液晶ディスプレイにおける液晶分子配向の基礎研究

液晶ディスプレイにおける液晶分子配向の基礎研究
岡野光治
東京大学名誉教授
信州大学教育学部教授
1 . はじめに
波晶ディスプレイ ( L C D ) は
(TFT)技
現在 O A 機器などに広く用いられているが、薄膜トランジスタ
術と結合して2 1 世紀の高度情報化社会を支えるキーデバイスとして現在活発な研究
開発が行われている。
本研究の目的は L C D の
基礎研究の一環として、液品表示セル基板面の凹凸や配向束縛 ( アン
カリング) 特性の不連続変化にともなう液晶分子配向場のみだれを関数論の手法により解析する
ことである。
2 . 配向場の等角写像
関数論の適用を可能にするために本研究では次の場合を取扱う : 1 ) 液晶の配向場は座標 X , Y
のみの関数であって、 X Y 面に垂直な方向に関しては配向場は一様であるとする。2 ) フランクの
弾性定数 K l , K 2 , K 3 はいずれも等しい値 ( それを K とする) を持つものとする ( 一定数近似) 。
液晶分子の配向方向を表わす単位ベクトルを配向ベクトル ( d i r e c t o r ) という。本報告では配
向ベクトル n は X Y 面内の成分のみを持ち
五=(COSφ
,Sinφ
, 0)
(1)
のように表わされる場合について記述する。しかし、以下の解析は
五=(COSφ,0,Sinφ
)
の場合についてもそのまま成り立つ、いずれの場合にもφ ( X , Y ) は
n が X 軸となす角である。
一定数近似のもとでは平衡状態の配向角 φは与えられた境界条件のもとでラプラスの方程式 :
をみたす調和関数である
い) 。そこで、
９９
搾十
幹=0
複素座標 Z = x + i y を
導入し、 Z の任意の正則関数 O
を考えると、関数論の基本定理から①の実部、虚部ともに( 3 ) を
満足するが、以下においては虚部
が境界条件をみたすような正則関数を考える。すると、 O の虚部が配向場を与える。しかし、 Z
平面上で虚部が境界条件をみたす正則関数を直接求めることは必ずしも容易ではない。そこで、
Z の適当な正則関数 :
- 8 -
W=f(Z),W=u tt iV
(4)
によりw 平面に写像する。 w 平面で虚部が境界条件をみたす正則関数〇 ( w ) が見つかったとす
ると、独立変数を Z へもとし
区υ
円
﹁
脚
破卵Ｈ
Ｋ
２
上
〓
Ｆ
申
舜
コＬ
前日
る
あ
で
角
向
の、
能﹂
′
状
衡て
甲榊 ∽
このとき、
︲く
ばヤ十
悔日
円
曝時術
部向
虚配
とすれば、
陥
げ
的敵
、
Ｌ
そ
数
関報
中
Φ(f(Z))=?十 iφ
により計算される
3.アンカリング特性の不連続線と配向場
平坦な基板面を持つ厚さ dの液晶セルを考える。上ドの基板面をそれぞれ Z平面上の直線
y=d、
および y=0(x軸
)に対応させる。この場合
，ど
π 一ｄ
Ｘ
ｅ
ｐ
〓
Ｗ
による写像が便利であるc ( 7 ) 式は Z 平面卜
1 の波晶領域 0 二 y t t d を
w 平面の上半分 ( v 二 0 ) に
写像する。その際、下の基板に対応する x 軸は u 軸の右半分 ( u > 0 ) に
応する直線 y = d は
において、 l x l ( a で
、また、上の基板に対
上下の基板面
写像される。以下、具体例として「
u 軸のた半分 ( u ( 0 ) に
φ = ― J の場合を取扱ってみよう。
2
φ二 0 、 l x l > a で
一
ｔ
ｐ
ｘ
ｅ
＜
珊唯︲
ｕ
瑚
で
ｌ
ａ
ｕ
ｌ
ｄ
軸
一
＜れザ π
ど坤ギ北
w 平面における境界条件は、 u 軸上の条件 !
