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暫定版
修正・加筆の可能性あり
（付録）
「相互作用描像」
1.
2.
3.
4.
5.
ディラックの記法
ハミルトニアンの分割
相互作用描像
運動方程式
朝永-Schwingerの方程式
付録（８０５～８０７）のアプローチ：描像と表示
お詫び
• 自己流かつ説明が飛躍する場面があります。量子力学に関する網羅的な説明はしません。
• 描像（picture）、表示（representation）と書きます。
• シュレーディンガー描像とハイゼンベルグ描像と相互作用描像を比較します。
• どの描像を利用しても物理現象そのものは同一ですが、描像により物理現象のメカニズムの記述、解釈が異なります。
参考文献：描像と表示
• 砂川重信「量子力学」ｐ42、岩波書店
• D. Marcuse（末松、伊賀、長嶋共訳）「量子エレクトロニクス
その工学的基礎」p.107、丸善
８０７－1
キーワード群：key words
付録805～ 806：シュレーディンガー描像とハイゼンベルグ描像のみ
付録807：相互作用描像との比較
シュレーディンガー描像（表示）
Schrödinger picture
• 状態ベクトルが時間発展
• 演算子は時間依存無、赤色で表記
Fˆ ,
シュレーディンガー方程式
• 時間依存有の場合：time-dependent Schrödinger equation
• 時間依存無の場合：time-independent Schrödinger equation
ψ (t )
波動関数：位置表示
position representation、position space
位置表示をシュレーディンガー表示と呼ぶこともあります。
波動関数：運動量表示
momentum representation
momentum space
ハイゼンベルグ描像（表示）
Heisenberg picture
• 状態ベクトルが時間不変
• 演算子は時間依存有、青色で表記
Fˆ ( t ) ,
密度行列の運動方程式
• リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式（Liuville–von Neumann equation）
• 密度行列はシュレーディンガー描像（表示）で時間発展する唯一の演算子
ψ ≡ ψ (0)
相互作用描像（表示）：interaction picture
• 状態ベクトル、演算子とも時間依存有
• 両者とも緑色で表記
ハイゼンベルグの運動方程式
Heisenberg equation of motion
Fˆ ( t ) ,
ψ (t )
８０７－2
参照：805
デイラックの記法（１）
ブラ-ケット記法：bra-ket notation
シュレーディンガー描像
描像：picture
シュレーディンガー方程式
ハイゼンベルグの運動方程式
d
i ψ ( t=
) Hˆ ψ ( t )
dt
時間発展
状態ベクトルが時間依存有
状態ベクトル：
state vector
=
ψ (t ) e
−i
Hˆ
t

ハイゼンベルグ描像
dFˆ ∂Fˆ i ˆ
=
+  H ( t ) , Fˆ ( t ) 
dt
∂t 
状態ベクトルは時間固定（依存無）
ψ (0)
演算子は時間固定（依存無）
演算子：operator
=
ψ ≡ ψ ( 0 ) const.
演算子が時間依存有
=
Fˆ Fˆ=
Fˆ ( t ) e
( 0 ) =const.
i
Hˆ
t

ˆ
Fe
−i
Hˆ
t

時間依存無（赤色）、時間依存有（青色）、両者とも時間不変（参照：805-19）
ハミルトニアン：
Hamiltonian
密度行列：density
operator
シュレーディンガー描
像唯一の時間依存有の
演算子
ˆ ( t ) H ( qˆ ( t ) , pˆ=
=
Hˆ H ( qˆ=
, pˆ ) H=
( t ) ) const.
リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式
d ρˆ ( t )
dt
i
= −  Hˆ , ρˆ ( t ) 

８０７－3
参照：805
デイラックの記法（２）
限定：シュレーディンガー描像
表示：representation
Hˆ = H ( qˆ , p̂ )
ハミルトニアン：Hamiltonian
波動関数の時間発展：時間依存有
エネルギー固有状態：時間固定（依存無）
シュレーディンガー方程式：
Schrödinger equation
d
ˆ ψ (t )
i ψ ( t ) H=
Hˆ ψ ( 0 ) E ψ ( 0 )
=
dt
=
ψ ( q, t )
位置表示波動関数
：position representation
： position space
位置表示演算子
添え字：ｑ
=
Fˆ F=
( qˆ , pˆ )
運動量表示波動関数
：momentum representation
：momentum space
=
ψ ( p, t )
運動量表示演算子
添え字：ｐ
=
q (t ) ψ (t )
ψ (q)
∫
q (0) ψ (0)
  ∂ 
q F  q,
 q dq
 i ∂q 
=
p (t ) ψ (t )
ψ ( p)
=
Fˆ F=
( qˆ, pˆ )
∫
p ( 0) ψ ( 0)
  ∂

