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フィードバック制御
2014年度後学期
担当教員: 藤田政之教授 (S5-303B)
第13回講義
１月29日（木） 9:45～12:15, S515講義室
第 8 章：フィードバック制御系の設計法
8.3 位相進みー遅れ補償による制御系設計（pp.156～166）
キーワード：位相進みー遅れ補償
第 9 章：2 自由度制御系
9.1 フィードフォワードとフィードバックの役割（pp.168～170）
キーワード：フィードフォワード，フィードバック
9.2 2 自由度制御系の構造と設計法（pp.P171～175）
キーワード： 2 自由度制御
学習目標：ループ整形の考え方を用いて，位相進みー遅れ補償に
よる制御系設計を習得する．フィードフォワードとフィード
バックのそれぞれの役割を理解し，これら 2 つの長所を
併せ持つ 2 自由度制御系の構造と設計を理解する． 2
位相進みｰ遅れ補償
 T1 s + 1  α 2 (T2 s + 1) 
 

K ( s ) = K 
α 1T1 s + 1  α 2T2 s + 1 
位相進み
(α1 < 1, α 2 > 1)
位相遅れゲイン20 log | K ( jω ) | [dB]
［注］多段にしても良い
定常特性・過渡特性の改善
+ 20 log α 2 [dB]
1
1
位相進み： < ω <
T1
α1T1
［注］位相遅れ, 高周波ゲイン
20 log(α 2 K )
20 log( K / α1 )
20 log K
位相
− 20dB / dec
+ 20dB / dec
1 /(α 2T2 ) 1 / T2 1 / T1 1 /(α1T1 )
∠K ( jω )
90
0
− 90
ω [rad / s]
図 8.16 位相進みｰ遅れ補償
のボード線図
3
ゲイン
[dB]
ω gc ω gc
0
位相
[ ]
− 180
PM
ω [rad / s ]
4
位相進みｰ遅れ補償とPID補償
位相進みｰ遅れ補償
過去
(α1 < 1, α 2 > 1)
現在
偏差
T1s + 1 α 2 (T2 s + 1)
K (s) = K
α1T1s + 1 α 2T2 s + 1
+ 20 log α [dB] , + φmax [°]
ゲイン
K (0) = α 2 K , K (∞) = K / α1
20 log | K ( jω ) | [dB]
α1 → 0, α 2 → ∞

1 

K ( s ) = K (T1s + 1)1 +
T2 s 
PD 
位相
PID補償
時間
− 20dB / dec + 20dB / dec
1 /(α 2T2 ) 1 / T2 1 / T1 1 /(α1T1 )
∠K ( jω )
PI
1
K (T1 + T2 ) 
TT
1 +
=
+ 1 2
T2
 (T1 + T2 ) s T1 + T2
20 log(α 2 K )
20 log( K / α1 )
20 log K
未来

