平成 26 年度卒業論文 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量と左不変

平成 26 年度卒業論文
3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量と左不変 Einstein 計量
広島大学理学部数学科
B113468 日向達也
指導教員田丸博士教授
2015 年 2 月 10 日
はじめに
所定の条件をみたす 3 次元 Lie 代数には, 田崎・梅原不変量と呼ばれる不変量が存在することが
知られている. そして, この不変量を用いて 3 次元 Lie 代数を分類することができる (Tasaki and
Umehara[2]). 一方で, Lie 群上には左不変 Einstein 計量と呼ばれるものが定義できる. 本論文の
目的は, 田崎・梅原不変量と左不変 Einstein 計量 (Einstein 内積) との関係を明らかにすることで
ある.
第 1 章では, Lie 代数の定義といくつかの具体例を述べ, 最後に 3 次元 Lie 代数の分類結果
(Milnor [3]) を述べる.
第 2 章では, 3 次元 Lie 代数における田崎・梅原不変量を紹介し, 章の後半で実際にすべての 3 次
元 Lie 代数に関して田崎・梅原不変量を求めていく.
第 3 章では, Lie 代数における左不変 Einstein 計量 (Einstein 内積) の定義を述べ, 章の後半では
実際に具体的な 3 次元 Lie 代数について左不変 Einstein 計量 (Einstein 内積) が存在するかどうか
を調べる. そして最後に, 各 3 次元 Lie 代数について第 2 章で求めた田崎・梅原不変量と本章で調
べた左不変 Einstein 計量 (Einstein 内積) の存在・非存在の結果から導き出せる両者の関係を定理
の形で紹介する.
本論文を書くにあたり, 指導教員の田丸博士先生をはじめ, 奥田隆幸先生, 橋永貴弘先生ならびに
先輩方にはご多忙の中多くのご指導をいただきましたことを, この場をお借りして深く御礼申し上
げます.
目次
3 次元 Lie 代数について
1
1.1
Lie 代数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
3 次元 Lie 代数の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量について
3
2.1
3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
左不変 Einstein 計量について
7
3.1
Lie 代数の Einstein 内積の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
3 次元 Lie 代数の Einstein 内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1
2
3
1 3 次元 Lie 代数について
この章では, 前半で Lie 代数の定義や例について述べる. 章の後半では特に 3 次元 Lie 代数の分
類結果を述べる (Milnor [3]).
1.1 Lie 代数の定義
この節では, Lie 代数の定義といくつかの例を紹介する.
定義 1.1. 実線型空間 g と写像 [, ] : g × g → g を考える. このとき, 組 (g, [, ]) が Lie 代数とは, 以
下が成り立つこと:
(i) (双線型性) 写像 [, ] は双線型.
(ii) (交代性) 任意の X, Y ∈ g に対して, [X, Y ] = −[Y, X].
(iii) 任意の X, Y, Z ∈ g に対して, [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0.
Lie 代数 (g, [, ]) に対して, 写像 [,] を括弧積と呼び, 条件式 (iii) をヤコビ律と呼ぶ. また, 線型空
間としての次元を Lie 代数 g の次元とする.
命題 1.2. 写像 [,] : g × g → g を双線型とする. このとき, 定義 1.1 の (ii) の条件は, 次の条件と同
値である: 任意の X ∈ g に対して, [X, X] = 0.
証明. 定義 1.1 の条件 (ii) を仮定する. ここで任意の X ∈ g に対して, 仮定より [X, X] = −[X, X]
となるから, 2[X, X] = 0 となり [X, X] = 0 を得る.
一方, 任意の X ∈ g に対して, [X, X] = 0 と仮定する. ここで任意の X, Y ∈ g に対して, 仮定
から [X + Y, X + Y ] = 0 となるが, この左辺は, 括弧積の双線型性と, 仮定である任意の X ∈ g
に対して, [X, X] = 0 であることにより以下のように式変形できる:
[X + Y, X + Y ] = [X + Y, X] + [X + Y, Y ]
= [X, X] + [Y, X] + [X, Y ] + [Y, Y ]
= [Y, X] + [X, Y ].
よって, [Y, X] + [X, Y ] = 0 となるので, [X, Y ] = −[Y, X] は示された.
例 1.3. M (n, R) に括弧積を [X, Y ] := XY − Y X で定義したものは n2 次元 Lie 代数である. ま
た, これを一般線型 Lie 代数と呼び, gl(n, R) で表す.
証明. 簡単な計算により, 括弧積 [X, Y ] = XY − Y X が定義 1.1 を満たすことを確かめることが
できる.
定義 1.4. (g, [, ]) を Lie 代数とし, g′ ⊂ g とする. このとき g′ が g 内の Lie 部分代数とは, 以下
が成り立つこと:
1
(i) g′ は g 内の線型部分空間.
(ii) g′ は括弧積について閉じている. すなわち, 任意の X, Y ∈ g′ に対して, [X, Y ] ∈ g′ .
例 1.5. 次で定義される sl(2, R) と h3 はそれぞれ gl(2, R) と gl(3, R) 内の 3 次元 Lie 部分代数で
ある. またこのとき, sl(2, R) を 3 次元特殊線型 Lie 代数, h3 を 3 次元 Heisenberg Lie 代数と呼ぶ:
(1) sl(2, R)
:=
 {X ∈ M (2,
R) | tr(X) =0}.




