Weingarten calculus と対称群の調和解析

Weingarten calculus と対称群の調和解析 1
松本詔 (Matsumoto, Sho)
(鹿児島大学)∗
1. 序章
N × N のランダム行列 X = (xij )1≤i,j≤N が与えられたとき, 行列成分の混合モーメント
[ N
]
∏ m
E
xij ij
i,j=1
を計算するという問題を考えよう. ここで mij は非負整数である. 別の言い方をすれば,
∫ ∏N
行列の集合 Ω の確率空間 (Ω, Borel, P X ) が与えられたときに, 積分 Ω i,j=1 xij (ω)mij P X (dω)
を計算するということである（ここでは xij : Ω → C は座標関数）.
例を挙げよう. 2 次特殊直交群
)
}
{
(
cos θ − sin θ SO(2) = g = (gij )1≤i,j≤2 =
θ∈R
sin θ cos θ
dθ
を考える. SO(2) は単位円 S 1 とリー群として同型であり, 自然な確率測度 dg = 2π
(θ ∈ (−π, π], dθ はルベーグ測度) を考えることができる. これは SO(2) の正規化された
∫
a b c d
ハール測度に他ならない. さて積分 SO(2) g11
g12 g21 g22 dg を計算したい (a, b, c, d は非負
整数). 行列 g ∈ SO(2) の成分は sin θ, cos θ で表すことができるので, 積分は初等的に計
算できて次のようになる.
∫
∫ 2π
dθ
a b c d
b
g11 g12 g21 g22 dg = (−1)
cosa+d θ sinb+c θ
2π
SO(2)
0
{
(b+c−1)!!
(−1)b (a+d−1)!!
(a + d と b + c がともに偶数のとき)
(a+b+c+d)!!
=
0
(それ以外).
本講演では, 主にコンパクトリー群やコンパクト対称空間から自然に定まるランダ
ム行列について, 上のような問題を考える. そのような計算手法は今日 Weingarten
calculus と呼ばれて定着しつつある.
∫
a b c d
リー群 SO(2) の例では, 積分 SO(2) g11
g g g dg を a, b, c, d の関数としてうまく記述
[∏ 12 21 22 ]
mij
N
できた. しかし, 一般にモーメント E
を mij たちの関数として記述するこ
i,j=1 xij
∏n
とは困難なことが多い. そのかわり我々は E[ p=1 xip jp ] と書いて, これを ip , jp の関数
として記述することになる.
2. ユニタリ群の Weingarten calculus
ユニタリ群 U(N ) = {g ∈ GL(N, C) | gg ∗ = IN } 上の, 正規化されたハール測度に関す
る積分を考える (IN は単位行列). すなわち, ハール分布に従うランダムユニタリ行列
U = (uij )1≤i,j≤N について,
(2.1)
∗
′ ]
E[ui1 j1 ui2 j2 · · · uin jn ui′1 j1′ ui′2 j2′ · · · ui′m jm
〒 890-0065 鹿児島県鹿児島市郡元 1-21-35 鹿児島大学学術研究院理工学域理学系
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1
誤植修正版, 3 箇所訂正, ver 1.03 (2015/9/7) 本来の公開版からの訂正箇所が赤字で記されています.
の形の平均を考えよう. ここで添え字 ip , jp , i′p , jp′ たちは [N ] = {1, 2, . . . , N } の中の数字
である. ハール測度の性質から, まず m ̸= n のとき積分 (2.1) が消えることが容易に分
かるので, m = n のときだけ考えればよい.
ユニタリ群の Weingarten calculus について述べるために, 対称群 Sn 上の次の関数
WgU (·; N ) を準備する.
WgU (σ; N ) =
(2.2)
1 ∑ fλ
χλ (σ)
n! λ⊢n Cλ (N )
(σ ∈ Sn ).
ここで和は n の分割 λ = (λ1 , λ2 , . . . , λl ) 全体を走る. 登場している記号の意味は, 次の
通り.
• λ ⊢ n は n の分割である. すなわち正の整数の広義減少列 λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λl > 0
である. l は λ の長さで, ℓ(λ) ともしばしば表す. 自然にヤング図形と同一視する.
• f λ は λ に対応する Sn の既約表現の次元である. 同じことだが, f λ は型 λ の標準ヤ
ング盤の個数である.
∏
• Cλ (N ) = (i,j)∈λ (N +j −i) と定める. 積は λ のヤング図形の箱の座標 (i, j) 全体を
走る. すなわち 1 ≤ i ≤ ℓ(λ), 1 ≤ j ≤ λi . 整数 j−i は箱の容量 (content) である. よ
く知られているように, シューア多項式 sλ (x1 , . . . , xN ) において x1 = · · · = xN = 1
と特殊化すると, sλ (1N ) = fn!λ Cλ (N ) となる.
• χλ は λ に対応する Sn の既約指標である. 特に χλ : Sn → Z で類関数である.
