Normalverteilung

Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
f (x) = √
1
2πσ 2
2
1 (x−µ)
σ2
·e− 2 (
)
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Gauß
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
91 / 169
Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Satz: f aus (1) ist Dichte.
Beweis: 1. f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R und σ > 0.
2. bleibt z.z.
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
lim F(x) =
x→∞
Z∞
f (t) dt =
−∞
Z∞
√
1 t−µ 2
1
e− 2 ( σ ) dt = 1.
2πσ
−∞
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Wir bezeichnen
Z∞
√
1 x−µ 2
1
e− 2 ( σ ) dx =: I.
2πσ
−∞
Varianz
Normalverteilung (2)
92 / 169
Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
¨
Wir betrachten zunachst:

2
+∞
Z
2
1 x−µ
1
e− 2 ( σ ) dx
I2 =  √
2πσ
−∞
 +∞
  +∞

Z
Z
2
2
1 x−µ
1 y−µ
1 
=
e− 2 ( σ ) dx 
e− 2 ( σ ) dy
2
2πσ
−∞
−∞
 +∞

+∞
Z
Z
2
2
1
− 12 ( x−µ
− 1 y−µ

σ ) dx e 2 ( σ ) dy
e
=
2πσ 2
−∞
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
=
1
2πσ 2
−∞
Z+∞ Z+∞
e− 2 (
−∞ −∞
1
x−µ 2
σ
2
) e− 12 ( y−µ
σ ) dx dy
93 / 169
Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
Substitution:
s :=
¨
W. Kossler
Einleitung
Syntax
Transformationen
Externes File
t :=
dx = σ ds
Datenbehandlung
Tastatur
x−µ
σ
y−µ
.
σ
dy = σ dt.
Wir erhalten damit:
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
I
2
1
=
2πσ 2
Z∞ Z∞
1 2
1 2
e− 2 s e− 2 t σ 2 ds dt
−∞ −∞
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
=
1
2π
Z∞ Z∞
1
2
2
e− 2 (s +t ) ds dt
−∞ −∞
Varianz
Normalverteilung (2)
94 / 169
Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
Weitere Substitution (Polarkoordinaten):
s = r cos ϕ
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
t = r sin ϕ.
Dann gilt allgemein nach der Substitutionsregel:
Z Z
Z Z
g(s, t) ds dt =
g(r, ϕ) det J dr dϕ,
wobei hier:
∂s ∂s ∂ϕ det J = |J| = ∂r
∂t
∂t ∂r ∂ϕ
cos ϕ −r sin ϕ
= sin ϕ r cos ϕ
= r cos2 ϕ + r sin2 ϕ
= r(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = r
95 / 169
Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
I
2
1
=
2π
Z2π Z∞
1
2π
Z2π Z∞
0
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
=
SAS-Files
0
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
cos2 ϕ+r 2 sin2 ϕ)
r dr dϕ
0
1 2
e− 2 r r dr dϕ
0
0
Diskrete Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
2
Z2π h
2 i∞
1
− r2
−e
dϕ
=
2π
0
Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
1
e− 2 (r
1
=
2π
Z2π
0
dϕ =
1
2π = 1
2π
96 / 169
Normalverteilung
Standard-Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
µ = 0,
σ2 = 1
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
1
2
ϕ(x) = √ · e−x /2
Dichte
2π Z
x
1
2
e−t /2 dt Verteilungsfunktion
Φ(x) = √
2π −∞
ϕ(x), Φ(x) sind tabelliert.
Es geht auch einfacher mit CDF und PDF.
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
97 / 169
Dichte der Standardnormalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
ϕ(x) = ϕ(−x)
Φ(x) = 1 − Φ(−x)
Programm: Descr_normal.sas
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
99 / 169
Dichte der Standardnormalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
ϕ(x) = ϕ(−x)
Φ(x) = 1 − Φ(−x)
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
Programm: Descr_normal.sas
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Frage: Fur
¨ welches x gilt: Φ(x) = α?
x = Φ−1 (α) α-Quantil.
Φ−1 (α) als Funktion: Quantilfunktion
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
SAS: QUANTILE(’normal’,α,0,1)
99 / 169
Normalverteilung
Beziehung zur Standard-Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Sei X ∼ N(0, 1). Dann P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a).
Satz. Es gilt:
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
X ∼ N(0, 1) ⇐⇒ σX + µ ∼ N(µ, σ 2 )
X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇐⇒ αX + β ∼ N(αµ + β, α2 σ 2 )
X−µ
X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇐⇒
∼ N(0, 1)
σ
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
100 / 169
Normalverteilung
Beziehung zur Standard-Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Sei X ∼ N(0, 1). Dann P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a).
Satz. Es gilt:
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
X ∼ N(0, 1) ⇐⇒ σX + µ ∼ N(µ, σ 2 )
X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇐⇒ αX + β ∼ N(αµ + β, α2 σ 2 )
X−µ
X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇐⇒
∼ N(0, 1)
σ
Beweis: Wir zeigen nur 1. (→). Sei X ∼ N(0, 1).
x−µ
x−µ
P(σX + µ ≤ x) = P(X ≤
) = Φ(
)=
σ
σ
Z x
Z x−µ
σ
1
1
2
2
2
√ e−t /2 dt =
√
e−(u−µ) /(2σ ) du
=
2π
2πσ 2
−∞
−∞
100 / 169
Normalverteilung
Unterschiedliche Parameter (1)
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Vergleichen Sie
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
a) σ 2 fest, µ verschieden
b) µ fest, σ 2 verschieden
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Descr_Normal_1.sas
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
102 / 169
Normalverteilung
Unterschiedliche Parameter (1)
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
Satz:
Seien X1 ∼ N(µ, σ12 ), X2 ∼ N(µ, σ22 ),
σ12 < σ22 und a > 0. Dann gilt:
P(µ − a < X1 < µ + a) > P(µ − a < X2 < µ + a).
Beweis:
−a
X1 − µ
a
<
< )
σ1
σ1
σ1
a
a
= Φ( ) − Φ(− )
σ1
σ1
a
a
> Φ( ) − Φ(− )
σ2
σ2
= P(µ − a < X2 < µ + a).
P(µ − a < X1 < µ + a) = P(
103 / 169
Normalverteilung
Beispiel: X1 ∼ N(10, 4), X2 ∼ N(10, 9), a = 1.
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
11 − 10
9 − 10
) − Φ(
)
2
2
1
1
= Φ( ) − Φ(− )
2
2
1
= 2 · Φ( ) − 1
2
= 2 · 0.6915 − 1 = 0.383.
P(9 < X1 < 11) = Φ(
11 − 10
9 − 10
) − Φ(
)
3
3
1
1
= Φ( ) − Φ(− )
3
3
1
= 2 · Φ( ) − 1
3
= 2 · 0.6306 − 1 = 0.26112.
P(9 < X2 < 11) = Φ(
105 / 169
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zusammenfassung (1)
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Diskrete Verteilungen
Binomial X ∼ B(n, p)
X : Anzahl von “Erfolgen”, n Versuche, Erfolgswkt. p.
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Poisson X ∼ Poi(λ)
X : Anzahl von “Erfolgen”, n Versuche, Erfolgswkt. p,
n groß und p klein, n · p = λ.
X : # Ankunfte
¨
in einem Zeitintervall.
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Geometrisch, X ∼ Geo(p)
X :: Zahl der Versuche bis zum ersten “Erfolg”.
Varianz
Normalverteilung (2)
106 / 169
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zusammenfassung (2)
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
Stetige Verteilungen
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Gleichverteilung X ∼ R(a, b)
Zufallszahlen
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Exponential X ∼ Exp(λ)
¨
“gedachtnislose”
stetige Verteilung.
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normal X ∼ N(µ, σ 2 )
Zentraler Grenzwertsatz
Fehlergesetz (viele kleine unabh. Fehler)
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
107 / 169
Erwartungswert
Einleitende Motivation
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Eine Munze
¨
wird 3 mal geworfen.
¨
Wie oft konnen
wir erwarten, daß Blatt oben liegt?
Wie oft wird im Mittel Blatt oben liegen?
0
1
2
3
X:
1/8 3/8 3/8 1/8
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Erwartungswert:
0 · 18 + 1 · 38 + 2 · 38 + 3 · 18 = 128 = 1.5
D.h. bei 10maliger Durchfuhrung
¨
des Experiments
¨
konnen
wir im Mittel mit 15mal Blatt rechnen!
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
