Document

物理
M a p l e では、可能な限り自然な計算の操作性を確保することに重点を置いた、物理学における代数計算の最先端環
境を提供します。M a p l e 2 0 1 5 の P h y s i c s プロジェクトのテーマは、ベクトル解析、テンソルのシンボリックな操
作、量子力学、および一般相対性です。M a p l e 2 0 1 5 では、物理関連の代数的な計算をより自然な形で処理でき
るように一層拡張しています。これには、パッケージ全体に対するロバスト性と多用性を強化する 4 0 0 を超える改
良点、2 つの新しいコマンド A s s u m e と S u b s t i t u t e T e n s o r、1 3 のコマンドを含む新しい T e t r a d s サブパッケー
ジ、さらなる調査と機能強化をサポートする 2 6 の新しい Physics:-Library コマンド、および 1 0 0 以上の新しい計
量が追加され、拡大されたアインシュタイン方程式の解のデータベースが含まれます。
物理学における代数計算の最高な環境を提供するために、Maplesoft では、M a p l e 1 8 からユーザが研究バージョンをダウンロードしたり、質問したり、フィ
ードバックすることができる M a p l e P h y s i c s : R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t ウェブサイトを立ち上げました。世界中の人々との活発な情報交換の結果が
M a p l e 2 0 1 5 の Physics パッケージに組み込まれています。より一般的な問題における新機能の使用例については、M a p l e P r i m e s の投稿 C o m p u t e r A l g e b r a
for Theoretical Physics (理論物理学の数式処理) を参照してください。
簡単化
簡単化は、数式処理システムで実行される、最も一般的な操作です。物理では、通常、テンソル式の簡単化、ま
たは特定の交換子/反交換子規則を満たす非可換な演算子を含む式、または被加数と被積分関数の量子演算子とデ
ィラックデルタ関数を含む和と積分を必要とします。これらすべてに関連して、M a p l e 2 0 1 5 から以下のような
簡単化の改良点が導入されています。
LeviCivita が曲線空間への一般化 (S e t u p ( l e v i c i v i t a = n o n g a l i l e a n ) に関連) ではなく、ガリレイ擬テンソ
ル (Setup(levicivita = Galilean) に関連) を表すときの、曲がった時空における LeviCivita テンソルの積
時空、空間、および/またはテトラッド縮約インデックスを場合によっては同時に持つ、一般的なテンソル式
大量の自明でない状況でのゼロ認識を解決する新しいオプション t r y h a r d
Dirac 関数を含む式
円筒座標か球座標のいずれかの座標および関連する単位ベクトルを含むベクトル式
量子ベクトル式を含む辺関係 (式) に対して簡単化された式
パラメータ化された代数ルールを入力する量子演算子の積を含む式
ほかのベクトル式に関して簡単化されたベクトル量子演算子を含む式
量子力学に関連する球面調和関数 (SphericalY) の簡単化および積分へのサポートの追加
例
テンソル式の簡単化の改良
>
* Partial match of 'notation' against keyword 'mathematicalnotation'
* Partial match of 'coordinates' against keyword 'coordinatesystems'
(1)
で
がミンコフスキー計量となるようにテンソル
を定義し、このテンソルの
成分として計量を定義します。
>
The Minkowski metric in cartesian coordinates
(2)
>
Defined objects with tensor properties
(3)
冗長表示を回避します。
>
(4)
計量
>
(5)
新規 : D e f i n e または S e t u p のいずれかを使用し、(5) などのテンソル式によって直接定義できるようにな
りました。
>
Defined objects with tensor properties
(6)
結果の
を検証します。
>
(7)
新規 : すべてのテンソルに与えた定義について、テンソル自体から直接確認することができます。
>
(8)
改良された簡単化機能 :
>
の微分がかかわる式はゼロと等しいことを示します。
(9)
>
0
(10)
新しい t r y h a r d オプションは、これまでも改善されてきたゼロ認識をさらに大幅に改善します。
簡単に入力できるよう、s p a c e t i m e i n d i c e s が小文字で表示されるように設定します。
>
(11)
>
Defined objects with tensor properties
(12)
以下のテンソル式について考えてみましょう。
>
(13)
>
(14)
>
(15)
この 3 つの式にはそれぞれ、2 つ、3 つ、および 4 つのフリーインデックスがあり、5 つ、4 つ、および 6
つの繰り返しインデックスが含まれます
(C h e c k を参照)。
>
(16)
(16)
>
0
(17)
0
(18)
0
(19)
>
>
量子ベクトル式を含む辺関係 (式) に関する簡単化を改善します。
>
>
(20)
式のベクトル文字の識別機能が向上しました。たとえば、この交換子は実際は非投影ベクトルです。
>
(21)
>
5
(22)
ベクトル量子演算子がかかわる式について考えてみましょう。
>
I
(23)
>
(24)
角運動量の定義を考慮して、(24) を簡単化します。
>
(25)
>
(26)
量子力学に関連する球面調和関数 (SphericalY) の簡単化および積分を強力にサポートします。
>
(27)
>
0
(28)
>
(29)
>
(30)
>
(31)
テンソル
P h y s i c s パッケージのテンソルルーチンには、ルーチンパックの機能性を向上し、簡単化を促進し、より柔軟
かつ自然に対称、代入、およびその他の操作を処理できるよう、いくつかの変更が加えられています。
P h y s i c s では、教科書にみられる一般的な状況に対応するために、4 種類のミンコフスキー空間 (異なる符号)
を使用しています。これらには、符号 + - - -、- - - +、- + + +、および + + + - を対応させてください。
g_[`-`] または g _ [ ` + - - - ` ]、
または
など、符号を直接指定して計
量を設定します。
計量を設定し、正規直交テトラッドの形式を示すための P h y s i c s S e t u p の s i g n a t u r e キーワードを使用でき
るようになりました。これは、ヌルテトラッドの形式を導出するために使われます。
座標を自動的に設定する場合に t の位置を時間変数として自動検出し、デフォルトのミンコフスキー時空計量
の符号を ---+ または +--- に設定します。
Physics (およびユーザ定義の) テンソルをインデックスする際に特別な意味を持つ新しいキーワードについ
て説明します。
` ~ ` : たとえば、g _ [ ` ~ ` ] は計量の全反変性行列を戻します。
definition : たとえば、Ricci[definition] は Ricci テンソルの定義を戻します。ユーザ定義のテンソルでも
使用できます。
s c a l a r s : たとえば、W e y l [ s c a l a r s ] および R i c c i [ s c a l a r s ] は、N e w m a n - P e n r o s e 公式で P e t r o v 分類を
実行するのに使われる 5 つの Weyl と 7 つの Ricci スカラーを戻します。
sc a lar s def inition および invariantsdefinition : たとえば、W e y l [ s c a l a r s d e f i n i t i o n ] または R i e m a n n
[ i n v a r i a n t s d e f i n i t i o n ] は、スカラーおよび不変式にそれぞれ対応する定義を戻します。
n u l l v e c t o r s : たとえば、新しい T e t r a d s サブパッケージを読み込むと、e _ [ n u l l v e c t o r s ] は、その積が
N e w m a n - P e n r o s e 公式に従って正規化された、ヌルベクトルの式列を戻します。
m a t r i x : このキーワードは、旧バージョンで紹介されました。M a p l e 2 0 1 5 では空間インデックス (時空で
はない) の後で出現し、この場合、空間成分のみの式列が戻されます。
テンソル式では、同時に時空インデックス (全体参照座標系に関連する) とテトラッドインデックス (局所参照
座標系に関連する) を持つことができるようになりましたが、その必要がない場合はいずれかの座標系 (時空
またはテトラッド) に書き直されます。
m a t r i x キーワードは時空、空間、またはテトラッドインデックスで使用でき、対応する行列が戻されます。
