   (t )v(t )  0
無限だと考えるので、生涯予算制約式(5-12)
を意味する。これは、借り放題なし条件である。
の両辺の積分は T   で収束しなければな
(5-32)で t のところに 0 を入れ、s 0 のところに
らない。
t を入れると、
まず、金利 r (t ) 、賃金率 w(t ) 、 0  t  T を
所与としているが、T   のとき、賃金率が
(5-38)
 (t )v(t ) 
 rU (v(0))
r (t )
有界 w(t )  w のときに、生涯労働所得が収束
であるから、借り放題なし条件は、遠い将来
するためには、
の金利変化が生涯効用に及ぼす影響は、ゼロ
に近づくことを意味する。
－ 122 －
(3) ラムゼー・モデルで時間選好率の異なる
(5-41) max
複数の消費者を考える場合
数の消費者を考える。これらの消費者は、瞬
 u (c
i
( t ) ) exp(  i t ) dt
0
ラムゼー・モデルでは、1 人の代表的消費
者だけを考えるが、ここではより一般的に複
T
dv i (t )
 ( r ( t )  n ) v i ( t )  w (t )  c i ( t )
dt
t  0, i  1, 2,..., M
(5-42)
間的な効用関数 u (c(t )) は同じだが、時間選好
率が異なるとする。それを
ポントリャーギンの最大値原理により、ハ
1  1   2  ...   M  0
とし、それぞれに該当する人口を N i (t ) 、全
人口に占める割合を ni とする。またそれぞれ
ミルトニアン、共役変数を H i , i (t ) とすると、
の時間選好グループの消費の合計、金融資産
1 階の条件は、
の合計を C i (t ),Vi (t ) とする。すると、
(5-44)
N i (t ) M
,  N i ( t )  N ( t ),
N ( t ) i 1
ni 
M
C
i 1
H i  u (c i (t )) exp(  i t )
  i (t ){( r (t )  n )v i (t )  w(t )  c i (t )}
H i
d  i (t )

   i (t )( r (t )  n)
 v i (t )
dt
さらに、
M
i
(5-43)
( t )  C ( t ),  V i ( t )  V ( t )
(5-45)
i 1
H i
 0  u (c i (t )) exp(  i t )   i (t )
c i (t )
それぞれの時間選好グループの 1 人の消費者
寿命 T   とするので、横断条件は、
の消費、金融資産は、i  1,2,..., M について、
(5-46) lim
C (t )
V (t )
ci (t )  i , vi (t )  i
N i (t )
N i (t )
c (t ) 
M
M
i 1
i
i
i 1
i
i
i 1
 i (T )  0
(5-47) lim T  v i (T )i (T )  0
M
 n c (t ), v (t )   n v (t ),  n
T 
借り放題なし条件は、
i
(5-44)を解くと、
1
それぞれの時間選好グループについて、予算
(5-48)  i ( t )   i ( 0 ) exp( 

t
0
( r ( )  n )d  )
だから、
制約式
dVi (t )
 w(t ) N i (t )  r (t )Vi (t ),
dt
t  0, i  1,2,..., M
(5-49)
(5-39) C i (t ) 
t
 0 (t )  exp(   ( r ( )  n ) d  )
0
とおくと、
が成り立つので、1 人当たりの予算制約式が
成り立つ。
(5-50)  i (t )   i ( 0 )  0 (t )
であり、横断条件(5-46)は、
dv i (t )
 nv i (t )  w (t )  r (t ) vi (t ),
dt
t  0, i  1, 2,..., M
(5-40) ci (t ) 
(5-51) lim t    0 ( t )  0
それぞれの時間選好グループの 1 人の消費
となり、時間選好グループ i に依存せず、金
者は、金利 r (t ) 、賃金率 w(t ), t  0 を所与と
利と人口増加率だけで決まることが分かる。
して、予算制約のもとで、生涯効用関数を最
(5-44)、(5-45)から、
大化するように、消費 ci (t ) 、金融資産 vi (t ) を
選ぶ。
dc i ( t )
exp(  i t )   i u ( ci ( t )) exp(  i t )
dt
  u ( c i ( t )) exp(  i t )( r ( t )  n )
u ( c i ( t ))
よって、
－ 123 －
－ 124 －
共役変数  (t ) は各グループ共通だから、借
f (k (t ))  rk (t )  a
ここで r, a は定数で、  1  n  r  2 n
り放題なし条件(5-47)も算術平均で成り立つ。
となっているとする。
間選好グループの金融資産の算術平均であり、
S
(5-60) lim t 
 (t )v(t )  0
(厳密には、区間
S
[k1* , k 2* ] を部分区間に区分
よって、マクロの集計量である代表的消費
して、 f ( k (t )) をそれぞれの部分区間で折れ
者に対して、定常状態が存在し、位相図は離
線で近似した場合に、1 部分区間を考えるの
散時間の場合の図 2-3 と同じものが描ける。
と同じである。)
（b）時間選好率の分布が双峰型の場合
時間選好率が高く、先楽後憂の第 1 の消費
者グループと、時間選好率が低く、先憂後楽
の第 2 の消費者グループがある場合を考える。
上で M  2,  1   2  0 であり、簡単のため、
人口は両者等しいとする。すると、(5-55)は、
すると、(5-61)は、
dk (t )
 (r  n)k (t )  c(t )  a
dt
(5-62) c(t )  1 (c (t )  c (t ))
1
2
2
d (logc i (t ))
  i (r   i  n), i  1,2
dt
よって、 ci (t )  ci (0) exp( i (r   i  n)t )
ci (0)  2 i , i  1,2 とおいて、
dk (t )
 f ( k (t ))  nk (t )  c (t )
dt
1 2
(5-61) c (t )  2  c i (t )
i 1
d (log c i (t ))
  i ( f ( k (t ))   i  n )
dt
i  1,2
c (t ) 
2

i 1
i
exp(  i ( r   i  n ) t )
よって、
2
dk (t )
 (r  n)k (t )    i exp( i (r   i  n)t )  a
dt
i 1
この解は、未定乗数法により、
f (k )   i  n, i  1,2 とすると、1   2 だか
*
*
*
ら、 k1  k 2 であり、 k (t )  k1 のときは、い
k (t )  
ずれの消費者グループにおいても、1 人当た

*
i
り消費は増えるから、経済全体でも 1 人当た
2
i 1
i
( r  n)   i ( r   i  n )
exp( i (r   i  n)t )
a
 3
rn
り消費は増える。 k (t )  k 2 のときは、いずれ
ここで、  3 は、 t  0 のとき、 k (0)  k 0 とな
の消費者グループにおいても 1 人当たり消費
るようにとる。
*
は減るから、経済全体でも 1 人当たり消費は
減る。
*
*
これに対して、k1  k (t )  k 2 のときは、第
1 のグループの 1 人当たり消費は減り、第 2
のグループの 1 人当たり消費は増えるので、
よって、
2
 i  i ( r   i  n)
dk (t )

exp( i (r   i  n)t )
dt
i 1 ( r  n)   i ( r   i  n)
2
dc (t )
   i i (r   i  n) exp( i ( r   i  n)t )
dt
i 1
1  n  r  2 n だから、 c1 (t ) は時間とと
経済全体の 1 人当たり消費は、増えることも
もに減り、c 2 (t ) は増える。両者の平均として、
減ることもあり得る。
このように経済の動きが複雑になるのは、
*
1
k  k (t )  k
*
そのようすを簡
2 のときである。
単にみるため、時間
*
1
り資本が k  k 0  k
傍で、生産関数は、
c(t ) は時間とともに減ってから増えるか、増
え続けるかである。
t  0 ですでに 1 人当た
dk (t ) / dt の第 1 項の係数はマイナスであ
*
2 となっており、その近
り、第 2 項の係数は、プラス、マイナスがあ
り得る。
－ 125 －
以上を位相図でみると図 5-1 のようになる。
1 人当たり消費が増える。
先楽後憂の第 1 消費者グループにとって、
鞍点は 1 人当たり資本が k
*
1 と低く、先憂後楽
の第 2 消費者グループにとって、鞍点は 1 人
*
しかし、それが供給力の天井にぶつかり、
dk (t ) / dt がマイナスになると、③のように、
資本を取り崩して消費に回し、次いで消費も
当たり資本が k 2 と高いところにある。両方の
減ることがあり得る。この場合は、循環が生
グループが、 t  0 において、1 人当たり資本
ずる可能性がある。
k 0 を所与として、それぞれの鞍点経路に相当
する 1 人当たり消費 ci (0), i  1,2 から出発す
本を取り崩して消費に回し続ける。⑤は、消
る場合を考える。
費を減らして資本蓄積に回し続ける場合であ
k (t )  k
*
1 の範囲では、経済全体の
1 人当た
④は消費が供給を上回り続ける場合で、資
る。
り資本と消費は、
これらの動きは、平均を表わす代表的消費
k 0 、 c(0)  (c1 (0)  c 2 (0)) / 2
者がいない場合の、マクロの集計量の動きで
から出発し、図 5-1 の①のように、2 つの鞍
あり、擬人的な経済合理性を持った動きでは
点経路の間を通ると考えられる。
ない。このため、境界条件、借り放題なし条
*
1
k  k (t )  k
*
2 の範囲では、
dk (t ) / dt がプ
ラスで、供給力の内側でプラスの資本蓄積が
件は必ずしも成り立たない。よって、これら
の経路のどれもがあり得ることになる。
出来るならば、②のように、1 人当たり資本、
図 5-1　ラムゼー・モデルで、時間選好率の異なる複数の消費者がいる場合の動き
c1
c(t )
c1 , c 2
c
f (k ) nk
c2
c1 , c 2
մ
ճ
c 2 ࡢࡳࡢ
ሙྜࡢ㠡Ⅼ
c1 ࡢࡳ
ࡢሙྜ
ղ
ࡢ㠡Ⅼ
ձ
c1 ,c2
0
k
c1
յ
c1 ,c2
c2
k (t )
*
1
k
－ 126 －
*
2
(5-63)
(4) 動学的に非効率な成長となる条件
離散時間の場合に第 2 節(5)でやった問題
は、連続時間の場合にも同様に考えられる。
ラムゼー・モデルで、1 人の代表的消費者


