14. 分布定数回路(6)

「電気回路第三」講義資料２０１５年度版
熊本大学工学部情報電気電子工学科
勝木　淳
１４. 分布定数回路(６)
１４.１　分布定数回路の過渡現象
１４.２　無損失線路、無ひずみ線路における過渡現象
１４.１　分布定数回路の過渡現象
これまでの内容：　定常状態
電源を正弦波交流 ejωt　として連続
的に電力が供給される系　⇒　定常状態
半無限長線路
V ( x )e jωt = K1e −αx + j(ωt −βx ) + K 2 eαx + j(ωt + βx ) ,
V(x)
I ( x )e jωt = (K1e −αx + j(ωt − βx ) − K 2 eαx + j(ωt + βx ) ) / Z0
V (s)
v(s, t)
x=s
x
落雷、または落雷に伴うサージ現象など
スイッチのON/OFF、パルスや線路に電荷が局在する場合など
⇒　過渡現象
分布定数回路では、現象（電圧、電流）は時間と位置の関数。
V(x, t ), I(x, t )
分布定数回路の過渡現象：
V0 (x),
初期値問題　→　初期値も位置の関数。
t=0
E(t )
S
V(x , t )
V0 (x)
x=0
x
反射
I 0 ( x)
【復習】
送電端より距離 x にある分布定数回路上の
任意の一点の電圧 v (x、t)、電流 i (x、t) は、
∂v
∂i
∂i
∂v
−
= Ri + L , −
= Gv + C
∂x
∂t
∂x
∂t
基礎方程式
分布定数回路の微小区間
または
∂2v
∂2v
∂v
= LC 2 + (GL + RC ) + RGv
2
∂x
∂t
∂t
∂ 2i
∂ 2i
∂i
= LC 2 + (GL + RC ) + RGi
2
∂x
∂t
∂t
伝搬方程式
で表される。
分布定数回路の電圧・電流
（１）静止状態にある回路の過渡解析
「静止状態」とは t = 0 で電圧・電流分布が無い（v(x) = i(x) = 0）こと。
v(x、t)、 i(x、t) に対する s関数をV(x、s)、 I(x、s) として、基礎方程式
をラプラス変換すると、
∂V ( x , s)
−
= ( R + sL)I ( x , s)
∂x
∂I ( x , s)
−
= (G + sC )V ( x , s)
∂x
t=0
E(t )
S
x=0
これらから、電圧のみ、電流のみの方程式を導き出すと、
s関数で表した伝搬方程式が得られる。
V(x , t )
x
2
∂ 2V ( x , s)
∂
I ( x , s)
2
2
=
γ
(
s
)
V
(
x
,
s
),
=
γ
(
s
)
I ( x , s)
2
2
∂x
∂x
γ (s) = ( R + sL)(G + sC )
伝搬方程式の一般解は、t 領域の場合と同様にして次のようになる。
V ( x , s ) = K 1 e −γ ( s ) x + K 2 e γ ( s ) x
1
I(x , s) =
( K 1 e −γ ( s ) x − K 2 e γ ( s ) x )
Z0 (s)
R + sL
∵ Z0 (s) =
G + sC
K1、 K2 は境界条件から定まる。
Ａ.　無限長線路の場合
無限長伝送線路では反射波が無いので第２項目を省略できる。
V (x , s) = K 1 e
−γ ( s ) x
K 1 −γ ( s ) x
I(x , s) =
e
Z0 ( s )
t=0
E(t )
x=0
V(x , t )
x
Ｂ.　有限長線路の場合
境界条件として、x = 0 においてV1(s)、I1(s) を与えて
伝搬方程式一般解の K1、K2 を求めると、
V ( x , s ) = K1e −γ ( s )x + K 2 eγ ( s )x
1
I(x , s) =
(K1e −γ ( s )x − K 2 eγ ( s )x )
Z0 ( s )
【問14.1】
右図の半無限長線路において、
次の境界条件が与えられた場合
の一般解を求めよ。
