物理学AI 第７講 前回の講義ファイル http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/ spweb/PhysicsAI06.pdf 自習用テキスト http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/ spweb/physmath*.pdf *:1 5 物理学AI 第７講 レポート解説 レポート提出者：７５名 レポート１不正解： ４名 レポート２全問正解者：６２名 物理学AI 第７講 解法（特性方程式） 特性方程式の解をλ1、λ2とすると x(t) = λ t λ t 1 2 C1 e + C2 e が一般解。 物理学AI 第７講 レポート1解説 地球と月の距離は 2,000,000スタディオン。 どうすれば太陽までの距離 が求まるか？ ヒント：三角法 注意：月に人は居ない アリスタルコス 物理学AI 第７講 レポート1解説 三角法：三角形の２辺と間 の角、または１辺と両端角 が判れば三角形が決まる θ２ 月に人は居ない・・・ θ1 半月と太陽のなす 角が判れば太陽ま での距離が判る アリスタルコス 物理学AI 第７講 レポート2解説 次の微分方程式の一般解を特性 方程式を用いて求めなさい。 2 4 dx dx dx = -x, = -x, 4 = x 2 dt dt dt 物理学AI 第７講 レポート2解説 λt e x(t) = と仮定して代入 dx -t = -x ➧ λ = -1 ➧ x(t) = Ce dt d2x 2 it -it = -x ➧ λ = -1 ➧ x(t) = C1e +C2e 2 dt 4 dx 4=1 = x ➧ λ 4 dt ➧ x(t) = C1et +C2e-t +C3eit +C4e-it 物理学AI 第７講 解の性質 ・微分方程式の解は元の微分 方程式を満たす ・微分方程式の階数だけ任意 定数を含む 一般解（初期条件無し） 初期条件を満たす解 物理学AI 第７講 第６講 運動の法則 ∼ニュートンの運動方程式∼ 慣性の法則 運動の法則 作用・反作用の法則 物理学AI 第７講 ニュートンの第一法則 慣性の法則 静止または等速度運動をする物体は、 外力によってその状態を変えられな い限り、その状態を続ける。 物理学AI 第７講 ニュートンの第一法則 慣性の法則 力 f = 0 ならば 加速度 a = 0 微分方程式で書けば 2 dx =0 2 dt 物理学AI 第７講 ニュートンの第一法則 静止または等速度運動： 2 d x 加速度 a = 2 = 0 dt 微分方程式の一般解は x(t) = C1 + C2t 物理学AI 第７講 ニュートンの第二法則 運動の法則 物体の加速度は外力に比例し、質量 に反比例する。 2x d m a = f m 2 =f dt ニュートンの運動方程式 物理学AI 第７講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第７講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第７講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第７講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第７講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第７講 ニュートンの第三法則 作用・反作用の法則 ２つの物体が互いに及ぼし合う力 は、大きさが等しく方向は反対で ある。 f 12 = -f21 物理学AI 第７講 ニュートンの第三法則 物理学AI 第７講 運動の法則 ∼日常的な力∼ 運動方程式を解く① （教科書 1.6 1.8） ∼次元・単位と次元解析∼ （教科書付録 物理量と単位） 物理学AI 第７講 日常的な力① ∼抗力∼ m N = mg mg = ma = mg + N = 0 物理学AI 第７講 日常的な力① ∼抗力∼ ma = mg + N = 0 微分形にすると d2x m 2 = mg + N = 0 dt 運動方程式の一般解は x(t) = C1 + C2t 物理学AI 第７講 日常的な力① ∼抗力∼ N = mg cos θ F = mg sin θ mg = ma = mg sin θ m θ 物理学AI 第７講 日常的な力① ∼抗力∼ ma = mg sin θ 微分形にすると d2x m 2 = mg sin θ dt 運動方程式の一般解は x(t) = C1 + C2t + gt2sin θ /2 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ T =mg m