テンソルが行列として定義された場合に、テンソルインデックスの置換中における対称性の自動判断機能を
実装します。
Weyl テンソルから Ricci テンソル、および Weyl シンボルから Ricci シンボルへの新しい変換。
Ricci トレースにかかわる変換を実行する際にこのトレースが自動的に評価されることを避け
る、convert/Ricci 内の新しいオプション e v a l u a t e t r a c e = t r u e または f a l s e。
c o n v e r t / g _、convert/Christoffel、および convert/Ricci に使用する新しいオプション ' e v a l u a t e '。このオ
プションを f a l s e に設定すると、評価を行う前に結果 (関連するテンソル) を代数形式で確認できます。
M a p l e 1 8 の Library:-SubstituteTensor コマンドは改善され、主要な Physics コマンドの 1 つとなりまし
た。このコマンドでは、複数のテンソル式 E q s を 1 つの式に代入して、フリーインデックスおよび繰り返し
インデックスを処理します。これにより、1 ) E q s 式はフリーインデックスをパラメータとして持つマッピン
グとして解釈され、2 ) E q s の繰り返しインデックスは式の繰り返しインデックスとクラッシュせず、3 ) 時
空、空間、およびテトラッドインデックスは個別に処理され、E q s と式にすべて同時に存在できます。ま
た、式の積または和の代数部分式にこの新しいコマンドを代入することで、代数テンソル式の s u b s コマン
ドおよび a l g s u b s コマンドの機能を一般化および単一化することができます。
例
ミンコフスキー時空計量 : 4 つの異なる規約。
>
(32)
デフォルトで、計量には時間が最後の位置にある符号 - - - + があります。
>
(33)
>
x4
(34)
ミンコフスキー時空計量の符号は、直接計量に設定できるようになりました。S e t u p のキーワード
s i g n a t u r e を使用する場合は、教科書にみられる 4 つの規則 (- - - +)、(+ - - -)、( + + + - )、および ( - + + + )
のうちのいずれかを使用して設定できます。ユークリッド時空は、( + + + + ) または単に + と示すことができ
ます。
>
Changing the signature of the tensor spacetime to: C C C C
(35)
>
(36)
以下のように S e t u p の s i g n a t u r e キーワードを使用します。
>
(37)
>
(38)
ミンコフスキー時空内のさまざまな記号の位置は、符号内の最初のシンボルであるか最後のシンボルであ
るかにかかわらず、時間変数を参照します。そのため、を座標の 1 つとして、たとえば最初の位置で示
した場合に、符号が最初の位置で時間と一致しないときは、符号が自動的に修正され、計量が設定されま
す。たとえば、このとき (37) によって時間は最初の位置にあると暗黙的に仮定されます。最後の位置 ( 4
番目) にがある座標を設定してください。
>
Detected `t`, the time variable, in position 4. Changing the signature of the spacetime metric accordingly,
to: C C C -
(39)
>
(40)
テンソルのすべての反変成分の行列形式の新しいショートカット。
旧バージョンより、最後のインデックスとしてキーワード m a t r i x を追加することで、テンソルの行列 (イン
デックスが 3 つ以上ある場合は配列) 形式をいつでも要求できます。たとえば、
などです。すべて
の共変成分のショートカットの表記では、(40) に示すようにインデックスが削除されます。すべての反変成分
の新しいショートカットの表記では、チルダ「~ 」のみを渡します。違いを見るために、非ミンコフスキー時
空について考えてみましょう。たとえば、以下のように 1 度に設定を行います。
>
(41)
計量のすべての反変成分は以下のとおりです。
>
(42)
空間 (時空ではない) インデックスのみを渡すキーワード m a t r i x も使用できるようになりました。空間成
分のみを含む行列を得ることができます。
>
(43)
(43)
>
(44)
P h y s i c s パッケージで事前定義された、または定義方程式と D e f i n e コマンドを使用して定義されたすべ
てのテンソルでは、定義を戻す新しいキーワード d e f i n i t i o n を使用できます。次に例を示します。
>
(45)
>
(46)
テンソル式を使用してテンソルを定義します。
>
(47)
>
(48)
フリーインデックスの整合性のため、左辺 F
をテンソルとして定義すると、右辺
もテンソルとして自動
的に定義されることに注意してください。
>
Defined objects with tensor properties
(49)
F
の定義を確認します。
>
(50)
W e y l テンソルと Ricci テンソルの新しいキーワード s c a l a r s によって N e w m a n - P e n r o s e 公式の Weyl
スカラーと Ricci スカラーが生成されます。これに対応して、別の新しいキーワード s c a l a r s d e f i n i t i o n
によってこれらのスカラーの定義が戻されます。
>
(51)
>
(52)
前述の定義で、テンソル
は M a p l e 2 0 1 5 で新しい T e t r a d s パッケージに実装された N e w m a n -
P e n r o s e 公式のヌルテンソルです。
>
Setting lowercaselatin_ah letters to represent tetrad indices
(53)
この新しい T e t r a d s パッケージでは、
はデフォルトで
定可能な正規直交テトラッドである t e t r a d ( v i e r b e i n )、
によってヌルテトラッドに設
はそれぞれ Landau, L.D. および
Lifshitz, E.M. が記した『C o u r s e o f T h e o r e t i c a l P h y s i c s V o l u m e 2』の「T h e C l a s s i c a l T h e o r y
o f F i e l d s」 (定義 ( 9 8 . 9 ) および ( 9 8 . 1 0 ) ) で定義している Ricci 回転係数と l a m b d a テンソルです。
たとえば、(41) で設定した Schwarzschild 計量の正規直交テトラッドの形式は以下のように表されます。
>
(54)
テトラッド
の新しいキーワードは n u l l v e c t o r s です。
>
(55)
m a t r i x キーワードは、異なるオブジェクトを表すさまざまな種類のインデックスに使用できます。たとえ
ば、方程式 (48) で定義した電磁テンソルの時空成分は以下のとおりです。
>
(56)
局所慣性 (テトラッド) 参照座標系でのこのテンソルの成分は以下のとおりです。
>
(57)
同様に、全体 (時空、ギリシャ文字のインデックス) および局所 (テトラッド、a ∼ h の小文字アルファベット
のインデックス) 参照座標系での R i e m a n n テンソルの非ゼロ成分は以下のとおりです。
>
(58)
>
(59)
テンソルが行列として定義された場合に、テンソルインデックスの置換中における対称性の自動判断機能
を実装します。
右辺の対称行列を使用したテンソルを定義します。
>
(60)
>
Defined objects with tensor properties
(61)
が
の順列では対称であることをシステムが検出したかどうかを確認します。
>
true
(62)
つまり、この対称を考慮して、このテンソルのインデックスは自動的に正規化され、以下のように表されま
す。
>
M
(63)
M
(64)
0
(65)
>
>
一般相対性理論でのテトラッド
一般相対性理論におけるテトラッドの公式が、新しい P h y s i c s : - T e t r a d s パッケージとして P h y s i c s に実装され
ました。このパッケージには、N e w m a n - P e n r o s e 公式のヌルベクトルを主とする 1 3 のコマンドが含まれま
す。また、テトラッド、テトラッド計量、Ricci 回転係数、および l a m b d a テンソルなどのテトラッドテンソル
に加え、I s T e t r a d、NullTetrad、O r t h o n o r m a l T e t r a d、SimplifyTetrad、および
T r a n s f o r m T e t r a d の 5 つの代数操作コマンドも含まれます。これらのコマンドは、異なる形式の正規直交およ
びヌルテトラッドを異なる手法で作成します。
例
新しい T e t r a d s パッケージには局所 (テトラッド) 座標系を計算するための 1 3 のコマンドが含まれます。局
所座標系のテンソル成分は、全体時空インデックスとは異なる文字の種類を使用してテトラッドインデックス
