はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 結論 極値理論を用いた VaR の推定 . 永井 翠 . 一橋大学 2015 年 9 月 30 日 はじめに モデルと推定手法 1 はじめに 2 モデルと推定手法 3 シミュレーション 4 結論 シミュレーション 結論 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション VaR とは 主要なリスク管理指標の一つ リターンの τ 分位点で定義される yt : ポートフォリオのリターン Fyt : yt の分布関数 τ = P(yt < VaRt ) ⇔ VaRt = Fy−1 (τ ) t ここでは、一期前までの情報 Ωt−1 で条件付けた条件付き VaR について考える . Fy−1 (τ |Ωt−1 ) t τ ≈ 0 と非常に低い確率点での VaR の推定は一般に困難 . 結論 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 結論 極値理論とは (ある仮定の下で) 次を満たす数列 an , bn が存在する Xi : 分布関数 F をもつ i.i.d. 確率変数 Mn := max(X1 , . . . , Xn ) ] [ [ ] M n − bn < x = lim F n (an x + bn ) = exp −(1 − γx)1/γ lim P n→∞ n→∞ an なお、γ > 0 では上式は次と同値 . U(tx) ∼ U(t)x , as t → ∞ γ (1) ただし、U = (1/(1 − F ))−1 ． . はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 結論 本研究では 1 ％以下の VaR の推定に極値理論を適用させる VaR モデル ： CAViaR(Engle and Manganelli(2004)) 推定法 : Wang et al.(2012), 分位点回帰×極値理論 ( ) McNeil and Fray(2000) GARCH モデルの推定で誤差項に極値分布を当てはめ はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 結論 CAViaR(Conditional Autoregressive Value at Risk) モデル 一般に、市場価格の分散は自己相関をもつと言われている →ならば、VaR も自己相関を持つはず VaR に AR などの時系列構造を当てはめる ft (β) = β0 + q ∑ i=1 βi ft−i (β) + r ∑ βj l(xt−j ) j=1 ft (β) : t − 1 期までの情報で形成される t 期の VaR 分布形の仮定が不要 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション CAViaR モデル Symmetric Absolute Value ft (β) = β1 + β2 ft−1 (β) + β3 |yt−1 | Asymmetric Slope ft (β) = β1 + β2 ft−1 (β) + β3 max(yt−1 , 0) + β4 min(−yt−1 , 0). Indirect GARCH 2 2 ft (β) = [β1 + β2 ft−1 (β) + β3 yt−1 ]1/2 . 結論 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 推定方法（分位点回帰） パラメータの推定には通常の分位点回帰を用いる． βˆτ = arg min β n ∑ ρτ (yi − ft (β)) i=1 ρτ (u) = u(τ − I (u < 0)) 結論 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 推定方法（極値理論） Wang et al.(2012) の方法を用いる． . 1 tn−k < tn−k+1 < · · · < tm で CAViaR モデルを推定 β̂τj = arg min β 2 3 ρτj (yi − fi (β)) i=1 極値分布のパラメータ γ を推定 (Hill 推定量) γˆt = . n ∑ k ∑ ft (β̂τn−j ) 1 log . m−n+k f ( β̂ ) t τ n−k j=n−m 分位点の推定量を得る ( Q̂Yt (τn |xt−1 ) = 1 − τn−k 1 − τn )γˆt ft (β̂τn−k ), 結論 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 結論 データ生成過程 yt = σt εt Symmetric Absolute Value σt = 0.2 + 0.8σt−1 + 0.2|yt−1 | Asymmetric Slope σt = 0.2 + 0.8σt−1 + 0.1 max(yt−1 , 0) + 0.3 min(−yt−1 , 0) Indirect GARCH 2 2 σt2 = 0.2 + 0.8σt−1 + 0.1yt−1 繰り返し回数は 500 回 . はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 結果 QR EVT QR EVT 0.01 0.001 0.01 0.001 Symmetric MAE 3.38 × 1011 1.18 × 1012 4.66 × 1011 1.04 × 1013 0.01 0.001 0.01 0.001 GARCH MAE 207.78 559.28 224.42 501.33 QR : 分位点回帰、EVT : 極値理論 RMSE 7.53 × 1012 2.63 × 1013 1.14 × 1012 2.53 × 1013 RMSE 2168.49 6376.65 2397.36 4882.44 Asymmetric MAE 4.50 × 108 1.39 × 109 4.94 × 108 1.03 × 109 RMSE 9.91 × 109 3.07 × 1010 1.08 × 1010 2.17 × 1010 結論 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 結論と今後の課題 CAViaR モデルでの VaR の推定に、通常の分位点回帰を用い た場合と極値理論を用いた場合とを比較した． 0.1 ％ VaR の推定には極値理論を用いた方がパフォーマンス が良かった． CAViaR モデルの他の定式化、他の手法との比較、実証分析 結論 はじめに モデルと推定手法 シミュレーション 参考文献 Engle, R. F., and Manganelli, S. (2004), ”CAViaR: Conditional Autoregressive Value at Risk by Regression Quantiles,” Journal of Business & Economic Statistics, 22(4), 367-381. McNeil, A. J., Frey, R. (2000), ”Estimation of tail-related risk measures for heteroscedastic financial time series : an extreme value aproach,” Journal of Empirical Finance, 7, 271-300. Wang, J. H., Li, D., He, X. (2012), ”Estimation of High Conditional Quantiles for Heavy-Tailed Distributions,” Journal of the American Statistical Association, 107, 1453-1464. 結論
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