p F −
, p  p dp
 i ∂p 
８０７－4
参照：805
デイラックの記法（３）
限定：シュレーディンガー描像
演算子
operator
位置演算子：position operator
qˆ
注意：シュレーディンガー描像でも固
有状態ベクトルは時間変化無
運動量演算子：momentum operator
pˆ
固有値・固有状態ベクトル：連続値
固有値・固有状態ベクトル：連続値
=
qˆ q q=
q
pˆ p p p
直交性：orthgonality
デルタ関数：delta function
q q' =
δ ( q − q ')
完全性（完備性）：completeness
恒等演算子：identity operator
=
I
デルタ関数：delta function
p p' =
δ ( p − p ')
恒等演算子：identity operator
q q dq
I ∫
∫=
p p dp
注意：ハミルトニアンについて
•
•
•
•
•
•
様々な演算子がありますが、スピン演算子以外の演算子は位置・運動量演算子に置換可能
本付録では、位置・運動量演算子で構成されるハミルトニアンに話題を限定
直交位相振幅演算子は位置・運動量演算子の別表記です。（参照：803）
生成・消滅演算子は直交位相振幅演算子で書き換え可能です。数演算子も同様です。（参照：803）
軌道角運動量演算子（orbital angular momentum operator）は位置・運動量演算子の外積
もちろん、「電子の世界」と「光の世界」で位置・運動量演算子は別々ですが…
８０７－5
デイラックの記法（４）
相互作用描像演算子
シュレーディンガー描像
ハイゼンベルグ描像
ハミルトニアン：時間変化
時間依存無、時間不変
時間依存有、時間不変
=
Hˆ H=
Hˆ ( t ) H ( qˆ ( t ) , pˆ ( t ) )
( qˆ, pˆ ) const. =
=
Hˆ ( t ) H ( qˆ , pˆ )
変換ユニタリー演算子
指数項：自由ハミルトニアン
Hˆ 0
t

右辺第一項：自由ハミルトニアン
右辺第二項：相互作用ハミルトニアン
−i
Hˆ 0
t

Hˆ int ( t ) =
e Hˆ int e
i
運動方程式：演算子
Hˆ =
Hˆ 0 + Hˆ int
相互作用描像演算子の時間発展は
自由ハミルトニアンが決める。
dFˆ ∂Fˆ i  ˆ ˆ  ハイゼンベルグ描像演算子の時間
=
+  H 0 , F ( t )  発展は全系のハミルトニアンが決
める。
dt
∂t 
運動方程式：密度行列
d ρˆ ( t )
dt
変換ユニタリー演算子
指数項：全系のハミルトニアン
Hˆ
t

−i
Hˆ
t

=
Hˆ
Hˆ ( t ) =
e Hˆ e
i
ハイゼンベルグの運動方程式
dFˆ ∂Fˆ i  ˆ
=
+  H ( t ) , Fˆ ( t ) 
dt
∂t 
リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式
相互作用描像：密度行列の時間
発展は相互作用ハミルトニアン
が決める。
d ρˆ ( t )
iˆ
i

ˆ
=
−  H int ( t ) , ρ ( t ) 
=
−  Hˆ , ρˆ ( t )  シュレーディンガー描像：密度
行列の時間発展は全系のハミル


dt
トニアンが決める。
８０７－6
デイラックの記法（５）
相互作用描像演算子
シュレーディンガー描像
状態ベクトル：時間依存有
指数項：自由ハミルトニアン
=
ψ (t ) e
i
Hˆ 0
t

Hˆ 0
t

状態ベクトル：時間依存有
指数項：全系ハミルトニアン
ψ ( t=
ψ (t ) e
)
変換ユニタリー演算子
ハイゼンベルグ描像
−i
Hˆ
t

ψ (0)
状態ベクトル：時間依存無
=
ψ ≡ ψ (0) ψ (0)
時間依存無（時間を陽に含まない場合）
−i
Hˆ 0
t

ˆ ( 0)
=
Fˆ ( t ) e=
Fˆe
Fˆ Fˆ ( 0 ) =F
Fˆ ( t ) e
i
i
Hˆ
t

Fˆe
−i
Hˆ
t

演算子（時間を陽に含む場合、含まない場合）
Hˆ
Hˆ
ˆ
ˆ − i Hˆ 0 t
ˆ
ˆ − i Hˆ t
i 0 t dF
i t dF
∂Fˆ
∂
d
F
F
陽に含む場合
= e 
≠0
= e
e  ≠0
e  ≠0
∂t
∂t
dt
dt
dt
∂Fˆ
∂Fˆ
dFˆ
0 = 0=
0
陽に含まない場合
∂t
∂t
dt
朝永-Schwingerの方程式
i
d
ψ (t )
dt
シュレーディンガー方程式
d
ˆ (t ) ψ (t )
H=
i