 0 x z 



(2) h3 :=  0 0 y  | x, y, z ∈ R .




 0 0 0

証明. (1) 示すことは, sl(2, R) が gl(2, R) の線型部分空間であることと, 括弧積について閉じてい
ることであるが, これらは以下のようなトレースの性質を用いれば簡単に示すことができる:
tr(X + Y ) = trX + trY, tr(cX) = c trX, tr(XY ) = tr(Y X).
また次元については, 次の {e1 , e2 , e3 } が sl(2, R) の基底になることから 3 次元である:
(
e1 =
0
0
1
0
)
(
, e2 =
0 0
1 0
)
(
, e3 =
1
0
0
−1
)
.
(2) 示すことは, (1) と同様に h3 が gl(3, R) の線型部分空間であることと, 括弧積について閉じて
いることであるが, これは簡単な行列計算により確かめることができる. また次元については, 次の
{f1 , f2 , f3 } が h3 の基底になることから 3 次元である:





0 0
0 0 0
0 1 0
f1 =  0 0 0  , f 2 =  0 0 1  , f 3 =  0 0
0 0
0 0 0
0 0 0

1
0 .
0
1.2 3 次元 Lie 代数の分類
この節では, 本論文で主として扱うことになる 3 次元の場合について述べる. 特に任意の 3 次元
の Lie 代数は, 本節の最後で紹介する Lie 代数の内のいずれかに同型であることが知られている.
以下, (g1 , [, ]1 ), (g2 , [, ]2 ) を Lie 代数とする.
定義 1.6. 写像 f : g1 → g2 が準同型写像とは, 以下が成り立つこと :
(i) f は線型写像.
(ii) f は括弧積を保つ. すなわち, 任意の X, Y ∈ g1 に対して, f ([X, Y ]1 ) = [f (X), f (Y )]2 .
定義 1.7. 写像 f : g1 → g2 が同型写像とは, f が全単射かつ準同型であること. また, (g1 , [, ]1 ) と
(g2 , [, ]2 ) が同型であるとは, 同型写像 f : g1 → g2 が存在すること.
2
定理 1.8. 任意の 3 次元 Lie 代数は以下の 3 次元 Lie 代数の内のいずれかただひとつに同型である.
3 次元 Lie 代数
o(3)
sl(2, R)
括弧積（ただし 0 のものを除く）
[e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = e2
simple
[e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = −e2
simple
h3
[e1 , e2 ] = e3
nilpotent
r3
[e1 , e2 ] = e2 , [e1 , e3 ] = e2 + e3
solvable
r3,λ , |λ| ≤ 1
[e1 , e2 ] = e2 , [e1 , e3 ] = λe3
solvable
r′3,λ , λ ≥
3
[e1 , e2 ] = λe2 − e3 , [e1 , e3 ] = e2 + λe3
solvable
0
R
abelian
証明. 参考文献 [1] と [3] を参照.
2 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量について
この章では, 本論文で必要となる 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量について説明する.
2.1 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量の導出
この節では本論文で使用する 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量の導出の手順を述べる. 以下,