で表されます。文字の種類は S e t u p を使用して設定します。また、新しいパッケージを読み込むと自動的に
設定されます。
>
Setting lowercaselatin letters to represent tetrad indices
(66)
(66)
最も適切なコマンドは
と
で、それぞれテトラッド (または v i e r b e i n、デフォルトでは正規直交テト
ラッド) およびテトラッド計量 (つまり局所座標系の計量、デフォルトでは局所慣性座標系) を表します。
>
(67)
この場合、Landau, L.D. および Lifshitz, E.M. が記した『C o u r s e o f T h e o r e t i c a l P h y s i c s V o l u m e 2
』の「T h e C l a s s i c a l T h e o r y o f F i e l d s」 (定義 ( 9 8 . 9 ) および ( 9 8 . 1 0 ) ) の定義に従って、
は Ricci
回転係数、
はその線形結合となります。
>
(68)
>
(69)
テンソルは N e w m a n - P e n r o s e 公式のヌルテンソルで、コマンド
はテトラッドの異なる形式の処
理および調査を行うために使われます。
平坦空間では時空とテトラッド計量は同じであるため、正規直交テトラッドも同一と言えます。
>
(70)
>
(71)
>
(72)
曲がった時空で、たとえば "Local Rotational Symmetry metric" 計量を設定します。
>
(73)
>
(74)
デフォルトの正規直交テトラッドは以下のとおりです。
>
(75)
このテトラッドには、以下のヌルベクトルが対応しています。
>
(76)
これらのヌルベクトルは T e t r a d s パッケージの一部であるため、直接計算できます。
>
(77)
>
(78)
ほかのテンソルの確認と同じように、これらの定義を確認できます。
>
(79)
以下のように、これらの定義は符号に依存します。
>
(80)
符号の記号を変更し、位置 1 に時間を配置します。
>
(81)
(81)
(
ではなく 1 ) となり、(79) と比較すると計量
の定義の符号が変わっていることがわかり
ます。
>
(82)
これらのテンソルが同一であるかどうかは T e n s o r A r r a y を使用して検証することができます。たとえば、最
後の式の場合は、以下のようになります。
>
(83)
>
(84)
正規直交テトラッドではなくヌルテトラッドを使用して計算する場合は、S e t u p を使用して t e t r a d または
t e t r a d m e t r i c をヌルに設定します。
>
(85)
これにより、局所 (テトラッド) 参照座標系の計量は以下のようになります。
>
(86)
注 : このヌルテトラッド計量の形式では、位置 1 にある時間 ((81) で行った変更) と一致しています。位置 4
(デフォルト) にある時間ではありません。テトラッド計量は、
を使用して、どのような場合でも方法を問わず再定義する
ことができます。
ヌルテトラッドは以下のようになります。
>
(87)
(87)
この結果を正規直交テトラッド (75) と比較します。
これらのテトラッドがテトラッドの定義を満たしているかテストすることができます。
>
(88)
パッケージの処理コマンドを使用します。
>
Type of tetrad: orthonormal
true
(89)
Type of tetrad: null
true
(90)
>
または、(84) と同様に T e n s o r A r r a y コマンドを使用し、直接定義を渡します。
>
(91)
正規直交テトラッドまたはヌルテトラッドの異なる形式は、それぞれ O r t h o n o r m a l T e t r a d または
NullTetrad コマンドを使用して、異なる手法の使用を要求したり開始ベクトルを渡したりして計算できま
す。たとえば、以下は現在の時空計量の正規直交テトラッドのデフォルトの形式です。
>
(92)
このテトラッドの計算には、G r a m S c h m i d t (曲がった空間への一般化) と E i g e n v e c t o r s (関連する行列の固
有ベクトルの計算に基づく) の 2 つの方法を使用できます。デフォルトで、P h y s i c s パッケージルーチンでは
どの時空計量セットで使用する手法がより便利かを判断します。この場合、ルーチンでは G r a m S c h m i d t 手
法を採用しています。その他の手法については、以下のように確認できます。
>
(93)
正規直交テトラッドを使用する場合は、
トラッドを確認します。
で設定できます。(92) および (93) に対応するヌルテ
>
(94)
>
(95)
G r a m S c h m i d t を使用する場合は、最初のベクトルを指定することもできます。この手法では、最初のベク
トルから開始して、「次」のベクトル (テトラッドの方向) の計算を反復します。たとえば、
から開始せず、
から開始して (92) と比較します。
>
(96)
>
Type of tetrad: orthonormal
true
(97)
その他の結果を (94) と比較します。
>
(98)
>
Type of tetrad: null
true
(99)
時空計量セットの Ricci 回転係数は以下のとおりです。
>
(100)
>
(101)
すべての反変成分について、式がより簡単になります。
>
(102)
一度にすべての非ゼロ成分を表示するには、
と入力します。
N e w m a n - P e n r o s e 公式の Weyl スカラーおよび Ricci スカラーは以下のとおりです。
>
(103)
>
(104)
>
(105)
>
(106)
Ricci テンソルが、すべての時空、テトラッドおよび時空の混合、すべてのテトラッド成分の順で表示されま
す。描画目的の場合は、大きな代数式は避け、より簡単な計量 (Tolman) を使用します。
>
(107)
>
(108)
>
(109)
>
(110)
>
(111)
アインシュタイン方程式の解のデータベースにおけるその他の計量
アインシュタイン方程式の解のデータベースは、M a p l e 1 5 で Maple ライブラリに追加されました。S t e p h a n i ,
H.、Kramer, D.、MacCallum, M.、H o e n s e l a e r s , C .、Herlt, E. 著『Exact Solutions to Einstein's Field
E q u a t i o n s』および H a w k i n g , S t e p h e n、Ellis, G. F. R. 著『T h e L a r g e S c a l e S t r u c t u r e o f S p a c e - T i m e』か
ら選択した計量を使用しています。M a p l e 1 6、M a p l e 1 7、および M a p l e 1 8 では、この 2 冊から、さらに計量
を追加しています。これらの計量は g _ (自分で選択した計量に一度で設定できる時空計量を表す P h y s i c s コマン
ド) またはコマンド DifferentialGeometry:-Library:-MetricSearch を使用して検索できます。
M a p l e 2 0 1 5 では、前述の『Exact Solutions to Einstein's Field Equations』のさまざまな章から、さら
に 1 0 4 を超える計量がデータベースに追加されています。ほかの章で使用する新しい計量に加え、この追加
により、文献にある解と、この本の第 1 3 章および第 1 4 章から収集した解は、すべてアインシュタイン方
程式の解のデータベースに含まれます。
新しい P h y s i c s : - T e t r a d s パッケージの 1 3 のコマンドを使用することで、たとえばテトラッドおよびヌルベ
クトルを計算して、これらの計量特性を代数的に解くことができます。
例
前述のとおり、文献に記載されている解と『Exact Solutions to Einstein's Field Equations』の第 1 3
章および第 1 4 章から収集した解は、すべてアインシュタイン方程式の解のデータベースに含まれます。こ
れらの解について確認し、時空計量をその 1 つとして g_ Physics コマンドから直接設定するか、これらの解
の詳細について DifferentialGeometry:-Library:-MetricSearch を使用して検索します。
たとえば、M a p l e のデータベースにある第 1 3 章および第 1 4 章の計量をすべてリストします。リスト後は、
計量をこれらの内のいずれかに設定するか、明示的に示すために、g_[index_of_metric] (例 : g_[[13,2,1]])
と入力します。
>
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
(112)
計量を設定します。
>
(113)
これを今度は第 1 4 章のほかの計量に変更します。
>
(114)
M a p l e データベース内にある、文献の計量と第 1 4 章から収集した計量をすべてリストします。
>
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
