11 第 11 回 1質点1自由度系の非線形地震応答(3)

構造振動特論－第 11 回資料
１質点１自由度系の非線形地震応答(3)
最終印刷日時：2015/07/03 8:48:00
11 第 11 回
１質点１自由度系の非線形地震応答(3)
11.1
応答計算例
次いで，応答計算例を示す．構造物が線形弾性応答している時の最大応答復元力 Qe と構造物の降
伏復元力 Qy の比を R とし，式(11.1)で定義する．
R
Qe
Qy
(11.1)
ここで，R < 1 の場合には構造物が線形弾性範囲で応答する場合と対応し，R > 1 の場合には構造
物が降伏点を超えて非線形領域で応答する場合と対応する．そこで，入力地震動として El Centro
1940NS を用い，構造物の弾性時の固有周期 Te を 0.3 秒と 1.0 秒，R の値を 1.0～5.0 までの範囲で変
化させて，構造物の降伏耐力が応答に及ぼす影響を検討する．ここで，復元力特性としてはノーマ
ルバイリニアーモデルと剛性低下型バイリニアーモデルを用いることとし，骨格曲線における降伏
後の剛性は弾性時の 0.01 倍とする．また，弾性時における減衰定数は 0.05 とする．
図 11-1 に，構造物の弾性時の固有周期 Te を 0.3 秒とした場合における，線形弾性範囲（R = 1）
での応答変位と応答復元力の時刻歴，ならびに復元力特性としてノーマルバイリニアーモデルを用
いた場合（R = 5）での応答変位と応答復元力の時刻歴を示す．
図 11-1 より以下の傾向が確認できる．
(1)
応答変位に関しては，非線形領域で応答する場合（R = 5）の方が線形弾性範囲で応答
する場合（R = 1）と比べて大きくなる．加えて，R = 5 の場合では 5 秒以降で応答が正方向
に偏る傾向がみられる．
(2)
応答復元力に関しては，非線形領域で応答する場合（R = 5）の方が線形弾性範囲で応
答する場合（R = 1）と比べて小さくなり，応答復元力が降伏復元力 Qy の値でほぼ頭打ちと
なる．
同様に，図 11-2 に，復元力特性として剛性低下型バイリニアーモデルを用いた場合（R = 5）で
の応答変位と応答復元力の時刻歴を示す．図 11-2 より，図 11-1 と同様の傾向が確認できるが，剛
性低下型バイリニアーモデルの場合には，R = 1 の場合ならびに R = 5 として復元力特性としてノー
マルバイリニアーモデルを用いた場合と比べて，応答の周期が長くなっている傾向が明瞭に見られ
る．このように，骨格曲線は同一であっても，応答波形が大きく異なる事が確認できる．
なお，図 11-3 は，R = 5 の場合での復元力－変位関係（履歴応答と呼ぶ事もある）を，ノーマル
バイリニアーモデルと剛性低下型バイリニアーモデルで比較して示したものである．図 11-3 より，
どちらのモデルにおいても復元力－変位関係が仮定した復元力特性に応じてループを描いている事
が確認できる．ここで，履歴ループにより囲まれた面積が構造物により吸収されたひずみエネルギ
ーに対応する．
11-1
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図 11-1
応答時刻歴波形（ノーマルバイリニアーモデル，Te = 0.3s）
11-2
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図 11-2
応答時刻歴波形（剛性低下型バイリニアーモデル，Te = 0.3s）
図 11-3
11.2
履歴応答の比較（R = 5.0，Te = 0.3s）
古典的な経験則：エネルギー一定則と変位一定則
構造物の耐震設計において，昔からの最大の関心事の１つは，構造物に生じる最大塑性率 μ をあ
る許容値以内に収めるためには降伏耐力 Qy をどのくらいにすればよいか，ということである．これ
に関し，以下の２つの経験則が知られている。
経験則１（エネルギー一定則）
弾性時固有周期 Te が比較的短周期である構造物において，構造物が弾性挙動すると仮定したとき
の最大せん断力 Qe，最大応答変位を δe とする．これに対し，弾塑性領域で応答する場合の降伏せん
11-3
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断耐力を Qy，弾塑性応答するときの最大応答変位を δmax（= μδy）とすると，式(11.2)の関係が概ね成
立する（図 11-4）．
1
1
Qy  2 max   y   Qe e
2
2
図 11-4
(11.2)
エネルギー一定則
なお，このエネルギー一定則は，前述した「エネルギーのつり合い」とは全く別のものである点
に留意されたい．
経験則２（変位一定則）
弾性時固有周期 Te が比較的長周期である構造物において，構造物が弾性挙動すると仮定したとき
の最大応答変位 δe と弾塑性応答するときの最大応答変位を δmax は，概ね等しい（式(11.3)）．
 max   e
(11.3)
上の経験則を確認するため，固有周期の違いによる最大応答の傾向の違いを調べる．図 11-5 に，
弾性時の固有周期 Te が 0.3 秒と 1.0 秒のケースについて，縦軸に最大応答加速度を取り横軸に最大
応答変位を取ったものを示す．
図 11-5(a)より，Te が 0.3 秒の場合には，R が大きくなる（降伏耐力が小さくなる）につれて最大
応答加速度が減少する一方で最大応答変位が増加する傾向にある事がわかる．特に，R が大きくな
るにつれて最大応答変位の増加が顕著となる．特に，ノーマルバイリニア―モデルの場合，エネル
ギー一定則と概ね対応していることがわかる．
一方，図 11-5(b)より，Te が 1.0 秒の場合には，R が大きくなる（降伏耐力が小さくなる）につれ
て最大応答加速度が減少するものの，最大応答変位もむしろ減少し，R = 5.0 とした場合でも最大応
答変位が弾性時（R = 1.0）と比べて小さくなっている．この傾向は他の地震動においても一般的に
見られる傾向である．
なお，Te が 0.3 秒と 1.0 秒のケースにおいて，復元力特性を剛性低下型バイリニアーモデルとした
場合では，ノーマルバイリニアーモデルの場合と比べて最大応答変位が大きくなる傾向が見られる．
11-4
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図 11-5 最大応答の比較
11-5
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11.3
演習問題
与えられた２つの Excel のマクロ（ノーマルバイリニアーモデル，剛性低下型ノーマルバイリニ
アーモデル）を用いて，以下の１自由度系の非線形時刻歴応答解析を実施し，応答性状を比較せよ．
構造物１：質量 100ton，弾性固有周期 Te = 0.4s
構造物２：質量 100ton，弾性固有周期 Te = 0.8s
構造物３：質量 100ton，弾性固有周期 Te = 2.0s
初期剛性の値は，与えられた質量と弾性固有周期から求める事．
減衰定数 h は 0.05 とする．降伏耐力 Qy と降伏後剛性と初期剛性の比は以下の通りとする．

