カスプ特異点とその類似物の構成

カスプ特異点とその類似物の構成
土橋宏康
March 2, 2015
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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カスプ特異点のカスプという名前の由来
H (上半平面 ≃ 円板) への
SL(2, Z) の作用の基本領域
↖
Hiro ()
実軸
カスプ (尖点)
Beamer
March 2, 2015
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Hilbert modular cusp : H n の全実代数体の離散群による商空間の
有限個の点によるコンパクト化に現れる特異点
2 次元カスプ特異点 : 特異点解消の例外集合が有理曲線の輪
右下図のような扇から構成される
γ Z -不変, γ ∈ SL(2, Z)
←−
0
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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3 次元の扇を平面で切断した図
GL(3, Z) の部分群が作用
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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N = Zn , NR = N ⊗ R (≃ Rn )
カスプ特異点は次の条件をみたす NR の扇 Σ と GL(N) の部分群 Γ から
構成される。
1. Σ : Γ-不変
(γσ ∈ Σ for ∀γ ∈ Γ, ∀σ ∈ Σ)
2. Σ/Γ : 有限集合
3. C := |Σ| \ {0} : 開強凸錐
(|Σ| =
∪
σ∈Σ σ)
4. γσ ̸= σ for ∀γ ̸= 1, ∀σ ̸= {0}
=⇒ ∃(V , p) : カスプ特異点 s.t. V \ {p} ≃ (Rn +
√
−1C )/Zn · Γ
3. と 4. の条件を以下のように弱くしても特異点が構成できる。
3. 開強凸錐 =⇒ 強凸錐,
Hiro ()
4. σ ̸= {0} =⇒ σ ̸⊂ ∂C
Beamer
March 2, 2015
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条件 3. と 4. を弱くした例 1
3 次元の扇を平面で切断した図
↘
ϕ
−→
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Beamer
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条件 3. と 4. を弱くした例 2
ϕ
−→
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条件 3. と 4. を弱くした例 3
ϕ
−→
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Beamer
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扇の構成
σ : n 次元有理強凸多面錐 ⊂ NR
I∪
σ = {σ の n − 1 次元面 }
ρ
Jσ ∋ τ −→ γ = ρ(τ ) ∈ GL(N)
(N の有限個の元で張られ、
直線を含まない)
s.t.
γx = x for ∀x ∈ τ ,
γσ ∩ σ = τ , (γ)2 = 1
Γ(ρ) := ⟨ρ(τ ) | τ ∈ Jσ ⟩ ⊂ GL(N)
Σ(σ, ρ) := {faces of γσ | γ ∈ Γ(ρ)}
γσ
γσ
σ
Hiro ()
σ
Beamer
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Σ(σ, ρ) が扇となるための条件
Theorem 3.1
σ, ρ が以下の条件
I, II, III をみたせば、Σ(σ, ρ) は扇であり、
∪
|Σ(σ, ρ)| = σ∈Σ(σ,ρ) σ は強凸錐である。
M = Hom(N, Z), ⟨ , ⟩ : M × N → Z,
For τ ∈ Iσ , ∃1
τ⊥
=⇒ For τ ∈ Jσ ,
⟨x, γy ⟩ = ⟨t γx, y ⟩,
: primitive ∈ M s.t.
⟨τ ⊥ , y ⟩
⟨τ ⊥ , y ⟩
∈ GL(M)
= 0 for ∀y ∈ τ
≥ 0 for ∀y ∈ σ
µ ∈ Iσ
t ρ(τ )µ⊥
µ⊥
KA µ
A
σ τ
τ-⊥
t ρ(τ )τ ⊥
= −τ ⊥
= µ⊥ + cµτ τ ⊥
∃cµτ ∈ Z
ρ(τ )σ
I. cµτ ≥ 0 for ∀τ ∈ Jσ and ∀µ ∈ Iσ
Hiro ()
tγ
Beamer
with dim τ ∩ µ = n − 2
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条件 I
I. cµτ ≥ 0 for ∀τ ∈ Jσ and ∀µ ∈ Iσ
cµτ > 0
µ⊥
cµτ = 0
with dim τ ∩ µ = n − 2
cµτ < 0
µ⊥ + cµτ τ ⊥
COC
C µ
ρ(τ )µ σ
τ ρ(τ )σ
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Beamer
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条件 II
II. cµτ = cτµ = 0, cµτ cτµ = 2 or cµτ cτµ ≥ 4
cµτ = cτµ = 0
for ∀τ, µ ∈ Jσ with
dim τ ∩ µ = n − 2
cµτ cτµ = 1
cµτ cτµ = 3
ρ(τ )ρ(µ)
= ρ(µ)ρ(τ )
