電磁気学 2 秋学期レポート問題第 9 回 2015/12/08 レポート提出日 : 2015/12/15 の授業中各レポートの問題と解答は http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/˜ishizuka/Link/gakumu.html にあります。 1. 半径 a で中心軸が z-軸の無限に長い円柱状導線を考える。この導線内を電流が一様に流れており、電流密度が √ ⃗i(⃗r) = ⃗ez · (I/πa2 ) · Θ(a − x2 + y 2 ) (1) であるとする。この時、円柱内外に発生する磁束密度を求めることを考える。対称性より磁束密度は以下の形をしている。 ⃗ r) = B(R) · ⃗et (R) ⃗ B(⃗ { ⃗ = (x, y, 0) , R = |R| ⃗ ⃗r = (x, y, z) , R ⃗ = (−y, x, 0)/R ⃗et (R) (2) ⃗ には一般に以下の関係がある。積分形の Ampère の法則によれば、電流密度 ⃗i と磁束密度 B ∫ ∫ ⃗ r) = µ0 dS ⃗n · ⃗i d⃗r · B(⃗ (3) C S ここで、C は任意の閉曲線であり、S は C を境界とする任意の曲面である。⃗n は曲面 S の法線 vector である。電流密度が (1) で、磁束密度が (2) である今の問題に対し、(3) で C を xy-平面上の半径 R の円として積分形の Ampère 法則を使い、円柱内外の磁束密度を求めよ。裏へ続く 1 2. 半径 a の z 軸方向に無限に長いソレノイド ( 単位長さ当たりの巻数 n ) を考える。ソレノイドの中心軸を z 軸にとり、中心軸からの距離を R とする。このソレノイドに電流 I を流した場合、以下の磁束密度が発生する。 for R > a for R < a ⃗ =0 B ⃗ = ⃗ez · B0 B ( B0 = µ0 nI ) (4) ⃗ がどうなるか考える。以下、このとき発生する vector potential A ⃗ が、以下の形をとることを仮定する。 vector potential A for R > a for R < a ⃗ r) = A(x, ⃗ y) = (−y, x, 0) · f (R) = ⃗et · R f (R) A(⃗ ⃗ r) = A(x, ⃗ y) = (−y, x, 0) · g(R) = ⃗et · R g(R) A(⃗ (5) ここで、⃗et = (−y, x, 0)/R は、半径 R の円の単位接線 vector である。関数 f (R), g(R) は、これから決定すべき未知関数である。 (a) 半径 R (> a) の円 C を考える。C によって囲まれる領域 (円の内部) を S とする。このとき、 ∫ ∫ ∫ ⃗ ⃗ ⃗ r) d⃗r · A(⃗r) = dS ⃗n · rotA(⃗r) = dS ⃗n · B(⃗ (6) C S S を計算し、関数 f (R) を決定せよ。 (b) 半径 R (< a) の円 C を考える。C によって囲まれる領域 (円の内部) を S とする。このとき、(6) を計算し、関数 g(R) を決定せよ。 (c) 前問で求められた関数 f (R), g(R) のもとで、(5) が vector potential であることを、 ⃗ を計算し確かめよ。 rotA 2