曲面結び目のカンドルコサイクル不変量の多重化公式成瀬透∗ 京都大学数理解析研究所修士 2 年, 2015 年 2 月曲面結び目とは連結閉曲面の 4 次元ユークリッド空間への滑らかな埋め込みの像のことをいう．曲面結び目の古典的な不変量として，1 次元結び目と同様補空間の基本群やアレキサンダー多項式， n 彩色数やその一般化であるカンドル彩色数が定義される．ここでカンドルとは，1 次元結び目ダイアグラムのライデマイスター移動に対応する 3 つの公理をもつ代数である．1990 年代に，カンドル彩色数の改良版である (1 次元結び目や) 曲面結び目のカンドルコサイクル不変量が定義された ([1, 2])．特に曲面結び目理論には三重点数の評価を与えるなど様々な応用をもたらしている．1 次元結び目に対しては，不変量が定められたときその不変量の多重化公式が発見されることがある．1 次元結び目の不変量の多重化公式とは，1 次元枠つき結び目を枠に沿って多重化することで得られる 1 次元絡み目をもとの 1 次元枠つき結び目の不変量で記述したものである．不変量の多重化公式を示すことの利点の一つに，多重化公式から別の不変量を発見することを期待できるということがある．例えば 1 次元結び目の不変量であるジョーンズ多項式の多重化公式からは，色つきジョーンズ多項式という別の不変量を得ることに成功している．1 次元結び目の不変量についてはこのような多重化公式に関する研究が盛んにされているものの，曲面結び目の不変量にはそういった多重化公式は知られていなかった．本講演では，枠つき曲面結び目 F の枠に沿って n 重化して得られる曲面絡み目 F (n) のカンドルコサイクル不変量を，F のラックコサイクル不変量で記述できること（カンドルコサイクル不変量の多重化公式）について概説する．この定理のポイントは，F (n) の有限カンドル X を用いたカンドルコサイクル不変量が，（n に依らず）X のみから定まる有限種類のラックのラックコサイクル不変量でかけることである．特に有限カンドル X として，位数が奇素数 p の二面体カンドルや四面体カンドルの場合に関して得られた結果についても合わせて紹介する．参考文献 [1] J.S.Carter, D.Jelsovsky, S.Kamada, L.Langford, M.Saito, State-sum invariants of knotted curves and surfaces from quandle cohomology, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 5 (1999) 146–156 [2] J.S.Carter, D.Jelsovsky, S.Kamada, L.Langford, M.Saito, Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3947–3989 ∗ [email protected]