2015 東大理系
問題 5
m を 2015 以下の正の整数とする。2015Cm が偶数となる最小の m を求めよ。
解答
2016 = 25 × 32 × 7 = (32 の倍数)
2016Cm
=
2016
2015Cm−1
m
これより、0 5 m 5 31 なる m について 2016Cm は偶数であることがわかる。また、
2016C32
=
2016 · 2015 · 2014 · · · · · 1985
32 · 31 · 30 · · · · · 2 · 1
において、分母、分子の 2k (k = 1, 2, 3, 4, 5) の倍数の個数は等しいから、2016C32 は
素因数 2 を含まず、奇数であることがわかる。
1 5 m 5 31 のとき、
2015Cm−1
+ 2015Cm = 2016Cm = 偶数
かつ
2015C0
= 1(奇数）
だから、数学的帰納法により、2015Cm (1 5 m 5 31) は奇数である。
2015C31
+ 2015C32 = 2016C32 = 奇数
だから、2015C32 は偶数である。よって、求める m は m = 32 である。
c
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