t=0
E(t )
x=0
V(x , t )
x
（２）電圧・電流の初期分布がある場合
初期分布がある場合は、解を直接求めるのは困難なので、重畳の理を
用いて次のようなステップで求める。
（ⅰ）静止状態にある回路に電源を印加した場合の解を求める。
（ⅱ）初期分布だけによる過渡解をもとめる。
t=0
E(t )
S
V(x , t )
V0 (x)
x=0
x
次では、無損失線路、無ひずみ線路の特殊な場合について解析する。
１４.２　無損失線路、無ひずみ線路
（１）無損失線路
多くの場合、無損失（R = G = 0）と考えることができる。
無損失線路の基礎方程式および伝搬方程式は、
∂v
∂i
∂i
∂v
−
=L , −
=C
∂x
∂t
∂x
∂t
∂2v 1 ∂2v
∂ 2i 1 ∂ 2i
1
= 2 2 ,
= 2 2 ∵c =
電磁波の進む速さ
2
2
∂x
c ∂t
∂x
c ∂t
LC
無損失線路の基礎方程式
これに初期条件および境界条件を与え、解を求める。
Ａ.　静止状態にある無損失線路の過渡現象解析
無損失線路における伝搬方程式のラプラス変換は、
2
2
2
2
∂ V ⎛ s ⎞
∂ I ⎛ s ⎞
=
V
,
= ⎜ ⎟ I
⎜ ⎟
2
2
∂x
∂x ⎝ c ⎠
⎝ c ⎠
上式の一般解は次のように表される。
V = K1e sx /c + K 2 e − sx /c
K1、K2　は境界条件から求まる。
（例）
右図のように、静止状態にある半無限
長線路において、t = 0 で x = 0 に v =
P(t) なる電圧を与えた場合を考える。
初期条件
t < 0 において v = 0、 i = 0 （静止状態）
境界条件
(ⅰ)
(ⅱ)
送端に任意電圧を与えた場合
前式を逆ラプラス変換して、
v(x,t) = L−1[V(x,s)] = L−1[L[P(t)]e−sx/c ]
"
$ P t − x /c (t > x /c)
=#
$% 0
(t < x /c)
(
)
公式: t 関数の時間推移
L[ f (t − a)] = e − sa F(s )
→　電磁波が正の向きのみに進む。波形は歪まない。
電流は、
⎧ 1
v( x , t ) ⎪ P(t − x / c ) (t > x / c )
i( x , t ) =
= ⎨ Z0
Z0
⎪⎩ 0
(t < x / c )
t=0
E(t )
S
x=0
V(x , t )
x
Ｂ.　初期分布がある場合の一般解
無ひずみ線路および無損失線路に限っては一般的に解ける。
後の計算のために、次のような ξ と η を定義する。
x − ct = ξ , x + ct = η
電圧 v を ξ と η の関数とすると、v の導関数は次のように表される。
2
2
2
∂2v
∂
v
∂
v
∂
v
2
2
2
=
c
−
2
c
+
c
∂t 2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2
∂2v ∂2v
∂2v ∂2v
= 2 +2
+ 2
2
∂x
∂ξ
∂ξ∂η ∂η
∂2v 1 ∂2v
= 2 2
2
∂x
c ∂t
これらを無損失線路の伝搬方程式に代入して、次の２階偏微分方程式を得る。
∂2v
=0
∂ξ∂η
【解説】
x − ct = ξ , x + ct = η
dξ
dη
= −c ,
=c
dt
dt
電圧 v は ξ と η の2変数関数であるから、
⎛ ∂
∂v ∂v ∂ξ ∂v ∂η
∂v
∂v
∂ ⎞
=
+
= −c
+c
= c⎜⎜
− ⎟⎟ v
∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂t
∂ξ
∂η
⎝ ∂η ∂ξ ⎠
∂ 2 v ∂ ⎛ ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂
∂ ⎞⎛ ∂
∂ ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟⎟ v
=
=
c
−
−
⎜ ⎟
2
⎜
⎟
⎜
∂t
∂t ⎝ ∂t ⎠
⎝ ∂η ∂ξ ⎠⎝ ∂η ∂ξ ⎠
2
2
∂
v
∂
v
∂
v
= c 2 2 − 2c 2
+ c2
∂ξ
∂ξ∂η
∂η 2
dξ
dx
dη
dx
同様に、　であるから、
=
=1
∂2v ∂2v
∂2v ∂2v
= 2 +2
+ 2
2
∂x
∂ξ
∂ξ∂η ∂η
前頁の２階偏微分方程式の一般解は独立した２つの関数の和として表される。
v(t ) = f (ξ ) + g(η ) = f (x − ct) + g(x + ct)
x の正の向きに
速さ c で進む波
注）f、g は２回微分可能
x の負の向きに
速さ c で進む波
基礎方程式から、
di
dv
−
=C
= cC{− f ʹ′( x − ct ) + gʹ′( x + ct )}
dx
dt
よって、電流の一般解は、
1
1
L
∴i =
{ f ( x − ct ) − g( x + ct )}, Z0 =
=
Z0
c ⋅C
C
Ｃ.　t = 0 における電圧初期分布が与えられた場合
v0 = F(x)
t = 0 において、線路上の電圧・電流が　として与えられた場合、
1
1
v = {F( x − ct ) + F( x + ct )}, i =
{F( x − ct ) − F( x + ct )}
2Z0
2
正の向きに進む波負の向きに進む波
進行波
（２）無ひずみ線路
半無限長線路の送端に電圧 v1(t) を加えて、ある離れた点で測った電圧が
v2(t) であったとする。次の条件が満たされる線路を無ひずみ線路という。
v2 (t ) = Kv1 (t −τ ), K > 0, τ > 0
＃伝搬する波の波形が歪まない。ただし減衰してもよい。
＃減衰定数αが、周波数に無関係に一定である。
RC = LG
分布RGLC回路における無ひずみ条件は、
○
×
伝搬方程式から、
∂2v
∂2v
∂v
= LC 2 + (GL + RC ) + RGv
2
∂x
∂t
∂t
2
⎧ ∂ 2 v
R ∂v ⎛ R ⎞ ⎫
= LC ⎨ 2 + 2
+ ⎜ ⎟ v⎬
L ∂t ⎝ L ⎠ ⎭
⎩ ∂t
RC = LG
Ａ.　静止状態にある場合の過渡解析
伝搬方程式をラプラス変換して、
2
2
2
⎛
⎞
∂V 1 2
R ⎛ R ⎞
1 ⎛ R ⎞
⎜
⎟
= 2 ⎜ s + 2s + ⎜ ⎟ ⎟V = 2 ⎜ s + ⎟ V
2
∂x
c ⎝
L ⎝ L ⎠ ⎠
c ⎝ L ⎠
t < 0 で静止状態であったとすると、
無損失線路の解
R ⎞ x
R ⎞ x
⎛
⎛
−⎜ s + ⎟
⎜ s + ⎟
sx /c
− sx /c
L
c
⎝
⎠ + K e ⎝ L ⎠ c
∴
V
=
K
e
V
=
K
e
+
K
e
1
2
1
2
無損失線路と比べると、
減衰するのみで、伝搬する
波の形は変わらない。
e-(R/L)x が乗じられている以外同じ。
すなわち、解析方法も同様。
Ｂ.　初期分布のある場合
無損失線路と同じ扱い。
電圧・電流は、それぞれ
v1 = f ( x − ct ) + g( x + ct )
∴ v = e −( R /L )t { f ( x − ct ) + g( x + ct )}
1 −( R /L )t
i=
e
{ f ( x − ct ) + g( x + ct )}
Z0
【問14.2】
無損失線路（R = G = 0）、Z1 = 0、Z2 = R、Vin　は直流電源で、
t = 0 でスイッチ S を投入した場合の v、i を求めよ。
静止状態にある伝送路に電圧源を印加
【問14.3】
無ひずみ線路において、境界条件として、x = 0 で v = P(ct)、
i = Q(ct) なる条件が与えられたとき、任意の時刻における v 、
i を求めよ。

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