薬学看護学系統数学IAIIB演習・テキスト

2015 夏期講習「薬学・看護学系統数学 IAIIB 演習」
1
(2014 慶應義塾大・看護医療問題 I)
(1) 等差数列 {an } は、初項から第 5 項までの和は 50 で、a5 = 16 で
あるとする。このとき、一般項 an は an =
ア
項から第 n 項までの和 Sn は Sn =
となる。
イ
となり、初
(2) (x + 1)8 (x − 1)4 を展開したとき、x10 の項の係数は
ウ
である。また、(x2 + x + 1)6 を展開したとき、x10 の項の係数は
エ
である。
(3) 三角形 ABC において、∠A = 60◦ , AB = 6, AC = 7 のとき、
三角形 ABC の面積 S は S =
辺 BC の長さは BC =
カ
オ
、
、
三角形 ABC の外接円の半径 R は R =
キ
である。
(4) 12n の正の約数の個数が 28 個となるような自然数 n は、
n=
ク
である。
年組番氏名 No. 1
2015 夏期講習「薬学・看護学系統数学 IAIIB 演習」
2
(2014 北里大・看護問題 II)
m を定数とする。2 次関数 f (x) = x − 2mx + m − 4m について、
以下の問に答えよ。
2
2
(1) m = 3 のとき、f (x) の最小値を求めよ。
(2) −1 ≦ x ≦ 1 において、f (x) の最大値が 2、最小値が −4m とな
るような m の値を求めよ。
年組番氏名 No. 2
2015 夏期講習「薬学・看護学系統数学 IAIIB 演習」
3
(2014 北里大・医療衛生問題 2)
関数 f (x) = x − 5x + 3x + 9 について、次の問に答えよ。
3
年組番氏名 No. 3
4
(2014 杏林大・保健 (2 月 3 日) 問題 III(1))
2
(1) 方程式 f (x) = 0 を解け。
(2) f (x) の増減を調べ、極値を求めよ。
(3) 曲線 y = f (x) の接線で、点 (3, −6) を通るものの方程式を求
めよ。
i) 8 人を赤組、青組の 2 グループに分ける方法は、アイウ通り
である（ただし、どちらのグループにも最低 1 名の構成員がいる
ものとする）。
ii) 8 人を 4 人ずつの赤組、青組の 2 グループに分ける方法は、エオ
通りある。
iii) 8 人を奇数人数で構成される赤組、青組の 2 グループに分ける方
法は、
カキク
であるとする）。
通りある（ただし、構成員が 1 名でもグループ
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(2014 上智大・総合人間科学部看護学科問題 2 ) ※ 1 つの文字に対
応するのは任意の整数である。マイナスも 2 桁以上もありえる。
∠A が鋭角で AB = 6, AC = 4 の △ABC がある。∠A の二等分線と
直線 BC の交点を D、線分 AD を 2 : 1 に内分する点を E とし、直
線 BE と直線 AC の交点を F とする。
(1) 面積比 △ABE : △ABC を最も簡単な整数比で表すと、
△ABE : △ABC = コ : サ
である。
(2) 線分比 AF : FC を最も簡単な整数比で表すと、
AF : FC = シ : ス
である。
√
(3) △ABE の面積が 8 5 であるとき、
√ 5
√
セ
sin ∠BAC =
, BC = タ
チ , sin ∠ABC =
ソ
ツ
テ
である。
また、△ABC の外接円の半径は
√
ナ − ニである。
ト
年組番氏名 No. 4
であり、内接円の半径は
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年組番氏名 No. 5
(2014 慶應義塾大・薬問題 [I](3) )
n を自然数とする。数列 {an } は、a1 = 5, an+1 = 252 を満たす。こ
an
のとき、
7
座標平面上に原点 O(0, 0)、点 A(−1, 3)、点 B(4, 8) がある。2 次関
数 y = f (x) のグラフ G と円 C がともに 3 点 O,A,B を通るとき、
f (x) =
(14)
(i) a3 = (12)(13) , a4 =
である。
(15)(16)
(ii) bn = log5 an とおくとき、数列 {bn } の一般項を n の式で表す
(
)n−1
(17)(18)
(20)
と、bn =
+
である。
(19)
(21)
(2014 明治薬科大・B 方式問題 II )
は
(c)
(a)
であり、円 C の中心の座標は
(b)
、半径
である。また、グラフ G と円 C との交点のうち、3 点
O,A,B 以外の交点の座標は
(d)
である。
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(2014 北里大・薬問題 III)
1 個のさいころを 4 回投げるとする。
(1) 出る目の積が 2 で割り切れる確率はキ
(2) 出る目の積が素数になる確率はク
(3) 出る目の積が 12 になる確率はケ
キ
ク
である。
である。
1
2
⃝
3
31
7
⃝
36
5
3
⃝
6
40
8
⃝
81
5
4
⃝
9
55
9
⃝
108
15
5
⃝
16
1
10
⃝
1296
3
⃝
1
16
1
8
⃝
216
4
⃝
1
18
1
9
⃝
324
5
⃝
1
16
13
8
⃝
54
4
⃝
5
18
1
9
⃝
108
5
⃝
の選択肢
1
1
⃝
2
1
6
⃝
81
ケ
である。
の選択肢
1
1
⃝
2
17
6
⃝
18
1
2
⃝
6
1
7
⃝
108
1
36
1
10
⃝
432
の選択肢
1
1
⃝
2
1
6
⃝
36
5
12
1
7
⃝
54
2
⃝
年組番氏名 No. 6
3
⃝
7
24
35
10
⃝
108
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(2014 星薬科大・一般 B 第五問)
２つの放物線 C1 : y = x − 3, C2 : y = x − 6x + 9 と、C1 , C2 の
2
2
両方に接する直線 ℓ について次の問に答えよ。
(
(i) C1 と C2 との交点の座標は 42)
, 43)
)
である。