s
t

dt
 exp(  f ( k ( )  n ) d ) dt  
 (t ) s
s
が 0  t  T ( T は後で  の極限をとる)の間
これは経済がパレート最適な資本蓄積経路を
に、瞬間的な効用関数を u (c(t ))  log c(t ) と
たどっていることを示すキャス、バラスコ、
して、各時点 s で次の最大化問題を解くとす
シェルの条件である。これは、横断条件(5-35)
る。
からも出る。この対偶として、
(5-64)
T
max  log(c(t )) exp(t )dt

s

s
dk (t )
 f (k (t ))  nk (t )  c (t ), k (0)  k 0
dt

t
dt
 exp(  f ( k ( )  n ) d  ) dt  
 (t ) s
s
ならば、資本蓄積が過剰で、 f ( k ( ))  n が
ポントリャーギンの最大値原理により、ハ
ミルトニアン、共役変数を H ,  (t ) とおくと、
小さ過ぎ、資本を減らせば消費が増える、動
学的に非効率な成長となっている。
前項(5-54)で   1 とした場合と同様に、次の
1 階の条件を得る。
(5) ラムゼー・モデルでも、横断条件が成り立
d (log c(t ))
 f (k (t ))    n
dt
たなければ、バブルがある
離散時間の場合は、第 2 節(6)でやったが、
よって、 t  s について、(5-48)も使って、
連続時間の場合は、ラムゼー・モデルに単純
t
に貨幣を導入すると矛盾が生ずる、という議
c(t )  c( s) exp( ( f (k ( ))    n)d
論と同じやり方で出来る。
s
代表的消費者は、次の最大化問題を解く。
t
c( s) exp( f (k ( )  n)d )  c( s) ( s) /  (t )
s
 c(t ) exp( (t  s))
max
T
c(s) (s)
s
T
 u ( c (t )) exp(  t ) dt
(5-65)
t
dt
 c(s) exp( f (k ( )  n)d )dt
 (t )
s
s
T
  c(t ) exp(( (t  s))dt
s
(T  )
0
鞍点経路の上で、この各辺を s  t  T の間で
t につき積分すると、 c(t )  c( s ) に注意して、
T
dv(t )
 (r (t )  n)v(t )  w(t )  c(t )
dt
最大化問題のハミルトニアン、共役変数を
H ,  (t )  0 とすると、
H  u (c(t )) exp(t )
  (t ){(r (t )  n)v(t )  w(t )  c(t )}
T
1 階の条件は、
s
(5-66)
d (t )
H

  (t )(r (t )  n)
dt
v(t )
(5-67)
H
 0  u (c(t )) exp(t )   (t )
c(t )
 c( s )  exp(( (t  s ))dt
1
 c( s ) {exp(( (T  s ))  1}  (T  )

よって、
－ 127 －
(5-68)
d (log c(t ))
  (r (t )    n)
dt
dk (t )
 f ( k (t ))  nk (t )  c (t )
dt
d (log c (t ))
(5-76)
  ( f ( k (t ))    n )
dt
db (t )
 ( f ( k (t ))  n )b (t )
dt
ここで、前と同様に、
(5-69)
1


u (c(t ))c(t )
u (c(t ))
とし、以下、  一定の場合を考える。
v(0)  k (0)  b(0) で、 t  0 でバブルを導
入すると、 v(0) 所与として、
横断条件、借り放題なし条件は、
(5-70)
lim T    (T )  0
(5-71)
lim T   v (T )  (T )  0
標準バブルの場合は、
k (0) を減らして b(0)  0 を導入、
信用バブルの場合は、
b(0)  0 を導入して k (0) を増やす
標準バブルの場合は、1 人当たり金融資産
v(t ) は、企業の 1 人当たり資本保有 k (t ) のた
めの貸し付けと、1 人当たりバブル b(t ) の購
ことになる。
入に当てられる。
d (b (t ) (t )) db (t )
d  (t )

 (t )  b (t )
dt
dt
dt
 ( r ( t )  n ) b ( t )  (t )  ( r ( t )  n )b (t )  (t )  0
信用バブルの場合は、1 人当たり金融資産
v(t ) 、および 1 人当たりバブル b(t ) の借り入
れにより、企業の 1 人当たり資本保有 k (t ) の
ための貸し付けが行われる。標準バブルを
b(t )  0 、信用バブルを b(t )  0 として、
v(t )  k (t )  b(t )
(5-72)
ところが、
よって、
b ( t )  (t )  b ( 0 )  ( 0 )  b ( t ) 
b ( 0) (0)
 (t )
ゆえに、横断条件(5-41)から、
1 人当たりバブルは、標準バブルの場合は預
lim T  b(T )  (b(0)  0)
または
 (b(0)  0)
金との裁定の条件から、信用バブルの場合は
借り換え、追い貸し、ロールオーバーの条件
ところが、どのような成長経路をとっても、
から、
lim T  k (T ) は有限だから、(5-72)から、1 人
(5-73)
db (t )
 ( r (t )  n )b (t )
dt
当たり金融資産はすべてがバブルになる。こ
れは経済的にあり得ない。よって、もともと
に従う。
バブルはゼロ、b(0)  0 でなければならない。
(5-65)に(5-72)を代入し、(5-73)を用いると、
すなわち、代表的消費者が合理的なラムゼ
財市場の均衡を表わす資本蓄積の方程式を得
ー・モデルに、単純にバブルを導入すること
る。
は出来ない。
(5-74)
dk (t )
 f ( k (t ))  nk (t )  c (t )
dt
 ( r ( t )  n ) k ( t )  w (t )  c ( t )
しかし、これまでみてきたように、代表的
消費者が、多数の消費者の消費をマクロ的に
集計して人口平均をとったものの場合には、
ここで、生産の限界条件は、
r ( t )  f  ( k ( t ))
(5-75)
w ( t )  f ( k ( t ))  f  ( k ( t )) k ( t )
横断条件、借り放題なし条件が必ずしも成り
以上から、k (t ), c(t ), b(t ) に関する連立微分方
ルがあり得る。
立たない。この場合には、離散時間の場合と
同様に、ラムゼー・モデルであっても、バブ
程式を得る。
－ 128 －
(6) 連続時間における寿命 T 重複世代モデル
とラムゼー・モデルの再現
（a）時点 s 生まれの 1 人の消費者の消費行動
時間軸を t  0 とし、時点 s 生まれの 1 人の
消費者は、若年期の s  t  s  T1 に働き、労
働所得を稼ぎ、消費し、貯蓄し、老年期の
s  T1  t  s  T に働かず、貯蓄を取り崩し
て消費し、 t  s  T 時点に死ぬ。
時点 s 生まれの人口を N s とすると、時点 t
における時点 s 生まれの人口は、
N ( s, t )  N s , s  t  s  T
(5-79)
(5-80)  ( s, t )   H s   ( s, t ) r (t )
t
v( s, t )
H s
0
(5-81) c( s, t )
 u (c( s, t )) exp( (t  s ))   ( s, t )
よって、相対リスク回避度を 1 /  として、
(5-82)
t
s
時点 s 生まれの１人の消費者は、当初の金
融資産はゼロ v( s, s )  0 、死ぬときの金融資
産もゼロ v( s, s  T )  0 の条件のもとで、利子
率 r (t ) 、賃金率 w(t ), t  s を所与として、生
涯効用を最大化するように、生涯の消費
c( s, t ) 、途中段階の金融資産 v( s, t ), s  t を選
ぶ。時間選好率  ,0    1 は各世代共通とす
る。
横断条件、借り放題なし条件は、
(5-84)
 ( s, s  T )  0
(5-85)
v(s, s  T )(s, s  T )  0
時点 s 生まれの消費者の時点 t における生
涯予算制約式を導くため、(5-82)から時点 t 以
降の消費の式を、(5-78)からそれをファイナ
ンスするための時点 t における金融資産の式
を求める。
(付録 8.参照)
max U  U (v( s, s))

c( s, t )
  (r (t )   )c( s, t )
t
1
u (c( s, t ))c( s, t )


u (c( s, t ))
(5-83)  ( s , t )   ( s , s ) exp(  r ( ) d )

1 dN s
n
, N s  N 0 e ns
N s ds
(5-77)
 (s,t){r(t)v(s,t)  w(s,t)  c(s,t)}
1 階の条件は、
 0, t  s  T
であり、人口増加率を n とすると、
Hs  u(c(s,t))exp((t  s))
  t  s として、
s T
 u(c(s, t )) exp( (t  s))dt


(5-86) c ( s , )  c ( s , t ) exp( ( r ( a )   ) da
s
t
(5-78) v( s, t )  r (t )v( s, t )  w( s, t )  c( s, t ), t  s
t

(5-87)
b
v ( s , t )   (c ( s , b )  w( s , b )) exp(   r ( a ) da ) db
t
t

 v ( s ,  ) exp(   r ( a ) da )
ここで、時点 s 生まれの消費者の時点 t におけ
t
る賃金率は、
時点 t における生涯労働所得は、
w( s, t )  w(t ), s  t  s  T1
 0, t  s  T1
ポントリャーギンの最大値原理におけるハミ
(5-88)
h( s, t ) 

t

ルトニアン、共役変数を H s ,  ( s, t ) とおくと、
s T
s  T1

t
b
w ( s , b ) exp(   r ( a ) da ) db
t
b
w (b ) exp(   r ( a ) da ) db
t
とくに、t  s とおいて、生まれた時点におけ
－ 129 －
に直交する。
る生涯労働所得は、
h( s, s) 
(5-89)
s T

s
s  T1


s
b
（b）消費、金融資産のマクロ的集計とその時
w ( s , b ) exp(   r ( a ) da ) db
間的変化
s
b
時点 t における総人口は、
w (b ) exp(   r ( a ) da ) db
s
さらに(5-87)で、とくに   s  T とおいて、
時点 t における金融資産の式を得る。

