アブストラクト

Reaction-diﬀusion-ODE system から考えるパターン形成
− Turing 不安定性とダイナミクス−
鈴木香奈子
茨城大学理学部
[email protected]
この講演では，以下のような形をもつパターン形成の数理モデルについて考える：
ut = f (u, v),
vt = D∆v + g(u, v).
(1)
ここで，D は正の定数とする．以下では，(1) を reaction-diﬀusion-ODE system と呼ぶことにする．
自然界にみられるパターン形成を記述する数理モデルの多くは，1952 年に A. Turing が提唱したアイ
ディア「Turing 不安定性」（もしくは、「拡散誘導不安定化」とも呼ばれる）に基づいている．これは，二
種以上の化学物質が拡散しながら相互作用することで空間一様な状態が不安定化し得る, というもので，こ
のアイディアに基づく反応拡散系の数理モデルのほとんどが，拡散する物質のみから成る反応拡散系で表
されている．
しかし近年，細胞の増殖過程や細胞内のシグナルのような局所的なプロセス（拡散しない）と細胞の周
りを拡散する化学物質との相互作用から成るパターン形成の数理モデルを使って，生体内の現象を巨視的
なスケールで理解する研究の重要性が高まりつつあり，(1) のように 2 連立の方程式系だけではなく，数
本の常微分方程式と数本の反応拡散方程式から成るパターン形成の数理モデルがいくつか提唱されている
（[3, 5, 8, 6, 7, 2, 1]）．これらの多くでも，パターン出現のアイディアとして Turing 不安定性が重要な役割
を果たしている．
Turing 不安定性に基づく reaction-diﬀusion-ODE system については，数値実験によって様々な空間パ
ターンが現れることが報告されている．しかし，非定数定常解の存在やその安定性に関する数学的結果や，
初期値問題の解のダイナミクスに関する数学的結果はほとんどない．
我々のこれまでの研究 [4] によって，Turing 不安定性に基づく reaction-diﬀusion-ODE system のダイ
ナミクスは，古典的なパターン形成の数理モデルのそれとは大きく異なることが解っている．本講演では，
最も単純な場合として 2 連立の reaction-diﬀusion-ODE system (1) を有界領域で考え，非定数定常解の安
定性，初期値−境界値問題の解のダイナミクスについて考察する．ダイナミクスについては，いくつか非線
形項の例を取り上げ，特に非有界な解の存在について紹介する．
これらの研究は，A. Marciniak-Czochora (University of Heidelberg), G. Karch (University of Wroclaw),
J. Zienkiewicz (University of Wroclaw) との共同研究に基づくものである．
References
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Sharpening of expression domains induced by transcription and microRNA regulation within a spatio-temporal
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[2] V. Klika, R.E.. Baker, D. Headon, E.A. Gaﬀney, The inﬂuence of receptor-mediated interactions on reactiondiﬀusion mechanisms of cellular self-organization, Bull. Math. Biol. 74 (2012), 935–957.
[3] A. Marciniak-Czochra, Receptor-based models with diﬀusion-driven instability for pattern formation in Hydra. J. Biol. Sys. 11 (2003) 293–324 .
[4] A. Marciniak-Czochra, G. Karch, and K. Suzuki Unstable patterns in autocatalytic reaction-diﬀusion-ODE
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[5] A. Marciniak-Czochra, M. Kimmel, Dynamics of growth and signaling along linear and surface structures in
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[6] A. Marciniak-Czochra, M. Kimmel, Reaction-diﬀusion model of early carcinogenesis: the eﬀects of inﬂux of
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[7] K. Pham, A. Chauviere, H. Hatzikirou, X. Li, H.M.. Byrne, V. Cristini, J. Lowengrub, Density-dependent
quiescence in glioma invasion: instability in a simple reaction-diﬀusion model for the migration/proliferation
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of the Drosophila embryo, PNAS 103 (2006), 11613–11618.
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