(ii) C1 と ℓ との接点の座標は 

C2 と ℓ との接点の座標は 
年組番氏名 No. 7

44)
, −
45)
46) 47)
48)
49)
51)
,
50)
 であり、

 である。
52)
(iii) C1 と C2 および ℓ とで囲まれた部分の面積は
53)
54)
である。
2015 夏期講習「薬学・看護学系統数学 IAIIB 演習」
10
(2014 東京薬科大・一般 B 問題 4)
中心 O 、半径 1 の円周上に定点 A と動点 P, Q があり、P, Q は常に
∠PAQ = 120◦ を満たしながら動いている。∠OAP = θ として次の各
問に答えよ。
(1) θ の動ける範囲は
あい
◦
< θ < うえ
年組番氏名 No. 8
◦
である。
(2) AP, AQ を sin θ, cos θ を用いて表すと、
√
AP = お cos θ, AQ =
か sin θ + ＊き cos θ
となる。
(3) △OPQ の面積は、点 P, Q がどこにあっても常に
√
く
で
け
ある。
(4) △APQ の面積 S(θ) を sin 2θ, cos 2θ を用いて表すと、
√
√
し
せ
こ
S(θ) =
sin 2θ −
cos 2θ −
さ
す
そ
√
つ
となり、S(θ) は θ = たち ◦ のとき最大値
をとる。
て
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(2014 東京理科大・薬・B 方式問題 1 )
放物線 y = x 上の 2 点 A(a, a ), B(b, b ) (0 ≦ a < b) に対して、
2
2
2
L(a, b) を線分 AB の長さとし、S(a, b) を線分 AB と放物線 y = x2
で囲まれた図形の面積とする。さらに、T (a, b) を a ≦ x ≦ b の範囲
で放物線 y = x2 と x 軸で囲まれた図形の面積とする。
(1) (a) L(0, t) = 1 L(0, 1) となるのは、
2
(
)
√
1
2
t =
イ − ウ
となるときである。
ア
(b) L(0, t) = L(t, 1) となるのは、
(√
)
1
t=
オ − カ
となるときである。
エ
(2) (a) S(0, t) = 1 S(0, 2) となるのは、log2 t =
2
キ
となると
ク
きである。
(b) T (t, 2) = S(0, 2) となるのは、log2 t =
ある。
年組番氏名 No. 9
ケ
コ
となるときで

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