この関数 WgU (·; N ) をユニタリ Weingarten 関数と呼ぶ. この関数は中心的, つまり類
関数である. すなわち
WgU (τ στ −1 ; N ) = WgU (σ; N )
(σ, τ ∈ Sn )
が成り立つ. よってその値は Sn の共役類にのみ依存する. よく知られているように, Sn
の共役類は σ のサイクルタイプで決まり, サイクルタイプは n の分割で与えられる. 例
えば恒等置換 idn のサイクルタイプは (1n ) で, サイクル (1 2 3 · · · n) のサイクルタイプ
は (n) である.
ユニタリ Weingarten 関数を用いて (2.1) を計算する公式を与えることができる.
定理 2.1 (Collins [2], Collins–Śniady [4]). U = (uij )1≤i,j≤N を U(N ) のハール測度に従
うランダム行列とする. このとき任意の添え字の列 i = (i1 , . . . , in ), j = (j1 , . . . , jn ),
i′ = (i′1 , . . . , i′n ), j ′ = (j1′ , . . . , jn′ ) に対し,
∑ ∑
(2.3) E[ui1 j1 ui2 j2 · · · uin jn ui′1 j1′ ui′2 j2′ · · · ui′n jn′ ] =
δσ (i, i′ )δτ (j, j ′ )WgU (σ −1 τ ; N )
σ∈Sn τ ∈Sn
となる. ここで
(2.4)
である.
δσ (i, i′ ) =
{
1 （(iσ(1) , iσ(2) , . . . , iσ(n) ) = (i′1 , . . . , i′n ) のとき）
0 （それ以外のとき）
式 (2.3) の右辺は, 行の添え字を表す i と i′ に対し δσ (i, i′ ) = 1 となるような置換 σ を
選び, 一方で列の添え字を表す j と j ′ に対し δτ (j, j ′ ) = 1 となるような置換 τ を選び,
対応する Weingarnten 関数の値 WgU (σ −1 τ ; N ) を足し合わす, ということである. 計算
例を与えよう.
例 2.1. E[|u11 u12 |2 ] を計算しよう. |u11 u12 |2 = u11 u12 u11 u12 なので, 定理の記号で, n = 2,
i = i′ = (1, 1), j = j ′ = (1, 2) となる. よって (2.3) の和は, σ が S2 内の任意, τ が恒等置
換のときのみ生き残り,
E[|u11 u12 |2 ] =WgU (id2 ; N ) + WgU ((1 2); N )
1
−1
1
=
+
=
(N + 1)(N − 1) N (N + 1)(N − 1)
N (N + 1)
と計算される.
本講演では定理 2.1 を出発点とした Weingarnten calculus の話題を, 講演者の貢献を
中心に述べる. 次の二つの方向へ話が発展していく.
• 様々なランダム行列に関する Weingarten calculus (3 章, 5 章). ユニタリ群
以外のコンパクトリー群, さらにコンパクト対称空間に付随するランダム行列の
Weingarten calculus を述べる. 数理解析研究所講究録 [18, 19] も参考にしていた
だきたい.
• Weingarten 関数の性質 (4 章). ユニタリ群の Weingarten 関数 WgU は, 対称群
上の類関数であり, 既約指標による展開が与えられた. さらにこの関数は Jucys–
Murphy 元と密接な関係があり, 組合せ論の言葉で記述することもできる. 他の種
類の Weingarnten 関数も類似した性質を持つ. 数理解析研究所講究録 [17] も参考
にしていただきたい.
証明に立ち寄る余裕が無いが, 定理 2.1 の証明は高度な理論を必要とするわけではな
く, それほど長くもない. 実際, 不変式論の第一基本定理, または Schur–Weyl 双対性を
用いて, 簡単な線形代数的な議論により得られる（たとえば [3] を参照）.
3. 直交群, 斜交群の Weingarten calculus
3.1. 直交群の Weingarten calculus.
ユニタリ群のアナロジーとして, 実直交群 O(N ) = {g ∈ GL(N, R) | gg T = IN } を考え
よう. ここで g T は g の転置行列である. O(N ) の正規化されたハール測度に従う, ラン
ダム直交行列 R = (rij )1≤i,j≤N を扱う. いくつか記号を準備する.
M2n を, {1, 2, . . . , 2n} の perfect matching 全体とする. たとえば M4 は
{{1, 2}, {3, 4}},
{{1, 3}, {2, 4}},
{{1, 4}, {2, 3}}
の 3 つの元からなる. M2n の元 σ は, {{σ(1), σ(2)}, . . . , {σ(2n − 1), σ(2n)}} の形で,
σ(2j − 1) < σ(2j) (j = 1, . . . , n) かつ 1 = σ(1) < σ(3) < · · · < σ(2n − 1) となるように
一意的に表すことができる. このとき σ は自然に S2n の元と見なせる: M2n ⊂ S2n .