108 / 169
Erwartungswert
Diskrete Zufallsvariable
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Sei X diskrete Zufallsvariable
x1 ... xn ...
X:
p1 ... pn ...
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
EX =
∞
X
pi xi
i=1
heißt Erwartungswert von X.
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
109 / 169
Erwartungswert
X ∼ Poisson(λ)
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
X:
0 1 2 3 ...
p0 p1 p2 p3 ...
pi =
λi −λ
e
i!
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
EX =
Externes File
Input-Anweisung
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
pi i
i=0
Transformationen
SAS-Files
∞
X
=
∞
X
λi
i!
i=0
∞
X
= λ
|i=1
e−λ · i
λi−1 −λ
e = λ.
(i − 1)!
{z
}
eλ
z.B. mittlere Ankunftsrate.
110 / 169
Erwartungswert
X ∼ Bi(n, p)
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
n
X
n k
p · (1 − p)n−k
k
EX =
k
k=0
n
X
n!
pk−1 (1 − p)n−k
(k
−
1)!(n
−
k)!
k=1
n X
n − 1 k−1
p (1 − p)n−k
= p·n
k
−
1
k=1
n−1 X
n−1 i
p (1 − p)n−1−i ,
= p·n
k =i+1
i
i=0
= n · p.
= p
111 / 169
Erwartungswert
Stetige Verteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
¨
Sei X stetig mit Dichte f . Die Große
Z∞
EX =
x · f (x)dx
−∞
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
heißt Erwartungswert von X.
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
X ∼ Exp(λ),
λ>0
Z∞
x
1
EX = x · · e− λ dx = λ
λ
0
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
112 / 169
Erwartungswert
Normalverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
X ∼ N(µ, σ 2 )
¨
W. Kossler
Einleitung
Datenbehandlung
EX =
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
Z∞
=
−∞
Z∞
x√
x−µ 2
1
e−( σ ) /2 dx
2π · σ
1 −t2
(σt + µ) √ e 2 dt
2π
−∞
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
1
= µ+ √
2π
Z∞
σ·t·e
−t2
2
dt
−∞
= µ.
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
x−µ
σ
= t,
dx = σdt
113 / 169
Erwartungswert
Gleichverteilung
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
Einleitung
X ∼ R(a, b), gleichverteilt auf dem Intervall (a,b)
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
1
EX =
b−a
Output-Anweisung
2
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
=
Zb
a
2
b
1 x2 xdx =
b−a 2
a
b −a
a+b
=
.
2(b − a)
2
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
114 / 169
Erwartungswert
Eigenschaften des Erwartungswertes
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
E ist Linearer Operator
E(aX + bY) = aEX + bEY.
Einleitung
Datenbehandlung
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
115 / 169
Erwartungswert
Eigenschaften des Erwartungswertes
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
E ist Linearer Operator
E(aX + bY) = aEX + bEY.
Einleitung
Datenbehandlung
¨
Seien X und Y stochastisch unabhangig.
Dann
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
E(X · Y) = EX · EY.
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
115 / 169
Erwartungswert
Eigenschaften des Erwartungswertes
Werkzeuge der
empirischen
Forschung
¨
W. Kossler
E ist Linearer Operator
E(aX + bY) = aEX + bEY.
Einleitung
Datenbehandlung
¨
Seien X und Y stochastisch unabhangig.
Dann
Syntax
Tastatur
Transformationen
Externes File
Input-Anweisung
SAS-Files
Zusamenfugen
¨
Output-Anweisung
DO-Schleifen
Wkt.rechnung
Population
Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung (1)
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung (2)
E(X · Y) = EX · EY.
Regel des Faulen Statistikers
Sei X Zufallsvariable, g: R −→ R (rechtsseitig) stetig ⇒
P
∞

, falls X diskret
 i=0 g(xi )pi
R∞
E(g(X)) =

g(x)f (x)dx
, falls X stetig,

−∞
vorausgesetzt die Erwartungswerte existieren.
115 / 169

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