s 



1
K PID ( s ) = K P 1 +
+ TD s 

 TI s
90
0
− 90
ω [rad / s]
5
［例 8.5 ］
位相遅れ（ PI 補償）
K PI (s ) = 100 s + 0.1
s
L1 = PK PI
低周波ゲイン：大
位相余裕 PM= －3.37deg
0.1rad/s
ζ = 0.2
HDD
ゲイン［dB］
2
ω
n
2次系の
一般形 s 2 + 2ζω n s + ωn2
ωn =
100
50
0
− 50
− 100
P
0
 − 90
L1
− 180
− 270
− 360
10 −2
位相［］
制御対象のモデル
0.01
P (s ) = 2
s + 0.04 s + 0.01
L1
P
10 −1
100
ω [rad / s]
101
10 2
6
K L (s ) =
14.3( s + 0.53)
s + 7.52
K = 1,
α = 0.07,
T = 1. 9
位相進み－遅れ補償
1430( s + 0.1)( s + 0.53)
K LL (s ) =
s ( s + 7.52)
L2 = PK LL
ゲイン［dB］
位相進み
− 50
− 100
ゲイン［dB］
3.0rad/s
ω [rad / s]
傾き：緩
L2
P
L1
0
 − 90 L
− 180 1
− 270
− 360
10 −2
位相余裕 PM= 58.5deg
1.92rad/s
ゲイン交差周波数：
2dB(=1.26) 1.7dB(=1.21)
1.2rad/s
100
50
0
位相［］
［例 8.5 ］
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
P
10 −1
2
L2
100
101
4 t ［s］6
8
ω [rad / s]
10 2
10 7
ゲイン
[dB]
ω gc
0
位相
[ ]
− 180
PM
ω [rad / s ]
8
ロール・オフフィルタ
143000( s + 0.1)( s + 0.53)
100
=
K (s ) = K LL (s ) × 2
s ( s + 7.52)( s 2 + 10 s + 100)
s + 10 s + 100
ωn2
2次系の一般形 2
s + 2ζω n s + ωn2
ωn 以上の周波数帯の
ゲイン［dB］
0
-40[dB/dec]
0
− 90
− 180 −1
10
100
50
0
− 50
− 100
L = PK
L
100
ωn101
10 2
ω [rad / s]
L2
P
0
 − 90 L
1
− 180
− 270
− 360 −2
103
10
L1
P
L2
位相［］
位相［°］
ゲイン[dB］
ゲインを下げる.
ωn = 10 ζ = 0.5
L
10 −1
100
ω [rad / s]
101
10 2
9
ノッチフィルタ
特定の周波数のゲインを下げる（上げる）フィルタ
s 2 + 2 ⋅ 0.03 ⋅15s + 152
K n (s) = 2
s + 2 ⋅ 0.1 ⋅15s + 152
(ζ 1 = 0.03)
(ζ 2 = 0.1)
40
| Gnom ( s ) |
20
| G (s) |
ω = 15
100
0
ゲイン［dB］
− 20
50
s 2 + 2 ⋅ 0.03 ⋅15s + 152
0
− 50
ω = ω3
− 40
10 −2
(ζ 1 = 0.03)
K n (s )
15 rad/sのゲイン
だけ小さくする.
ω = ω1
ω = ω2
10
−1
10
0
ω = ω4
101
10 2
(ζ 2 = 0.1)
1
s 2 + 2 ⋅ 0.1 ⋅15s + 152
− 100
10 −1
100
101
ω [rad / s]
10 2
103
10
9. 2自由度制御系
9.1 フィードフォワードとフィードバックの役割
r +
d
e
−
K (s )
u
+
+
P(s )
y
図 9.1 フィードバック制御系
フィードバックの利点
a. 外乱の影響を抑制
b. 特性変動の影響を低減
c. 不安定系を安定化
d. 目標値応答の整形？
11
［例 9.1 ］
+
e
−
K (s )
u
+
+
P(s )
図 9.1 フィードバック制御系
制御対象
P( s) =
1
s −1
0.5
0
− 0.5
（不安定系）
0
1
1.5
2
t
3
4
5
出力
1
コントローラ
y (t )
4s + 6
K (s) =
（PI補償）
s
a：外乱の影響を抑制
ステップ外乱入力
1