(g, [, ]) を 3 次元 Lie 代数とし, {e1 , e2 , e3 } を g の基底とする. まず, 行列 A = (aij )1≤i,j≤3 を次
のように定め, この行列 A の余因子行列を A∗ とする:
[e2 , e3 ] = a11 e1 + a12 e2 + a13 e3 ,
[e3 , e1 ] = a21 e1 + a22 e2 + a23 e3 ,
[e1 , e2 ] = a31 e1 + a32 e2 + a33 e3 .
定義 2.1.
(1) 任意の X ∈ g に対して線型写像 adX を以下で定義する:
adX : g → g : Y 7→ [X, Y ].
(2) 次の双線型写像 F を g の Killing 形式と呼ぶ:
F : g × g → R : (X, Y ) 7→ tr(adX adY ).
定理 2.2 ([2]). (g, [, ]) を 3 次元 Lie 代数とする. ただし, g は h3 および R3 に同型でないものと
する. また, g の Killing 形式 F : g × g → R の表現行列を P とする. このとき, 行列 P と先に定
めた行列 A∗ に対して以下を満たすような (g, [, ]) の不変量 χ(g) ∈ R ∪ {∞} が存在する:
P = (χ(g) − 2)A∗ .
ただし, A∗ = 0 のとき χ(g) = ∞ とする.
3
証明. 参考文献 [2] を参照.
注意 2.3. g が h3 または R3 に同型となるときは P = A∗ = 0 となるので, 定理 2.2 ではこれら
の場合は除く.
以下, この定理 2.2 における χ(g) を 3 次元 Lie 代数 (g, [, ]) の田崎・梅原不変量と呼ぶ.
2.2 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量の具体例
この節では前節で与えた 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量を実際に具体的な 3 次元 Lie 代数で
求める. また今回, 不変量を求める 3 次元 Lie 代数は, h3 と R3 を除いたすべての 3 次元 Lie 代数
である.
はじめに, 3 次元 Lie 代数 r3,λ , |λ| ≤ 1 の田崎・梅原不変量を求める. 3 次元 Lie 代数 r3,λ の基
底 {e1 , e2 , e3 } は第 1 章で紹介したものと同様で, 括弧積 [e1 , e2 ] = e2 , [e1 , e3 ] = λe3 , [e2 , e3 ] = 0
を満たすような基底とする. このとき, 行列 A は次のようになる:

0 0
A= 0 0
0 1

0
−λ  .
0
補題 2.4. 行列 A の余因子行列 A∗ は次のようになる:


λ 0 0
A∗ =  0 0 0  .
0 0 0
証明. まず, 行列 A の (i, j) 余因子 Aij = (−1)i+j Dij を求める. ただし, Dij は A の (i, j) 小行
列式とする. すなわち, 一般に n 次正方行列 T = (tij ) の小行列式 Dij とは以下のことである:
t11
..
.
ti−1 1
Dij = ti+1 1
..
.
tn1
...
t1
j−1
t1
..
.
tn
...
t1n
..
.
...
...
ti−1
ti+1
..
.
...
tnn
..
.
. . . ti−1 j−1
. . . ti+1 j−1
..
.
...
j+1
j−1
ti−1 j+1
ti+1 j+1
..
.
tn
j+1
はじめに, A11 と A12 を求める.
A11 = (−1)1+1 D11
2 0 −λ
= (−1) 1 0
= λ.
A12 = (−1)1+2 D12
0 −λ = −
0 0 = 0.
4
n
n
.
その他も同様にして計算すると, Aij は次のようになる:
{
Aij =
λ (i = j = 1).
0 (その他).
よって, 求める A の余因子行列 A∗ は以下となる:

A11
A∗ = t  A21
A31

λ 0
= t 0 0
0 0

λ 0
= 0 0
0 0

A12 A13
A22 A23 
A32 A33

0
0 
0

0
0 .
0
補題 2.5. 線型写像 adei : r3,λ → r3,λ の表現行列 Pei は次のようになる:

P e1
0 0
= 0 1
0 0




0
0 0 0
0
0  , Pe2 =  −1 0 0  , Pe3 =  0
λ
0 0 0
−λ

0 0
0 0 .
0 0
証明. Pe1 のみ示す. まず, 定義 2.1(1) による線型写像 ade1 の定義と, r3,λ に今回定義した括弧積
[, ] により以下が成り立つ:
ade1 (e1 ) = [e1 , e1 ] = 0,
ade1 (e2 ) = [e1 , e2 ] = e2 ,
ade1 (e3 ) = [e1 , e3 ] = λe3 .
よって, 線型写像 ade1 の表現行列 Pe1 は以下のようになる:

Pe1
0
= 0
0
0
1
0

0
0 .
λ
Pe2 と Pe3 の場合も同様にして求めることができる.
補題 2.6. Killing 形式 F : r3,λ × r3,λ → R の表現行列 P は次のようになる:

1 + λ2
0
P =
0
証明. まず, 補題 2.5 より以下が成り立つ:
5

0 0
0 0 .
0 0


0 0

(1) Pe1 Pe1 = 
 0 1
0 0
0

0


0 
 0
λ
0

0

0
 

0 
= 0
λ
0
1
0


0
0
0
0
0
1
0
0

0 
.
2
λ



 

 −1 0 0  =  −1 0 0  .
0 

 

λ
0 0 0
0 0 0
0 0
0

0
0
0 0

(2) Pe1 Pe2 = 
 0 1
0 0
0

0


(3) Pe1 Pe3 = 
 0 1
0 0
0

0 0


0

 
 0 0 0 = 0
0 

 
λ
−λ 0 0
−λ2
0
0
0
0

0 
.
0
(4) Pe2 Pe2 = Pe2 Pe3 = Pe3 Pe3 = 0.
よって, これらとトレースの性質 tr(XY ) = tr(Y X) を用いると i, j ∈ {1, 2, 3} に対して次が成り
立つ:
{
tr(Pei Pej ) =
1 + λ2
0
(i = j = 1).
(その他).
したがって, 定義 2.1(2) より F (ei , ej ) = tr(adei adej ) = tr(Pei Pej ) であることから, Killing 形式
F : r3,λ × r3,λ → R の表現行列 P は, 次のようになる:

1 + λ2
0
P =
0

0 0
0 0 .
0 0
ここで, 補題 2.4 と補題 2.6 より λ ̸= 0 のとき P = ((1 + λ2 )/λ)A∗ となるので, 定理 2.2 より
χ(r3,λ ) = 2 +
1 + λ2
(λ + 1)2
=
.
λ
λ
また, λ = 0 のときは A∗ が零行列となるので, 定理 2.2 より
χ(r3,0 ) = ∞.
他のすべての場合も上の例と同様にして 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量を求めることができ
る. ここでは計算結果のみ下の表にまとめる.
6
3 次元 Lie 代数
o(3)
sl(2, R)
括弧積（ただし 0 のものを除く）
3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量
[e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = e2
0
[e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = −e2
0
[e1 , e2 ] = e2 , [e1 , e3 ] = e2 + e3
r3
r3,λ , |λ| ≤ 1
[e1 , e2 ] = e2 , [e1 , e3 ] = λe3
r′3,λ , λ ≥ 0
[e1 , e2 ] = λe2 − e3 , [e1 , e3 ] = e2 + λe3
4
(λ + 1) /λ (λ = 0 のときは ∞)
2
4λ2 /(1 + λ2 )
3 左不変 Einstein 計量について
この章では, すべての 3 次元 Lie 代数について, 左不変 Einstein 計量 (Einstein 内積) が存在す
るかどうかを調べる. また, Lie 群上の左不変 Riemann 計量と, その Lie 群に対応する Lie 代数上
の内積は, 1:1 で対応することが知られている. 以下ではそれらを同一視する.
3.1 Lie 代数の Einstein 内積の定義
この節では, Lie 代数の Einstein 内積の定義を述べる. 以下, (g, [, ]) を Lie 代数とし, ⟨, ⟩ を g の
内積とする.
定義 3.1. ∇ : g × g → g : (X, Y ) 7→ ∇X Y が Levi-Civita 接続であるとは, 次が成り立つこと :
2⟨∇X Y, Z⟩ = ⟨[X, Y ], Z⟩ + ⟨[Z, X], Y ⟩ + ⟨X, [Z, Y ]⟩.
また, Levi-Civita 接続を求めるために, 次を満たす対称写像 U : g × g → g を定義する:
2⟨U (X, Y ), Z⟩ = ⟨[Z, X], Y ⟩ + ⟨X, [Z, Y ]⟩.
また, この U は括弧積と内積の双線型性より双線型となる. さらに, この U を用いると Levi-Civita
接続は次のように表せる:
∇X Y =
1
[X, Y ] + U (X, Y ).
2
命題 3.2. Levi-Civita 接続 ∇ は双線型性を持つ. すなわち, 任意の a1 , a2 ∈ R に対して, 以下が
成り立つ:
(1) ∇a1 X1 +a2 X2 Y = a1 ∇X1 Y + a2 ∇X2 Y.
(2) ∇X (a1 Y1 + a2 Y2 ) = a1 ∇X Y1 + a2 ∇X Y2 .
証明. (1) を示す. 括弧積 [,] と U の双線型性により
∇a1 X1 +a2 X2 Y = (1/2)[a1 X1 + a2 X2 , Y ] + U (a1 X1 + a2 X2 , Y )
= (1/2)a1 [X, Y ] + (1/2)[X, Y ] + a1 U (X1 , Y ) + a2 U (X2 , Y )
= a1 ∇X1 Y + a2 ∇X2 Y.
7
(2) も (1) と同様に括弧積 [,] と U の双線型性により示すことができる.
定義 3.3. 次で定義される R : g × g × g → g : (X, Y, Z) 7→ R(X, Y )Z をリーマン曲率という:
R(X, Y )Z := ∇[X,Y ] Z − ∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z.
命題 3.4. リーマン曲率 R は次をみたす:
(1) R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z.