ma = -mg + T = 0 T = -mg T = mg = -mg 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ ma = mg + T = 0 微分形にすると d2x m 2 = mg + T = 0 dt 運動方程式の一般解は x(t) = C1 + C2t 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ M Ma = T ma = mg - T (M + m) a = mg T m T = mg 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ (M + m) a = mg 微分形にすると d2x (M + m) 2 = mg dt 運動方程式の一般解は m x(t) = C1 + C2t + gt2 2(M + m) 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ T =2m1m2g/(m1+m2) (m1 +m2) a = (m1 - m2) g 物理学AI 第７講 日常的な力② ∼張力∼ (m1 +m2) a = (m1 - m2) g 微分形にすると d2x (m1 +m2) 2 = (m1 - m2) g dt 運動方程式の一般解は (m1 - m2) 2 x(t) = C1 + C2t + gt 2 (m1 +m2) 物理学AI 第７講 日常的な力③ ∼摩擦力∼ 静止摩擦力 静止摩擦係数 動摩擦力 動摩擦係数 物理学AI 第７講 日常的な力③ ∼摩擦力∼ N = mg cos θ m mg sin θ = µsN ma = (合力) = 0 θ 物理学AI 第７講 日常的な力③ ∼摩擦力∼ 物理学AI 第７講 日常的な力③ ∼摩擦力∼ 物理学AI 第７講 日常的な力③ ∼摩擦力∼ 運動方程式は ma = -µkmg v = vo - µkgt r = ro + vot - µkgt2/2 動摩擦力 µkmg 物理学AI 第７講 日常的な力③ ∼摩擦力∼ 物理学AI 第７講 日常的な力④∼空気抵抗∼ 直径数mm以下 F = -kv 直径数mm∼数m 2 F = -CρAv 物理学AI 第７講 日常的な力④∼空気抵抗∼ ma1 2 = mg - kv 2ma2 2 = 2mg - kv 物理学AI 第７講 次元・単位 物理で扱う量（物理量）は 必ず単位（または次元）を持つ 次元 長さ MKSA 質量 単位系 時間 電流 記号 L M T I 単位 m kg SI s 単位系 A 物理学AI 第７講 次元・単位 すべての物理量はMKSA単位の 組み合わせで表現できる 物理量 面積 速度 加速度 力 記号 単位 L2 m2 -1 -1 L⋅T m⋅s -2 -2 L⋅T m⋅s -2 -2 M⋅ L⋅T kg⋅m⋅s 物理学AI 第７講 次元解析 式の両辺の次元は一致する 問題（運動方程式等）を 解かなくても、解の表式 を求めることが可能 次元解析 物理学AI 第７講 次元解析の例 単振動 周期Tは？ ma = -kx -x 0 x f = kx f = -kx フックの法則 物理学AI 第７講 次元解析の例 周期 Tを決めている物理量は 質量 m、バネ定数 k、振幅 A a b c T∝m k A バネ定数の次元はMT-2だから 左辺の次元 = T b a -2 c 右辺の次元 = M (MT ) L 物理学AI 第７講 次元解析の例 両辺の各ベキを比べると a + b = 0, -2b = 1, c = 0 ∴ a = 1/2, b = -1/2, c = 0 したがって 1/2 -1/2 T m k （正確には T = m1/2k -1/2 × 2π） 物理学AI 第７講 次元解析の例 T m1/2k -1/2 バネ定数の変化 質量の変化 物理学AI 第７講 レポート1 太陽と半月の間の角は約87 （89.85 ）。 太陽までの距離は何スタディオンか? 87 アリスタルコス 物理学AI 第７講 レポート2 惑星の運動に関するケプラーの第３ 法則、すなわち公転周期Tと軌道長半 径aの間に関係式T2 ∝ a3が成り立つこと を、軌道が円の場合についての次元解 析によって導け。 （ヒント）公転周期Tは万有引力定数 Gと太陽質量mおよび軌道半径aによっ て決まる。万有引力定数の持つ次元は M-1L3T-2である。 物理学AI 第７講 レポート 締切：6月12日 13:00 提出先：B8-205 （数理工学事務） 物理学AI 第７講 レポート 自習用テキスト第５章 問全問 最大10点 締切：7月10日 13:00 提出先：B8-205 （数理工学事務）
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