ψ ( t ) Hˆ ψ ( t )
int
dt
相互作用描像：状態ベクトル
の時間発展は相互作用ハミル
トニアンが決める。
シュレーディンガー描像：状
態ベクトルの時間発展は全系
のハミルトニアンが決める。
８０７－7
デイラックの記法（６）
相互作用描像演算子
シュレーディンガー描像
ハイゼンベルグ描像
ハミルトニアン：時間変化
時間依存無、時間不変
時間依存有、時間不変
=
Hˆ H=
Hˆ ( t ) H ( qˆ ( t ) , pˆ ( t ) )
( qˆ, pˆ ) const. =
=
Hˆ ( t ) H ( qˆ , pˆ )
変換ユニタリー演算子
Hˆ ( t=
) e
i
Hˆ 0
t

Hˆ 0 (=
t) e
i
Hˆ e
Hˆ 0
t

−i
Hˆ 0
t

Hˆ 0 e
Hˆ 0
t

−i
Hˆ 0
t

−i
Hˆ 0
t

Hˆ int ( t ) =
e Hˆ int e
i
ハミルトニアン：時間変化
ˆ const.
Hˆ ( t=
) H=
Hˆ ( t=
) e
ˆ
const.
Hˆ 0 (=
t ) H=
0
Hˆ 0 (=
t) e
i
Hˆ
t

i
Hˆ e
Hˆ
t

−i
Hˆ 0 e
Hˆ
t

Hˆ
t

−i
Hˆ
t

−i
Hˆ
t

Hˆ =
Hˆ 0 + Hˆ int
Hˆ int ( t ) =
e Hˆ int e
i
時間依存無、時間不変
時間依存有、時間不変
∂Hˆ
dHˆ
dHˆ ∂Hˆ
dHˆ ∂Hˆ
≠ 0,
=
==
==
0
0
0
∂t
∂t
∂t
dt
dt
dt
Hˆ
Hˆ
ˆ − i Hˆ 0 t
ˆ
ˆ − i Hˆ t
i 0 t dH
i t dH
∂Hˆ
∂
H

e=
e 
e
e 
∂t
∂t
dt
dt
８０７－8
ハミルトニアンの分割
一例：調和振動子のハミルトニアン
実関数
重要：ハミルトニアンは「時間依存無：シュレーディンガー描
像」と「時間依存有：ハイゼンベルグ描像」で一致、時間不変
1 2 1
p + mω 2 q 2
2m
2
→ Hˆ = H ( qˆ , pˆ ) = Hˆ ( t ) = H ( qˆ ( t ) , pˆ ( t ) ) = const.
H (=
q, p )
シュレーディンガー描像のハミルトニアンを分割
1 2
1
H ( q, p ) =
H 0 ( p ) + H int ( q ) ,  H 0 ( p ) =
p , H int ( q ) =
mω 2 q 2
2m
2
1 2 ˆ
1
H 0 ( pˆ ) =
pˆ , H int ==
H int ( qˆ )
mω 2 qˆ 2
Hˆ =
Hˆ 0 + Hˆ int ,  Hˆ 0 =
2m
2
自由ハミルトニアン
相互作用ハミルトニアン
お詫び：あくまで一例
• 調和振動子のハミルトニアンを例題とするが、自由ハミルトニアンを常に「自由電子」のハミルト
ニアンとする必要はないし、自由ハミルトニアンを運動量演算子のみ、相互作用ハミルトニアンを
位置演算子のみに限定する必要もない。
• ハミルトニアンを分割する場合、個々の問題で、「分割方法」、「分割後、どちらを自由（相互作
用）ハミルトニアンとするか」を決めればよい。
８０７－9
相互作用描像（１）
状態ベクトル：相互作用描像
指数項：自由ハミルトニアン
ψ (t )
−i
状態ベクトル：シュレーディンガー描像
指数項：全系のハミルトニアン
Hˆ 0
t

e=
ψ (t )
ψ (t ) e
−i
Hˆ
t

ψ (0)
比較：似ているけど時間変数ｔの意味が全然違う！
• 相互作用描像
ψ (t )
• シュレーディンガー描像
• 橋渡しユニタリー演算子
とシュレーディンガー描像
ψ ( 0) → ψ (t )
e
−i
Hˆ 0
t