(2) R(X, X)Z = 0.
証明. (1) を示す.
R(X, Y )Z = ∇[X,Y ] Z − ∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z
= ∇−[Y,X] Z − ∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z
= −(∇[Y,X] Z − ∇Y ∇X Z + ∇X ∇Y Z)
= −R(Y, X)Z.
(2) は (1) より簡単に導くことができる.
命題 3.5. リーマン曲率 R は多重線型性を持つ. すなわち, 任意の a1 , a2 ∈ R に対して, 以下が成
り立つ:
(1) R(a1 X1 + a2 X2 , Y )Z = a1 R(X1 , Y )Z + a2 R(X2 , Y )Z.
(2) R(X, a1 Y1 + a2 Y2 )Z = a1 R(X, Y1 )Z + a2 R(X, Y2 )Z.
(3) R(X, Y )(a1 Z1 + a2 Z2 ) = a1 R(X, Y )Z1 + a2 R(X, Y )Z2 .
証明. (1) を示す. 括弧積 [,] と命題 3.2 より Levi-Civita 接続 ∇ は双線型なので
R(a1 X1 + a2 X2 , Y )Z
=∇[a1 X1 +a2 X2 ,Y ] Z − ∇a1 X1 +a2 X2 ∇Y Z + ∇Y ∇a1 X1 +a2 X2 Z
=∇a1 [X1 ,Y ]+a2 [X2 ,Y ] Z − (a1 ∇X1 ∇Y Z + a2 ∇X2 )∇Y Z) + (∇Y a1 ∇X1 Z + ∇Y a2 ∇X2 Z)
=a1 ∇[X1 ,Y ] Z + a2 ∇[X2 ,Y ] Z − a1 ∇X1 ∇Y Z − a2 ∇X2 ∇Y Z + a1 ∇Y ∇X1 Z + a2 ∇Y ∇X2 Z
=a1 R(X1 , Y )Z + a2 R(X2 , Y )Z.
(2) と (3) も, (1) と同様に括弧積 [,] と Levi-Civita 接続 ∇ の双線型性により示すことができ
る.
定義 3.6. {Ei } を ⟨, ⟩ の正規直交基底とする. 次で定義される Ric : g × g → R を ⟨, ⟩ に関する
Ricci 曲率という:
Ric(X, Y ) =
∑
⟨R(X, Ei )Y, Ei ⟩.
定義 3.7. (g, [, ]) を Lie 代数とする. ⟨, ⟩ が Einstein とは, 次が成り立つこと:
∃α ∈ R; ∀X, Y ∈ g, Ric(X, Y ) = α⟨X, Y ⟩.
8
3.2 3 次元 Lie 代数の Einstein 内積
この節では前節で紹介した Einstein 内積の定義に基づき, すべての 3 次元 Lie 代数について
Einstein 内積が存在するかどうかを調べる. まずはじめに, o(3) について調べる. ここで基底
{e1 , e2 , e3 } は次の括弧積を満たすような o(3) の基底とし, 内積 ⟨, ⟩ は基底 {e1 , e2 , e3 } を正規直
交基底とするような o(3) の内積とする:
[e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = e2 .
補題 3.8. 3 次元 Lie 代数 (o(3), [, ], ⟨, ⟩) に対して, 以下が成り立つ:
(i, j ∈ {1, 2, 3}).
U (ei , ej ) = 0
証明. U (e1 , e1 ) についてのみ示す. 対称双線型写像 U の定義により
• 2⟨U (e1 , e1 ), e1 ⟩ = ⟨[e1 , e1 ], e1 ⟩ + ⟨e1 , [e1 , e1 ]⟩ = ⟨0, e1 ⟩ + ⟨e1 , 0⟩ = 0.
• 2⟨U (e1 , e1 ), e2 ⟩ = ⟨[e2 , e1 ], e1 ⟩ + ⟨e1 , [e2 , e1 ]⟩ = ⟨−e3 , e1 ⟩ + ⟨e1 , −e3 ⟩ = 0.
• 2⟨U (e1 , e1 ), e3 ⟩ = ⟨[e3 , e1 ], e1 ⟩ + ⟨e1 , [e3 , e1 ]⟩ = ⟨e2 , e1 ⟩ + ⟨e1 , e2 ⟩ = 0.
したがって, U (e1 , e1 ) = 0 となる. また, その他も同様にして示すことができる.
補題 3.9. 3 次元 Lie 代数 (o(3), [, ], ⟨, ⟩) に対して, 以下が成り立つ:
∇ei ej =
1
[ei , ej ].
2
証明. Levi-Civita 接続 ∇ の定義と補題 3.8 より以下が成り立つ:
∇ei ej = (1/2)[ei , ej ] + U (ei , ej )
= (1/2)[ei , ej ].
次に, (o(3), [, ], ⟨, ⟩) のリーマン曲率 R を求める.
補題 3.10. 3 次元 Lie 代数 (o(3), [, ], ⟨, ⟩) に対して, 以下が成り立つ:
(1) R(e1 , e1 ) = R(e2 , e2 ) = R(e3 , e3 ) = 0.
(2) R(e1 , e2 )e1 = (1/4)e2 , R(e1 , e2 )e2 = −(1/4)e1 , R(e1 , e2 )e3 = 0.
(3) R(e2 , e1 )e1 = −(1/4)e2 , R(e2 , e1 )e2 = (1/4)e1 , R(e2 , e1 )e3 = 0.
(4) R(e1 , e3 )e1 = (1/4)e3 , R(e1 , e3 )e2 = 0, R(e1 , e3 )e3 = −(1/4)e1 .
(5) R(e3 , e1 )e1 = −(1/4)e3 , R(e3 , e1 )e2 = 0, R(e3 , e1 )e3 = (1/4)e1 .
(6) R(e2 , e3 )e1 = 0, R(e2 , e3 )e2 = (1/4)e3 , R(e2 , e3 )e3 = −(1/4)e2 .
(7) R(e3 , e2 )e1 = 0, R(e3 , e2 )e2 = −(1/4)e3 , R(e3 , e2 )e3 = (1/4)e2 .
9
証明. まず, (1) を示すが, これは命題 3.4 より簡単に示せる. 次に (2) を示す. o(3) の Levi-Civita
接続 ∇ は補題 3.9 より ∇ei ej = (1/2)[ei , ej ] であるので, o(3) のリーマン曲率 R(ei , ej )ek は次
のようになる:
R(ei , ej )ek = ∇[ei ,ej ] ek − ∇ei ∇ej ek + ∇ej ∇ei ek
= (1/2)[[ei , ej ], ek ] − (1/2)[ei , (1/2)[ej , ek ]] + (1/2)[ej , (1/2)[ei , ek ]]
= (1/2)[[ei , ej ], ek ] − (1/4)[ei , [ej , ek ]] + (1/4)[ej , [ei , ek ]].
したがって
R(e1 , e2 )e1 = (1/2)[[e1 , e2 ], e1 ] − (1/4)[e1 , [e2 , e1 ]] + (1/4)[e2 , [e1 , e1 ]]
= (1/2)[e3 , e1 ] − (1/4)[e1 , −e3 ] + (1/4)[e2 , 0]
= (1/2)e2 − (1/4)e2 + 0
= (1/4)e2 .
R(e1 , e2 )e2 = (1/2)[[e1 , e2 ], e2 ] − (1/4)[e1 , [e2 , e2 ]] + (1/4)[e2 , [e1 , e2 ]]
= (1/2)[e3 , e2 ] − (1/4)[e1 , 0] + (1/4)[e2 , e3 ]
= −(1/2)e1 + 0 + (1/4)e1
= −(1/4)e1 .
R(e1 , e2 )e3 = (1/2)[[e1 , e2 ], e3 ] − (1/4)[e1 , [e2 , e3 ]] + (1/4)[e2 , [e1 , e3 ]]
= (1/2)[e3 , e3 ] − (1/4)[e1 , e1 ] + (1/4)[e2 , −e2 ]
= 0.
(4), (6) も (2) と同様にして示せる. さらに, (3), (5), (7) に関しては命題 3.4 よりそれぞれ (2),
(4), (6) の結果を用いれば示すことができる.
補題 3.11. X =
∑3
i=1
α i ei , Y =
∑3
j=1
βj ej ∈ o(3) に対して, リッチ曲率 Ric(X, Y ) は次のよう
になる:
Ric(X, Y ) =
1
(α1 β1 + α2 β2 + α3 β3 ).
2
証明. リッチ曲率の定義と, 内積の性質, 補題 3.10 によりリッチ曲率 Ric(X, Y ) は以下のように
10
なる:
Ric(X, Y ) =
3
∑
⟨R(X, ek )Y, ek ⟩
k=1
=
3 ∑
3 ∑
3
∑
