数学の入試問題解説（PDF：172KB）

平成 27 年度入試問題問 5 解答と解説
平成 27 年度入試問題問 5 の解答と解説を行います。まずは問題文を読んで下さい。問題
文の図 2 がヒントになっています。
５　図のような，底面の円周の長さが㎝，高さが㎝の
円柱がある。上の底面の円周上に，線分が直径となるよ


うに点をとる。また，点から垂線を下ろし，下の底
面との交点をとする。このとき，点から円柱の側面に
沿って緑と赤の本の糸をそれぞれ糸の長さが最短となるよ
㎝
うに巻き付ける。なお，糸は以下のように巻きつけることと
する。

緑の糸…点から巻き始め，周半して点に達した。
図
赤の糸…点から，緑の糸とは逆方向に巻き始め，周
して点に達した。
図は，円柱の側面を線分で切ったときの展開図で
あり，点線は緑の糸の様子を表したものである。
次の各問いに答えなさい。




　緑の糸の長さを求めなさい。
　緑の糸と赤の糸は全部で何回交差するか答えなさい。
ただし，巻き始めの点は数えないものとする。

　本の糸が最後に交差した点をとし，から下ろした
垂線と下の底面との交点をとする。このとき，線分
の長さを求めなさい。


図
立体を扱う問題では，図 2 の様に平面図形に直し考えていくことがポイントです。
それでは問題を解いていきましょう。


は図の点線（緑の糸）の長さを求める問題です。


まずは，図のの長さを求めてみましょう。

　線分の長さは
 

  


線分の長さは
 

 

よって線分の長さは


      
図
  

  

したがって，緑の糸の長さは
   


ワンポイント
この問題の△は三辺の比がの直角三角形であることに気づいたでしょうか。
このほかにもの直角三角形など，直角三角形の三辺の比が整数比になるものを
覚えておくと，時間短縮や計算ミスの防止にも役立ちます。
⑬
⑤
③
⑤
④
⑫
整数比の直角三角形は無限に存在します。この他のものも見つけてみて下さいね。

は緑の糸とは「逆方向に巻く」赤い糸を展開図に，書き表すこと
ができるかがポイントです。
　赤の糸は図の様にからまで通るので，緑の糸と
回交差する。









は三角形の相似を使って解いていくことが一般的な解法

ですが，今回は次関数を用いた解法を紹介します。
　図の様に各点を定めると， はとなる。
緑の糸と赤い糸を次関数に見たてると，図の様になる。
赤い糸は，   と    を通る直線なので，直線の式は

   




図
緑の糸は，   と   を通る直線なので，直線の式は

  

この直線の交点が点なので，直線の式を
連立し点の座標を求めると，






となる。




  






よって，図において，


 
 
従って

図

 





 
 

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