超八面体部分群 Hn は, 互換 (2i−1 2i) (i = 1, 2, . . . , n) と２重互換 (2i−1 2j −1)(2i 2j)
(1 ≤ i < j ≤ n) で生成される S2n の部分群である. 環積 (Z/2Z) ≀ Sn と同型である. こ
のとき集合 M2n は剰余類 S2n /Hn の完全代表系となっている.
直交群の Weingarnten calculus では, ユニタリ群とは別種の関数が必要になる. S2n
上の関数 WgO (·; N ) を次で定義する（[3]）.
WgO (σ; N ) =
(3.1)
2n n! ∑ f 2λ
ω λ (σ)
(2n)! λ⊢n Dλ (N )
(σ ∈ S2n ).
ここで記号は以下の通り.
• 2λ は 2n の分割 (2λ1 , 2λ2 , . . . ) のことである.
∏
• Dλ (N ) = (i,j)∈λ (N + 2j − i − 1) と定める. よく知られているように ([12, VII.2]),
帯多項式 Zλ (x1 , . . . , xN ) において x1 = · · · = xN = 1 と特殊化すると, Zλ (1N ) =
(α)
Dλ (N ) となる. Zλ はジャック多項式 Jλ の α = 2 の場合である.
• ω λ はゲルファントペア (S2n , Hn ) の帯球関数であり, 次で定義される ([12, VII.2]):
ω λ (σ) =
1 ∑ 2λ
χ (σζ)
2n n! ζ∈H
(σ ∈ S2n ).
n
この関数 WgO (·; N ) を直交 Weingarten 関数と呼ぶ. これは Hn -両側不変である, すな
わち
WgO (ζσζ ′ ; N ) = WgO (σ; N )
(σ ∈ S2n , ζ, ζ ′ ∈ Hn )
が成り立つ. よって両側剰余類 Hn σHn 上で定数となる. これら両側剰余類は n の分割
でパラメトライズされ, 分割 µ ⊢ n に対応する両側剰余類に σ ∈ S2n が属するとき, σ の
コセットタイプは µ であるという ([12, VII.2]).
直交群の Weingarten calculus は次のように述べられる.
定理 3.1 (Collins–Śniady [4], Collins–M [3]). R = (rij )1≤i,j≤N を O(N ) のハール測度に
従うランダム行列とする. このとき任意の添え字の列 i = (i1 , . . . , i2n ), j = (j1 , . . . , j2n )
に対し,
∑ ∑
(3.2)
E[ri1 j1 ri2 j2 · · · ri2n j2n ] =
∆σ (i)∆τ (j)WgO (σ −1 τ ; N )
σ∈M2n τ ∈M2n
となる. ここで
(3.3)
∆σ (i) =
{
1 （すべての {a, b} ∈ σ に対し, ia = ib のとき）
0 （それ以外のとき）
である. また奇数次のモーメント E[ri1 j1 ri2 j2 · · · ri2n+1 j2n+1 ] はいつでも 0 である.
2 2
r21 ] を計算してみよう. 定理の記号で, n = 2, i = (1, 1, 2, 2), j = (1, 1, 1, 1)
例 3.1. E[r11
となる. よって (3.2) の和は, σ が恒等置換, τ が任意ときのみ生き残り,
2 2
r12 ] =WgO (( 11 22 33 44 ) ; N ) + WgO (( 11 23 32 44 ) ; N ) + WgO (( 11 24 32 43 ) ; N )
E[r11
N +1
−1
−1
1
=
+
+
=
N (N + 2)(N − 1) N (N + 2)(N − 1) N (N + 2)(N − 1)
N (N + 2)
と計算される.
3.2. 斜交群の Weingarten calculus.
次に斜交群 (シンプレクティック群) を考えよう: Sp(N ) = {g ∈ U(2N ) | gg D = I2N }.
ここで g D は
(
)
O
I
N
N
g D = Jg T J T ,
J = JN =
−IN ON
と定める.
斜交群の Weingarten calculus は直交群のそれとほぼ同じであるが, 反対称形式 (v, w)J =
T
v Jw に由来する符号の取り扱いに注意する必要がある. S2n 上の関数 WgSp (·; N ) を次
で定義する（[16]）.
(3.4)
2n n! ∑ f λ∪λ λ
π (σ)
Wg (σ; N ) =
(2n)! λ⊢n Dλ′ (N )
(σ ∈ S2n ).
Sp
ここで記号は以下の通り.
• λ ∪ λ は 2n の分割 (λ1 , λ1 , λ2 , λ2 , . . . ) のことである.
∏
• Dλ′ (N ) = (i,j)∈λ (2N − 2i + j + 1) と定める. 斜交帯多項式 Zλ′ (x1 , . . . , xN ) にお
いて x1 = · · · = xN = 1 と特殊化すると, Zλ′ (1N ) = Dλ′ (N ) となる ([12, VII.2,
(α)
Example 7]). ジャック多項式 Jλ の α = 1/2 のときを 2n 倍したのが Zλ′ である.