ρ(µ)σ
µ
σ
ρ(τ )σ
τ
cµτ cτµ = 2
ρ(µ)σ
µ σ
cµτ cτµ = 4
cµτ cτµ > 4
τ ρ(τ )σ
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Beamer
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条件 III
III. ∃hσ : σ → R≥0 区分的線形関数 s.t.
(i) hσ (x) = 0 ⇐⇒ x = 0
(ii) hσ (x + y ) ≥ hσ (x) + hσ (y ) for ∀x, y ∈ σ
(iii) hσ (x + ρ(τ )x) > 2hσ (x) for ∀τ ∈ Jσ and for ∀x ∈ σ \ τ
x + ρ(τ )x
σ
τ
hσ ( ) = 1
x ρ(τ )x
0
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定理 1 の証明の概略
σ
bτ := σ ∪ ρ(τ )σ : 有理強凸多面錐
ν
κ
σ
λ
Iσbτ = {ν ∪ ρ(τ )ν, κ, ρ(τ )κ, λ, ρ(τ )λ}
ρ(τ )ν
τ
ρ(τ )σ
ρ(τ )κ
ρ(τ )λ
{
ρ̂τ (µ) =
Jσ = {τ, ν, κ}
Jσbτ = {ν ∪ ρ(τ )ν, κ, ρ(τ )κ}
ρ(ν)
µ ⊃ ν ∈ Jσ
ρ(τ )ρ(ν)ρ(τ ) µ ⊃ ρ(τ )ν
cντ = 0 のとき ρ(ν) = ρ(τ )ρ(ν)ρ(τ )
σ
bτ , ρ̂τ : 条件 I, II, III をみたす
Hiro ()
Beamer
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定理 1 の証明の概略 (b
σ τ が条件 II をみたす)
ρ(τ )µ⊥ = µ⊥ + cµτ τ ⊥
µ⊥
KAA
A
A
ρ(τ )µ
µ
ρ(µ)
σ
τ
ρ(τ )σ
ρ(τ )ρ(µ)ρ(τ )
ρ(τ )
t
t
(ρ(τ )ρ(µ)ρ(τ ))µ⊥ = µ⊥ + (cµτ cτµ − 2)(µ⊥ + cµτ τ ⊥ )
ρ(τ )µ
=⇒ cµ
ρ(µ)(µ⊥ + cµτ τ ⊥ ) = (µ⊥ + cµτ τ ⊥ ) + (cµτ cτµ − 2)µ⊥
µ
τ µ
= cρ(τ
)µ = cµ cτ − 2
Hiro ()
Beamer
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定理 1 の証明の概略の続き
{
hσbτ (x) :=
σ1 = σ
τ1 σ
hσ (x)
hσ (ρ(τ )x)
σ2 = σ
c1 τ1
if x ∈ σ
if x ∈ ρ(τ )σ
は条件 III をみたす
σ3 = σ
c2 τ2
σ4 = σ
c3 τ3
τ2
τ3
Σ1 = {faces of σ}, Σ2 = {α, ρ(τ1 )α | α ∈ Σ1 }, . . . : 扇, |Σj | = σj
For ∀γ ∈ Γ(ρ),
Hiro ()
∃σ1 = σ, σ2 = σ
c1 τ1 , . . ., σk = σ[
k−1
Beamer
τk−1
s.t. γσ ∈ Σk
March 2, 2015
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扇から得られるトーリック多様体の構造
e := Int(ord−1 (C )) (ord : TN emb(Σ) → Mc(Σ) ⊃ NR )
C := |Σ(σ, ρ)|, U
fo := orb(α) ∩ U,
e
fα := orb(α) ∩ U
e for α ∈ Σ(σ, ρ).