φ=0,
(8)
で φ
- 9
=0
となる。虚部がこの条件をみたすw の正則関数は本易にみつかり、( 7 ) 式
を用いて Z 平面にもどす
と
一号
Φ
崎
bg mnh発
i a)+春
(Z a)十
(Z tt
g mnh発
号
をうる。これにより配向角は
一２
一
獅
１
〓
π 一２
〓
Φ
ｍ
φ
・
1謡 1柳1謡￨
となる。ただし、 tan lは 0と πの間の分枝をとる。計算された配向場を図 1に示す。
z一 PLANE
図 1
1
図から明らかなように、基板面におけるアンカリングの不連続線は指数土
一の表面転傾 ( s u r f a c e
2
d i s c l i n a t i o n ) になっている。なお、同じ境界条件をみたす図 2 のような配向場も存在する。
︱
︱
︱
協粉榊冊︱
しかし、弾性エネルギーを計算すると、この場合のエネルギーは図 1 の配向場合のそれより高く
実際に発現する配向場は図 1 のそれである. このことは、図 2 の場、符号の等しい表面転傾が隣
合っていることからも物理的に明かである,
.Schwarz Christoffel変
換の応用
-2)をい
Z 平面上の多角形領域を w 平面上の上半分に写像するS c h w a r z Christoffel変
換
用ると
基板上の凹凸や角の存在にともなう配向場のみだれを解析することができる。その例を以下に示
す.
( 4 1 ) 基板上に厚さが無視できる高さ 2 の突起がある場合 ( 図 3
a )
y
z一 plane
iフ
め丁
て_ _ 上下争
め =0
図3 a
l のにより
図 3 a の領域をw 平面の上半分に写像する正則関数はS c h w a r z C h r i s t o f f e方法
z = Vセw 2 - l
QD
と求まる。図 3 a に示された Z 平面上の境界条件は、w 平面では図 3 b に示すような u 軸上の条
w一 plane
φ= 0
φ
=争
-1
0
=-2
φ
=0
1
図 3 b
件に写像される。これをみたす正則関数は
=→
Φ
W→北即→bぷ
bぷ
W一
-
1 1
(19
とみつかり、写像関数 t 〕式を用いると、
一２
ＣＤ
Ｏ
十
Ｚ一ゼ
ｌ
Ｚ一″と
一
０わ
０
Φ( Z ) =
+11
となる。これより配向角は
φ= m Φ = t a l l 」十 m 辞逆二十辞
幸告
:予号
」
::ヒ
(lD
指数 - 1 の転傾が、また点 ( 0 ,
となる。これは、無限にひろがった液品中の原点 ( 0 , 0 ) に
1
ゼ) および ( 0 , 一〃) にそれぞれ指数十一の転傾が存在する場合の配向場と同じであることを
2
示している。計算された配向場を図 4 に示す。なお、物理的に同じ境界条件に対して、図 5 のよ
ー
うな配向場もまた可能である。しかも、この場合の歪みの弾性エネルギは図 4 の場合と同じで
ある。
図 5
図 4
w一 plane
L _ φ = 0
争
= 0 φ
ハ
ゅ
ハ"
子
ψ= チ
「
ゆ= 0
―a
O
図6 b
図6 a
-12
a
=
0
、
( 4 2 ) セルの角による配向場のみだれ
図 6 a の半無限の長方形領域をw 平面の上半分に写像する関数はS c h w a r z C h r i s t O f f e方法
lの
により
w=acoshttz
aは正の実教
d
と求まる。一方、 w 平面上の境界条件 ( 図 6 b )
をみたす正則関数は
=→
Φ
〕
噸W十
如 wo
とみつかり、写像関数t D 式を用いて Z 平面にもどすと
Φ
(Z)=崎
gttnhttz
(lD
となる。配向角は
hO tallll捨
体
￨
(181
となる。ここでもt a n l は0 と πの間の分枝をとる。計算された配向場を図 7 に示す。この場合
にも、物理的に同等な境界条件に対して異なる配向場、図 8 、図 9 が存在する③ しかし、図 8 、
図 9 の配向場の歪の弾性エネルギーは無限大で、これらの配向場が実現することはない。
図 7
-13-
図 8
図9
5。おわりに
ここに定式化した液品の配向場の解析への関数論の応用は、正則関数 ①の虚部 φのみが (配向
角という)物理的な意味を持ち、実部 ψは物理的な対応物を持たないという点で、流体力学や電
によって、その領域の境界がエネル
磁気学への応用ほど直接的ではない。しかし、実部砂は(6)式
ギーの計算に必要であるという点で、間接的ではあるが物理的に重要な役割をはたしている。配
向場を数値計算法によって直接計算することも可能であるが、本研究の方法は、それが適用可能
な場合には物理的な見通しを与える点ですぐれていると思う。
最後に、多大なご支援をいただいたu〕高柳記念電子科学技術振興財団および財団の関係者の皆
様に厚く御礼申し上げます。
参考文献
iquid Crystals, Oxford Univ. Press, 1974.
〔1〕 P.G.de CennesiThe Physics of I′
〔2〕 R.V.Churchill, J.W.Brown and R.F.VerheyiComplex Variables and Applications, 3rd
Hlll lnc., 1974.
Ed., McCraw―
i t !

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