ψ=
(t )
e
Hˆ 0
t

ψ=
(t )
の橋渡し
の橋渡し
e
−i
Ĥ
t

e
Hˆ 0
t

は「同時刻ｔ」に対して作用
は「時間差ｔ」に対して作用
は状態ベクトルの時間発展と「基本的に」無関係です。
確認：相互作用描像状態ベクトルの時間発展
i
ψ (t )
−i
同時刻ｔ
e
i
Hˆ 0
Hˆ
t −i t


e
時間差ｔ
注目：時刻ｔ＝０で一致
ψ ( 0 ) ,  ψ=
( 0 ) ψ=
( 0) ψ
下線部：時間発展
８０７－10
相互作用描像（２）
シュレーディンガー描像から相互作用描像へ
i
Hˆ 0
t

−i
Hˆ 0
t

−i
Hˆ 0
t

ψ ( t ) Fˆ ψ ( t ) ψ
=
=
( t ) e Fˆe ψ ( t ) ψ ( t ) Fˆ ( t ) ψ ( t )
=
→ Fˆ ( t ) e
i
Hˆ 0
t

Fˆe
=
, ψ (t ) e
i
Hˆ 0
t

ψ ( t=
) ,  Hˆ Hˆ 0 + Hˆ int
シュレーディンガー描像からハイゼンベルグ描像へ（参照：805）
Hˆ
t

−i
Hˆ
t

=
ψ ( t ) Fˆ ψ ( t ) ψ
=
( 0 ) e Fˆe ψ ( t ) ψ Fˆ ( t ) ψ
i
Hˆ
t

→ Fˆ ( t ) =
e Fˆe
i
−i
Hˆ
t

,
ψ =
ψ (t =
0) =
const.
説明省略：どのような状態ベクトルに対しても成立
ψ ( t=
ψ ( t ) Fˆ ( t ) ψ ( t )
Fˆ ( t ) ψ
) Fˆ ψ ( t ) ψ=
φ ( t=
Fˆ ( t ) ψ
) Fˆ ψ ( t ) φ=
φ ( t ) Fˆ ( t ) ψ ( t )
８０７－11
運動方程式（１）
運動方程式：相互作用描像
i
dFˆ i ˆ ˆ
 H 0 , F ( t )=
 ,  Fˆ ( t ) e
=

dt  
Hˆ
Hˆ
dFˆ d  i 0 t ˆ − i 0 t 
→
=e Fe


dt dt 

Hˆ 0
t

−i
Hˆ 0
t

i
Hˆ 0
t

−i
Hˆ 0
t

Hˆ 0
Fˆ=
Hˆ 0 e
, Hˆ 0 e=
e
可換
シュレーディンガー描像：時間を陽に含む場合
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Hˆ 0 i H0 t ˆ − i H0 t i H0 t dFˆ − i H0 t i H0 t ˆ  Hˆ 0  − i H0 t
e Fe
e
= i
+e
+ e F  −i
 e
dt




Hˆ
Hˆ
Hˆ
Hˆ
Hˆ
∂Fˆ − i 0 t i  ˆ i 0 t ˆ − i 0 t i 0 t ˆ − i 0 t ˆ 
e
H0 
+  H 0 e Fe
− e Fe
=e



∂t

Hˆ
ˆ − i Hˆ 0 t
i 0 t dF
∂Fˆ i  ˆ ˆ 
∂Fˆ
e 
e 
=
+  H 0 , F ( t ) , 
=
dt
∂t 
∂t
i
Hˆ 0
t