D
D
α
⊔
e=
fo
=⇒ U
α∈Σ(σ,ρ) Dα
α
ν
σ
µ
fα
D
fν
D
τ
fτ
D
fµ
D
fβ
D
β
∃ Γ ⊂ Γ(ρ) s.t. γσ ̸= σ for 1 ̸= ∀ γ ∈ Γ and ∀ σ ̸⊂ ∂C , [Γ(ρ) : Γ] < ∞
e without fixed points, U := U/Γ,
e
e →U
=⇒ Γ acts on U
q:U
⊔
o := q(D
o
fo ), D[α] := q(D
fα ) =⇒ U =
D[α]
α
[α]∈Σ(σ,ρ)/Γ D[α]
Hiro ()
Beamer
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扇から得られるトーリック多様体の構造
Theorem 4.1
∃p[α] : D[α] −→ B[α] : 固有正則写像
for ∀ α ∈ Σ(σ, ρ)
o := p (D o ) 上の fiber = cpt toric var. × Abelian var.
B[α]
[α]
[α]
α ̸⊂ ∂C ⇐⇒ D[α] : cpt ⇐⇒ B[α] : 1pt
α の余次元が 2 の場合
α = τ ∩ µ (τ ∈ Jσ , µ ∈ Iσ )
cτµ cµτ > 4
cτµ cµτ = 4
α
α
α
µ ̸∈ Jσ
µ α
τ
D[α] : cpt
p[α] の fiber
B[α] : 1 pt
は楕円曲線
Hiro ()
p[α] の fiber
o ≃ Bo
D[α]
[α]
Beamer
は有理曲線
March 2, 2015
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Contraction
Σc := {α ∈ Σ(σ, ρ) | α ̸⊂ ∂C },
e := ∪
f
e
Z
α∈Σc Dα , Z := Z /Γ : cpt
Theorem 5.1
∃W : Z の近傍. ∃ϕ : W −→ V : 固有正則写像
(V : a Stein analytic space)
Hiro ()
W
ϕ↓
⊃
V
←-
o ∩W
D[α]
o ∩W
↓ p[α]|D[α]
o ∩ W)
p[α] (D[α]
Beamer
⊂ B[α]
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例
{e∗1 , e∗2 , . . . , e∗n } : dual
{e1 , e2 , . . . , en } : a basis of N,
σ := R≥0 e1 + R≥0 e2 + · · · + R≥0 en , Iσ = {τi | 1 ≤ i ≤ n} (τi ̸⊃ R≥0 ei )
γi ej = ej for ∀i ̸= j,
∑
γi ei = nj=1 aij ej
aii = −1, aij ∈ Z≥0
=⇒ γi ∈ GL(N), γi2 = 1, γi σ ∩ σ = τi ,
t γi e∗i = −e∗i , t γi e∗j = e∗j + aij e∗i
Jσ := Iσ , ρ(τi ) := γi =⇒ cττji = aij
γi x = x for ∀x ∈ τi
(∵ τi⊥ = e∗i )
aij = aji = 0, aij aji = 2 or aij aji ≥ 4 for ∀i ̸= j =⇒ 条件 I, II をみたす
∑n
j=1 aij
> 1 =⇒ 条件 III をみたす (hσ (x) = ⟨e∗1 + · · · + e∗n , x⟩)
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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例
1. aij aji > 4 for ∀i ̸= j, Γ = Γ(ρ) ∩ SL(N)
o ≃ Bo
=⇒ D[α]
[α] for ∀α with dim α < n − 1
=⇒ V : 孤立特異点, 例外集合は n 本の有理曲線
2. aij aji = 4 for ∀i ̸= j, Γ = Γ(ρ) ∩ SL(N)
o ≃ Bo
=⇒ D[α]
[α] for ∀α with dim α < n − 2
p[α] の fiber は楕円曲線 for ∀α with dim α = n − 2
3. aij aji = 2 for ∀i ̸= j, Γ = Γ(ρ) ∩ ker[SL(N) → SL(N/3N)]
=⇒ D[α] : cpt for ∀α with dim α ≥ n − 2
o ≃ Bo
D[α]
[α] for ∀α with dim α < n − 3
