幾何学序論1

幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
補集合
幾何学序論１
練習問題
市原一裕
2015 年 4 月 20 日（月）２限
1 / 11
小テスト
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
補集合
1. 集合 A と B について，B ⊊ A であることの定義を書
きなさい．
練習問題
2. 集合 { pq | p, q ∈ Z , −2 ≤ p ≤ 1 , 1 ≤ q ≤ 3} を列挙法
で表しなさい．
3. A = {x2 | x ∈ R} と B = {x ∈ R | x > 0} について，
B ⊊ A を示しなさい．
2 / 11
演算とは
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
補集合
演算（えんざん，operation）
練習問題
いくつかの与えられたもの（要素）から，一定の法則を適
用して，他のもの（要素）を作り出す操作のこと．
以下，1 つの集合 U を固定して
（U を全体集合（Universal set）として），
その部分集合について考える．
つまり，{x | · · · } と書いたら {x | x ∈ U, · · · } のこと．
3 / 11
和集合とは
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
定義 1.3.1【和集合（Union）， ∪（cup，カップ）】
補集合
練習問題
２つの集合 A と B について，
A ∪ B := {x | x ∈ A または x ∈ B}
を A と B の和集合という．
注意 1.3.1 （:= について）
X := Y という記号で「X を Y で定義する」という意味．
4 / 11
和集合の性質
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
補集合
練習問題
定理 1.3.1
任意の２つの集合 A と B について次が成り立つ．
(1) A ∪ A = A
(2) A ∪ ∅ = A
(3) A ∪ B = B ∪ A
(4) A ⊂ A ∪ B かつ B ⊂ A ∪ B
5 / 11
共通部分とは
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
定義 1.3.2【共通部分（intersection），∩（キャップ，cap）】
補集合
練習問題
２つの集合 A と B について，
A ∩ B := {x | x ∈ A かつ x ∈ B}
を A と B の共通部分という．
注意 1.3.2
共通部分のことを，積集合（product set）ともいう．
6 / 11
共通部分の性質
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
補集合
練習問題
定理 1.3.2
任意の２つの集合 A と B について次が成り立つ．
(1) A ∩ A = A
(2) A ∩ ∅ = ∅
(3) A ∩ B = B ∩ A
(4) A ⊃ A ∩ B かつ B ⊃ A ∩ B
7 / 11
和集合と共通部分
幾何学序論１
K.Ichihara
定理 1.3.3
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
集合 A，B ，C について以下が成り立つ．
1. 「A ⊂ C かつ B ⊂ C 」ならば A ∪ B ⊂ C
補集合
練習問題
2. 「C ⊂ A かつ C ⊂ B 」ならば C ⊂ A ∩ B
定理 1.3.4
集合 A，B ，C について以下が成り立つ．
1. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
8 / 11
補集合とは
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
和集合と共通部分
定義 1.3.3【補集合（complement）】
補集合
練習問題
全体集合 U の部分集合 A に対して，
Ac := {x ∈ U | x ∈
/ A} を A の補集合という．
（c は complement の頭文字）
注意 1.3.3
高校では Ā を使っていたと思うが，ここでは Ac にする．
¯は，他のときにも使うので（例えば，共役複素数）．
9 / 11
補集合の性質
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
定理 1.3.5
全体集合 U の部分集合 A について，
(1) A ∪ Ac = U
(2) A ∩ Ac = ∅
(3) (Ac )c = A
(4) B が A ∪ B = U と A ∩ B = ∅ をみたす ⇒ B = Ac
和集合と共通部分
補集合
練習問題
定理 1.3.6
全体集合 U の部分集合 A と B について，
(1) A ⊂ B ⇔ Ac ⊃ B c
(2) 【ド・モルガンの定理】
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
10 / 11
練習問題
幾何学序論１
K.Ichihara
集合の演算
演算とは
練習問題 1.3.1
A ∪ B = B ∪ A を証明しなさい．
和集合と共通部分
補集合
練習問題
練習問題 1.3.2
集合 U の部分集合 A，B ，C について，
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) を示しなさい．
練習問題 1.3.3
全体集合 U の部分集合 A と B について，
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c を証明しなさい．
11 / 11

Download Report