• π λ は twisted ゲルファントペア (S2n , Hn , sgn|Hn ) の twisted 帯球関数であり, 次
で定義される ([12, VII.2, Example 6]):
π λ (σ) =
1 ∑
sgn(ζ)χλ∪λ (σζ)
2n n! ζ∈H
(σ ∈ S2n ).
n
この関数 WgSp (·; N ) を斜交 Weingarten 関数と呼ぶ. これは Hn -両側 twisted である, す
なわち
WgSp (ζσζ ′ ; N ) = sgn(ζ)sgn(ζ ′ )WgSp (σ; N )
(σ ∈ S2n , ζ, ζ ′ ∈ Hn )
が成り立つ. よって符号を除いて両側剰余類 Hn σHn 上で定数となる. WgSp (σ; N ) の値
は, 符号を除いて σ のコセットタイプにのみ依存する.
定理 3.2 (Collins–Śniady [4], M [16]). S = (sij )1≤i,j≤2N を Sp(N ) のハール測度に従う
ランダム行列とする. このとき任意の添え字の列 i = (i1 , . . . , i2n ), j = (j1 , . . . , j2n ) に
対し,
∑ ∑
(3.5)
E[si1 j1 si2 j2 · · · si2n j2n ] =
∆′σ (i)∆′τ (j)WgSp (σ −1 τ ; N )
σ∈M2n τ ∈M2n
となる. ここで ∆′σ (i) は, 0, +1, −1 のいずれかの値をとり,
∏
(3.6)
eT
∆′σ (i) =
a JN eb
{a,b}∈σ
で定まる. ここで, e1 , . . . , e2N は C2N の標準基底（列ベクトル）である. また奇数次の
モーメント E[si1 j1 si2 j2 · · · si2n+1 j2n+1 ] はいつでも 0 である.
なお, 斜交行列 S の複素共役は S̄ = JSJ T と書けるので, 公式 (3.5) は行列成分の複
素共役を含む積分もカバーしている.
以上, コンパクトリー群 U(N ), O(N ), Sp(N ) の Weingarten calculus を述べた. 登場
する Weingarten 関数は, それぞれ中心的, Hn -両側不変, Hn -両側 twisted と, 異なる不
変性を持っていることに注目していただきたい.
4. Jucys–Murphy 元と Weingarten 関数
4.1. ユニタリ群の場合.
ランダム行列理論において, 行列のサイズ N を N → ∞ とするときの挙動を調べるこ
とは重要な問題の一つである. Weingarten calculus によれば, そのような挙動を調べる
際, 当然 Weingarten 関数 Wg(σ; N ) の N → ∞ の挙動を調べる必要がある.
ユニタリ Weingarten 関数の定義式 (2.2) を思い出そう. A(λ) を分割 λ ⊢ n の容量
全体のなす multi-set とする. たとえば A((3, 2, 1)) = {2, 1, 0, 0, −1, −2} である. 完全
∑
∏n
1
対称多項式 hk (x1 , . . . , xn ) の母関数 k≥0 hk (x1 , . . . , xn )z k = i=1 1−x
において, 変
iz
∑
∏
k
−1
数 x1 , . . . , xn を A(λ) でおきかえれば,
=
k≥0 hk (A(λ))z =
(i,j)∈λ (1 − (j − i)z)
∏
−n
−1
−1
−n
−1 −1
−1
(−z)
+ j − i) = (−z) Cλ (−z ) となる. z = −N として,
(i,j)∈λ ((−z)
(2.2) と比較し次を得る: N ≥ n, σ ∈ Sn のとき,
(4.1)
U
Wg (σ; N ) =
∞
∑
(−1)k ak (σ)N −n−k ,
ak (σ) :=
∑
hk (A(λ))
λ⊢n
k=0
fλ λ
χ (σ).
n!
WgU (σ; N ) は類関数だから, ak (σ) は σ のサイクルタイプにのみ依存する.
さてここで対称群の Jucys–Murphy 元を考える. 群環 C[Sn ] の元 J1 , . . . , Jn を,
J1 = 0,
Jk =
k−1
∑
(i k) (k = 2, 3, . . . , n)
i=1
で定める. ここで (i k) は i と k の互換を表す. これらは Jucys–Murphy 元と呼ばれ, 近
年表現論における重要性が増している（たとえば [1] 参照）. 互いに可換であることは
容易に確かめられる. さらに, J2 , . . . , Jn は C[Sn ] の極大可換部分代数を生成することが
知られている. Jucys–Murphy 元は C[Sn ] に積で自然に作用するが, 固有値として容量
A(λ) が登場する. そこで次の表示を得る.
∑
命題 4.1 (Novak [22]). 群環 C[Sn ] の元として hk (J2 , . . . , Jn ) = σ∈Sn ak (σ)σ が成り立
つ. すなわち (4.1) の ak (σ) は, hk (J2 , . . . , Jn ) における σ の係数である.