(115)
最後にリストされる計量を設定します。
>
(116)
量子力学における交換子、反交換子、およびディラック記法
非可換な演算子の積を計算する場合、結果は事前に設定した交換子および反交換子の代数に依存します。それ以
外にも、物理では、さまざまな数学オブジェクトが独自に特定の交換規則を満たしています。Library コマンド
の C o m m u t e および A n t i C o m m u t e を使用して、これらの規則について検索できます。この領域の既存の機能
と改良点は調整され、M a p l e 2 0 1 5 に実装されています。以下の内容が含まれます。
方程式間、または方程式を含む式の交換子と反交換子の計算。
A が量子演算子で F が可換マッピングの場合、常に
(Cohen-Tannoudji 『Q u a n t u m M e c h a n i c s』 1 7 1 ページを参照)。
となります
代数的表現に存在するすべての変数が微分変数と交換されるたびに、非可換変数に対して微分を行います。
演算子の固有ケットに適用された関数
『Q u a n t u m M e c h a n i c s』 1 7 1 ページを参照)。
の自動計算 (Cohen-Tannoudji
パラメータ化された交換子。たとえば、ルール
とすると、
では
を設定した場合に
ではなく
をパラメータ
を戻すようになります。
交換子ルールの自動導出 : C o m m u t a t o r ( A , C ) = C o m m u t a t o r ( B , C ) = 0 および C = Commutator(A, B)
の場合、Commutator(A, F(B)) = F '(B) (Cohen-Tannoudji 『Q u a n t u m M e c h a n i c s』 1 7 1 ページを参照
)。
、たとえば
や
などのケー
スを含みます。
同じ関数に関連する複数の代数ルールを持つ新しいメカニズム (たとえば、順序が異なる 2 つの引数の関数)
。
演算子 I n v e r s e(A
A
は、がエルミートで F が A s s u m e、a s s u m i n g、または
される場合、エルミートです。
によって実数と仮定
がエルミートで F が数学的な実関数、つまり、実数要素を実数要素にマッピングする場合、
は、エル
ミートであるという条件を満たします。この変更には、e x p、三角関数とその非評価形式のみが含まれます。
以前から不足しているユニタリおよびエルミート演算子のケースをいくつか追加します。
a ) U および V がユニタリである場合、U V もユニタリです。
b ) A がエルミートである場合、
はユニタリです。
c ) U がユニタリで A がエルミートである場合、
もエルミートです。
E x t e n d e d Q u a n t u m O p e r a t o r の任意の関数などを含めるように、より正確に
E x t e n d e d Q u a n t u m O p e r a t o r のタイプを定義します。
例
>
>
I
(117)
>
(118)
>
(119)
>
(120)
>
(121)
>
(122)
量子演算子
の任意の可換マッピングでは、と交換します。
>
(123)
>
true
(124)
非可換変数 V に対する微分は、代数的表現に存在するすべての演算子が V と交換されるたびに実行する
ことができます。
>
(125)
演算子が Ket (たとえば、X) の基準のラベルとして使われ、Ket が自動的に演算子 X の固有ケットとなる場
合、その固有ケットへの X の関数の適用と、これに加えて X の関数のブラケットも、自動的に計算され
るようになります (Cohen-Tannoudji 『Q u a n t u m M e c h a n i c s』 1 7 1 ページを参照)。
次に例を示します。
>
* Partial match of 'op' against keyword 'quantumoperators'
* Partial match of 'continuousbasis' against keyword 'quantumcontinuousbasis'
(126)
M a p l e の旧バージョンから :
>
(127)
>
(128)
>
(129)
>
(130)
M a p l e 2 0 1 5 の新機能 :
>
(131)
>
(132)
ここでは、ブラケットを例に取ります。
>
(133)
>
(134)
離散基底の場合も同様です。離散基底のラベルを X などに設定してください。
>
* Partial match of 'discretebasis' against keyword 'quantumdiscretebasis'
(135)
再度 (133) の値を計算します。
>
(136)
「関数の関数」を含む例 : 実行された操作を確認するには、左辺で「*」演算子を使用し、右辺で有効な点「.
」演算子を使用します。
>
(137)
>
(138)
>
(139)
パラメータ化された交換子を実装します。たとえば、以下の代数ルールを設定します。
>
* Partial match of 'op' against keyword 'quantumoperators'
(140)
通常どおり、以下のような結果を得られます。
>
(141)
新規 : このため、(140) のルールの左辺および右辺に表示される
(ルールのパラメータ)、たとえば
ラメータ化された状態)。
を
または
は、このルールの変数の 1 つと認識され
に変更すると、ルールは正常に機能します ( によってパ
>
(142)
>
(143)
A と B が量子演算子である場合は、両方ともそれぞれの交換子と交換されます。F を任意の交換マッピン
グとすると、A または B の交換子と他方に F が適用された交換子を計算できます (Cohen-Tannoudji
『Q u a n t u m M e c h a n i c s』 ( 5 1 ) 1 7 1 ページを参照)。これを表すために、代数ルールを再実行します。
>
(144)
>
(145)
これにより、量子演算子の既知の関数に対し、交換子のルールを指定する必要がなくなることに注意してくだ
さい。たとえば、この時点では指数関数
をとるの交換子の代数ルールはありませんが、この交換子の
値は代入ルールから導出することができます (自動的に導出されるようになりました)。
>
(146)
>
(147)
同じ名前で引数が異なる多くの関数の代数ルールが存在します。
>
>
(148)
以下の 2 つの交換子は、単一の「積」の関数を含みますが、引数の順序は適切です。交換子の左辺が必ずし
も等しくないケースについて考えてみましょう。
>
(149)
>
(150)
「両方」の交換子を同時に代数ルールとして設定します (この変更を行う前は設定不可)。
>
(151)
交換子が正常な結果を戻すことを確認します。
>
(152)
>
(153)
Inverse(A) . Ket を 1/A . Ket と同じように処理します。
>
(154)
>
n
(155)
以前から不足しているユニタリおよびエルミート演算子のケースをいくつか追加します。
>
(156)
>
true
(157)
true
(158)
>
>
(159)
>
true
(160)
>
(161)
>
true
(162)
F が引数の実関数であると仮定します。
>
(163)
これにより、
もエルミート演算子であることがわかります。
>
(164)
true
(164)
>
(165)
たとえば、s i n は引数を伴う実関数です。
>
(166)
E x t e n d e d Q u a n t u m O p e r a t o r s の関数を含めるために、より正確に Physics:-Library:-PhysicsType:E x t e n d e d Q u a n t u m O p e r a t o r を定義します。
>
true
(167)
true
(168)
true
(169)
>
>
新しい A s s u m e コマンドと改良された
a u t o m a t i c s i m p l i f i c a t i o n モード
P h y s i c s の設定に、改良された a u t o m a t i c s i m p l i f i c a t i o n モードが新しく追加されました。また、新しい
P h y s i c s : - A s s u m e コマンドを使用すると、簡略化された式を自動生成したり、仮定を柔軟に適用できるため、物
理環境がより表現的になります。
仮定
P h y s i c s のほぼすべての数式には、指定範囲内の実数、正、または単なる角度のオブジェクトが存在します。
たとえば、プランク定数、時間、粒子の質量と位置などです。a s s u m e コマンドを使用して仮定を置く場合、
仮定を置く前に入力した式と仮定とともに入力した式は、仮定を消去すると再利用できません。ま
た、a s s u m e を使用すると変数が再定義され、ジオメトリ座標 (時空座標系、直交座標系、円筒座標系、およ
び球面座標系) の単位が失われます。新しい A s s u m e コマンドでは、こうした問題が解消されています。変数
が再定義されることはありません。また、「拡張的な仮定」の概念が採用されたため、仮定を置く前や消去し
