コンピュータにおける数値表現と演算（2）

コンピュータにおける
数値表現と演算（2）
2進数の演算
（算術演算，論理演算，シフト演算，符号拡張）
2進数の演算
算術演算
加算（＋），減算（－），乗算（×），除算（ ÷，/，mod ）
商
論理演算
剰余（余り）
ｲｸｽｸﾙｰｼﾌﾞｵｱ
論理積（AND），論理和（OR），排他的論理和（EXOR）
シフト演算
右シフト／左シフト，論理シフト／算術シフト
符号拡張
1
加算
1ﾋﾞｯﾄの加算規則
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0（桁上げ）
桁上げ付の場合
例：1+0+1=(1+0)+1=1+1=0 （桁上げ）
下位からの桁上げ
8ﾋﾞｯﾄの加算（符号なし整数）
桁上げ
+）
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0 1 (=105)
1 0 (=58)
1 1 (=163)
減算（大－小の場合）
1ﾋﾞｯﾄの減算規則
0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0-1=1 （桁借り）
8ﾋﾞｯﾄの減算（符号なし整数）
桁借り
1
1
1
0 1 1 0 1 0 1 1 (=107)
－） 0 0 1 1 0 1 0 0 (= 52)
0 0 1 1 0 1 1 1 (= 55)
2
減算（小－大の場合）
小さい数から大きい数を引いた場合
⇒ 負の数は2の補数で表現
例えば，52 - 107= -55
1 0011 0100 (= 52)
－） 0110 1011 (= 107)
1100 1001 (= -55） …2の補数表現
－27+26+23+20 = －128+64+8+1= －55
仮想的に 1 があると考える
【復習】負の数の表現（2の補数）
8bitの場合
正の数
負の数
00110100
1100 1100
(=52)
(= -52)
最上位桁を符号ﾋﾞｯﾄとみなし，
符号ﾋﾞｯﾄを -27 （-128）の重みをもつ桁と考える。
( 1100 1100=－27+26+23+22 =－128 + 76=－52 )
注）16ﾋﾞｯﾄ, 32ﾋﾞｯﾄの場合も最上位ﾋﾞｯﾄを符号ﾋﾞｯﾄと考える。
16ﾋﾞｯﾄの場合は最上位ﾋﾞｯﾄを-215，32ﾋﾞｯﾄの場合は-231と考える。
3
減算
A - B = A + (-B)
-B は「2の補数」を使って表現する
⇒ A と「Bの2の補数」の加算によって
減算ができる
2の補数を用いた減算（大－小の場合）
減算は引く数を負数（2の補数）にして加算を行う
107-52＝107+（-52）＝55
例
0110 1011 (= 107)
＋） 1100 1100 (= -52)
1 0011 0111 (= 55)
桁上げは
無視してよい
25+24+22+21+20 = 55
4
負数にする
（2の補数）
2の補数を用いた減算（小－大の場合）
減算は引く数を負数（2の補数）にして加算を行う
例
52 – 107 ＝ 52 + (-107) ＝ -55
0011 0100 (= 52)
＋） 1001 0101 (= -107)
1100 1001 (= -55)
負数にする
（2の補数）
－27+26+23+20 = －128+64+8+1=－55
オーバーフロー（overflow）
：演算結果として，表現できる数値の範囲を越えてしまい，
誤った演算結果をもたらす現象（正＋正＝負または負＋負＝正）
例： 2の補数表現 8ビットで表現できる数値の範囲：－128 ~ 127
（一般に n ビットで表現できる数値の範囲：－2n-1 ~ 2n-1－1）
オーバーフローを起こさない例
オーバーフローを起こす例
＋ 68
＋ 85
0 1000100
0 1010101
＋68
－85
0 1000100
1 0101011
＋153
1 0011001（-103）
－17
1 1101111（-17）
1 0111100
1 0101011
－68
＋85
1 0111100
0 1010101
－68
－85
－153
1 0 1100111（+103）
桁上げが生じ，
ｵｰﾊﾞｰﾌﾛｰが発生する
＋17
1 0 0010001（+17）
桁上げは生じるが，
ｵｰﾊﾞｰﾌﾛｰではない！
5
論理積（&, , AND ）
1ﾋﾞｯﾄの論理積
0&0=0, 0&1=0, 1&0=0, 1&1=1
16ﾋﾞｯﾄの論理積
ビットごとに論理積演算を行う
1100 0111 1000 1001 (=a)
&） 0101 1000 1010 0111 (=b)
0100 0000 1000 0001 (=a&b)
論理和（ l , +, OR ）
1ﾋﾞｯﾄの論理和
0 l 0=0, 0 l 1=1, 1 l 0=1, 1 l 1=1
16ﾋﾞｯﾄの論理和
ビットごとに論理和演算を行う
1100 0111 1000 1001 (=a)