(5-90)
s T
( c ( s , b )  w ( s , b )) exp(   r ( a ) da ) db
t
s T

(5-91)
t
b
生涯予算制約式は、
s T
(5-92)

s
e ns ds 
間の場合も同様なことが言える。
s
ds
s
ds
t T
V (t ) 
t
 v(s, t ) N
d
dt
b (t )
 f ( x , t )dx  { f (b (t ), t )b (t ) 
b (t )

f ( x , t )
dx
t
a (t )

b
とくに{
s
(5-98)
( c ( s , b )  w ( s , b )) exp(   r ( a ) da ) db  0
ところが、(5-83)から、
 ( s, b)
 (s, s)
}内が小さければ、
d
dt
b (t )

f ( x , t )dx 
a (t )
b (t )

a (t )
f ( x, t )
dx
t
と出来る。これを用いると、
dC (t )
 {c(t , t ) N t  c(t  T , t ) N t T }
dt
t
c( s, t )
N s ds
 
t
t T
よって、上の式は、
s T
 ( c ( s , b )  w ( s , b ))  ( s , b ) db  0
s
である。これは、 [ s, s  T ] 上の関数空間で、
dV (t )
 {v(t , t ) N t  v(t  T , t ) N t T }
dt
t
v( s, t )
 
N s ds
t
t T
c( s,)  w( s,) と  ( s,) が直交することを意味
する。(5-29)ででみたように、
U ( v ( s ,))
v ( s ,)
f ( a ( t ), t ) a ( t )}
a (t )
であることを使う。(付録 9.参照)
(5-90)で t  s とおくと、
 ( s ,) 
t
 c(s, t ) N
これら集計量の時間的変化をみるには、一般に、
間の場合は、第 2 節(2)(a)でみたが、連続時
s
C (t ) 
t T
s
exp(   r ( a ) da ) 
N0
(1  e  nT ) e nt
n
N0
(1  e  nT1 ) e nt
n
b
c ( s , b ) exp(   r ( a ) da ) db  h ( s , s )
b
(5-96)
(5-97)
生涯予算制約式の幾何学的意味は、離散時
消費については、{
U  max
だから、関数空間において、c( s,)  w( s,) は、
(5-95)
0
ds
時点 t の消費、金融資産のマクロ的集計量は、
t
とくに t  s とおいて、生まれた時点における
(5-94)
t
N
s
若世代人口比率は、 n L  N L (t ) / N (t )
c ( s , b ) exp(   r ( a ) da ) db
 h( s, t )  v( s, t )
(5-93)
t T
N L (t ) 
時点 t における生涯予算制約式は、
s
t T
うち若世代人口は、
b

t

t
t T
v( s, t ) 
s T
t
 N ( s , t ) ds   N
N (t ) 
U (v ( s ,))
gradU (v ( s ,)) 
v ( s,) U  max
}の中は、最若年と最老
年の消費の差だから、 T が大きければ、無視
してよい。金融資産については、{
ゼロである。よって、
－ 130 －
}の中は
t
(5-99)
c ( s , t )
dC (t )
 
N s ds
t
dt
t T
(5-100)
v ( s , t )
dV (t )
N s ds
 
t
dt
t T
k (t ) 
K (t )
N (t ) K (t )
1 K (t )


N L (t ) N L (t ) N (t ) n L N (t )
よって、(5-105)の両辺を N (t ) で割ると、
t
(5-107)
v(t )  n L k (t )
これらに、(5-82)、(5-78)を代入すると、マク
また、
ロの集計量の時間的変化が求まる。
dN (t ) dK (t )
dk (t )
N L (t )  k (t ) L 
dt
dt
dt
t
dC (t )
   ( r (t )   )c ( s , t ) N s ds
dt
t T
(5-101)
から、(5-106)により、
  ( r (t )   )C (t )
dk (t )
1
 (r (t )  n)k (t )  w(t ) 
c(t )
dt
nL
(5-102)
dV (t )

dt
t
 ( r (t )v ( s , t )  w( s , t )  c ( s , t )) N
s
 f (k (t ))  nk (t ) 
ds
t T
 r (t )V (t )  W (t )  C (t )
ここで、生産の限界条件は、
f (k (t ))  r (t )k (t )  w(t )
ここで、時点 t の労働所得のマクロの集計量
r (t )  f ( k (t ))
w(t )  f ( k (t ))  f ( k (t )) k (t )
は
t
 w( s, t ) N s ds 
W (t ) 
t T
t
 w (t ) N
1
c (t )
nL
s
ds  w (t ) N L (t )
よって、経済全体の 1 人当たり資本 k (t ) 、1
t T1
人当たり消費 c(t ) は、次の連立微分方程式に
（c） 1 人当たり消費、1 人当たり金融資産、
従う。
1 人当たり資本の時間的変化
時点 t における 1 人当たり消費、1 人当たり
金融資産は、
(5-108)
C (t )
V (t )
c(t ) 
, v(t ) 
N (t )
N (t )
よって、
dk (t )
1
 f (k (t ))  nk (t )  c(t )
dt
nL
dc(t )
 { ( f (k (t ))   )  n}c(t )
dt
これはラムゼー・モデルと類似しており、
dc (t )
dN (t ) dC (t )
N (t )  c (t )

dt
dt
dt
特に   1, n L  1 のときは、ラムゼー・モデ
から、(5-101)により、
変数をあたかも寿命無限の 1 人の代表的消費
(5-103)
dc(t )
 { (r (t )   )  n}c(t )
dt
また(5-102)から、同様に、
(5-104)
dv (t )
 ( r (t )  n)v (t )  n L w(t )  c (t )
dt
ルそのものとなる。そのときは、1 人当たり
者が、生涯効用を最大化するように消費・貯
蓄行動していると、ポントリャーギンの最大
値原理で定式化してよいように見える。
このとき、共役変数  (t ) は、時点 s 生まれ
世代の式(5-83)で s  0 とした場合と同様に、
t
バブルなしの場合は、
 (t )   (0) exp(  r ( )d )
(5-105) V (t )  K (t )
よって、(5-102)から、
(5-106)
dK (t )
 r (t ) K (t )  W (t )  C (t )
dt
 F ( K (t ), N L (t ))  C (t )
0
となる。しかし、これが t   のときゼロに
収束し、言い換えれば、カッコのなかの所与
の金利 r (t ), t  0 の積分が t   のとき無限
大に発散
若世代 1 人当たり資本は、
－ 131 －

t
となっている。V (0)  0 を所与とすると、標
r ( ) d   
0
準バブル B(t )  0 の場合は、 K (0) を減らし、
しなければならない先験的理由がない。各世
信用バブル B (t )  0 の場合は、K (0) を増やす
代は、有限の T 期間生きて死ぬので、各世代
ことになる。
の生きている期間についてのこの積分は有限
標準バブルの場合には、預金との裁定の条
であり、死ぬときには横断条件 (5-84)により、
件から、信用バブルの場合には、借り換え、
 (t ) はゼロになるからである。
追い貸し、ロールオーバーの条件から、バブ
よって、無限寿命の 1 人の代表的消費者に
対しては、横断条件、借り放題なし条件は必
ずしも成り立たない。ゆえに、(5-108)の右辺
をゼロにするような定常状態はあるが、解は
ルは次の式に従う。
1 人当たりバブルは、
鞍点経路をたどるとは限らないのである。
*
1 dB(t )
 r (t )
B(t ) dt
(5-110)
b(t ) 
*
マクロの平均量の定常状態を k , c とし、
B(t )
N (t )
r  f (k * ) とおくと  (r *   )  n である。
よって、(5-109)の両辺を N (t ) で割ると、
マクロの平均量が動かなくても、個々の消費
(5-111)
*
者の消費は動くことが分かる。
c( s, t )  c( s, s ) exp( (r *   )(t  s ))
 c ( s , s )e n ( t  s )
v(t )  n L k (t )  b(t )
ここで、 v(0) は所与とし、標準バブル
b(0)  0 導入のときは、 k (0) を減らし、信用
バブル b(0)  0 導入のときは、 k (0) を増やす
調整が行われる。
db(t )
dN (t ) dB(t )
N (t )  b(t )

dt
dt
dt
であるから、各世代とも、生まれてから死ぬ
まで、人口増加率で増加する。これは、離散
時間の場合、第 4 節(2)(b)で得た結果と同じ
である。
(5-112)
バブルありの場合は、
(5-109)
から、
db(t )
 (r (t )  n)b(t )
dt
(5-109)を(5-102)に代入すると、(5-110)によ
V (t )  K (t )  B(t )
が成り立つ。
り、バブル項は消えて、(5-106)が再び出る。
ここで、標準バブルの場合は、 B (t )  0 で
よって、経済全体の 1 人当たり資本 k (t ) 、
あり、家計の金融資産 V (t ) は、銀行に預金し、
1 人当たり消費 c(t ) 、1 人当たりバブル b(t ) は、
それが企業の資本保有 K (t ) のために貸し付
(5-108)、(5-112)の連立微分方程式に従う。特
けられる部分と、バブル購入 B (t ) にあてられ
に、   1 の場合を考え、それを次の形に書
る部分に分かれる。
く。
信用バブルの場合は、 B (t )  0 であり、企
(5-113)
1
dk (t )
 f (k (t ))  nk (t )  c(t )
dt
nL
業の資本保有 K (t ) のための貸し付けは、家計
の金融資産 V (t ) が銀行に預金され、それが貸
1 dc(t )
 f (k (t ))    n
c(t ) dt
し付けられる部分と、銀行の自己資本から家
計に貸し付け、それがさらに企業に貸し付け
1 db(t )
 f (k (t ))  n
b(t ) dt
られる部分 B (t ) からなる。
バブルは時点 t  0 に導入されるとすると、
V (0)  K (0)  B(0)
すると、第 2 式、第３式から、
－ 132 －
1 db(t )
1 dc(t )


b(t ) dt
c(t ) dt
S1t  K t 1
よって、
となる。これは一見、貯蓄・投資バランスが
log b(t )  log c(t )  t  const.
成り立たないのではないか、と思わせる。し
ゆえに、
かし、老世代は、前期に供給した資金をすべ
b(t )
c(t )