さらに完全対称多項式が
hk (J2 , . . . , Jn ) =
∑
Jt1 Jt2 · · · Jtk
2≤t1 ≤t2 ≤···≤tk ≤n
=
∑
t∑
1 −1 t∑
2 −1
2≤t1 ≤t2 ≤···≤tk ≤n s1 =1 s2 =1
···
t∑
k −1
(s1 t1 )(s2 t2 ) · · · (sk tk )
sk =1
と書けることから, 次のように組合せ論的な言い換えができる.
系 4.2. ak (σ) は, 置換 σ ∈ Sn の長さ k の単調分解の個数である. すなわち, k 個の互換
の列 (s1 t1 ), . . . , (sk tk ) で次の条件を満たすものの個数が ak (σ) である.
si < ti ;
2 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk ≤ n;
σ = (s1 t1 ) · · · (sk tk ).
さらにこの事実から容易に以下が分かる.
(1) ak (σ) は非負整数である.
(2) k ≥ n − ℓ(σ) でなければ, ak (σ) = 0 である. ここで, ℓ(σ) は σ のサイクルの個数
（すなわちサイクルタイプの長さ）である.
(3) k ≡ n − ℓ(σ) (mod 2) でなければ ak (σ) = 0 である.
系の (1) は (4.1) の表示からは明らかでないことに注意しよう. ak (σ) が非負整数であ
ることは, 組合せ的解釈により従う. 系の (2) は, 置換 σ を互換の積で表すとき, 少なく
とも n − ℓ(σ) 個必要であることから従う. 系の (3) は, 置換の偶奇を考えれば明らかで
ある. ak (σ) はフルビッツ数とも関連が深い ([9]).
例 4.1. σ を恒等置換 idn とし, k = 2 としよう. 系 4.2 によれば, a2 (idn ) は, idn =
(s1 t1 )(s2 t2 ) かつ t1 ≤ t2 ≤ n を満たす互換の組 (s1 t1 ), (s2 t2 ) の個数である. 明らかに
(s1 t1 ) = (s2 t2 ) でなければならず, またそうであれば十分である. したがって, a2 (idn )
( )
( )
は Sn の互換の個数 n2 に等しい: a2 (idn ) = n2 = 12 n(n − 1).
さて系 4.2 より, l = ℓ(σ) ならば
(−1)n−l WgU (σ; N ) =
an−l (σ) an−l+2 (σ) an−l+4 (σ)
+
+
+ ···
N 2n−l
N 2n−l+2
N 2n−l+4
が分かる. よって k = n − ℓ(σ) のときが主要項の係数を与えるが, この場合は次のよう
(2r)!
にカタラン数 Cat(r) = (r+1)!
で与えられる. 特に [20] では, 系 4.2 に基づいた組合せ論
r!
的証明を与えた. 深入りしないが, もっと一般的にモノミアル対称多項式 mλ (J2 , . . . , Jn )
における σ の係数について, 詳しい結果を得ている.
定理 4.3 (Collins [2], M–Novak [20]). 置換 σ ∈ Sn のサイクルタイプが µ = (µ1 , . . . , µl )
のとき,
l
∏
an−l (σ) =
Cat(µj − 1).
j=1
その他の係数 ak (σ) の具体的な値もいくらか知られている. また後に Féray [8] によ
り ak (σ) たちの漸化式が得られおり, ak (σ) の値を原理的には帰納的に求めることがで
きる.
例 4.1 で a2 (idn ) は a2 (idn ) = 12 n(n − 1) のように n に関する多項式で書けた. 一般に
ak (σ) について, n に関する次のような「多項式性」がある.
定理 4.4 (M–Novak [20]). σ ∈ Sn とする. このとき ak (σ) は n の多項式である. より一
∑
般に, 任意の対称多項式 f (x1 , . . . , xn ) に対し, a(f, σ) を σ∈Sn a(f, σ)σ = f (J1 , . . . , Jn )
で定めると, a(f, σ) は n の多項式である.
なお, 特別な場合 a(f, idn ) が n の多項式であることは, Stanley [24] により初めて示さ
れた.
定理 4.4 の証明のアイディアだけ述べよう.
• a(f, σ) =
∑
λ
λ⊢n
f (A(λ)) fn! χλ (σ) と書ける. 式 (4.1) 参照.
• 関数 (λ1 , . . . , λl ) 7→ f (A(λ)) は, (Okounkov–Olshanski の) シフト対称関数である.
シフト対称関数とは, 変数 xi := λi − i に関して対称な多項式をいう.
• シフト Schur 関数 s∗ν は, シフト対称関数全体のなす代数の Q-基底をなす. そこで
∑
λ
分割 ν と置換 σ ∈ Sn を固定し, λ⊢n s∗ν (λ) fn! χλ (σ) が n の多項式であることを示
せば十分であるが, この値は明示的に計算可能で, 次のように確かに n の多項式
となる:
(
 n−|µ̃| )χν
λ
∑
(|ν| ≥ |µ̃| のとき)
f
|ν|−|µ̃|
µ̃∪(1|ν|−|µ̃| )
s∗ν (λ) χλ (σ) =
0
n!