下線部：時間を陽に含まない場合は零
自由ハミルトニアン
８０７－12
運動方程式（２）
運動方程式：相互作用描像
自由ハミルトニアン
dFˆ ∂Fˆ i  ˆ ˆ  Hˆ=0 Hˆ=0 const . dFˆ ∂Fˆ i  ˆ ˆ 
=
+  H 0 , F ( t )  
→ =
+  H 0 , F ( t )
∂t 
∂t 
dt
dt
Hˆ
Hˆ
Hˆ
ˆ i Hˆ 0 t
− i 0 t dF
i 0t
−i 0 t
∂Fˆ

e=
e  , Fˆ ( t ) e  Fˆe 

dt
∂t
ハイゼンベルグの運動方程式：ハイゼンベルグ描像
全系のハミルトニアン
ˆ ∂Fˆ i
F
dFˆ ∂Fˆ i  ˆ
d
=
Hˆ Hˆ=
t ) const .
(
ˆ
=
+  H ( t ) , F ( t )  → =
+  Hˆ , Fˆ ( t ) 
∂t 
∂t 
dt
dt
Hˆ
Hˆ
Hˆ
ˆ − i Hˆ t
−i t
i t dF
i t
∂Fˆ


e=
e  , Fˆ ( t ) e  Fˆe 
∂t
dt
比較：似ているようで違う運動方程式
• ハイゼンベルグ描像演算子の時間発展は全系のハミルトニアンが決める。
• 相互作用描像演算子の時間発展は自由ハミルトニアンが決める。
８０７－13
運動方程式（３）
時間発展：ハミルトニアン
注意：相互作用描像ハミルトニアン（演算
子）の時間発展を自由ハミルトニアンに限定
Hˆ
Hˆ
i 0t
−i 0 t
dHˆ ∂Hˆ i ˆ ˆ
ˆ 
e  He
=
+  H 0 , H ( t )  ,  Hˆ ( t ) =
∂t 
dt
∂Hˆ
i i
=
+ e
∂t

Hˆ 0
t

ˆˆ 
 Hˆ 0 Hˆ − HH
0

−i
Hˆ 0
t

Hˆ
ˆ − i Hˆ 0 t
i 0 t dH
∂Hˆ
e  = 0
= e 
, 
dt
∂t
Hˆ
Hˆ
−i 0 t
i i 0 t ˆ ˆ
dHˆ
∂Hˆ

ˆ
ˆ


→ e
→
≠ 0,
=0
 H 0 H int − H int H 0 
dt
∂t

dHˆ
∂Hˆ
i ˆ ˆ
dHˆ ∂Hˆ dHˆ ∂Hˆ
Hˆ ( t ) = Hˆ


=
t )  0 → = = = = 0
+  H , H (=
dt
∂t
dt

∂t
∂t
参照：805 dt
ˆ Hˆ + Hˆ
=
H
0
int
なにがいいたいのかな：全系のハミルトニアン
ハイゼンベルグ描像
• 全系のハミルトニアン（演算子）の時間発展を全系のハミルトニアンで記述しているから全系のハミルトニアンは保存量
• ハイゼンベルグ描像、シュレーディンガー描像ともに全系のハミルトニアンは孤立系、時間を陽に含まない。（参照：801）
相互作用描像
• 全系のハミルトニアン（演算子）の時間発展を自由ハミルトニアンに限定しているから全系のハミルトニアンは非保存量
• シュレーディンガー描像の全系のハミルトニアン（演算子）が時間を陽に含まないから、相互作用描像でも全系のハミルトニアン
は時間を陽に含まない。
８０７－14
運動方程式（４）
自明と思われるかもしれませんが、念のため確認
• シュレーディンガー描像の演算子Ｆ（時間依存無）が位置・運動量演算子を変数とする実関数で表記される場合
• 位置・運動量演算子を「シュレーディンガー描像」から「相互作用描像」に置換することで
• 相互作用描像演算子Ｆ（時間依存有）になる。
シュレーディンガー描像
時間依存無
相互作用描像
=
F ( qˆ , pˆ ) ↔ F ( qˆ ( t ) , pˆ ( t ) ) =
Fˆ ( t )
Fˆ
時間依存有
実関数上で変数の置換をするだけ！
シュレーディンガー描像
時間依存無
ハイゼンベルグ描像
=
F ( qˆ , pˆ ) ↔ F ( qˆ ( t ) , pˆ ( t ) ) =
Fˆ ( t )
Fˆ
実関数上で変数の置換をするだけ！
時間依存有
（参照：805）
ハミルトニアン（演算子）も同様
Hˆ= H ( qˆ , pˆ ) ↔ Hˆ ( t=
) H ( qˆ ( t ) , pˆ ( t ) ) ↔ Hˆ ( t=) H ( qˆ ( t ) , pˆ ( t ) )
Hˆ =
Hˆ 0 + Hˆ int
Hˆ 0
t