b(0)
c(0)
て取り崩して消費にあてるので、資本市場で
et  (t  )
は当期の資本に当たる量の資金が回収され
る:
S 2t   K t
よって、離散時間の場合と同様に、バブルは
消費の無限大倍まで膨らむ。従って、経済変
数がマクロの集計量であり、横断条件、借り
経済全体の貯蓄は、若世代と老世代の貯蓄の
合計だから、
放題なし条件が成り立たない場合でも、ある
S t  S1t  S 2t  K t 1  K t  I t
時点で不合理性に気づき、修正が行われる。
しかし、気づくまではバブルは膨らむ。これ
となり、経済全体の貯蓄・投資バランスは、
は、現実に起こる状況である。
本論文の(1-18)のように、通常の形になる。
ダイヤモンドの原論文『新古典派成長モデ
おわりに
ルおける国債』(1965,p.1128, p.1131-1132)
においては、経済全体の貯蓄・投資バランス、
本論文が標準理論からどう 1 歩踏み出した
若世代の貯蓄イコール次期期首の資本の式は
か主要文献と比べ、残された課題を述べる。
明記されているが、老世代の貯蓄の行方につ
いて明記していない。ウィッケンズ『マクロ
(1) 経済主体別および経済全体の統合した経
済計算を明確にしたこと。
経済理論』(2008, p.134)などその後の教科書
でもこの点が明記されていない。本論文では
マクロ経済理論の文献では、理論の展開が
第 1 節でこのようなあいまいさを取り除いた。
主体であり、家計、企業などの経済主体につ
いて、期首の資産・負債の状況、期中の経常
(2) 標準理論では考慮されていない信用バブ
取引による所得・支出の状況、資本取引によ
ルを導入し、その動学的特性を明らかに
る資産・負債の変動の状況、これらを経済全
したこと。
体として統合した場合の状況などは、導入部
ティロールのバブルの標準理論『資産バブ
において言葉で簡単に述べられるのが常であ
ルと重複世代』(1985,p.1503)では、バブルは
る。その結果、どんな経済計算が頭にあるの
資産であるから、マイナスの価値は取り得ず、
か、読者にとってあいまいになることがある。
プラスでなければならないとしている。この
例えば、重複世代モデルでは、資本市場で
立場は、ファーリ・ティロール『バブル的流
若世代が当期の貯蓄から資金を供給し、企業
動性』(2011,定義 1)でも引き継がれている。
が当期末つまり次期期首に必要な資本を取得
このため、バブル資産の取得は、家計の貯蓄
するための資金を需要するので、若世代の当
の運用先の 1 つとなっている。
これに対して本論文では、次のような信用
期の貯蓄イコール次期期首の資本、式で書く
と、本論文の(1-16)のとおり、
バブルを考える。家計は、負債側で銀行借り
入れによって得た資金を、資産側で企業に貸
－ 133 －
し付ける。企業は、負債側の借り入れた資金
不安定、大きい解は安定であることを、図
で、資産側に無価値の財からバブル資本を創
3-2-2 で示した。
出する。銀行は追い貸し・ロールオーバーを
日本経済の長期低迷について、複数均衡の
続ける。第 1 節でこの場合の経済計算を行な
低活力状態に落ち込んでいるため、という統
い、信用バブルは標準バブルでマイナスにし
計物理的モデルが提示されているが、本論文
た場合に相当することが分かった。
のようなマクロ経済モデルの具体例も参考に
一度マイナスのバブルを許すと、動学的に
なろう。
は事態は大きな変化が起こる。第 3 節では、
さらに、ミクロの一般均衡理論においては、
標準バブルでは解は普通の鞍点経路をたどり、
バラスコ『価値の一般均衡理論』(2011,p.141)
しかも動学的に非効率であるのに対し、信用
にあるように、均衡多様体が波打つ形だと、
バブルでは解は図 3-4 のように、渦状点また
1 つの資源配分の均衡状態を実現するのに複
は結節点経路をたどり、しかも動学的に効率
数の価格があり得るという複数均衡が、被覆
的であることが明らかにされた。
(covering)の理論を使って分析されている。
重複世代モデルでは、若世代がプラスの貯
蓄をし、老世代になってそれを取り崩すとす
(4) 2 世代重複世代モデル→3 世代重複世代
るものが多いが、トヴェーデ『重複世代経済』
モデル→T 世代重複世代モデル→横断条
(2010,p.15)では、若世代の貯蓄がゼロでない
件なきラムゼー・モデル、の流れを整合
場合は、政府が貨幣を供給して当期と次期の
的に明らかにし分析していること。
予算制約をつなぐとし、若世代の貯蓄がプラ
重複世代モデルは 2 世代が中心である。最
スの場合の均衡を「サミュエルソン均衡」、マ
新の教科書を見ても、ブーレイ『一般均衡、
イナスの場合を「古典的均衡」と呼んでいる。
重複世代モデルおよび最適成長理論』(2007)、
しかし、動学的経路の違いには触れていない。
トヴェーデ (2010)は、2 世代重複世代モデル
で一貫している。
(3) 重複世代モデルで複数均衡と不安定性の
この 1 世代は通常 25 年
と考えられており ( ウィッケンズ (2008,
p.143))、マクロ経済の不安定性やバブルなど
具体例を提示したこと。
重複世代モデルでは、1 人当たり資本 k t に
現実の問題を考えるには、期間が長期過ぎて、
ついての定差方程式の定常状態を求めること
イメージが合わない。この世代をもっと細分
になる。若世代の 1 人当たり貯蓄関数の形状
したいが、明確な結論が導かれるのは 2 世代
によっては、その定常状態が複数ある可能性
であり、3 世代になると、ファーリ、ティロ
は、ブランシャール・フィッシャー『マクロ
ール『バブル的流動性』(2012)のように、数
経済学講義』 (1989,p.95) 、トヴェーデ
式が一挙に複雑化する。理論的には、2 世代
(2010,p.129)で述べられているが、具体的な
か 3 世代の重複世代モデルで分析し、現実に
例は示されていない。
あてはめるには、定性的な推論を行うことに
本論文では、第 3 節で、効用関数は対数線
なる。
型とし、生産関数を CES 型
f ( k )  a (k    1   )

他方、重複世代モデルでも、コンピュータ・
シミュレーションを行うモデルでは、初期の
1

アウアーバッハ、コトリコフ『動的財政政策』
としたとき、   0 のとき、プラスの定常状
(1987)において、すでに５５世代の重複世代
態の 1 人当たり資本は 2 つあり、小さい解は
モデルで分析している。
－ 134 －
なお第 4 節、付録 7 では、副産物として、
また、連続時間モデルにおいては、ブラン
シャール『債務、赤字、および有限時限』(1985)
「資本蓄積をライフサイクルによる貯蓄でま
は、家計の各世代が一定の死亡確率のもとで
かなえるか」というコトリコフ・サマーズ『マ
無限時間の中を生きると前提して、その集計
クロの資本蓄積における世代間移転の役割』
量としてのマクロ経済の最適成長モデルを分
(1981)のテーマに関して、彼らの 3 世代重複
析している。
世代モデルから T 世代重複世代モデルに拡張
本論文では、2 世代重複世代モデルにより
バブルを分析したティロール『資産バブルと
し、マクロの金融資産がプラスになるための
条件を、数学的に考察している。
重複世代』(1985)を出発点とし、ブランシャ
ール(1985)の死亡確率つき無限世代モデルを
(5) 寿命無限モデルのときの資本蓄積、重複
参考にしつつ、死亡時点を生まれてから T 期
世代モデルのときの均衡がパレート最適
後と特定した T 世代重複世代モデルに発展さ
となるためのキャス、バラスコ、シェル
せることを念頭におき、効用関数を対数線型
の条件を統一的な視野から見直したこと。
に特定して、分析を進めるアプローチをとる
ことにした。
本論文のメッセージは、T 世代重複世代モ
デルでは、経済全体の横断条件が守られず、
第 3 節では、ティロールのモデルにおいて
マクロ変数が発散する可能性があるというこ
複数均衡の可能性を明らかにするとともに、
とであるが、発散しない条件についても整理
マイナスの信用バブルを導入して分析した。
している。
さらに第 4 節でそれを 3 世代重複世代モデル
マクロ経済理論では、時間を t  0,1,2,..., T
に拡張し、類似の結果が出ることを示した。
の離散時間でとり、この時間の期限 T は有限
3 世代重複世代モデルは、直ちに T 世代重
として計算し、その後期限は無限の未来
複世代モデルに拡張出来、複数均衡の可能性
T   とする手続きをとる。時間を無限大に
までは同じ分析が出来る。だがバブルの分析
すると発散解が生ずる可能性があるので、標
をするには複雑過ぎる。しかし、T が大きい
準理論では、発散しないための条件を明らか
ときは、全世代について合計したマクロの集
にしてきた。
計量が、ラムゼー・モデルで近似されること
寿命無限のラムゼー・モデルにおいて、サ
が分かる。ただし、各世代は横断条件に拘束
ージェント『動学的マクロ経済理論』(1987)、
されていても、マクロの集計量は横断条件で
リュンクヴィスト・サージェント『再帰的マ
拘束される先験的理由がない。こうして本論
クロ経済理論』(2004)は、解は 2 乗和が有限
文のアブローチでは、マクロの集計量に横断
な関数空間 l 2 の範囲で求めるようにしている。
条件の拘束がないため、標準理論で棄却され
2 世代重複世代モデルにおいて、トヴェー
てきたラムゼー・モデルの場合のバブルが、
デ (2010)は、時間範囲を    t   ないし
息を吹き返すことが明らかになった。
0  t   として分析している。この場合、負
T 世代重複世代モデルでは、各家計は、自
担を将来世代に回し続けることで、全世代の
分の寿命の範囲では横断条件に従うが、それ
効用を高めることが出来、均衡状態がパレー
を超えて、無限時間の中で、経済全体の横断
ト最適にならないことが起こる。それを避け
条件に従うインセンティブがない。現実に多
るために、時点 t における財の時点 0 におけ
くの国で財政が破綻に追い込まれていくのは、
る価格が p t のとき、均衡がパレート最適であ
このためであろう。
る条件が、バラスコ、シェル(1980)の条件(ト
－ 135 －
よる分析は、類似点は認めながらも、分析者
ヴェーデ(2010,p.42)


t 0
1

pt
の趣味により、別箇に行われることが多い。
これに対して本論文では、第 4 節までは離
である。金利を rt とすれば、この条件は、

散時間のもとで、通常の有限次元空間におけ
t
るラグランジュ乗数法により分析を行った後、
 (1  r )  
i
t 1 i 1
第 5 節では、関数空間におけるラグランジュ
になる。これは、寿命無限のモデルで過剰資
乗数法から入ることにより、議論を平行して、
本蓄積がないという意味のパレート最適を示
整合的に進められることを示した。
これは、数学的には早くから知られていた
すキャス(1972)の条件になる。
本論文では第 2 節で、寿命無限のラムゼ
ことであり、本論文においては、レオナール・
ー・モデルの場合、ラグランジュ乗数  がこ
ヴァンロン『経済学における最適制御理論と
の p t に相当し、分析が意味を持つためには、
静学的最適化』(1992)に加えて、リュステル
生涯予算制約式が収束し、
ニク・ソボレフ『関数解析の基礎』(1965, 第
0
t


t 0
0
t
8 章§11)、ザイドラー『非線形関数解析 III.