d (t )
r
1.5
0.5
0
OK
− 0.5
0
t 3 4
図 9.2 （a）ステップ外乱応答
1
2
5
12
r
+
e
−
K (s )
P → P~ ( s ) =
d
u
+
+
y
K (s ) は r を情報として使わず
e=r−y
制御対象
コントローラ
4s + 6
K (s) =
s
20
( s − 1)( s + 20)
オーバーシュート大
図 9.1 フィードバック制御系
1
P( s) =
s −1
変動
P(s )
（不安定系）
のみ用いている!!
1 .5
1
（PI補償）
b. 特性変動の影響を低減 OK
c. 不安定系を安定化 OK
y (t )
［例 9.1 ］
0.5
変動前
0
変動後
− 0.5
0
1
2
t
3
4
5
図 9.2 （b）目標値応答 (r = 1) 13
フィードフォワードの利点
GM ( s )
P( s)
r
GM (s ) ：望ましい目標値応答を
u
y
P (s )
有するモデル伝達関数図 9.3 フィードフォワード制御系
GM ( s )
例： GM (s )
u (s) =
r ( s ) : r のみ用いる
P( s)
1
y (t )
∴ y ( s ) = GM ( s ) r ( s )
d：目標値応答の整形 OK
a. 外乱の影響を抑制
b. 特性変動の影響を低減
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
T = 0.2
1
r
NG
C (s )
2
u
t
3
P (s )
5
4
y
c. 不安定系を安定化
2 自由度制御系へ
図 9.4 2自由度制御系（一般系）
14
9.2 2 自由度制御系の構造と設計法
y ( s ) = P ( s )u ( s )
r
C (s )
u
P(s )
y
フィードフォワード制御
F (s)
u ff ( s ) =
r (s)
P( s)
図 9.4 2自由度制御系（一般系）
F (s ) ：設計パラメータ
（望ましい目標値応答 r → y ）
u = u ff
とすれば
F
y = P ⋅ r = Fr
P
15
フィードバック制御
u fb ( s ) = K ( s )( F ( s )r ( s ) − y ( s ))
r
以上より
u ( s ) = u ff ( s ) + u fb ( s )
F (s)
P( s)
u ff
+
u fb
とおく
u
y
P (s )
+
K (s )
F (s)
u ff ( s ) =
r (s)
P( s)
F (s )
−
+
図 9.5条件付きフィードバック構造
F (s)
P( s)
r
F (s )
+
−
K (s )
+
+
u
y
P (s )
16
モデル化誤差がない場合
y = Fr より
u fb = K ( Fr − Fr ) = 0
∴ G yr ( s ) = F ( s )
u ( s ) = u ff ( s ) + u fb ( s )
u fb ( s ) = K ( s )( F ( s )r ( s ) − y ( s ))
F (s)
u ff ( s ) =
r (s)
P( s)
モデル化誤差がある場合
y ≠ Fr より
フィードバック K の効果
r
F (s)
P( s)
･ F (s ) ：目標値応答を指定
u ff u
+
u fb +
y
P (s )
K (s )
･ K (s )：フィードバック特性を指定
F (s )
･互いに独立
条件付きフィードバック構造
+
−
図 9.5 条件付きフィードバック構造
17
制御対象
1
P( s) =
s −1
1
~
P (s) =
20
( s − 1)( s + 20)
y (t )
［例 9.2 ］
1.5
0.5
変動前
変動
0
変動後
フィードバックコントローラ
4s + 6
K (s) =
s
− 0.5
フィードフォワードコントローラ
1
(τ = 0.3)
F (s) =
τs + 1
［例 9.1 ］と比べてみると,
a ~ c OK & d OK
ステップ応答の速応性を
3倍にするには？
y (t )
0
5
2 t 3
4
1
図 9.2 （b）目標値応答 ( r = 1)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
τ = 0.1
変動前
変動後
0
1
2
t
3
4
図 9.6 2自由度制御系の
目標値応答例
5
18
2自由度制御系の安定条件
（I） F (s ) が安定, P −1 ( s ) F ( s ) が安定 (プロパー)
