幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 補集合 幾何学序論1 練習問題 市原一裕 2015 年 4 月 20 日(月)2限 1 / 11 小テスト 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 補集合 1. 集合 A と B について,B ⊊ A であることの定義を書 きなさい. 練習問題 2. 集合 { pq | p, q ∈ Z , −2 ≤ p ≤ 1 , 1 ≤ q ≤ 3} を列挙法 で表しなさい. 3. A = {x2 | x ∈ R} と B = {x ∈ R | x > 0} について, B ⊊ A を示しなさい. 2 / 11 演算とは 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 補集合 演算(えんざん,operation) 練習問題 いくつかの与えられたもの(要素)から,一定の法則を適 用して,他のもの(要素)を作り出す操作のこと. 以下,1 つの集合 U を固定して (U を全体集合(Universal set)として), その部分集合について考える. つまり,{x | · · · } と書いたら {x | x ∈ U, · · · } のこと. 3 / 11 和集合とは 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 定義 1.3.1【 和集合(Union), ∪(cup,カップ)】 補集合 練習問題 2つの集合 A と B について, A ∪ B := {x | x ∈ A または x ∈ B} を A と B の和集合という. 注意 1.3.1 (:= について) X := Y という記号で「X を Y で定義する」という意味. 4 / 11 和集合の性質 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 補集合 練習問題 定理 1.3.1 任意の2つの集合 A と B について次が成り立つ. (1) A ∪ A = A (2) A ∪ ∅ = A (3) A ∪ B = B ∪ A (4) A ⊂ A ∪ B かつ B ⊂ A ∪ B 5 / 11 共通部分とは 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 定義 1.3.2【 共通部分(intersection),∩(キャップ,cap) 】 補集合 練習問題 2つの集合 A と B について, A ∩ B := {x | x ∈ A かつ x ∈ B} を A と B の共通部分という. 注意 1.3.2 共通部分のことを,積集合(product set)ともいう. 6 / 11 共通部分の性質 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 補集合 練習問題 定理 1.3.2 任意の2つの集合 A と B について次が成り立つ. (1) A ∩ A = A (2) A ∩ ∅ = ∅ (3) A ∩ B = B ∩ A (4) A ⊃ A ∩ B かつ B ⊃ A ∩ B 7 / 11 和集合と共通部分 幾何学序論1 K.Ichihara 定理 1.3.3 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 集合 A,B ,C について以下が成り立つ. 1. 「A ⊂ C かつ B ⊂ C 」ならば A ∪ B ⊂ C 補集合 練習問題 2. 「C ⊂ A かつ C ⊂ B 」ならば C ⊂ A ∩ B 定理 1.3.4 集合 A,B ,C について以下が成り立つ. 1. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 8 / 11 補集合とは 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 和集合と共通部分 定義 1.3.3【 補集合(complement)】 補集合 練習問題 全体集合 U の部分集合 A に対して, Ac := {x ∈ U | x ∈ / A} を A の補集合という. (c は complement の頭文字) 注意 1.3.3 高校では Ā を使っていたと思うが,ここでは Ac にする. ¯は,他のときにも使うので(例えば,共役複素数). 9 / 11 補集合の性質 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 定理 1.3.5 全体集合 U の部分集合 A について, (1) A ∪ Ac = U (2) A ∩ Ac = ∅ (3) (Ac )c = A (4) B が A ∪ B = U と A ∩ B = ∅ をみたす ⇒ B = Ac 和集合と共通部分 補集合 練習問題 定理 1.3.6 全体集合 U の部分集合 A と B について, (1) A ⊂ B ⇔ Ac ⊃ B c (2) 【ド・モルガンの定理】 (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (A ∩ B)c = Ac ∪ B c 10 / 11 練習問題 幾何学序論1 K.Ichihara 集合の演算 演算とは 練習問題 1.3.1 A ∪ B = B ∪ A を証明しなさい. 和集合と共通部分 補集合 練習問題 練習問題 1.3.2 集合 U の部分集合 A,B ,C について, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) を示しなさい. 練習問題 1.3.3 全体集合 U の部分集合 A と B について, (A ∩ B)c = Ac ∪ B c を証明しなさい. 11 / 11
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