変分法と最適化』(1984, 第 43、48 章)を参照
とならねばならないこと、これはキャス、バ
している。第 5 節で扱う問題は、数学的には
ラスコ、シェルの条件を満たすこと、さらに
等周問題という簡単な形をしているので、関
ラムゼー・モデルの最適成長経路はこの条件
数空間のラグランジュ乗数法を使い、さらに
を満たすことを示した。
ベルマンの原理を使うと、ポントリャーギン
生涯予算制約式の収束の条件と同じ条件

p
t 0
t
の最大値原理の式を導くことが出来る。さら
に有限次元の場合と同様に、包絡線定理を導

き、初期条件の変動に対して、目的関数の最
は、ボーレイ(2007,p.479)において、重複世
適値がどう動くかも分析出来る。関数空間に
代モデルにおける均衡のパレート最適のため
おける分析では、この初期条件の変動は、イ
の条件として、提示されている。
ンパルス関数で入れる必要があり、それによ
って目的関数の最適値がどう動くかは、ベン
(6) 離散時間のモデルから連続時間のモデル
に整合的に移行出来ることを示したこと。
スーザン『最適制御における摂動法』
(1988,p.255)を参照している。
マクロ経済理論では、前述のように離散時
間のもとで、財は 1 財とし、家計、企業が効
(7) 残された課題
用、利益の時間的フローの現在価値の最大化
本論文では、バブルの発生メカニズムとし
を図るように定式化するのが一般的である。
て、2 世代、3 世代重複世代モデルでは信用
離散時間なので、最大化は、簡単な場合はラ
バブルを提示し、その動学的経路は効率的で
グランジュ乗数法、複雑化したり確率分布を
渦巻き状になるとしている。さらに T 世代重
入れたりする場合にはベルマンの動的計画法
複世代モデルで T が大きくなると、横断条件
を使うことになる。しかし、資本蓄積を含む
が成り立たないラムゼー・モデルになり、ラ
最適成長モデルでは、連続時間で、ポントリ
ムゼー・モデルのバブルのメカニズムが生き
ャーギンの最大値原理を使うことが多い。こ
返ると主張している。
のため、離散時間による分析と、連続時間に
－ 136 －
2 世代重複世代モデルにおける信用バブル
－ 137 －
付録
付録 1. 定数係数の 2 次元線形微分方程式と
定差方程式の解の状態 (第 2、3、4 節)
0
t
ゆえに、
x(t )  c1v1e 1t  c 2 v 2 e 2t
微分方程式と定差方程式を次の形に書く。
x (t )  Ax(t )
xt 1  xt  Axt
xt  c1v1 (1  1 ) t  c 2 v 2 (1   2 ) t
簡単のために、 A の 2 つの固有値 1 ,  2 が
 c1 
  T 1 x 0 , orT 1 x(0)
c
 2
ここに、 
異なる場合について述べる。それぞれに対応
する 1 次独立な固有ベクトルを
 v1 
 v1 
v1   12 , v 2   22 
 v2 
 v1 

 y0
(1   2 ) 
 (1  1 ) t
y t  
 0
本稿では、変数 x(t ), xt は定常状態からの乖
離を表わす。
微分方程式のときは、固有値 1 ,  2 が実根
とおくと、 Avi  i vi , i  1,2
で符号が異なるならば鞍点、同符号ならば結
行列
節点になり、虚根ならば渦状点になる。
T  v1
よって、 T
v 2  を考えると、

AT  T  1
0
0

 2 

AT   1
0
0

2 
1
まず実根で符号が異なるならば、
1  0  2 として、 c 2  0 のとき、
x(t )  c1v1e 1t が鞍点経路になる。
その他の鞍点経路は発散する。
実根でプラスの同符号ならば、結節点で発
散し、マイナスの同符号ならば、収束する。
x(t )  Ty (t ), xt  Ty t と変数変換すると、
もとの微分方程式は、

y (t )   1
0
虚根ならば、2 つの固有値は共役、2 つの
固有ベクトルは共役なので、固有値をあらた
0
 y (t )
2 
めて   i 、固有ベクトルをあらためて
1
v1  iv 2 とおくと、
(v1  iv 2 )e ( 
定差方程式は、
1
 i 2 ) t
1
0

 y t
y t 1  y t   1
 0 2 
0 
1  1
 yt
y t 1  
1   2 
 0
 e  t (v1 cos  2 t  v 2 sin  2 t )
1
 ie  t (v1 sin  2 t  v 2 cos  2 t )
の実部と虚部がそれぞれ 1 次独立な解になる。
定常状態は、渦状点であり、   0 ならば発
1
散し、   0 ならば収束する。
1
定差方程式のときは、 1  i と 1 の大小に
となる。よって、
 e 1t
y (t )  
 0
2
0 
 y ( 0)
e 2t 
よって発散、収束が決まるので、次のように
拡張された対数関数を使うと、微分方程式と
の対応がはっきりする。
－ 138 －
1  i
log(1   i )  log 1   i  i arg
1  i
1  i 
虚根の場合は、共役な固有値を     i 、
1
2
固有ベクトルを v  v1  iv 2 とおくと、
1    1  1  i2  e 
ここで、 i    i とおいて、
1
i
ら振動しながら動く。
2
i
(1  1i ) 2   i2
1
 i 2
(v1  iv 2 )(1   ) t
 (v1  iv 2 ) e ( 
1  i
 i2
arg
 tan 1
1  i
1  1i
1
 i 2 ) t
1
 e  t ( v1 cos  2 t  v 2 sin  2 t )
1
 ie  t (v1 sin  2 t  v 2 cos  2 t )
さらに、
の実部と虚部がそれぞれ 1 次独立な解になる。
 i1  log 1   i
定常状態は、渦状点であり、   0 ならば、
1
1  i
  arg
1  i
2
i
すなわち 1    1 ならば発散し、  0 なら
1
ば、すなわち 1    1 ならば収束する。
とおいて、
log( 1   i )   i1  i i2
1
2
1   i  e  i  i i
付録 2. 横断条件に反する経路 (第 2 節)
実根の場合には、 i  0
2
t が十分大きければ、 f (k t )  n ならば、十分
小さい   0 に対して、 t 0 が存在し、 t  t 0 な
 i1  log 1  i
 i2  arg1or arg(1)  0or
つまり、
らば、
f (k t )  n  
1  i  0   i2  0
(2-61)により、
1  i  0   i2  
ct 1  ct
  ( f (k t 1 )    n)   (   )
ct
であり、
1
(1  i ) t  e i t cos  i2 t
よって、
と書ける。
ct 1  (1   (   ))ct    
よって、 1 ,  2 の符号が異なるならば、す
1
1
 (1   (   )) t t0 1 ct0
なわち、 1  i の一方が 1 より大、他方が 1
より小ならば、鞍点となる。1  0 
1
 21 とし
て、 c 2  0 のとき、
1
xt  c1v1e 1t cos 12 t
u (ct 1 )  ct 1
だから、 ct 1  (u (ct 1 ))

(u (ct 1 ))   (1   (   )) t t0 1 ct0
 ,  が同符号ならば、すなわち、 1  i
1
2
がともに 1 より大か 1 より小ならば、結節点
u (ct 1 )  (1   (   ))
になり、前者の場合は発散、後者の場合は収
束する。
1

ゆえに、
が鞍点経路になる。
1
1

よって、
このように、微分方程式の場合と異なり、
1  i がマイナスのときは、経路は 2 方向か
－ 139 －

t t 0 1

ct0

1

u (ct )

(1   ) t
1
1
1
1
( 
)0
(1   )(2  n)
1
B ( ) 
 const
((1   )(1   (   ))  ) t
であり、 f ( k )  0 だから、 f (k ) は k が増え
ると減る。よって、B (k ) は k が増えると減る。
ここで、
ゆえに、ある k で
1
((1   )(1   (   ))   1  

だから、 t   のとき、上の不等式の右辺は
となり、このとき B (k )  0 である。
  。よって、
u (ct )
lim t 

(1   ) t
これから、 k が 0 から増えていくときの
これは横断条件(2-35)に反する。
付録 3. 重複世代モデルの定常状態
1
1

, f (k )  
1   1  f (k )
(第 3 節)
減価償却を引く前の生産関数 g (k ) は、
1 / B (k ) の動きを見ると、まず
1 / B(0)  (2   )(2  n)  0
1 / B (k ) は、このプラスの値から出発して増加
を続け、 k に近づくにつれ、  に発散する。
次に A(k ) の動きを調べる。 A(k ) における
生産関数 f (k ) は、減価償却を控除していない
としてよい。
g (0)  0, g (0)  , g ()  0 を満たす。本稿
で考えているように、これから減価償却 k を
k  0 のとき、
f (k ) f (k )  f (0)

 f (0)  
k
k
引いた減価償却控除後の生産関数を
f (k )  g (k )  k とおくと、 f (0)  0 、
f (0)  , f ()   が成り立つ。
なので、A(k ) は    で一般には値が不確定
となるので、さらに生産関数 f (k ) の形を特定
また、
化する必要がある。
コブ・ダグラス型のときは、
f (k )
g ( k )  k
 f ( k ) 
 ( g ( k )   )
k
k
g (k )

 g (k )
k
f (k )  ak  ,0    1
だから、
だから、この式は、減価償却控除前と控除後
で値は変わらない。
A(k )  a(1   )k  1
よって、 A(0)   かつ A(k ) は減少関数であ
り、 A()  0 。
CES 型のときは、
この前提のもとに、
f (k )
 f (k ),
k