た後も入力済みの式を再利用できます。A s s u m e には、additionally コマンドの機能も含まれます。
例
新しい A s s u m e コマンドによって、「拡張的な仮定」の概念が採用されます。
一般的な変数 x について考えてみましょう。この変数に関する既知の情報はありません。
>
>
x:
nothing known about this object
各変数にはセッションに依存する番号が関連付けられており、コンピュータはこの番号を (内部的に) 使用
して変数を参照します。
>
18446744078214447198
(170)
変数に仮定を置くために a s s u m e コマンドを使用する場合は、変数に関連付けられたこの番号が以下
のように変わります。
>
>
18446744078389139102
(171)
変数 x は再定義され、名前が変更されるため、(170) で参照している変数 x ではなくなります。
>
Originally x, renamed x~:
is assumed to be: RealRange(Open(0),Open(1/2*Pi))
a s s u m e コマンドによって置かれた仮定を元に戻すには、変数 x を再度自身に割り当てます。
>
(172)
数値アドレスを確認すると、また (170) と等しくなっていることがわかります。
>
18446744078214447198
(173)
注目すべき点は、a s s u m e を使用して仮定を受け入れる変数は仮定ごとに再定義されることです。これは
2 つの意味を持ちます。
1 ) a s s u m e を使用して仮定を x に置く前に入力されたすべての方程式または式は、仮定を置いた後に存在
する変数とは異なる変数 x を使用しているため、これらの以前の式を再利用することはできません。これ
らは異なる変数を使用します。
2 ) また、a s s u m e を使用して仮定を置くと、x はその後別のオブジェクトを参照するため、仮定を置く前
に存在した x に依存するプログラムでは a s s u m e によって再定義された新しい x を認識しません。
たとえば、x が座標系の一部で、時空計量 g
しい変数 x (別のシンボル) は、
がこれに依存している場合、a s s u m e で再定義された新
との依存関係の一部として認識されません。これは、パラメータまた
は範囲が制限された座標系に依存する曲がった空間における作業の妨げになります。同様に、すべての
Physics:-Vectors コマンドは続行する方法を決定するために、それぞれ直交座標系、円筒座標系、または
球座標系のセット
を検索しますが、a s s u m e を使用してこれらに仮定を置く
と、これらの変数は非表示になります。このため、a s s u m e ではなく a s s u m i n g だけが Physics との完全
な互換性を有します。同じような状況が VectorCalculus パッケージでも発生します。
これらの問題は、既存の a s s u m e コマンドのすべての実装を異なる方法で使用する、新しい A s s u m e コ
マンドによって解決します。ここでは、仮定される変数は再定義されないため、以下のように処理でき
ます。
a ) 仮定を置く前に入力した式または方程式を再利用できます。
b) 仮定を元に戻し、仮定から得た結果を再利用できます。
これが「拡張的な仮定」の概念です。また、変数は再定義されないため、これらの変数の仮定に依存する
コマンドは、仮定を置く前、置いているとき、または置いた後に、すべて正常に継続して処理されます。
たとえば、仮定を置く前にこの簡単化を行っても何も得られません。
>
(174)
と仮定します。
>
(175)
新しいコマンドは置かれた仮定を戻します。
a ) x のアドレスは、まだ仮定を置く前の (170) と同じです。
>
18446744078214447198
(176)
つまり、変数は再定義されませんでした。ただし、システムはその仮定を認識しています。つま
り、a s s u m e コマンドのすべての過程が使われています。
>
x:
is assumed to be: RealRange(Open(0),Open(1/2*Pi))
そのため、仮定を置く前に入力した式を再利用することができます。たとえば、(174) を再利用して以下を
得ることができます。
>
x
(177)
x に関する仮定を削除するためには、1 度で多くの変数を削除するか、1 つの変数を削除するかによっ
て、
または
を使用することができます。
>
(178)
>
x:
nothing known about this object
要約すると、新しい A s s u m e コマンドによって、関連する変数を変更することなく、いつでも自由にオン
またはオフにすることができる「拡張的な仮定」の概念が採用されました。
この実装には、additionally コマンドの機能も含まれます。実行するには、呼び出しシーケンスのどこか
にキーワード「a d d i t i o n a l l y」を追加してください。次に例を示します。
>
(179)
>
x:
is assumed to be: RealRange(Open(0),infinity)
>
(180)
>
x:
is assumed to be: RealRange(Open(0),Open(1))
自動簡単化
P h y s i c s の新しい計算用モードです。
を入力すると、ありとあらゆる入
力 (P h y s i c s 関連の入力以外も含む) に対する出力は、画面に返される前に自動的にサイズの簡単化が行われ
ます。これにより、ほとんどの対話型作業が大幅に効率化されます。
例
>
デフォルトでは、a u t o m a t i c s i m p l i f i c a t i o n はオフです。これについては、次のように入力して確認
できます。
>
(181)
つまり、たとえば以下のような式を入力すると、単に入力した内容だけが戻されます。
>
(182)
>
(183)
ただし (182) および (183) には隠れた構造があり、多くの場合、これらの構造を明らかにしておくと便利で
す。これは、これらの構造から先に進むためのヒントが頻繁に得られるためですが、大まかに言えば、よ
りコンパクトな式のほうが理解しやすいためでもあります。実行中の a u t o m a t i c s i m p l i f i c a t i o n を確認す
るには、次のように入力してオンにします。
>
(184)
次の同じ式を再度呼び出します (式ラベル (182) と入力することも可能)。
>
(185)
>
(186)
実行の結果、
への設定以降のこの出力では、例外なく、解が戻される前に簡
単化/サイズ処理されます。また、全体的にコンパクトな式で計算できることに注意してください。
a u t o m a t i c s i m p l i f i c a t i o n も同じ方法でオフにすることができます。
>
(187)
>
(188)
>
(189)
V e c t o r s パッケージ
V e c t o r s サブパッケージで、計算をより自然に汎用的に行うための変更がいくつか行われました。
不活性なベクトル微分演算子の代数操作に関する改良
ベクトル微分演算子またはスカラー微分演算子となる、ベクトル関数またはスカラー関数 (左辺) のスカラー
積とベクトル微分演算 (右辺) による処理の改善
ベクトル式の基底または座標を変更する際の三角法による簡単化の使用に関するいくつかの改善
2 つの辺が同じ基底に投影されていない場合に自動的に基底を変更する、方程式に V e c t o r s : - C o m p o n e n t を
マッピングする新しい機能性を追加
ベクトル量子演算子の式のケースを含め、ベクトル式自体のスカラー (ドット) 積としてべき乗の展開を実装
積の演算子がスカラー積およびベクトル積 (Vectors : -`.` および Vectors : -`&x`) の場合に方程式の乗算を
許可
C h a n g e B a s i s : 式がベクトルでない場合でも、直交座標系のあいだで座標を変更可能
新規コマンド : C h a n g e C o o r d i n a t e s。直交座標系、円筒座標系、および球面座標系を使用して、これらの座
標系にかかわるスカラー式またはベクトル式のいずれかの代数式を、直交基底を変更せずに書き換える
例
非投影ベクトルで作成された投影ベクトル上での不活性なベクトル微分演算子の操作に関する機能を強化
します。
>
>
(190)
非投影ベクトル
で作成され、直交座標基底で投影されたベクトルについて検討します。
>
(191)
発散を取得しますが、計算処理はしません。つまり、不活性な % D i v e r g e n c e 演算子を使用します。
>
(192)
演算の次数を切り替えて評価/展開します。
>
(193)
>
(194)
% D i v e r g e n c e の代わりに % C u r l を取ります。
>
(195)
>
(196)
>
(197)
この結果を、まず不活性な
演算を評価して比較します。
>
(198)
を投影し、(197) と (198) が数学的に等しいことを以下のように検証します。
>
(199)
>
(200)
(197) と (198) に
を代入します。
>
(201)
>
(202)
単位ベクトルをまとめると、2 つの式は同じです。
>
(203)
次に、ベクトルおよびベクトル微分演算子のスカラー積の扱いについて示します。以下について考えてみ
