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東北大学（前期）【物理】解答例
１
問⑴ ⒜ 小球 B には右向きに慣性力 maA がはたらくので
Fx = mB aA cos θ − mB g sin θ
::::::::::::::::::::::
Fy = −mB aA sin θ − mB g cos θ
:::::::::::::::::::::::
⒝ Fx > 0 となればよいので
aA > g tan θ
:::::::::::
問⑵ ⒜ 右向きの慣性力がもっとも大きくなるのは，ばねが L だけ縮んでいるときなので，
手を離した瞬間の運動方程式は，
mA,max aA = kL ∴ aA,max =
kL
mA
問⑴⒝より，
kL
> g tan θ
mA
mA g
tan θ
k
::::::::::::::
∴ L >
⒝ 物体 A から小球 B におよぼされる垂直抗力を N とすると，
N = mB aA sin θ + mB g cos θ
N = 0 ⇔ aA = −g
1
tan θ
aA の最小値はばねが L だけ伸びたときなので,aA の最小値は
mA aA,min = −kL ⇔ aA,min = −
∴ −
kL
mA
1
kL
= −g
mA
tan θ
mA g
1
・
k
tan
θ
:::::::::::::::
∴ L 5
⒞ ⒜, ⒝をともに満たす L の範囲は
mA g
mA g
1
tan θ < L 5
・
………※
k
k tan θ
この不等式を満たす L が存在しないとき
mA g
1
mA g
tan θ =
・
k
k tan θ
1
∴ tan2 θ = 1 ∴ θmax =
π
4
:
横軸を tan θ として※を図示する。
問⑶ ⒜ 水平方向は外力がはたらかず運動量が保存するから
(
0
m A vA
+
0
m C vA
= m A vA + m C
)
√
3
vA +
vC
2
0
⇔ (mA + mC )vA
= (mA + mC )vA +
∴ 0
vA
√
3
mC vC
2
√
3
mC
= vA +
vC
2
m
A + mC
::::::::::::::::::::
⒝ 小球 C が平板と衝突するときのばねののびを x として，力学的エネルギー保存則を立て
ると
(

)2 (
√
)2 

1 2 1
1
3
1
1 2
2
kL = kx + mA vA
+ mC
v +
vC
+
vC
 A

2
2
2
2
2
2
衝突後から，最もばねがのびたときの力学的エネルギー保存則は
1
1
1
02
+ kx2 = kL02
(mA + mC )vA
2
2
2
この２式と問⑶⒜より
√
L0 =
L2 −
mC (4mA + mC ) 2
v
4(mA + mC )k C
:::::::::::::::::::::::::
2
２
問⑴⒜ 電気容量の式より
S
S
，CB = ε0
4d
−
x
x
:::
::::::::
CA = ε0
⒝ 極板間隔が 4d になったと考えられるので
S
4d
::::
C = ε0
静電エネルギー U は
U=
1
ε0 SV02
CV02 =
2
8d
::::::
⒞ 電気容量の変化を ∆C として，
∆Q = ∆C ・V0
)
(
S
ε0 SV0
S
− ε0
V0 =
= ε0
4d
5d
20d
::::::
⒟ 電池のした仕事は
Wp = ∆Q・V0 = ∆C ・V02
=
ε0 SV02
20d
::::::
また，エネルギーの関係から
∆U = Wp + We
∴ We =
1
∆CV02 − ∆CV02
2
1
2
ε0 SV02
40d
::::::::
= − ∆CV02 = −
問⑵ ⒜ 極板 A，極板 B の電位が 0，金属板 M の電位は V0 なので
−QB
−QA
・3d =
・ d = V0
ε0 S
ε0 S
ε0 S
ε0 S
V0 ，QB = −
V0
3d
d
:::::::
:::::::
∴ QA = −
QM = −QA − QB =
4ε0 S
V0
3d
:::::::
⒝ スイッチを開いた後，金属板 M の電荷は一定である。コンデンサーの合成容量は，
CA + CB = ε0
S
S
4dε0 S
+ ε0 =
4d − x
x
x(4d − x)
3
Q2M
2ε0 SV02
x(4d − x)
=
2(CA + CB )
9d3
∴ U 0 =
よって，U 0 が最大になるのは xm = 2d
であることがわかる。
::
このとき
0
=
Um
8ε0 SV02
9d
:::::::
⒞ エネルギーの関係より
∆U 0 = We0
x = d から x = 2d になる過程において，⒝より
∴ We0 ＝
=
8ε0 SV02
2ε0 SV02
−
9d
3d
2ε0 SV02
9d
:::::::
⒟ スイッチを閉じているので極板 A，極板 B の電位が 0，金属板 M の電位は V0 で一定で
ある。エネルギーの関係より，この過程でのコンデンサーの静電エネルギーの変化を ∆U 00 ，
電池のした仕事を Wp00 ，コンデンサーの電気容量の変化を ∆C 00 として
∆U 00 = Wp00 + We00
問⑴⒟と同様に考えて
1
We00 = − ∆C 00・V02
2
{
(
)}
1 ε0 S
ε0 S
ε0 S
=
×2−
+
V02
2 2d
3d
d
=
ε0 SV02
6d
::::::
4
３
問⑴⒜ 空間 A における気体の状態方程式より
pA0 hA S = 1・RTA
∴ TA =
pA0 hA S
R
::::::::
⒝ ピストンにはたらく力のつり合いより
pB S = M g + pA0 S
Mg
+ pA0
S
::::::::::
∴ pB =
空間 B における気体の状態方程式より
pB hB S = 1・RTB
∴ TB =
(M g + pA0 S)hB
R
:::::::::::::::
問⑵⒜ 空間 A におけるエネルギーの関係より，空間 A の気体の内部エネルギーの変化を
∆U として
∆U = W
∴ W =
3
{pA1 (hA − x) − pA0 hA } S
2
::::::::::::::::::::::::::
⒝ 状態１での空間 B の気体の圧力を pB1 として，ピストンにはたらく力のつり合いを考えて
pB1 =
Mg
+ pA1
S
全体系 (空間 A，ピストン，空間 B) でのエネルギーの関係より
3
{pA1 (hA − x) + pB1 (hB + x) − (pA0 hA + pB hB )} S + M gx = Q
2
∴ Q =
3
5
(pA1 − pA0 )(hA + hB )S + M gx
2::::::::::::::::::::::::::::::::
2
問⑶⒜ 状態 2 から状態 3 までは空間 B の気体の圧力は pB となるので
W 0 = pB hA S = (p0 S + M g)hA
::::::::::::::
⒝ 定圧変化であるので
−Q0 =
5
pB {hB − (hA + hB )S}
2
∴ Q0 =
5
(p0 S + M g)hA
2:::::::::::::::
5

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