統計的検定 科学史・科学哲学 2015/7/3 反証主義の問題 • ポパー「科学的仮説は反証可能でなければならない」 • 仮説Hがある予測Eを論理的に含意する場合、Hは ~Eによって反証される • しかし予測が蓋然的な場合、~Eは~Hを含意しな い。 • 蓋然的な仮説は反証不可能？ 反証主義の問題 • しかし実際には：科学は蓋然的な仮説にたいしても、反証・ 確証を行っているように見える • e.g. 「煙草は肺がんの原因である」「新薬には効果の改善が 認められる」「少量の被曝では身体に害はない」 • 実際の生活においてはこうした確定的判断を下すことが不断 に求められる • こうした判断はいかにして可能か？？ 二つの問い（Royal） 1. ある仮説がどれくらい確からしいか？ ← Bayes 2. どの仮説にしたがって行動すべきか？ • e.g. 煙草を止めるべき？ この薬を使うべき？ • 仮説に対する決断が必要になる 統計学からの二つの答え ベイズ統計 (Bayesian statistics)：証拠によってモデ ル・仮説の確からしさがどのように変化するかを計算 する 仮説検定 (Hypothesis testing)：どのような証拠が得 られた時に、モデル・仮説を棄却するべきかの指針を 与える 検定には二種類ある Fisherの有意検定（significance test） Neyman-Pearsonの仮説検定 有意検定の考え方 • コイン投げの事例 • ある仮説hを仮定したとき、その元では到底起こり そうにないような結果が得られたら、hを棄却して 良い。 有意検定の手順 1. テストする仮説（帰無仮説; null hypothesis）h0を定める 2. h0のもとで各データがどれくらいの確率で起こるかを明確 にする（確率モデルをたてる） 3. どれくらい「起こりそうにない」データがでたらh0を棄却 するのかを決める（有意水準） 4. 棄却域（仮説を棄却するようなデータの範囲）が決まる 5. データをとり、それが棄却域に入っていたらh0を棄却する 検定の例：コイン投げ 1. 帰無仮説 h0 「コインは公平である」 • P(表) = P(裏) = 0.5 • それぞれのコイン投げは独立 2. 確率モデル 二項分布（binomial distribution） P (X = x) = 10 Cx ⇣ 1 ⌘10 2 3. 有意水準の決定 • どれくらいの確率なら「ありそうにない」のか？ • ここでは5%としておこう。つまり20回に1回以下の 確率でしか起こらないようなことは「たまたま生じ うる」とは考えない、ということ。 4. 棄却域の決定 P(X = 0 or 1 or 9 or 10) = 0.021 → 表ないし裏が1回以下しか出ないとき、公平仮説を棄却 5. データ取得 表ないし裏の数が1回以下でした → 有意水準5%以下で帰無仮説h0を棄却する 表も裏もそれぞれ2回以上でました → 仮説は棄却されない（コインが公平である、と いう可能性は排除できない） 例2：モテモテお守り 1. 帰無仮説 h0 「モテモテお守りには効果がない」 • 「お守りを持っている人に恋人ができる割合」と 「お守りを持っていない人に恋人ができる割合」 に違いはない（ズレがゼロ） • このズレを k という量（統計量）で表す 2. 確率モデル カイ二乗分布（chi-squared distribution） e P (K = k) = p k/2 2⇡k 3 & 4. 有意水準と棄却域 有意水準5%とした時の棄却域 P (K > 3.84) = 0.05 この範囲のK だったら帰無仮説を 棄却できる 5. データ取得 • • お守りありで恋人ができた人：20/50人 お守りなしで恋人ができた人：15/50人 → K=2.38となる P (K > 2.38) = 0.123 棄却域に入ってない ので帰無仮説は棄却 されない 今回のような データが得られる 確率（p値; p-value） statistically significant 統計的に有意とは • ある決められた有意水準で、帰無仮説が棄却されたというこ と。 • 例：「新薬の有効性に関して統計的に有意な結果が得られた ＝ 「新薬には効果がない、という帰無仮説をある有意水準の もとで棄却できた」 ＝ 「新薬に効果がないと仮定した場合、今回のようなデータ （ないしそれ以上に極端なデータ）が得られる確率はp値以 下であった。」 p値と偽陽性 • もし実は新薬には効果がなかったとしても、今回の ようなデータが得られる可能性は かながらあった • 例えば有意水準5%とすると、新薬に効果がなくて も、同じ実験を20回繰り返せば1回くらいは統計的 に有意な結果がでるだろう。 • → 20回に1回は偽陽性（false positive）が出る 出典: https://xkcd.com/882/ p値についての注意 • p値は仮説の確率ではない！ • 「5%の有意水準で帰無仮説が棄却された」 ≠ 「仮説の確率は0.05以下である」 • むしろそれは（仮説が正しいと仮定した元での）データの確率である • 「もし帰無仮説が正しければ、今回と同じような実験を何回も続 けたとき今回と同じようなデータ（ないしそれより極端なデータ） が得られる頻度はpだろう」ということ。 • → 確率の頻度解釈（frequentist interpretation） 「棄却」についての注意 • • 検定結果は、仮説の「確からしさ」についてのverdictではない • 帰無仮説が棄却されない ≠ 帰無仮説が確からしい • 棄却・非棄却によって、仮説の確からしさが判断されるわけではない。 • 検定の使命は、仮説の真偽を決定することでなく、むしろどちらの仮説に もとづいて行動すべきかを決定することである。 裁判のアナロジー • 判決結果によって、被告が実際に罪を犯したかどうかが判断されるわけで はない。 • 裁判官の使命は、真実を突き止めることではなく、処置（処罰）を決定す ることである。 反証主義と検定 仮説と確率の意味付け • 検定：「仮説の確率」という概念は意味をなさない • Popper：「仮説の確からしさ」は科学者個人の信念の問題で あり、客観性・論理性とは何の関係もない 「裏付け」と検定 • 検定：帰無仮説の非棄却（棄却）は、その正しさ（誤り）を 立証するわけではない • Popper：「裏付け」は仮説の正しさを立証するわけではない 反証主義への含意 • Popperの問題：仮説の予測が蓋然的であるときは、仮説の真偽を完全に決 定することはできない。 • しかし、その仮説のもとでデータが得られる確率を計算することはできる • そしてその確率が低い場合仮説を退けるという「ルール」を設け、その 「ルール」にしたがって個別事例を判断することはできる。 • その時我々は、その「ルール」が一定の確率（有意水準）で誤りうるもの である、ということを受け入れている。 科学の客観性は、証拠から決断を下すために用いる ツール／ルールの客観性によって担保される おまけ：メンデルのデータ • • 予測：形質比は 3：1 実測：6022：2011 → この予測と実測の間のズレはK=0.0812となる P (K 0.0812) = 0.22 Mendelの予測が 正しいとして、 彼ほどに「良い」 データが 得られる確率
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