⟨
αi βj R(ei , ek )ej , ek ⟩
k=1 i=1 j=1
=
3 ∑
3 ∑
3
∑
αi βj ⟨R(ei , ek )ej , ek ⟩
k=1 i=1 j=1
=
3 ∑
3
∑
αi βj ⟨R(ei , e1 )ej , e1 ⟩ +
i=1 j=1
3 ∑
3
∑
αi βj ⟨R(ei , e2 )ej , e2 ⟩ +
i=1 j=1
3 ∑
3
∑
αi βj ⟨R(ei , e3 )ej , e3 ⟩
i=1 j=1
1
1
1
1
1
1
= ( α2 β2 + α3 β3 ) + ( α1 β1 + α3 β3 ) + ( α1 β1 + α2 β2 )
4
4
4
4
4
4
1
= (α1 β1 + α2 β2 + α3 β3 ).
2
命題 3.12. 3 次元 Lie 代数 (o(3), [, ], ⟨, ⟩) は Einstein.
証明. 任意の X =
∑3
i=1
αi ei , Y =
∑3
j=1
βj ej ∈ o(3) をとる. すると, 内積 ⟨, ⟩ は {e1 , e2 , e3 } を
正規直交基底とする内積であるので, 以下が成り立つ:
3
3
∑
∑
⟨X, Y ⟩ = ⟨
αi ei ,
β j ej ⟩
i=1
=
j=1
3 ∑
3
∑
αi βj ⟨ei , ej ⟩
i=1 j=1
= α1 β1 + α2 β2 + α3 β3 .
よって, この結果と補題 3.11 より次が成り立つ:
Ric(X, Y ) =
1
⟨X, Y ⟩.
2
よって, 3 次元 Lie 代数 (o(3), [, ], ⟨, ⟩) は Einstein.
Einstein 内積が存在するかどうかに関して, その他の 3 次元 Lie 代数の場合では [1] と [3] を参
考にした. 以下ではすべての 3 次元 Lie 代数について, Einstein 内積が存在するかどうかを, 結果
のみの形でまとめる. ただし, 存在する場合の Einstein 内積は, それぞれ下の括弧積を満たすよう
な基底を正規直交基底とする内積である.
11
3 次元 Lie 代数
括弧積（ただし 0 のものを除く）
[e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = e2
o(3)
sl(2, R)
Einstein 内積
存在する
[e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = −e2
存在しない
h3
[e1 , e2 ] = e3
存在しない
r3
[e1 , e2 ] = e2 , [e1 , e3 ] = e2 + e3
存在しない
r3,λ , |λ| ≤ 1
[e1 , e2 ] = e2 , [e1 , e3 ] = λe3
r′3,λ , λ ≥
3
[e1 , e2 ] = λe2 − e3 , [e1 , e3 ] = e2 + λe3
0
λ = 1 のときのみ存在する
R
存在する
存在する
最後に, 第 2 章で求めた 3 次元 Lie 代数の田崎・梅原不変量と本章で調べた左不変 Einstein 計量
の存在性の関係を次のように定理の形でまとめておく.
定理 3.13. (g, [, ]) を h3 および R3 に同型でない任意の 3 次元 Lie 代数とする. このとき, 以下が
成り立つ:
Einstein となるような g の内積 ⟨, ⟩ が存在するならば 0 ≤ χ(g) ≤ 4.
参考文献
[1] Takahiro Hashinaga and Hiroshi Tamaru, Three-dimensional solvsoliton and the minimality
of the corresponding submanifolds, preprint.
[2] Hiroyuki Tasaki and Masaaki Umehara, An invariant on 3-dimensional Lie algebras, Proc.
Amer. Math. Soc. 115 (1992), no. 2, 293–294.
[3] John Milnor, Curvatures of left invariant metrics on Lie groups, Advances in Math. 21
(1976), no. 3, 304–310.
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