（II） P (s ) と K (s ) からなる閉ループ系が安定
r
F (s)
P( s)
+
u
+
P (s )
y
K (s )
F (s )
+
−
19
2 自由度制御系の設計手順
［ステップ1］目標値応答の観点から, F (s ) を安定条件の
範囲内で選ぶ.
［ステップ2］フィードバック特性の観点から, ループ整形法等
を用い, K (s ) を内部安定性を満たす範囲で設計する.
［ステップ3］上記の F ( s ), K ( s ) を, 図 9.5 のように
組み合わせる.
r
F (s)
P( s)
+
u
+
P (s )
y
K (s )
F (s )
+
−
20
第 8 章：フィードバック制御系の設計法
8.3 位相進みー遅れ補償による制御系設計（pp. 156～166）
キーワード：位相進みー遅れ補償
第 9 章：2 自由度制御系
9.1 フィードフォワードとフィードバックの役割（pp. 168～170）
キーワード：フィードフォワード，フィードバック
9.2 2 自由度制御系の構造と設計法（pp. 171～175）
キーワード： 2 自由度制御
学習目標：ループ整形の考え方を用いて，位相進みー遅れ補償に
よる制御系設計を習得する．フィードフォワードとフィード
バックのそれぞれの役割を理解し，これら 2 つの長所を
併せ持つ 2 自由度制御系の構造と設計を理解する． 21
フィードバック制御のまとめ（学習目標）
第 1 章：序論
1.1 制御とは
1.2 制御系の標準的構成と制御目的
1.3 フィードバック制御の利点と課題
学習目標：フィードバック制御の利点を理解する．
第 2 章：ダイナミカルシステムの表現
動的システム基礎
2.1 ダイナミカルシステム
2.2 伝達関数表現
2.3 ブロック線図
学習目標：ダイナミカルシステムの伝達関数表現を理解する．
第 3 章：ダイナミカルシステムの過渡応答と安定性
3.1 インパルス応答とステップ応答
3.2 1次系の応答
3.3 2次系の応答
3.4 極・零点と過渡応答
3.5 ダイナミカルシステムの安定性
学習目標：システムの過渡応答特性を理解し，極の位置との関係
を把握する．また，システムの安定性の概念を理解し， 22
ラウス＝フルビッツの安定判別法を習得する．
第 4 章：フィードバック制御系の特性
4.1 感度特性
4.2 定常特性
4.3 根軌跡
学習目標：フィードバック制御系の感度特性・定常特性を理解する．
第 5 章：周波数応答
5.1 周波数応答と伝達関数
5.2 ベクトル軌跡
5.3 ボード線図
5.4 ボード線図性質
学習目標：システムの周波数応答を理解し，ベクトル軌跡
・ボード線図による表示を習得する．
第 6 章：フィードバック制御系の安定性
6.1 フィードバック系の内部安定性
6.2 ナイキストの安定判別法
6.3 ゲイン余裕，位相余裕
学習目標：フィードバック系の内部安定性を理解し，
ナイキストの安定判別法を習得する．
さらに安定余裕について理解すること．
23
第 7 章：フィードバック制御系のロバスト性解析
7.1 不確かさとロバスト性
7.2 ロバスト安定性
7.3 制御性能のロバスト性
学習目標：モデルの不確かさとフィードバック制御系のロバスト性
について理解する．
第 8 章：フィードバック制御系の設計法
8.1 設計手順と性能評価
8.2 PID補償による制御系設計
8.3 位相進みー遅れ補償による制御系設計
学習目標：ループ整形の考え方を理解し，フィードバック制御系の
設計法を習得する．
第 9 章： 2自由度制御系
9.1 フィードフォワードとフィードバックの役割
9.2 2自由度制御系の構造と設計法
9.3 安定化制御器のパラメータ表現
今回は省いた
9.4 H∞制御による自由パラメータの選択
学習目標： 2自由度制御系の構成について理解する．
24
講義の目的
「制御」に関する体系的な学問である制御理論の基礎について，
まず最も重要な概念である「フィードバック」の本質的利点の理解
に重点を置きながら学習する．特にシステムの伝達関数表現に基
づきながら，古典制御の枠組で扱われてきたフィードバック制御系
の解析と設計に関する内容を学習する．さらに，制御系のロバスト
性解析について学び，ループ整形によるフィードバック制御系の設
計法や2自由度制御系の構成について学習する．
25

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