ます。
>
(204)
は、実際はベクトルではなく、微分演算子です。以下に例をあげます。
>
(205)
ベクトル式の直交基底または座標を変更する際の三角法による簡単化の使用に関するいくつかの改善。以
下について考えてみます。
>
(206)
>
(207)
新規 :
>
(208)
これと、同様の関係を考慮して、以下のベクトル式について考えてみましょう。
>
(209)
>
(210)
>
(211)
この変換を反転して (209) まで戻ります。
>
(212)
C h a n g e B a s i s の出力と新しい C h a n g e C o o r d i n a t e s の出力を比較します。新規コマンドを使用する場合、
単位ベクトルは変更されません。
>
(213)
>
(214)
球座標系では、たとえば以下について考えてみましょう。
>
(215)
>
(216)
>
(217)
>
(218)
>
(219)
>
(220)
方程式に対して V e c t o r s : - C o m p o n e n t をマッピングすると、同じ基底上に 2 つの辺が投影されていない
場合は自動的に基底を変更します。
>
(221)
>
(222)
方程式の両辺が異なる基底に投影された場合、C o m p o n e n t によって両辺が左辺の基底にマッピングされま
す。
>
(223)
>
(224)
>
(225)
>
(226)
>
(227)
式自体のスカラー (ドット) 積であるベクトル式のべき乗。
>
2
(228)
>
(229)
量子ベクトル非可換演算子の例 :
>
* Partial match of 'op' against keyword 'quantumoperators'
(230)
>
2
(231)
>
(232)
>
* Partial match of 'hermitian' against keyword 'hermitianoperators'
(233)
>
(234)
左辺を乗算し、その結果を右辺の積と等式化して「式の掛け算」を実行できます。ベクトルスカラー
積およびベクトル積 (Vectors : -`.` および Vectors : -`&x`) に対しても実行できます。
>
(235)
>
(236)
ベクトル積
および
を入力するには、[一般的な記号] パレットを使用するか、外積に直接「点」や「&x」
を入力してください。
>
(237)
>
(238)
物理ライブラリ
Physics:-Library パッケージに、プログラミングや対話型の計算に役立つ 2 6 の新しいコマンドが追加されまし
た。以下を参照してください。
ClearCaches
ExpandProductsInExpression
FlipCharacterOfFreeIndices
FromMinkowskiKindToSignature
FromSignatureToMinkowskiKind
FromTetradToTetradMetric
GetByMatchingPattern
GetTypeOfTensorIndices
GetVectorRootName
HasOriginalTypeOfIndices
IsEuclideanSignature
IsGalileanSignature
IsMinkowskiSignature
IsValidSignature
IsEuclideanMetric
IsGalileanMetric
IsMinkowskiMetric
IsOrthonormalTetradMetric
IsNullTetradMetric
IsNullTetrad
IsOrthonormalTetrad
IsTensorFunctionalForm
RepositionRepeatedIndicesAsIn
RestoreRepeatedIndices
RewriteTypeOfIndices
SplitIndicesByType
さらに、既存の Physics:-Library コマンドがいくつか改善されています。
タイプ s p a c e t i m e i n d e x、s p a c e i n d e x、s p i n o r i n d e x、g a u g e i n d e x、および t e t r a d i n d e x を Library:P h y s i c s T y p e パッケージのエクスポートに追加します。
時空が曲がっており、かつ、いくつかの「テンソル」が、曲がった空間ではテンソルではない場合に使用す
る Library:-ToCovariant および Library:-ToContravariant。
新しいオプション c h a n g e f r e e i n d i c e s および f l i p c h a r a c t e r o f i n d i c e s を Library:-ToCovariant および
Library:-ToContravariant コマンドに追加します。これにより、指定の式と数学的に同等な式に戻すデフォ
ルトの挙動の代わりに、必要に応じて実際にフリーインデックスを引き下げるか、引き上げます。
V e c t o r s が読み込まれ、ベクトルシンボルが要求された場合に、ベクトルシンボルを戻すために、L i b r a r y
コマンド G e t C o m m u t a t i v e S y m b o l、G e t A n t i C o m m u t a t i v e S y m b o l、および
G e t N o n C o m m u t a t i v e S y m b o l を拡張します。
入力がオブジェクトのリストであった場合に、自動的にシンボルのベクトル (Y/N) 種類を考慮して対応する
タイプの新規シンボルのリストを戻す、L i b r a r y コマンド G e t S y m b o l s W i t h S a m e T y p e に機能を追加しま
す。
例
>
(239)
E x p a n d P r o d u c t s I n E x p r e s s i o n は、非可換な積、べき乗、およびベクトル和を含み、
f r o n t e n d @ e x p a n d と同様に動作する L i b r a r y ルーチンです。このルーチンには、すべてのコールを
f r o n t e n d に代入する機能がありますが、非可換な演算に対応していないユーザ定義の Physics プログラ
ムでの利用は困難です。
F l i p C h a r a c t e r O f F r e e I n d i c e s は、テンソル式のフリーインデックスを反転させる新しいライブラ
リルーチン
>
Defined objects with tensor properties
(240)
テンソル式の例は以下のとおりです。
>
(241)
この式のフリーインデックスは共分散です。
>
(242)
すべてのフリーインデックスを反転させます (結果として得られる式は、数学的に等しくありませ
ん。L i b r a r y : - T o C o v a r i a n t と L i b r a r y : - T o C o n t r a v a r i a n t、およびその新しいオプション
f l i p c h a r a c t e r o f i n d i c e s から得られる結果と異なっている、または相補的であると言えます)。
>
(243)
>
(244)
n u のみを反転させます。
>
(245)
>
(246)
R e p o s i t i o n R e p e a t e d I n d i c e s A s I n は、繰り返しインデックスをパターンに従って再配置する新しいライ
ブラリルーチンです。1 つのインデックスが繰り返されるテンソル T について考えてみましょう。
>
Defined objects with tensor properties
(247)
>
T
(248)
繰り返しインデックスが以下のパターンに従って最初の位置と 3 番目の位置に出現するように、このテンソ
ルを書き直します。
>
(249)
>
T
(250)
R e s t o r e R e p e a t e d I n d i c e s は、別の式で使用した繰り返しインデックスを特定の式で使用するための新
しいルーチンです。
>
Defined objects with tensor properties
(251)
以下の 2 つのテンソル式について考えてみましょう。
>
(252)
>
(253)
(252) で、(253) で使用した繰り返しインデックスを使用したい場合は、インデックス i n とインデックス o u t
の 2 つの式を示します。
>
(254)
R e w r i t e T y p e O f I n d i c e s では、定義時のインデックスのタイプに合わせてテンソルを書き直します (た
とえば、が時空、がテトラッドに関連する
を使用)。
>
Setting lowercaselatin letters to represent tetrad indices
(255)
最初のインデックスがテトラッド関連で 2 番目のインデックスが時空であるテンソルについて考えてみまし
ょう。
>
Defined objects with tensor properties
(256)
最初のインデックスが時空で 2 番目のインデックスがテトラッドである A
の成分を A
の成分として表す
にはどうしたらよいでしょうか?