1
1
  

B (k ) 
(1   )(2  n) 
1  f (k ) 
A(k ) 
f (k )  a(k    1   )
  1,0    1
だから、
の動きを調べ、A(k ),1 / B(k ) のグラフを描き、
それらの交点
A(k ) 

1
B(k )
f (k )

k

a
1
(  (1   )k  ) 
ak 1
1
(k    1   ) 
のようすを調べる。
B (k ) は、 B (0)   /((1   )(2  n))  0 ,
－ 140 －
1

,
において、 A(k )  0
a
f (k ) 
1 
(  (1   )k  )
k  k ならば A(k )  0
k  k ならば A(k )  0
よって、 A(k ) は、 k がゼロから増えるとき、
ゼロから増えていき、 k  k でピークをつけ、

ak  (1  )

1 
(k    1   )

よって、
それ以降減っていき、ゼロに近づく。
a (1   )k 
A(k ) 
1 
(  (1   )k  )
a (1   )k


付録 4. 定常状態の安定性 (第 3 節)
1
1 
(k    1   )
定常状態の安定性を見るため、(3-20)から、

(A-3-1)
0
ゆえに、   0 のときは、
lim k 0 A(k )  0, lim k  A(k )  0
また  1    0 のときは、
lim k 0 A(k )  , lim k  A(k )  0

さらに、 k  x とおくと、
この k t 1  k t  k  0 における値を調べる。
(  (1   ) x)
生産関数がコブ・ダグラス型のときは、
 1

f (k )  ak  1 ,
よって、
d
A(k ) 
dx
(1   )a ( 
1

f (k )  a (  1)k   2
x)
だから、
kf (k )  a (  1)k  1
f (k ) f (k )  a 2 (  1)k 2  2
(1  f (k )) 2  1  2ak  1  a 2 2 k 2  2
k  0 のとき、(A3-1)の分母はプラスの一定
1 2 
(  (1   ) x)
ゆえに、  1 

k t f (k t )
1 

1 f (k t 1 )(k t 1  f (k t 1 ))
(2  n) 
1 
(1  f (k t 1 )) 2

(1   )ax
A(k ) 
dk t 1
dk t

  0 のときは、
d
A(k )  0
dx
値に収束し、分子はプラスの無限大に発散す
る。よって、
である。
dx
 k  1  0
dk
dk t 1
dk t
だから、 A(k )  0

k 0
よって、 A(k ) は、 k がゼロから増えるとき、
よって、 k  0 の定常状態は不安定である。
無限大から減少していって、ゼロに近づく。
生産関数が CES 型のときは、
  0 のときは、
1

   
,k  k  
x

1
1   
－ 141 －
ak
f (k ) 
(  (1   )k )
a

dk t 1
dk t
1


よって、 k  0 の定常状態は安定である。
1
(k    1   ) 
 1    0 のときは、(A-3-1)で
k t 1  k t  k として、次のように書きかえる。
a
f (k ) 
1
1
(  (1   ) k  ) 
dk t 1
dk t
 (1  )
ak

1
(k    1   ) 
0
k 0

k

1
1 
1
f (k )
1
2n
1
k

kf (k ) 1   (1  f (k )) 2
f (k )
 a (1   )
 a (1   )

分母の第 1 項にある
k  1
1 
1

(  (1   )k )
1 

k
(k
2
1
1)

収束する。分母の第 2 項は
2
f (k )
k
(1  f (k )) 2
1
だから、
kf ( k )
  a (1   )
k
1 

(  (1   ) k  ) 
 a  (1   )

1
( k    1   ) 

2
(  (1   )k  ) 
2
2
1
(  (1   )k  ) 
 1
1
2ak 1 
1
(k    1   ) 
1


2
2
(k    1   )  k 2 2 
2
dk t 1
の分母は、k  0 のとき、ゼロに収束
dk t k
2
する。ゆえに、
(1  f (k )) 2  1  2 f (k )  ( f (k )) 2
2 a
1
a 2 2

k  0 のとき、ゼロに収束する。よって、
2
(k    1   ) 
1
(k    1   )  k 2 2  をかけると、
k   2
1 
2a
1)  k
だから、分母と分子に
2
k
1 

(k    1   )  k 1 
k   1
1 

1
2
1
(k

1
f (k ) f (k )  a 2 (1   )
 1
a
1
  a (1   )
2
2
(k    1   )  k  1  0 だから、ゼロに
  2
1


1
は、 k  0 のとき
kf (k )
dk t 1
dk t
a 2 2
2
(  (1   )k  ) 
a 2 2 k  2 2 
2
(k    1   ) 
2

k 0
よって、 k  0 の定常状態は不安定である。
2
  0 のときは、 k  0 のとき、
－ 142 －
付録 5. 信用バブルの渦状点 (第 3 節)
信用バブルのとき、固有方程式(3-41)の解
の状態を調べる。
 ( )   2

 1

 
r (l * )b *  1 
w(l * ) 
1 

1  n
1

r (l * )b *  0
1 n
1
1
(b  a  1) 2  {4a  (b  a  1) 2 }
4
4
1
 a  {(b  a  1) 2  (b  a  1) 2 }
4
1
 a   4(b  a )  b
4
の形になる。もとの固有方程式にあてはめる
と、
(1  1 ) 2   22 
ここで
r (l * )  0, w(l * )  0, b *  0

1 
w(l * )
となり、本文の結果を得る。
固有方程式は、
x 2  ( a  1  b) x  a  0, a  0, b  0
付録 6. 3 世代モデルの定常状態への経路
の形をしているから、判別式は、
(第 4 節)
D  ( a  1  b ) 2  4a
 a 2  2(1  b)a  (1  b) 2
(4-20)を再掲する。
 {a  ( b  1) 2 }{a  ( b  1) 2 }
の形をしている。よって、虚根となるのは、
 lt11   lt1   a11

 
 l    l    a
 t 1   t   21
(4-20) 
( b  1) 2  a  ( b  1) 2
のときである。これをもとの固有方程式にあ
てはめると、
2


1



 *
 * *
 1   w (l )  1  1  n r (l )b





w(l * )  1
 
 1 

a12  lt1 


a 22  lt 
ここで、
a11   1 r (l * ) w(l * )   2 w(l * )  1
a12   1 (1  r (l * )) w(l * )  0
a 21  1, a 22  1
2
この行列を A 、固有値を  とすると、固有
方程式は、
のとき虚根となる。各辺に
 ( )  2  (a11  a 22 )  a11 a 22  a12 a 21
1 n
0
r (l * )
 2  (a11  1)  (a11  a12 )  0
この判別式は、
をかけて、本文の結果を得る。
次に、虚根を   1  i 2 とおいて、
2
1   を計算する。虚根は、
D  (1 a11)2  4(a11  a12)  (1 a11)2  4a12  0
ゆえに、固有値は実根 1   2 である。
1
1
 1 4a  (b  a  1) 2
(b  a  1) 
2
2
固有値 i に対応する固有ベクトルを
 xi1 
 2  とすると
x 
 i 
の形をしているから、 (1  1 )   2 は、
2
2
－ 143 －
次に、1   2 に対応する分枝について調べる。
定差方程式(4-17)の解は、
まず a11  0 のときは、
 lt1 
 x1 
 x1 

  c1  12 (1  1 ) t  c 2  22 (1   2 ) t
 l 
x 
x 
 1
 2
 t
12  (a11  a12 )  0
から、 2  0 である。よって、1   2  1 であ
り、これに対応する分枝は発散する。
の形となる。
2 次方程式  ( )  0 の根の公式から、

a11  0 のときは、
12  (a11  a12 )
から、 a11  a12  0 ならば、前に見たように
1  1 だから、 2  0 である。よって、
1   2  1 であり、これに対応する定差方程式
a11  1 1

(a11  1) 2  4a12
2
2
a12  0 だから、
a 1 a  1
1  11  11
,
2
2
a  1 a11  1

2  11
2
2
の分枝は発散する。
a11  a12  0 ならば、  2  0 となり、
0  1   2  1 となるから、これに対応する分
これから、
枝も収束する。
1  a11  1  2 または
1  1  a11  2
が分かる。これから、1  1 はマイナス、1   2
はプラスである。両者の関係は、
図 4-2-1,3,4 は、1  1 に対応する分枝が収
束する場合である。図 4-2-1,3 では、1   2 に
対応する分枝が発散し、定常状態は鞍点にな
る。図 4-2-4 では、 1   2 に対応する分枝も
収束し、定常状態は結節点になる。
(1  1 )(1   2 )  1  (1   2 )  1 2
これに対して図 4-2-2 は、1  1 に対応する
 1  (a11  1)  (a11  a12 )   a12  0
分枝は、 1  1 がマイナスで絶対値が 1 を超
となっている。上の不等式は、
えるので、定常状態に向かうが行き過ぎるた
1  1  1  a11  0  1   2
1  1  0  1  a11  1   2
め、発散する。 1   2 に対応する分枝も発散
または
するので、常に発散する。
とも書ける。
1  1 に対応する分枝については、
 1  1  1 ,2  1 ,  (2)  0
つまり、  ( 2)  2  a11  a12  0
付録 7. マクロの家計の金融資産プラスか
(第 4 節)
となっているとき、収束する。それ以外のと
(4-54)を再掲する。
きは発散する。
 a11

