●境界条件がわかって始めて解ける（お）：しゃぼん膜は何で決まる？（お）：針金の枠！（お）：えーと、しゃぼん膜の計算にはなにが必要だった？（お）：境界条件？（お）：そう、それは具体的には？（お）：針金の枠の高さ。（お）：僕たちの計算ではそのデータはいくつだった？（お）：一辺に３点Ｘ４で１２、それに後の４点（お）：そうだったよね、それでね、しゃぼん膜のほうは、分割数をどんどんだんだん増やしていって連続にしたよね。そのときに成り立っている式はラプラス方程式だった。じゃあ境界条件はどうだろうか。（お）：分割数をどんどんだんだん増やしていくと、境界条件はどうなる？（お）：やっぱり、なえらかになっていくんじゃないの？（お）：そうだよね、境界条件のほうも最後にはグラフになってしまうんだ。（お）：つまりね、まるいＤの式を解く境界条件（とびとびの点） → しゃぼん膜の式境界条件（連続なグラフ） → ラプラス方程式（お）：最後の記号的に式を解くのは、なんどもいっているように僕たちには難しい。そのかわりにちょっとしたパズルをやって、まるいＤの式を解くことと境界条件との関係を勉強しよう。（お）：それじゃあ、さっそく境界条件の勉強をしよう。それでね、シャボン膜でもいいんだけれど、ラプラス方程式の答えのグラフをたくさん集めたからみてね。じゃあ、具体的に境界条件左側に境界での値、つまり境界条件を並べてみた。それぞれの境界条件を満足する、ラプラス方程式を解くんだけれど、それはどこかの誰かが一生懸命計算したとしよう。その結果のグラフが右側のページに並べたグラフだ。でも、順番がバラバラになっています。どのグラフがどの境界条件のときの答えですか？境界条件と、その答えのグラフを見つけてください。（ま）：組み合わせを見つければいいのね。えーと、ぱっとわかるのは、⑤と I。（お）：はい、正解。次は？（た）：こんなの簡単じゃん。⑨と F でしょ、あと、⑦と A。それに、⑧と E。（ま）：アタシにも残しておいてよ∼。えーと、⑥と G。そして④と C。あと残っているのは．．．（た）：③と D。あのー、①と②って同じじゃないの？（お）：グラフの形は同じといえば同じだけど、グラフの高さが違うだろ。（た）：確かに、①の方が高いけど。そうかそれで見つければいいのか。じゃあ、①と H、それで最後は、②と B。（お）：はい、よく出来ました。（お）：どお？まるい D の式だけでは計算できない、境界条件が必要だ、っていうのはわかる？ ●デコボコなしヨの法則（お）：えーと、実はね、この右側のグラフ、この中に一つだけラプラス方程式の答えじゃないグラフがあるんだ。（ま）：えー、さっき、自分で全部ラプラス方程式の答えです、って言ったじゃない！（お）：いやーごめんごめん。まあ、ネタフリ、ってことで勘弁して。（ま）：も∼ （お）：それでね、そのラプラス方程式の答えじゃないグラフって、どれだかわかる？（た）：そんなのわかりっこないよー。なんか知らないけどむずかしい数学がいるんだろ？（ま）：具体的な数字で計算するにしても、こんなにたくさんのグラフ、計算できません！（お）：いやー、確かにそうだけど、実は数学を勉強した人なら、計算しなくても、パッと見ただけでわかっちゃうんだ。（ま）：見ただけで？（お）：そう、見ただけでわかる。自分の頭の中でシャボン膜を作ってみてごらん。それでもって、針金の枠をどんどん変えてみればわかるって。（た）：うーん、どれだろー。この、F のグラフかなー。だって、こんなにぐにゃぐにゃしてると計算できないんじゃない？（お）：残念、それはラプラス方程式の答えのグラフなんだな。実際のシャボン膜と合うかどうかはまた別の話だけど。（ま）：なんか、変な言い方ねー（ま）：えー、今は気にしなくていいから。とにかくＦのグラフはラプラス方程式の答えのグラフだ。間違いのグラフは別にある。（ま）：・・・ちょっとムズカシすぎる∼ ヒントを出してください！（お）：じゃあ、この問題は置いといて、一般的なことを考えてみよう。シャボン膜の一番高いところはどこになると思う？（た）：どこになるって、そんなの実際に作ってみないとわからないよ。（ま）：アタシもそう思う。その場合、場合で違うんじゃないの？（お）：じゃ、君たちの数学のテストのことを考えてみよう。一番、最近のテストのことを思い出してみて。クラスの平均点はいくらだった？（ま）：えーと、確か、６５点ぐらいだったと思う。（お）：君たちは何点とった？（ま）：アタシは７２点でーす。（た）：えーと、ボクは５５点。（ま）：うそばっかし。４７点だったじゃない。（た）：ちぇっ、そんな細かいこといちいち気にすんなよなー。