>
(257)
Physics:-Library:-PhysicsType パッケージに追加された新しい専門の Physics タイプ :
C o m m u t a t i v e M a p p i n g、E x p a n d a b l e P r o d u c t、g a u g e i n d e x、s p a c e i n d e x、s p a c e t i m e i n d e x、s p i n
o r i n d e x、および t e t r a d i n d e x。
>
(258)
C o m m u t a t i v e M a p p i n g は、(引数が可換であるかどうかにかかわらず) 可換関数を使用して実行されます。
>
true
(259)
>
* Partial match of 'op' against keyword 'quantumoperators'
(260)
>
true
(261)
false
(262)
>
さまざまな種類のインデックスを、異なるタイプのものとして識別することができるようになりました。
>
(263)
>
(264)
>
(265)
>
(266)
>
(267)
時空が曲がっていて、かつ、変換する式が、曲がった空間ではテンソルとは言えない場合に使用する
L i b r a r y : - T o C o v a r i a n t および L i b r a r y : - T o C o n t r a v a r i a n t の改善
たとえば、実験目的のために時空をガリレイ以外の設定にします。
>
(268)
>
Defined objects with tensor properties
(269)
>
(270)
>
(271)
ここで設定したような曲がった時空では、微分 (271) はテンソルではありません。反変成分として書き換え、
その後、共変成分として書き換えます。
>
(272)
>
(273)
>
(274)
>
(275)
>
(276)
M a p l e 1 8 の Library:-ToCovariant および Library:-ToContravariant のデフォルトの挙動では、与えら
れた式と数学的に等しく、テンソル (すべてまたは表示されたもののみ) のインデックスがすべて共変また
はすべて反変で表示される式に戻されます。
新機能 : 与えられた式と数学的に等しくない式を戻しますが、すべて (または一部) のフリーインデックスが
それぞれに共変または反変です。このため、新しいオプション flipcharacterofindices を渡す必要がありま
す。
>
Defined objects with tensor properties
(277)
>
(278)
>
(279)
デフォルトの挙動 : 戻された式は数学的に等しいですが、計量に縮約を導入するために、テンソルはそのイン
デックスがすべて共変 (L i b r a r y : - T o C o v a r i a n t) または反変 (L i b r a r y : - T o C o n t r a v a r i a n t) の状態で表示され
ます。
>
(280)
前述の G および F には共変インデックスしかありません。この結果は、与えられた (278) に簡単化できま
す。
>
0
(281)
新規 : 開始式でフリーインデックスのみを引き下げるか、引き上げます。
>
(282)
新規 : フリーインデックスの文字を「すべて共変のフリーインデックス」 (L i b r a r y : - T o C o v a r i a n t) か「すべ
て反変のフリーインデックス」 (L i b r a r y : - T o C o n t r a v a r i a n t) に反転します。(278) では、フリーインデック
スは
(反変) および
(共変) でした。以下の場合は、最初に
(共変)、次に
(反変) です。
>
(283)
>
(284)
>
(285)
>
(286)
その他
アプレットからすべての Physics 設定の処理を可能にするために、Physics:-Setup() アプレットにいくつか
のフィールドを追加します。
新しい P h y s i c s : - S e t u p オプション : a u t o m a t i c s i m p l i f i c a t i o n および n o r m u s e s c o n j u g a t e。
P h y s i c s または Physics:-Vectors のいずれかが読み込まれると、d t h e t a や d p h i などが dq や df などと表
示されます。
グローバルと P h y s i c s の両方の「*」演算子内に、「
」など
の面倒な入力を排除する、左辺の積が右辺の積と等しい方程式の積を実装します。これにより、単に「
」と入力できます。
自動的にリスト全体に対して内積を分配します (
など)。
A、B、および C が行列である場合にも、(A = B) - C を使用できるようにします。
や
などを方程式のセットやリストに変換します。
消滅演算子と生成演算子が教科書と同じように
を追加して、P h y s i c s : - V e c t o r s や行列の方程式
および
と表示されます。
式のラベルを使用して消滅演算子と生成演算子を含む式をコピーアンドペーストします。
関数名を 2 番目の引数として渡すだけで導関数を計算する Fundiff の機能を実装します。代数的表現に X な
どの 1 つの依存関係 (複数の変数を含む場合あり) のみを持つこの関数が含まれている場合は問題なく処理さ
れます。これにより、紙と鉛筆を使って解く場合と同じように関数を変化させることができます。
テンソル式の対称性および非対称性の判断が改善されました。
計量
とテトラッド
およびテトラッド計量
は標準のテンソルの定義を行う Physics:-Define コ
マンドを使用して (再) 定義できるようになりました。また、定義はテンソル式として直接指定できるように
なりました。
T e n s o r A r r a y にキーワードオプション a t t e m p t z e r o r e c o g n i t i o n を追加して、配列の各成分を 0 でテスト
します。
オブジェクトのリストまたは「i n」構造 (たとえば s u m 再定義時の「
A d d など) で加算することができます。
」や Physics:-Library:-
反可換および非可換のオブジェクトが、ベクトルであるかどうかを問わず、相応に扱われ、簡単化の実行時
に可換オブジェクトに変換されないよう、P h y s i c s での simplify/siderels の使用を一致させます。
設計の変更点 :
a . KillingVectors の出力には、デフォルトで左辺に 4-D ベクトル、右辺に成分を含むリストがあるベ
クトル解の形式が適用されます。また、後でテンソルに使用するために D e f i n e コマンドに戻されま
す。各ベクトル成分の方程式解の古い形式を回復するために新しいオプションの引数 o u t p u t =
c o m p o n e n t s o l u t i o n s が実装されます。
b . Vectors:-Norm はデフォルトでユークリッド実数を戻します (
)。共役オプションが
渡されるか、P h y s i c s : - S e t u p を使用して n o r m u s e s c o n j u g a t e が設定された場合など、
のように共役を使用した場合のみ戻します。
c . F e y n m a n D i a g r a m s の、タドポールを含むすべての項の出力を破棄します。これらの項を旧バージ
ョンと同様に含めるためのオプション i n c l u d e t a d p o l e s が実装されます。
d . P h y s i c s が読み込まれると、M a p l e では
e . A およびの量子演算子であるドット積
な) 積 A を返します。
は 1 を戻すため、
から、A や
は
を戻しません。
が B r a や K e t を含まない場合に (非可換
f. A が量子演算子でV e c t o r s が読み込まれている場合は、A も量子演算子です。同様に、Z が非可換接
頭辞で V e c t o r s が読み込まれている場合は、も非可換オブジェクトです。
g . V e c t o r s が読み込まれると、S e t u p コマンドを使用して設定された演算子のエルミート特性および
ユニタリ特性が「矢印の下の名前」に引き継がれ、またはその逆が行われます。このため、A がエル
ミート演算子またはユニタリ演算子である場合、A も同じになります。
h . S p a c e T i m e V e c t o r では、座標系以外の依存関係を持つことができます。
i.