→ Hˆ ( t ) =
e
Hˆ 0 ( t ) =
e Hˆ 0 e
i
i
−i
Hˆ 0
t

Hˆ 0
t

Hˆ e
−i
Hˆ 0
t

Hˆ
t

≠ Hˆ ( t ) =
e Hˆ e
i
Hˆ
t

=
Hˆ 0 ≠ Hˆ 0 ( t ) =
e Hˆ 0 e
i
−i
Hˆ
t

−i
Hˆ
t

=
Hˆ
Hˆ 0
t

e Hˆ int e
, Hˆ int ( t ) =
i
−i
Hˆ 0
t

８０７－15
朝永-Schwingerの方程式
朝永-Schwingerの方程式
相互作用描像：状態ベクトルの時間発展は相互作用ハミルトニアンが決める。
d
i ψ ( t )
dt
ˆ (t ) ψ (t ) ,
H=
 Hˆ int ( t ) e
int
i
Hˆ 0
t

Hˆ int e
−i
Hˆ 0
t

シュレーディンガー方程式
シュレーディンガー描像：状態ベクトルの時間発展は全系のハミルトニアンが決める。
d
i ψ ( t )= Hˆ ψ ( t ) ,
dt
 Hˆ ( t=
) e
i
Hˆ
t

−i
Hˆ
t

ˆ const.
Hˆ e = H=
導出手順
Hˆ
d
d  i 0 t
i ψ ( t ) =
i  e
ψ (t )

dt
dt 
ˆ Hˆ + Hˆ
=
H
0
int
→ − Hˆ 0 e
i
i
Hˆ 0
t

Hˆ
Hˆ

i 0t
i 0t
d


ˆ
=
−
+

H
e
ψ
t
e
i
ψ (t )

()
0

dt

ψ (t ) + e
d
ψ ( t ) = Hˆ int ( t ) ψ ( t )
dt
i
Hˆ 0
t

( Hˆ
0
)
+ Hˆ int ψ ( t ) = e
i
Hˆ 0
t

Hˆ int e
−i
Hˆ 0
Hˆ
t i 0t


e
８０７－16
ψ (t )
密度行列（１）
相互作用描像：朝永-Schwingerの方程式
d
i ψ ( t ) Hˆ int ( t ) ψ ( t )
=
dt
d ψ (t )

→=
− i
ψ ( t ) Hˆ int ( t )
dt
†
Hˆ int
= Hˆ int
密度行列：density operator
ρˆ ( t ) ≡ ∑ ψ n ( t ) Pn ψ n ( t )
n
d ρˆ ( t )
dt
 d ψ n ( t )
d ψ n ( t ) 
∑n  dt Pn ψ n ( t ) + ψ n ( t ) Pn dt 


1
Hˆ int ψ n ( t ) Pn ψ n ( t ) − ψ n ( t ) Pn ψ n ( t ) Hˆ int
∑
i n
i
=
− Hˆ int ( t ) ρˆ ( t ) − ρˆ ( t ) Hˆ int ( t )

{
{
d ρˆ ( t )
dt
}
}
i
= −  Hˆ int ( t ) , ρˆ ( t ) 

８０７－17
密度行列（２）
シュレーディンガー描像から相互作用描像へ
ˆ Hˆ + Hˆ
H
=
0
int
−i
Hˆ 0
t

ψ n ( t ) , Hˆ int ( t ) e
e=
ψ n (t )
−i
i
Hˆ 0
t

Hˆ int e
−i
Hˆ 0
t

Hˆ 0
t

ρˆ ( t ) ≡ ∑ ψ n ( t ) Pn ψ n ( t ) =
e
∑ ψ n ( t ) Pn ψ n ( t ) e
n
= e
−i
i
Hˆ 0
t

n
Hˆ 0
t

ρˆ ( t ) e
i
Hˆ 0
t

→
=
ρˆ ( t ) e
i
Hˆ 0
t

ρˆ ( t ) e
−i
Hˆ 0
t

結論：密度行列の運動方程式（リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式）
• 相互作用描像：密度行列の時間発展は相互作用ハミルトニアンが決める。
• シュレーディンガー描像：密度行列の時間発展は全系のハミルトニアンが決める。
• シュレーディンガー描像では全系のハミルトニアンは時間依存無、時間不変
d ρˆ ( t )
dt
i
=
−  Hˆ int ( t ) , ρˆ ( t )  ↔

d ρˆ ( t )
dt
i
=
−  Hˆ , ρˆ ( t ) 

８０７－18

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