物理学概論 (15 年度) 期末レポート問題
（提出：7 月 16 日の授業時）
1. 速度と加速度に関する以下の小問に答えなさい。
(1) 加速度が a(t) = 12t − 8 で与えられる x 軸上の質点の運動を考える。この時、速度 v(t) およ
び座標 x(t) を求めなさい。ただし、初期条件として v(0) = 2, x(0) = 0 とする。
(2) (1) の運動において、物体が瞬間的に静止する時刻を求めなさい。
(3) (1) の運動で時刻 t = 0 から t = 1 までに質点の運動した距離（実際に動いた距離）を求めな
さい。(ヒント： 仮に最初と最後で位置座標が同じでも、この間に質点は運動して元に戻った
という事もあり得る。）
2. x − y 平面 (z = 0) の上で、原点を中心とし半径 r の円周上を一定の角速度 ω で回転する「等
速円運動」を考える。平面上なので円運動をしている質点 (質量を m とする) の位置ベクトルを 2
次元のベクトルで表すと、
~r = (x, y) = (r cos(ωt), r sin(ωt)) と表される。この時、以下の小問に答えなさい。
(1) 質点の加速度ベクトルを求め、その方向を述べなさい。また、加速度の大きさを求め、r, ω を
用いて表しなさい。
(2) 等速円運動においては、質点に働く力は質点に対して仕事をしないことを説明しなさい。
(3) 質点と一緒に円運動する質量の無視できる蟻（あり）がいるとする。この蟻から見ると質点に
は慣性力である遠心力が働いているように見える。この遠心力の方向と大きさを求めなさい。
大きさは m, r, ω を用いて表しなさい。
(4) 質量 m の質点が、水平で滑らかな x − y 平面上で、原点に一端が固定されたばね (ばね定数
k 、自然長 l0 ) の他端に結ばれて等速円運動をしているものとする。遠心力によりばねは伸びて
長さが l (l > l0 ) になっているとする。この時の円運動の角速度 ω を m, k, l0 , l を用いて求
めなさい。
3. 慣性力に関する以下の小問に答えなさい。ただし重力加速度を g とする。
(1) エレベーターが一定の加速度で鉛直方向に運動しているとする。この時、エレベーター内のは
かりに物を乗せたところ、はかりの目盛が 3 kg を指した。ただし、エレベーターが静止してい
た時に測った時の目盛は 2 kg であったとする。この時のエレベーターの加速度の向きはどちら
か、述べなさい。またエレベーターの加速度の大きさを g （重力加速度）を用いて表しなさい。
(2) 一定の加速度で水平な直線上を走っている電車がある。この時、電車内のつり革は、鉛直下向
きから 45 度の角度だけ傾いた。電車の加速度の大きさを求め、g （重力加速度）を用いて表し
なさい。
(3) (2) の電車内に、天井に一端が固定された軽い糸の先におもりが取り付けられた振り子がある
とする。この振り子が、つり合いの位置の周りで微小振動している。その周期を求めなさい。
ただし、振り子の (糸の) 長さを l、おもりの質量を m とし、重力加速度を g とする。
4. 水平で滑らかな床の上に置かれた、一端が固定されたバネ定数 k のバネの他端に取り付けられ
た質量 m の物体の単振動に関する以下の小問に答えなさい。
(1) ばねが自然長の時の物体の位置を原点とし、運動方向に沿って x 軸をとる。この時、位置座
標 x における物体の持つ（ばねから受ける力による）位置エネルギー (基準点は原点) が 12 kx2
で与えられる事を説明しなさい。
(2) 単振動する物体の位置座標が x = A sin(ωt) (A : 振幅) の様に与えられるとする。この時 ω を
k と m を用いて表しなさい。
(3) (2) の様に単振動する物体が時刻 t において持つ位置エネルギーと運動エネルギーをそれぞれ
求めなさい。また、その結果を用いて、力学的エネルギーの保存則が確かに成り立っている事
を示しなさい。
(4) ばねに取り付けられた物体が原点（自然長の位置）で静止しているとする。この物体をハン
マーでたたき初速 v0 を与えたところ、ばねは伸び、その伸びが最大になった所で物体は瞬間
的に静止した。この時、エネルギー保存則を用いて、ばねの伸びの最大値を求め、v0 , m, k を
用いて表しなさい。
5. 波に関する以下の小問に答えなさい。 (1) 波の変位 y が、波長 λ および振動数 f を用いて
y = A sin{2π(
x
− f t)}
λ
の様に表されるとする（正弦波）。波の基本式を用いて、この式を波長 λ と波の速さ v を用い
て書き直しなさい。
(2) 講義で採り上げたヤングの実験において、複スリットからスクリーンまでの距離が L、複ス
リットの二つのスリット間の間隔が d の時、スクリーン上の隣り合う明線の間の間隔が ∆ で
あった。この時、光源の光の波長を L, d, ∆ を用いて表しなさい。
6. 音波のドップラー効果とうなりに関して考える。振動数 f0 のサイレンを乗せた船が us の速さ
で大きい建物に向かって進んでいて、船の進む方向と反対方向の岸に観測者 O がいるとする。以
下の問に答えなさい。ただし音速を v とする。
(1) 船から観測者 O に直接届くサイレンの音の振動数を求めなさい。
(2) 建物により反射されて観測者 O に届くサイレンの音の振動数を求めなさい。
(3) 観測者 O が (1) の直接音と (2) の反射音を同時に受ける時に聞くうなりの振動数を求めなさい。
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