(それ以外).
λ⊢n
ここで, σ の固定点を除いたもののサイクルタイプを µ̃ とした.
4.2. 直交群.
いまユニタリ群の場合に述べたことは, 直交群への類似を考えることができる. 結果だ
け述べよう. N ≥ 2n − 1, σ ∈ S2n とし, l = κ(σ) を σ のコセットタイプの長さとすると,
WgO (σ; N ) =
∞
∑
(−1)k bk (σ)N −n−k ,
bk (σ) =
∑
hk (A(2) (λ))
λ⊢n
k=0
f 2λ
ω λ (σ)
(2n − 1)!!
となる. ここで A(2) (λ) は multiset {2j − i − 1 | (i, j) ∈ λ} のことである.
定理 4.5 (M [13]). 係数 bk (σ) について, 次が成り立つ.
(1) 群環 C[S2n ] の元として hk (J1 , J3 , . . . , J2n−1 )Pn =
∑
こで Pn = ζ∈Hn ζ.
∑
σ∈S2n bk (σ)σ
が成り立つ. こ
(2) bk (σ) は, 次を満たす互換の列 (s1 t1 ), . . . , (sk tk ) の個数に等しい（単調分解の
類似）:
si < ti ;
3 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk ≤ 2n − 1;
各 ti は奇数;
(s1 t1 ) · · · (sk tk ) ∈ σHn .
(3) bk (σ) は非負整数であり, k ≥ n − l でなければ bk (σ) = 0. ただし, l は σ のコセッ
トタイプの長さ κ(σ).
(4) π ∈ Sn のサイクルタイプと σ ∈ S2n のコセットタイプが一致するとき, bk (σ) ≥
ak (π).
∏
(5) σ のコセットタイプが µ = (µ1 , . . . , µl ) となるとき, bn−l (σ) = lj=1 Cat(µj − 1).
(6) σ ∈ S2n に対し bk (σ) は n の多項式である.
Class C
AI
A II
A III
BD I
C II
D III
CI
対称空間
U(N )/O(N )
U(2N )/Sp(N )
U(N )/U(p) × U(q)
O(N )/O(p) × O(q)
Sp(N )/Sp(p) × Sp(q)
(N = p + q)
O(2N )/U(N )
Sp(N )/U(N )
ランダム行列
circular orthogonal ensemble (COE)
circular symplectic ensemble (CSE)
chiral ensemble
Bogoliubov-de Gennes (BdG) ensemble
図 1: 古典型コンパクト対称空間
定理 4.5(3) から, N → ∞ で
WgO (σ; N ) = (−1)n−l bn−l (σ)N −(2n−l) + (−1)n−l+1 bn−l+1 (σ)N −(2n−l+1) + O(N −(2n−l+2) )
となる. 定理 4.5(5) より主要係数 bn−l (σ) はカタラン数の積で与えられる. 第 2 係
数 bn−l+1 (σ) も別の組合せ論的解釈が可能である. たとえば次の式は [13] で予想され,
Féray [8] により証明された: σ ∈ S2n のコセットタイプが µ = (k + 1, 1n−k−1 ) のとき,
(
)
2k + 1
k
bn−ℓ(µ)+1 (σ) = bk+1 (σ) = 4 −
.
k
4.3. 斜交群.
斜交 Weingarten 関数は, 定義から直交 Weingarten 関数と
WgSp (σ; N ) = (−1)n sgn(σ)WgO (σ; −2N )
(σ ∈ S2n )
という関係にある. よって符号を無視すれば N → ∞ における漸近挙動は直交群の場
合に帰着される.
5. コンパクト対称空間の Weingarten calculus
第 2 章と第 3 章で, 3 つのコンパクトリー群 U(N ), O(N ), Sp(N ) の Weingarten calculus
を述べた. この章では, コンパクト対称空間 G/K に付随するランダム行列の Weingarten
calculus について述べる.
古典リー群がそのルート系により A,B,C,D と分類されるように, 古典型対称空間も
分類される. 図 1 で与えられるコンパクト対称空間 G/K の例を考える. 最も基本的な
ものは A I 型の対称空間 U(N )/O(N ) である. これに付随するランダム行列は, ランダ
ム行列理論で円直交アンサンブル (COE) と呼ばれ, 固有値分布を中心によく研究され
ている (例えば [7, Ch.2] 参照).