Qy = Qe / R: R = 1, 1.5, 2, 3, 4, 5, 10

降伏後剛性と初期剛性の比（降伏後剛性低下率）＝0.001 の１通り
Qe の求め方：初めに，Qy = 10000kN（十分に大きい値）としてマクロを実施し，最大応答せん断
力を求める．この値を Qe とする．
解析結果は，今回資料の図 11-5 と以下の表 11-1 のようにしてまとめること．
表 11-1
解析結果の取りまとめ
最大塑性率
R
ノーマルバイリニ
剛性低下型バイリ
アーモデル
ニアーモデル
1.000
1.000
1.000
*.***
*.***
*.***
エネルギー一定則
変位一定則
1.0
1.000
1.5
*.***
2.0
・・・・
なお，エネルギー一定則に基づく最大塑性率の推定値は式(11.4)より，変位一定則によるの推定
値は式(11.5)より与えられる．

1 2
 R  1
2
(11.4)
R
(11.5)
注：グラフと表は，構造物１～３で分けて作成すること．なお，図には，ノーマルバイリニアー
モデルと剛性低下型バイリニアーモデルの解析結果を，同じ図に重ねて示すこと．
加えて，構造物１～３での R = 2 と R＝4 について，履歴応答をグラフで示すこと（両方の履歴モ
デルについて示すこと）
．
11-6

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