（お）：まあまあ、仮に、クラスの最高点が、えみちゃん、最低点がたっちゃんだったとしよう。（た）：・・・（お）：それでね、これから平均点がわかるかな。（た）：そんなの分かるわけわけないじゃん。クラスのうち、２人ぶんしか点数が分かっていないんだから。平均を計算するには、クラスのみんなの点数が必要でーす。（お）：でもね、大体は分かるんじゃないかな。いやこれじゃあ、ちょっと表現がわるいなあ。えーと、平均点について、これだけは言えるってことは何？（ま）：うーん、少なくとも、平均点はたっちゃんの点数よりは高い、（た）：おまえな∼ （ま）：しょうがないじゃん。ほんとうのことなんだから。（お）：それから？（ま）：平均点はアタシの点より低い！（お）：そうだね。つまり式で表すとこうなる。まりえちゃんの点数＞平均点＞たっちゃんの点数（お）：もうわかったんじゃないかな。シャボン膜の場合に話を戻そう。シャボン膜の方程式の５つの点の中で、最大値は？（ま）：えーと、その場合、場合でわかんないんだけど、少なくとも真中の点は最大値にはなりません。（た）：でも、何かへんだな。たとえば、その右隣の点を計算するときはどうなるの？さっきの右隣の点は、今度は計算で求めようとする真中の点になるんでしょ。そうすると、どこにも最大値はできないんじゃない？（ま）：なんか変ね・・・もしかすると、シャボン膜のどこにも最大値は出来なかったりして。（た）：そんなばかな∼ （お）：じゃあ、たとえば、G のグラフを見て。最大値はどこに出てる？（ま）：カドの２つの点・・・（た）：あっ、わかった。最大値はシャボン膜の中には出来ないで針金の枠のところにできるんだ。（ま）：なーんだ。そうなんだ∼。それじゃあ、ラプラス方程式の答えじゃないグラフは．．． E でーす。（お）：はい、正解。ついでに言っておくと、最小値も同じだっていうのはわかるよね。（ま）：うん、わかる、わかる。でもまだ何かひっかかるなー。あのー、たとえばさー、クラス全員が同じ点数の場合はどうなるの？みんなそろって９０点とか。その場合は、平均点＝最高点でしょ？（た）：まあ、それはそうだけど。うーん、それが、この B と H のグラフなんじゃないの。（お）：うん、そうなんだ。たっちゃんの言うとおり、シャボン膜の全部の点の高さが同じ値の時は、最大値も内部にできる。このシャボン膜の性質のことを、でこぼこなしよの法則と呼ぼう。（ま）：あのー、今の話、わかった、って思ったんだけど、なんかまた気になってきちゃった。確かに E のグラフにはデッパリやヘコミが出てる、だからラプラス方程式の答えじゃない、って言うのはいいんだけど、G とか I のグラフにも、ヘコミが出てるんじゃない？（た）：ほんとだ。しっかり谷ができてるじゃん。（お）：確かにちょっと見ると、ヘコミがあるように見えるけど、これは「ヘコミ」じゃあないんだ。（た）：わかりやすくするために、必要なところだけを残したグラフを作ってみよう。そのためには、グラフにちょっとした細工をする必要があるな。（た）：細工？えーと、あの、ほら、駅前の、ガーときて、グーとおりて、ぐゎしっとつかむやつ。（た）：・・・ぬいぐるみを取るゲーム？（た）：あ∼、それそれ！あれとおんなじ仕組みを、グラフの真上に取り付けたとしよう。（た）：いや、別に、どうでもいいんだけど・・・（た）：ふーん、グラフを取り壊しちゃうの？（た）：いやそうじゃなくて、あの機械の天井に（た）：あちこち機械を動かしていくと、その点でのグラフの曲がり具合がわかるよね。ふーん、確かに、しゃぼん膜の公式が成り立っているようにみえるわ。ちゃんとまわりの４点の平均になっていそう。それでね、こうやって調べていっても、まわりの４点全部より高い点や、まわりの４点全部より低い点はないようだね。それじゃあ、問題になっている例の点の上に機械を持っていってみよう。（お）：ぱっとみるとそう見えるけど、それと直角方向が山になっているだろ？（た）：まあ、たしかにそうだけど。（お）：うん、数学では、これはとはいわなくて、鞍点という。（お）：もし、誰かが、シャボン膜の実験を繰り返しやったとしよう。そのうち、「シャボン膜の内側に最大値・最小値はできない」ということに気づいたとしよう。でも、このままだと、何百回実験を繰り返しても、もう一回つぎに実験したら、予想と違う結果が出るかもしれない、と疑い深い人は思うかもしれない。でも、こうやって、シャボン膜の一般的な性質から、証明してしまうとつぎからは安心だよね。（お）：そうだね、僕たちがみんなでやった計算みたいなのは、いかにもカガクの計算、こういうのもあるんだ。（お）：ふーん、なんかこんな