平成 26 年度 日本大学文理学部個人研究費 研究実績報告書 学科・資格 数学科・教授 申請者氏名 吉田 健一 研 究 課 題 研究目的 お よ び 報 研究概要 告 研 究 の の 概 結 果 要 研 究 の 考 察 ・ 反 省 ㊞ 単純特異点上の極大ＣＭ加群の研究 申請者は，最近渡辺敬一氏，後藤四郎氏(明治大学)，高橋亮氏(名古屋大学)らと一般化さ れた Ulrich 加群の共同研究を行い，古典的なマッカイ対応とリーマン・ロッホ公式を用い て，2 次元の Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 商特異点の場合に， Ulrich 加群と Ulrich イデアルの分類定 理を証明した。2 次元の Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 商特異点は 2 次元の単純特異点である。また， Knorrer の周期性により，単純特異点上のＣＭ加群の AR 図式の決定は低次元の場合に帰 着することが知られている。さらに，単純特異点は超曲面であるが，行列分解の理論の応用 として，超曲面の Ulrich イデアルを制御する方法を発見した。本研究の目的は，その理論 を整備し，単純特異点における Ulrich 加群の分類を完成することである。 申請者は超曲面における Ulrich イデアルが、超曲面を定義する多項式の行列式分解から 定まるあるイデアルのクラスに含まれることを証明した。また、2 次元と１次元の場合の結果を 利用することにより、単純特異点の Ulrich 加群の分類、及び Ulrich イデアルの決定に成 功した。その一部は昨年のベトナムの研究集会でも公表したが、現在論文として整理する作 業を続けている。また、平成 26 年度 6 月に名古屋大学大学院多元数理科学研究科の集中 講義にて、Ulrich 加群・イデアルに関する研究報告を行った。その際に提出した巡回商特 異点の Ulrich 加群の構造に関する問題をきっかけとして、名古屋大学大学院多元数理科 学研究科在住の中嶋氏と共同研究をスタートさせた。 単純超曲面の Ulrich 加群・Ulrich イデアルに関する分類はほぼ予想通りの結果が得られ た。証明方法としては、有限表現型と Gorenstein 単純特異点の関係を証明した方法を参 考にした。その考察から、高々有限個の Ulrich イデアルを持つ超曲面は有限表現型に限 るだろうという予想を得た。また、今後の課題としては、トーリック特異点や数値的半群を持 つ次数付き Ulrich イデアルの分類問題などに取り組みたいと考えている。 年末に忙しくなったため、予定していた出張（名古屋大学）を中止せざるを得なかった。 ※この欄は，本報告書提出時点で判明している事項について御記入ください。 研究発表 学会名 発表テーマ 年月日／場所 研究成果物 テーマ 誌 名 巻・号 発行年月日 発行所・者 可換環論シンポジウム, Integrally closed ideals of 2-dimensional normal singularities, 2014 年 11 月 24 日, IPC 生産性センター(神奈川県葉山市). 第 25 回可換環論セミナー, Almost Gorensteinness of Rees algebras of pg-ideal, 2015 年 1 月 26 日, 静 岡大学理学部（静岡県静岡市). Shiro Goto, Kazuho Ozeki, Ryo Takahashi, Kei-ichi Watanabe and Ken-ichi Yoshida, Ulrich ideals and modules, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 156, 137-166, 2014 年.
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