 1
 x1 
a12  xi1 
 2   i  i2 
 1  xi 
 xi 
 (  , r , T , T1 )
から、
T 1
 1
 1
T 1
r


T1 1
(ケース 1) 人口一定で、 n  0, r  1 のとき
xi1
 1  i
xi2
 (  ,1, T , T1 )
であるから、2  a11  a12  0 のとき、1  1 に
対応する解の分枝の傾きは、絶対値が 1 より
小さい。
T1
  r    (T1  1) r     (T1  1)
T 1
T1 (T1  1)
 (T1  1)    (T1  1)(T  1  T1 )
2
 1
T1 T 1
 (T1  1)(T  1      )
2  1

－ 144 －
 (1, r , T , T1 )
(ケース 1-1)さらに時間選好率ゼロで、
  0,   1 のとき
 (1,1, T , T1 )  (T1  1)(T  1 
T  1  T1
 (T1  1)
0
2
T1
T 1
 1
 1

  r    (T1  1) r 
T1 1 T (T  1)
)
 
2 T
2
T  1  T1
T

T
T1
r    (T


1
1
T 1
r


 (T1  1)
T 1


 1)
T1 1
r  (1 
T1 1

T
)0
よって、死ぬまで働く場合は、T  1  T1 であ
よって、人口一定、賃金率一定、ゼロ金利、
り、上の式はゼロ、つまり、 B ()  0 で、マ
死ぬまで働くならば、T  1  T1 で、上記の不
クロの家計の金融資産はゼロとなる。
等式は等号が成り立ち、 B ()  0 、つまり、
死ぬまで働くのではなく、若年期に貯蓄して
マクロの家計の金融資産はゼロとなる。
老年期に備える場合は、T  1  T1 で上の式は
プラス、つまり B ()  0 で、マクロの家計の
死ぬまで働くのではなく、T  1  T1 で、老
年期に備えて、若年期に貯蓄する場合には、
金融資産はプラスになる。
マクロの家計の金融資産はプラスになる。
  1, r  1 の場合
(ケース 3)
(ケース 1-2)
時間選好率がプラスで、
 (  , r , T , T1 )
  1 のとき
T 1




1

1
T 1
1 
T1
(1    ) 

1 

1
T
(T  1 
  r  (T1  1)
1  T
)
1 
 1
T 1
1
T1
  r 
 1
T 1
T1  1 T 1 
r   (T1  1)  r   0

T  1
 T1 1
1
T 1 1 T 1 1

 

T
T
1  1  T 
(ケース 3-2)
よって、  (1   ,1, T , T1 )  0
等比級数の和の公式を微分して、
T1
人口一定、時間選好率ゼロの
 r 
近傍の状況
 1
人口一定で n  0 のとき、   1 かつ時間選

好率   0,   1 の近傍ならば、
B ( )  0
T1 r T1  2  (T1  1)r T1 1  r
(1  r ) 2
r (1  T1 r T1 )
r 2 1  r T1 1
)
(
1 r
1 r
1 r
 (  , r , T , T1 )
人口一定を仮定したが、連続性から、人口増
加率 n が 0 に近ければ、上の分析が成り立つ。
選好率はゼロで、 r  1,   1 のとき
さらに一般の場合
よって、
が成り立つ。
人口増加率がゼロでないが、時間
 T1 1
 (1   , r , T , T1 )
 が 1 に近く、   1   と書けるときは、
(ケース 2)
1
  1   で  が小さい場合

前と同様に、 1     だから、
1
T1 T 1
T T 1
    T 1  1 

2  1
2 1  T 1 
(ケース 1-3)
T 1
r (1    )  (T  1)  r



(ケース 3-1)
だから、
T 1 
1
1  T
r (1  T1 r T1 )
r 2 1  r T1 1
)
(
1 r
1 r
1 r
T1  1 r (1  r T 1 ) r (1  r T 1  T 1 )
{
}


1 r
1  r
1  T

 (T1  1)r T1 1
1  r T 1T1
1 r
この式の符号を決めるのは難しい。しかし、
もともと(4-50)、(4-51)で   0 とおくと、
－ 145 －
 (0, r , T , T1 )  0
また上から、
 (1   , r , T , T1 )  0
よって連続性から、ある 0 
b(t  h)
b (t )
a (t  h)
a (t )
h 
 f ( x, t  h)dx   f ( x, t )dx
b (t  h )
  1 があって、
 (  , r , T , T1 )  0,     1
 ( f ( x, t  h)  f ( x, t ))dx

a (t  h)
b (t  h ) b (t )
つまり、あるプラスの時間選好率の範囲で、
B()  0 、すなわちマクロの家計の金融資産
はプラスになる。
(
b (t ) b (t )
   ) f ( x, t )dx  (    ) f ( x, t )dx
a (t  h) a (t  h)
a (t  h) a (t )
b (t  h )

f ( x, t )
hdx 
t
a (t  h)

b(t  h)
a (t  h )
b (t )
a (t )
 f ( x, t )dx   f ( x, t )dx  o(h)
b (t  h )
f ( x, t )
 
hdx
t
a (t  h)
付録 8. 微分方程式の前向き解・後ろ向き解
(第 5 節)
一般に、微分方程式

b ( t )  b ( t ) h
a ( t )  a( t ) h
b(t )
a (t )
 f ( x, t )dx   f ( x, t )dx  o(h)
よって、
dx
 f (t ) x  g (t )
dt
b (t )
lim h0
の解は、   t として、
x( ) を過去で表わすと、
h
f ( x, t )

dx
h a(t ) t
 f (b(t ), t )b(t )  f (a (t ), t )a (t )

x ( )  x (t ) exp(  f (a ) da )
t


b
t
t
t
 exp(  f ( a ) da )  g (b ) exp(   f ( a ) da ) db
付録 10. ラグランジュ乗数の一般的導き方
(第 2、3、4、5 節)
x(t ) を将来で表わすと、

b
t
t
x (t )    g (b ) exp(   f ( a ) da )db
E をベクトル空間、 f を E 上の線形汎関数、
 g1 ( x) 


g ( x)   ...  を E から R m の上への線形
 g ( x) 
 m 

 x ( ) exp(   f ( a ) da )
t
写像とする。 g ( x)  0 なら必ず f ( x)  0 とな
っているならば、実数 i (i  1,..., m) が存在し、
付録 9. 積分記号の中の微分 (第 5 節)
すべての x  E に対し、
b (t )
m
d
f ( x, t )dx  { f (b(t ), t )b (t )  f (a(t ), t )a (t )}
dt a(t )
f ( x )  g ( x )   i g i ( x )
i 1
 g1 ( x) 


...  m  ... 
 g ( x) 
 m 
b (t )

f ( x, t )
dx
t
a (t )

 1
を示す。
m
実際、g が R の上への写像であることから、
R m の標準基底 { y1 ,..., y m } に対し、 E の元
－ 146 －
付録 11. n 次元空間における条件付最大化
{x1 ,..., x m } が存在し、
g ( x j )  y j ( j  1,..., m)
(第 2、3、4 節)
g i ( x j )  y i , j   i , j (i  1,..., m)
n 次元空間を E  R n とし、
f , g i (i  1,..., m) を E 上で定義された微分可
能な実数値関数とし、 bi をパラメータとして、
となっている。ここで、
 i , j  0(i  j ),  1(i  j )
制約条件の集合
M  {x : g i ( x)  bi  0, i  1,..., m} の上で、目
任意の x  E は、
m
m
i 1
i 1
的関数 f ( x) の最大化を図る。 x  x 0 が、
x   g i ( x) xi ( x   g i ( x)xi )
max f ( x)
g i ( x)  bi  0(i  1,..., m)
と書け、右辺第 2 項は g をほどこすとゼロに
なる Ker g  g (0) に属する。右辺第 1 項は
の解であるとし、 x0  M における M の接超
E / Ker g に
平面を Tx0 とする。 x0 の近傍 x0  h で、
1
その補ベクトル空間で、商空間
同型なものに属する。 x に f をほどこすと、
仮定により、右辺第 2 項に f をほどこしたも
のはゼロになるので、
h  Tx0 に対し、微分の定義から、線形汎関数
f ( x0 ), g i ( x0 ) が存在し、
f ( x0  h)  f ( x0 )  f ( x0 )h  o( h )
m
f ( x)   f ( xi ) g i ( x)
gi ( x0  h)  gi ( x0 )  gi( x0 )h  o( h ),i  1,...,m
i 1
よって、 i  f ( xi )(i  1,..., m)
 g 1 ( x 0 ) 


ここで、 g ( x 0 )   ...  : E  R m
 g  (x )
 m 0 
とおけば、これがラグランジュ乗数になるこ
とが分かる。
m
もとの条件が、g i ( x)  0(i  1,..., m) なら必
は R の上への線形写像であるとし、このと
ず f ( x)  0 であるならば、この i  0 である。
実際、この条件のもとでも、 g ( x)  0 なら
き x0 は正常点であると言う。
超接平面 Tx0 は制約条件の集合 M と位相同
必ず f ( x)  0 となっている。もしそうでない
型であるから、g i ( x 0  h)  g i ( x 0 ), i  1,..., m
とすれば、ある x  E が存在して、
であり、最大値をとっているから、
g ( x)  0 かつ f ( x)    0
  0 に対し、 g ( x)  g ( x)  0 だから、仮
定により、 f ( x)  0 。ところが、
f ( x)  f ( x)    0 となり矛盾である。
f ( x 0  h)  f ( x 0 ) である。よって、
h  Tx0 に対し、g i ( x0 )h  0, i  1,..., m なら必
ず f ( x0 ) h  0 となっている。従って、付録
10 のように、ラグランジュ乗数 i , i  1,...,.m
が存在し、すべての h  Tx0 に対し、
よって、前の命題が適用出来、
m
m
f ( x )   i g i ( x )
f ( x0 )h   i g i ( x0 )h
i 1
i 1
x  x j ( j  1,..., m) において、すべての
i  1,..., m について g i ( x)  0 だから、仮定に
より、 f ( x j )   j  0 。
これは、ラグランジアンを
m
F ( x)  f ( x)   i ( g i ( x )  bi )
i 1
とおいたとき、 F ( x0 )h  0 を意味する。
パラメータ bi , i  1,..., m を bi  k i に動かす
場合は、 g i ( x, bi )  g i ( x)  bi とおき、最大値
－ 147 －
を与える x0  x0 (b) として、微分の定義の式
付録 12. 関数空間における条件付最大化
(第 5 節)
を書くと、
g i ( x0 (b  k )), bi  k i )  g i ( x0 (b), bi )
2 乗可積分な関数 x : [0, T ]  R の全体のつ
 g i , x ( x0 (b), bi ) x0 (b)k  g i,b ( x0 (b), bi )  o( k )
2
n
くる関数空間を E  L (0, T : R ) とし、
f , g i (i  1,..., m) を E 上で定義された、フレ
ッシェ微分可能な実数値汎関数とし、 bi を実
g i ( x 0 (b  k ))  (bi  k i )  ( g i ( x 0 (b))  bi )
 g i ( x 0 (b)) x 0 (b)k  k i  o( k )
数パラメータとして、制約条件の集合
制約条件の集合上で左辺はゼロ、右辺の微分
もゼロだから、
g i ( x0 (b)) x0 (b)k  k i , i  1,..., m
M  { x  E : g i ( x )  bi  0, i  1,..., m} の
上で、目的関数 f (x) の最大化を図る。本文で
一方、
f (x0 (b  k))  f (x0 (b))  f (x0 (b))x0 (b)k  o( k )
ラグランジュ乗数の式で h  x 0 (b)k にとれば、
扱うのは、 f ( x ) 