l ） 0101 1000 1010 0111 (=b)
1101 1111 1010 1111 (=a l b)
6
排他的論理和（ ,
＋
, XOR ）
1ﾋﾞｯﾄの排他的論理和
0 0=0, 0 1=1, 1 0=1, 1 1=0
16ﾋﾞｯﾄの排他的論理和
ビットごとに排他的論理和演算を行う
1100 0111 1000 1001 (=a)
） 0101 1000 1010 0111 (=b)
1001 1111 0010 1110 (=a b)
シフト（shift；桁ずらし）演算
左シフト
論理シフト
シフト演算
右シフト
0と1のビット列を
ずらす
左シフト
算術シフト
最上位桁のビットは
変えずにずらす
7
※ 算術左シフトは算術右シフト
と同じ動作と考えてよい
右シフト
論理左シフト（<<）
例： b = a<<2 （16ﾋﾞｯﾄﾃﾞｰﾀ，2ﾋﾞｯﾄ左ｼﾌﾄの場合）
a
1100 0111 1000 1001
00
11 0001 1110 0010 0100
b
追い出されたビットは
捨てられる
最下位桁から
0が入ってくる
論理右シフト（>>）
例： b = a>>2 （16ﾋﾞｯﾄﾃﾞｰﾀ，2ﾋﾞｯﾄ右ｼﾌﾄの場合）
a
00 1100 0111 1000 1001
0011 0001 1110 0010 01
b
追い出されたﾋﾞｯﾄは
捨てられる
最上位桁から
0が入ってくる
8
算術左シフト（<<）：論理左シフトと同じ動作
例： b = a<<2 （16ﾋﾞｯﾄのﾃﾞｰﾀ，2ﾋﾞｯﾄ左ｼﾌﾄの場合）
数値として考えた場合， n ﾋﾞｯﾄの算術左ｼﾌﾄは 2n 倍することに相当する
正の数の場合の例
a
0 000 0000 1010 0000
00 a= 160
00 0000 0010 1000 0000
b
b= 640
追い出されたビットは
捨てられる
（b=22×a=4×a)
最下位桁から
0が入ってくる
算術左シフト（<<）：論理左シフトと同じ動作
例： b = a<<2 （16ﾋﾞｯﾄのﾃﾞｰﾀ，2ﾋﾞｯﾄ左ｼﾌﾄの場合）
数値として考えた場合， n ﾋﾞｯﾄの算術左ｼﾌﾄは 2n 倍することに相当する
負の数の場合の例
a
1 111 1111 0110 0000
00 a= -160
11 1111 1101 1000 0000
b
b= -640
追い出されたビットは
捨てられる
最下位桁から
0が入ってくる
9
（b=22×a=4×a)
算術右シフト（>>）
例： b = a>>2 （16ﾋﾞｯﾄのﾃﾞｰﾀ，2ﾋﾞｯﾄ右ｼﾌﾄの場合）
数値として考えた場合， n ﾋﾞｯﾄの算術右ｼﾌﾄは 1 n 倍することに相当する。
2
正の数の場合の例
a
0000 0010 1000 0000
a= 640
0000 0000 1010 0000 00
b= 160
（b=
b
最上位桁のビットには元の数（a）の
最上位桁（符号ﾋﾞｯﾄ）と同じ値が入る
a
a
=
)
22 4
追い出されたビットは
捨てられる
算術右シフト（>>）
例： b = a>>2 （16ﾋﾞｯﾄのﾃﾞｰﾀ，2ﾋﾞｯﾄ右ｼﾌﾄの場合）
数値として考えた場合， n ﾋﾞｯﾄの算術右ｼﾌﾄは 1 n 倍することに相当する。
2
負の数の場合の例
a
1111 1101 1000 0000
a= -640
1111 1111 0110 0000 00
b= -160
（b=
b
最上位桁のビットには元の数（a）の
最上位桁（符号ﾋﾞｯﾄ）と同じ値が入る
10
a
a
=
)
2
4
2
追い出されたビットは
捨てられる
符号拡張
8bitの数値を16bitで表現するには...
符号bit を拡張する
00101101
（=45）
00000000 00101101
（=45）
11010011
（=-45）
11111111 11010011
（=-45）
32bit，64bitに拡張するのも同じ
なぜ「符号拡張」が必要か
演算は同じビット数にして行わなければならない
例えば， 16 ビットで表現された 96 と 8 ビットで表現された -12 を足し算するとき，
正しい結果を得るためには，
+
8ビットの-12（1111 0100）を16ビットに
符号拡張して（1111 1111 1111 0100），
演算しなければならない
0000 0000 0110 0000 （ 96）
1111 0100 （-12）
0000 0001 0101 0100 （340）
0000 0000 0110 0000 （ 96）
+ 1111 1111 1111 0100 （-12）
この表現は正しい値（84）になっていない
（340 という結果になっている）
8
6
4
=2 +2 +2 +2
1 0000 0000 0101 0100 （ 84）
2
はみ出たこの1ビット
は無視してよい
11

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