の
が事実上ダミーであり、
ため、インデックスが 2 回繰り返されても
の
との衝突はプログラムによって避けることができる
を入力できるようになりました。
j. K r o n e c k e r D e l t a をテンソルとして使用できなくなりました。P h y s i c s コマンドの出力では、代わり
に計量 g _ を使用します。K r o n e c k e r D e l t a は、テンソルとしてではなく、量子力学の標準的な対応
記号として使用します。
例
>
(287)
アプレットからすべての P h y s i c s 設定の直接処理を許可するために、Physics:-Setup() アプレットに
T e t r a d 設定と新しい a u t o m a t i c s i m p l i f i c a t i o n を含むいくつかのフィールドを追加します。
>
P h y s i c s または Physics:-Vectors が読み込まれると、d t h e t a や d p h i などが dq や df などと表示されま
す。時空計量を入力する際に、線要素の 2 乗を与え、d t h e t a、d p h i などを使用して座標の微分を表して
特に便利です。これは、シュワルツシルト計量
の線要素の 2 乗です。
>
(288)
左辺の積と右辺の積が等しい方程式の積。
>
(289)
>
(290)
>
(291)
>
(292)
>
(293)
>
(294)
リストの要素全体に内積を分配します。
>
(295)
より柔軟な入力モード : 行列方程式から和または差を直接求めることができます。
>
(296)
>
(297)
新規 : c o n v e r t / s e t o f e q u a t i o n s および c o n v e r t / l i s t o f e q u a t i o n s は行列とベクトル方程式を方程式のセ
ットまたはリストに積分変換する際に便利です。
>
(298)
>
(299)
>
(300)
単一の行列が渡されると、各要素は 0 と等しくなり、関連するセットまたはリストが戻されます。
>
(301)
>
ベクトル方程式も処理されます。
>
(302)
>
(303)
>
(304)
消滅演算子と生成演算子は、それぞれマイナスとプラスの上付き文字で表されます。
>
a
(305)
>
a
(306)
これらの演算子を参照するには、式のラベルを使用することもできます。
>
(307)
>
(308)
>
(309)
F u n d i f f : 汎関数の微分の計算中に、以下のように微分変数の機能を示します。
>
(310)
しかし、x は多くの場合、以下のように積分ダミー変数を表します。
>
(311)
微分関数の機能を示す導関数の標準的な計算方法は、以下のとおりです。
>
(312)
これで、微分変数の機能を非表示にすることができます。出力は、元のダミー変数を使用して直接表示されま
す。この場合は x です。ここでは、操作を遅らせることができます。
>
(313)
テンソル式の対称性および非対称性の判断が改善されました。リーマンテンソルの対称性を持つテンソル
H を定義します。
>
Defined objects with tensor properties
(314)
非評価形式 (diff ではなく %diff を使用) のテンソル微分について考えてみましょう。
>
(315)
この不活性な微分は、各ペア
のインデックスの順列に対し、非対称です。
>
最後のペア
を
true
(316)
false
(317)
に置き換えます。
>
各インデックスのペアに対し、非対称性を判定します。
>
(318)
計量は、テンソル式として定義できます。テンソルの定義には、標準 P h y s i c s コマンドの D e f i n e を使用
します。テンソル
および Minkowski 計量
として、以下の計量の定義について考えてみまし
ょう。
>
(319)
>
(320)
最初に
および
を定義します。
>
(321)
>
Defined objects with tensor properties
(322)
次に、直接 D e f i n e を使用して、以下のテンソル式から計量 g
を定義します。
>
(323)
>
Defined objects with tensor properties
(324)
結果の計量を検証します。
>
(325)
Vectors:-Norm の新しい S e t u p オプション n o r m u s e s c o n j u g a t e
>
(326)
>
(327)
>
(328)
>
(329)
>
(330)
>
(331)
新規 : オブジェクトのリスト全体を加算
以下に合計を示します。
条件の 1 つが t r u e を仮定し、その後 f a l s e を仮定する場合に、区分関数を加算します。以下のように入力し
ますが、エラーによって中断されます。
>
Error, (in PiecewiseTools:-Is) Wrong kind of parameters in piecewise
このエラーは、合計インデックス c が値を仮定しておらず、区分関数の評価が作業途中である場合に発生しま
す。また、引用符を使用して区分関数の評価を遅らせている場合にもエラーで中断されることがあります (別
のエラー)。
>
Error, (in sum) second argument must be a name, name=a..b, name=RootOf, or name=
algebraic
問題は、s u m コマンドでは a d d コマンドのように合計インデックスの値のリストを受け付けないということ
です。
これらの 2 つの問題点は、P h y s i c s : - S e t u p ( r e d e f i n e s u m のサブセクション) の説明に従って s u m コマンド
を再定義することで解決できます。M a p l e 2 0 1 5 の新機能では、a d d コマンドと同様に合計インデックスで
も値のリストを受け付けられるようになりました。このために P h y s i c s を読み込む必要はありません。以下
のように入力してください。
>
(332)
また、s u m コマンドを再定義した後で、評価を遅らせる引用符を使用する必要はありません。合計インデッ
クスが値を仮定する前に被加数の評価が作業途中で中断されることはなくなります。以下のように入力してく
ださい。
>
5
(333)
のように、構造化に「i n」を使用できるようになりました。
>
(334)
>
5
(335)
F e y n m a n D i a g r a m s での変更点 : タドポールが、デフォルトで破棄されます。
>
>
(336)
モデルの相互作用ラグランジュ
>
(337)
デフォルトでは 1 つの頂点で計算します。
>
(338)
対応するグラフは以下のとおりです。
>
(339)
以前はデフォルトで、タドポール (同じ頂点で開始し終了する内部 (ループ) 線) にかかわる項が含まれていま
した。この挙動を回復するには、新しいキーワード i n c l u d e t a d p o l e s を使用してください。
>
* Partial match of 'tadpoles' against keyword 'includetadpoles'
(340)
タドポールを含む項と、そのグラフを以下に示します。
>
* Partial match of 'tadpoles' against keyword 'includetadpoles'
* Partial match of 'loops' against keyword 'numberofloops'
(341)
最高 2 次 ( 2 つの頂点) の散乱行列の項です。出力に X と Y の両方を表示するには、新しい座標系を設定して
P D E t o o l s : - d e c l a r e メカニズムを OFF にします。
>
(342)
>
>
(343)
それぞれ頂点の異なる 2 つの外脚がある項 (プロセス) に対応するグラフ。新規 : 脚を指定するには、_NP(leg
1, leg2, ...) を使用するか、頂点を示している可能性のある脚を含むリストで直接指定できます。
>
(344)
>
参照
M a p l e 2 0 1 5 の新機能一覧、物理、理論物理学の数式処理、The Physics Project

Download Report