コンパクト対称空間 G/K に付随するランダム行列とは何かを説明しよう. G/K は図
の対称空間のどれかであるとする. G/K のカルタン対合 Ω : G → G を考える. K は G
における Ω の固定点全体である. G の部分集合 S = {s = g0 Ω(g0 )−1 | g0 ∈ G} に, G が
g.s = gsΩ(g)−1
(g ∈ G, s ∈ S)
と推移的に作用し, G/K と S は G の作用も込みで微分多様体として同型になる. また
G/K には G の作用で不変な確率測度が一意的に存在するが, この同型を通じて S に確
率測度 ds が導出される. S の元を確率 ds で取り出したランダム行列 V を, G/K に付随
するランダム行列と呼ぶ.
たとえば U(N )/O(N ) のとき, Ω(g) = (g T )−1 であって, S は N 次の対称ユニタリ行列
全体となる. COE 行列とは対称ユニタリなランダム行列 V であって, 任意の（固定さ
れた）ユニタリ行列 g ∈ U(N ) に対し gV g T と V が同分布となるようなものである.
さて, 図 1 で挙げた 7 種の対称空間それぞれに対し, 別々の Weingarten calculus が構
築される. すなわち, 異なる公式と異なる Weingarten 関数が登場するわけである. それ
らをすべて紹介することは論文 [16] や数理解析研究所講究録 [19] にまわすとして, いく
つかの結果をピックアップをしよう.
5.1. A I 型, A II 型.
定理 5.1 (M [15]). V = (vij )1≤i,j≤N を U(N )/O(N ) に付随するランダム行列（COE 行
列）とする. 添え字の列 i = (i1 , i2 , . . . , i2n ), j = (j1 , j2 , . . . , j2m ) に対し,
∑
δσ (i, j)WgO (σ; N + 1)
E[vi1 i2 vi3 i4 · · · vi2n−1 i2n vj1 j2 vj3 j4 · · · vj2m−1 j2m ] = δnm
σ∈S2n
となる. ここで δσ (i, j) は (2.4) で与えられるもので, WgO は直交 Weingarten 関数で
ある.
リー群の場合, 公式は二重和で与えられていた（定理 2.1, 3.1, 3.2）が, COE 行列の
∑
場合は和は一つ σ∈S2n だけであることに注意しよう. これは他の対称空間の場合でも
同様である. そして, 驚くべきことだが, U(N )/O(N ) に対応する Weingarten 関数は,
直交 Weingarten 関数の N を N + 1 に置き換えただけのものと一致する. なお, A II 型
U(2N )/Sp(N ) の Weingarnten 関数は, WgSp (σ; N − 21 )（定義 (3.4) において N を形式
的に N − 12 に置き換えたもの）である. なぜこのように少しパラメータをずらした直
交/斜交 Weingarten 関数が登場するのか, という疑問には, 今でもはっきりとは答えら
れない.
系 5.2 (M [15]). COE 行列 V = (vij )1≤i,j≤N の対角成分 vii と非対角成分 vij の, 絶対値
の偶数次モーメントが次のように明示的に計算される.
2n n!
,
r=1 (N + 2r − 1)
E[|vii | ] = ∏n
2n
E[|vij |2n ] =
n!
.
∏n−2
(N + 2n − 1) r=0
(N + r)
5.2. A III 型, BD I 型, C II 型.
A III 型, BD I 型, C II 型の対称空間は, G(N )/(G(p)×G(q)), ただし G(N ) = U(N ), O(N ),
or Sp(N ), N = p + q, の形をしている. 登場する Weingarten 関数は, N だけではな
く p, q に依存することになる. ここでは A III 型の Weingarten 関数の具体的表示だけ
記そう. シューア多項式 sλ (x1 , . . . , xN ) の変数を x1 = · · · = xN = 1 と特殊化すると,
fλ
sλ (1N ) = |λ|!
Cλ (N ) となることを思い出そう（第 2 章）. A III 型の Weingarten 関数は
次で与えられる:
p
q
z }| { z }| {
1 ∑ λ sλ (1, . . . , 1, −1, . . . , −1) λ
A III
Wg
(σ; p, q) =
χ (σ)
f
n! λ⊢n
sλ (1, . . . , 1)
| {z }
p+q
(σ ∈ Sn ).
特にこれは Sn の類関数である. なお, BD I 型, C II 型の Weingarten 関数は, それぞれ
Hn -不変, Hn -twisted となり, シューア多項式の代わりに帯多項式 Zλ , 斜交帯多項式 Zλ′
が登場する.
5.3. D III 型, C I 型.
D III 型と C I 型はややマイナーなランダム行列が対応する. D III 型の Weingarten 関数
WgD III (σ; N ) (σ ∈ S2n ) は, これまで登場したものとは異なり, 次のような性質をもつ.
WgD III (ζσζ ′ ; N ) = sgn(ζ)WgD III (σ; N )
(σ ∈ S2n , ζ, ζ ′ ∈ Hn ).
すなわち, 片側 Hn -不変かつ反対側 Hn -twisted となる. このような性質をもつ関数は
Ivanov [10] により研究されており, Hn -bispherical function でフーリエ展開することが
可能である.