=⇒ V : 孤立特異点
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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5 次元の例


−1 1
0
0
2
 1 −1 1
0
0 



1 −1 1
0 
(aij ) =  0
 は条件 II をみたさないが
 0
0
1 −1 1 
1
0
0
1 −1
Σ(σ, ρ) が扇ならば 5 次元 cusp 特異点が得られる。
1 次元錐を固定する Γ(ρ) の部分群の Dynkin 図形
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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特異点の次元が余次元 2 の例
σ : ei + ej (1 ≤ i < j ≤ n) で張られる有理錐
τi : ei + ej (j ̸= i) で張られる σ の面
µi : ej + ek (j ̸= i ̸= k ̸= j) で張られる σ の面
Jσ := {τi | 1 ≤ i ≤ n}
γi ei = −ei , γi ej = ej + 2ei if i ̸= j
=⇒ γi ∈ GL(N), γi2 = 1, γi σ ∩ σ = τi , γi x = x for ∀x ∈ τi
dim τi ∩ µj = n − 1, t γi (µj )⊥ = (µj )⊥ , if i ̸= j
α ∈ Σ(σ, ρ), dim α = 1 =⇒ dim B[α] = n − 2, p[α] の fiber は楕円曲線
σ
b τ1
σ
µ3
µ4
cµτij = 0
τ1
µ2
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
23 / 26
例
σ = {y ∈ NR | ⟨e∗i , y ⟩ ≥ 0, ⟨fi∗ , y ⟩ ≥ 0 1 ≤ i ≤ n}
1
1
fi∗ = e∗1 + · · · + e∗i−1 − e∗i + e∗i+1 + · · · + e∗n
2
2
∗
µi = {y ∈ σ | ⟨ei , y ⟩ = 0}, τi = {y ∈ σ | ⟨fi∗ , y ⟩ = 0}, Jσ = {τi }
{
ej + ei
j <i
ρ(τi )ei = ei , ρ(τi )ej =
ej + 2ei i < j
σ
b τ1
σ
µ3
µ4
τ1
cµτij
=0
τ
cττji cτij = 2
µ2
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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双対扇
σ ∨ = {x ∈ NR | ⟨x, y ⟩ ≥ 0 for ∀y ∈ σ}
σ ∗ = {x ∈ σ ∨ | ⟨x, vτ ⟩ ≥ 0 for ∀τ ∈ Jσ } ρ(τ )vτ = −vτ
τ ∗ = {x ∈ σ ∗ | ⟨x, vτ ⟩ = 0}
= {τ ∗ | τ ∈ Jσ },
Jσ∗
=⇒ (σ ∗ )∗ = σ,
⟨τ ⊥ , vτ ⟩ < 0
ρ∗ (τ ∗ ) = t ρ(τ )
|Σ(σ ∗ , ρ∗ )| = |Σ(σ, ρ)|∨
σ∨
ν⊥
cτν cντ ≤ 2
ν
τ
σ
cνµ cµν > 4
µ
Hiro ()
cν
+ 2µ ν ⊥
µ
ν ⊥ + c2ν µ⊥
µ⊥
cτµ cµτ = 4
Beamer
ν∗
σ∗
τ⊥
τ∗
µ∗
µ
τ ⊥ + (c2τ µ⊥
µ
= c2τ µ⊥ +
cµτ ⊥
2 τ
)
µ⊥
March 2, 2015
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補足
t
ρ(µ)(µ⊥ + cµτ τ ⊥ ) = −µ⊥ + cµτ (τ ⊥ + cµτ µ⊥ )
= (µ⊥ + cµτ τ ⊥ ) + (cµτ cτµ − 2)µ⊥
t
(ρ(τ )ρ(µ)ρ(τ ))µ⊥ =
t
ρ(τ )t ρ(µ)(µ⊥ + cµτ τ ⊥ )
=
t
ρ(τ )(cµτ τ ⊥ + (cµτ cτµ − 1)µ⊥ )
= −cµτ τ ⊥ + (cµτ cτµ − 1)(µ⊥ + cµτ τ ⊥ )
= µ⊥ + (cµτ cτµ − 2)(µ⊥ + cµτ τ ⊥ )
Hiro ()
Beamer
March 2, 2015
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