g ( x) 

m
f ( x 0 (b)) x 0 (b)k   i g i ( x 0 (b)) x0 (b)k
i 1
T
0
T
0
u ( x ( t )) dt
v ( x ( t )) dt
m
のような積分タイプであり、等周問題と言わ
i 1
れる。 x  x 0 が、この最大化問題
  i k i
max f ( x)
g i ( x)  bi  0(i  1,..., m)
これは、パラメータ bi が動いたとき、最大値
f ( x0 ) がどう動くかは、ラグランジアンを
の解であるとし、 x0  M における M の接超
m
F ( x, b)  f ( x)   i ( g i ( x )  bi )
i 1
と書き、 b で偏微分すればよいことを示す。
平面を Tx0 とする。
Tx0  {h  E : g ( x0 )h  0}
m
Fb ( x 0 , b) k   i k i
i 1
x0 の近傍 x0  h で、 h  Tx0 に対し、微分の
これは包絡線定理と呼ばれる。
線形汎関数として、   (1 ... m ) は、
定義から、線形汎関数
f ( x 0 ), g i ( x0 ) : E  R が存在し、
f ( x0 (b)) x0 (b)  
であるから、ラグランジュ乗数  は、制約条
件のパラメータが動いたときに目的関数がど
f (x0  h)  f (x0 )  f (x0 )h  o( h )
gi (x0  h)  gi (x0 )  gi(x0 )h  o( h ),i  1,...,m
g i ( x, b)  0 の形で入っている場合も、パラメ
 g 1 ( x 0 ) 


ここで、 g ( x 0 )   ...  : E  R m
 g  (x )
 m 0 
ータ変化による目的関数の最大値への影響は、
は R の上への線形写像であるとし、このと
ラグランジアンを偏微分したものになる。
き x0 は正常点であると言う。
れほど動くかを示している。
パラメータが目的関数、制約条件に f ( x, b) 、
m
Fb ( x, b) k  f b ( x, b) k    i g ib ( x, b)k
i 1
m
超接平面 Tx0 は制約条件の集合 M と位相同型
であるから、 g i ( x0  h)  g i ( x 0 ), i  1,..., m
であり、最大値をとっているから、
－ 148 －
f ( x0  h)  f ( x0 ) である。よって、
h  Tx0 に対し、g i ( x0 )h  0, i  1,..., m なら必
ず f ( x0 ) h  0 となっている。従って、付録
10 のように、ラグランジュ乗数 i , i  1,...,.m
が存在し、すべての h  Tx0 に対し、
付録 13. 連続時間の場合の横断条件の導出
(第 5 節)
生涯労働所得が収束するための条件(5-34)は、
lim T  
m
f ( x0 )h   i g i ( x0 )h

T
0

 ( t ) dt 

0
 ( t ) dt  
ここで、  (t )  0 であり、さらに一様連続で
i 1
これは、ラグランジアンを
あるとすると、横断条件
lim t   (t )  0
m
F ( x)  f ( x)   i ( g i ( x )  bi )
が出る。もしそうでないとすると、ある
i 1
とおいたとき、 F ( x0 )h  0 を意味する。
 0  0 と t1  t 2  ...  t n  ...   が存在し
パラメータ bi , i  1,..., m を bi  k i に動かす
て、
 (t n )  2 0 , n
場合は、 n 次元空間の場合とまったく同様に
他方、一様連続であることから、この  0 に対
して、
して、  0  0 が存在して、
m
f ( x 0 (b)) x 0 (b)k   i g i ( x 0 (b)) x0 (b)k
i 1
n , t  [t n 
m
  i k i
0
2
, tn 
0
2
] について、
 (t )   (t n )   0
i 1
これは、パラメータ bi が動いたとき、最大値
すなわち、
 (t )   (t n )   0   0
f ( x0 ) がどう動くかは、ラグランジアンを
m
よって、
i 1
n ,
F ( x, b)  f ( x)   i ( g i ( x )  bi )
と書き、 b で偏微分すればよいことを示す。

tn   0 / 2
tn  0 / 2
 ( t ) dt   0  0
ここで、必要ならば部分列をとって、区間
m
Fb ( x 0 , b) k   i k i
i 1
[t n 
これも包絡線定理と呼ぶ。
線形汎関数として、   (1 ... m ) は、
が区間
f ( x0 (b)) x0 (b)  
件のパラメータが動いたときに目的関数がど
れほど動くかを示している。
パラメータが目的関数、制約条件に f ( x, b) 、
g i ( x, b)  0 の形で入っている場合も、パラメ
t1 
tn 
0
2
0
2

ラグランジアンを偏微分したものになる。
i 1
0
2
], n  1,2,...
[0, [ の中で、重ならないようにす
 0 に選び、t n まで選んだとき、t n 1 は、
 t n 1 
0
2
となるように選べばよい。
このとき、
ータ変化による目的関数の最大値への影響は、
m
2
, tn 
ることが出来る。 n  1 については、
であるから、ラグランジュ乗数  は、制約条
Fb ( x, b) k  f b ( x, b) k    i ( g ib ( x, b)k
0

0
N
 (t ) dt   
n 1
t n  0 / 2
t n  0 / 2
 (t ) dt  N  0  0
N   のとき、右辺、従って左辺も無限大
に発散する。これは矛盾。よって、横断条件
が成り立つ。
－ 149 －
参考文献
Tirole, Jean,
On the Possibility of Speculation under Rational
1．論文
Expectations, Econometrica, 55(5) 1163-1181,
Balasko,Yves, Karl Shell,
1982.
The Overlapping-Generations Model, I: The
Tirole, Jean,
Case of Pure Exchange without Money, Journal
Asset Bubbles and Overlapping Generations,
Econometrica, 53(6) 1499-1528, 1985.
of Economic Theory, 23, 281-306, 1980. II: …
with Money, 24, 112-142, 1981. III:The Case
of Log-Linear Utility Functions, 24, 143-152,
2．単行本
1981.
Arrow, Kenneth J., F. H. Hahn,
Blanchard, Olivier J.,
Debt, Deficits, and Finite Horizons, Journal of
Political Economy, 93(2) 223-247, 1985.
1971.
Auerbach, Alan J., Laurence J. Kotlikoff,
Caballero, Ricardo J., Emmanuel Farhi, Mohamad L.
Dynamic fiscal policy, Cambridge University
Press, 1987.
Hammour,
General Competitive Analysis, Holden Day,
Speculative Growth: Hints from the U.S.
Balasko, Yves,
Economy, The American Economic Review,
General Equilibrium Theory of Value, Princeton
University Press, 2011.
96(4) 1159-1192, 2006.
Cass, David,
Blanchard, Olivier Jean, Stanley Fischer,
On Capital Overaccumulation in the
1989.
Aggregative, Neoclassical Model of Economic
Growth: A Complete Characterization, Journal
Bensoussan, Alain,
of Economic Theory, 4, 200-223, 1972.
National Debt in a Neoclassical Growth Model,
Bewley, Truman F.,
The American Economic Review, 55(5), 1126-
General Equilibrium, Overlapping Generations
Models, and Optimal Growth Theory, Harvard
1150, 1965.
University Press, 2007.
Farhi, Emmanuel, Jean Tirole,
Perturbation Methods in Optimal Control, John
Wiley & Sons, 1988.
Diamond, Peter A.,
Lectures on Macroeconomics, The MIT Press,
Bubbly Liquidity, Review of Economic Studies,
Léonard, Daniel, Ngo Van Long,
79(2) 678-706, 2012.
Optimal Control Theory and Static Optimization
Harrison, Michael, David M. Kreps,
in Economics, Cambridge University Press,
1992.
Speculative Investor Behavior in a Stock
Market with Heterogeneous Expectations,
Ljungqvist, Lars, Thomas J. Sargent,
Quarterly Journal of Economics, 92, 323-336,
Recursive Macroeconomic Theory, Second
Edition, The MIT Press, 2004.
1978.
Kotlikoff, L. J., Lawrence H. Summers,
Люстерник, Л. А., В. И. Соболев,
The Role of Intergenerational Transfers in
Элементы Функционального Анализа, Наука,
Aggregate Capital Accumulation, Journal of
1965. ( リュステルニク、ソボレフ『関数解
Political Economy, 89(4), 706-732, 1981.
析の基礎』、ナウカ )
－ 150 －
Sargent, Thomas J.,
Dynamic Macroeconomic Theory, Harvard
University Press, 1987.
Tvede, Mich,
Overlapping Generations Economies, Palgrave
Macmillan, 2010.
Wickens, Michael,
Macroeconomic Theory, A Dynamic General
Equilibrium Approach, Princeton University
Press, 2008.
Zeidler, Eberhard,
Nonlinear Functional Analysis and Its
Applications III, Variational Methods and
Optimization, Springer-Verlag, 1985.
－ 151 －

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