WgD III (σ; N ) は, n が偶数 n = 2m でなければ 0 になる. さらに, σ ∈ S4m のコセット
タイプが 2ν (ν は m の分割) という形をしているときだけ生き残り, そのときの値は
)
(
1
1
D III
U
Wg
(σ; N ) = ± 2m−ℓ(ν) Wg ν; N −
2
2
となる. ここで, WgU (ν; N − 12 ) はユニタリ Weingarten 関数のサイクルタイプ ν となる
置換での値である. 驚くべきことに, D III 型（そして C I 型の）Weingarten 関数は, 大
雑把に言うとユニタリ Weingarten 関数に一致するという現象が見られる.
6. Remarks, applications, and future research
最後に Weingarten calculus の他の発展や応用, 今後の課題について述べる.
6.1. 特殊ユニタリ群.
特殊ユニタリ群 SU(N ) = {g ∈ U(N ) | det g = 1} や特殊直交群 SO(N ) = {g ∈
O(N ) | det g = 1} の Weingarten calculus について述べられていないことを不審に思わ
れたことであろう. 実はこれらは U(N ) や O(N ) よりも難しく, 未完成である. 難しい理
由は, 不変式の記述がより複雑になるためである. 僅かな結果の例として, 次を挙げよう.
U = (uij )1≤i,j≤N を SU(N ) のハール測度に従うランダム行列とするとき, N 次のモーメン
ト E[ui1 j1 · · · uiN jN ] は, (i1 , . . . , iN ) および (j1 , . . . , jN ) がともに (1, 2, . . . , N ) の順列にな
るときのみ消えない. さらにこのとき σ ∈ SN に対し, E[u1σ(1) u2σ(2) · · · uN σ(N ) ] = sgn(σ)
N!
が成り立つ.
6.2. 例外型コンパクト群.
例外型コンパクトリー群も, 適当に行列群と見なせば Weingarten calculus を考えるこ
とができる. たとえば, コンパクト群 G2 は八元数体 O の自己同型群として与えられる
が, O の単位元を固定することから SO(7) の部分群として実現される. G2 の Weingarten
calculus は現在進展中であるが, 低次のモーメントは完全に計算されている.
6.3. ウィッシャート行列.
統計学で重要な実ウィッシャート行列を考えてみよう. Σ を N 次正定値実対称行列と
し, X1 , . . . , Xp を独立同分布なランダム列ベクトルで, 平均 0, 分散行列 Σ の N 次元実
正規分布に従うとする. このとき N × N ランダム対称行列 W = X1 X1T + · · · + Xp XpT
を実（中心）ウィッシャート行列という. W の逆行列 W −1 = (wij )1≤i,j≤N について, 次
の公式が得られている（M [14]）. q = p − N − 1 とおき, n は 2n − 1 ≤ q を満たすとす
る. このとき任意の添え字の列 (i1 , . . . , i2n ) に対し
∑
∏
E[wi1 i2 wi3 i4 · · · wi2n−1 i2n ] =
WgO (σ; −q)
(Σ−1 )ia ib
σ∈M2n
{a,b}∈σ
が成り立つ. ここで, また驚くべきことであるが, 直交 Weingarten 関数が登場している.
このように, 異なるランダム行列に対しパラメータを変化させた Weingarten 関数が
登場する現象が見られることは興味深い.
6.4. ユニタリ群上のブラウン運動.
ユニタリ群 U(N) 上のブラウン運動とは, 確率微分方程式
1
dUN (t) = UN (t)dKN (t) − UN (t)dt,
2
UN (0) = IN
2
の強い解 UN (t) のことである. ここで KN (t) はリー環 u(N ) ∼
= RN 上のブラウン運
動である. t → ∞ のとき UN (t) の振る舞いはハール分布に近づいていく. UN (t) の
Weingarten calculus が, Dahlqvist [5] により最近得られた.
6.5. 応用.
Weingarten calculus はランダム行列の多項式関数の積分を計算するための基本的な道
具である. 数理物理を含め, ランダム行列を用いる様々な分野で応用され発展している.
最後に講演者が把握している応用分野を挙げ, 文献を一つずつ挙げよう.
• Harish-Chandra–Itzykson–Zuber 積分の漸近挙動 ([9]).
• ランダム解析関数 [11]
• デザインとコード [23]
• 量子チャンネル [21]
• 共形場理論 [6]
参考文献
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the Itzykson-Zuber integral and free probability, Int. Math. Res. Not. 2003 (17) (2003)
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J. Math. Phys. 50 (2009), no. 11, 113516, 14 pp.
[4] B. Collins and P. Śniady, Integration with respect to the Haar measure on unitary, orthogonal and symplectic group, Comm. Math. Phys. 264 (3) (2006) 773–795.
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[8] V. Féray, On complete functions in Jucys-Murphy elements, Ann. Comb. 16 (2012),
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[9] I. P. Goulden, M. Guay-Paquet, and J. Novak, Monotone Hurwitz numbers and the HCIZ
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