(2) 1 6 P - SUUGAKU.JP

1
次の問いに答えよ．
5
(2) 6 個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど 4 種類の目が出る確率を既
約分数で表せ．
（東京工業大学 2013 ）
y2
=1
b2
を考える．
(1) 2 次方程式 x2 ¡ 3x + 5 = 0 の 2 つの解 ®; ¯ に対し，®n + ¯n ¡ 3n はす
べての正の整数 n について 5 の整数倍になることを示せ．
a; b を正の実数とし，円 C1 : (x ¡ a)2 + y2 = a2 と楕円 C2 : x2 +
(1) C1 が C2 に内接するための a; b の条件を求めよ．
1
(2) b = p とし，C1 が C2 に内接しているとする．このとき，第 1 象限にお
3
ける C1 と C2 の接点の座標 (p; q) を求めよ．
(3) (2) の条件のもとで，x = p の範囲において，C1 と C2 で囲まれた部分の面
積を求めよ．
2
2 次の正方行列 A = '
a b
c d
? に対して，¢(A) = ad¡bc; t(A) = a+d
と定める．
（東京工業大学 2013 ）
6
(1) 2 次の正方行列 A; B に対して，¢(AB) = ¢(A)¢(B) が成り立つこと
を示せ．
(2) A の成分がすべて実数で，A5 = E が成り立つとき，x = ¢(A) と
y = t(A) の値を求めよ．ただし，E は 2 次の単位行列とする．
次の問いに答えよ．
(1) 辺の長さが 1 である正四面体 OABC において辺 AB の中点を D，辺 OC の
¡! ¡!
中点を E とする．2 つのベクトル DE と AC との内積を求めよ．
1
(2) 1 から 6 までの目がそれぞれ
の確率で出るさいころを同時に 3 個投げる
6
とき，目の積が 10 の倍数になる確率を求めよ．
（東京工業大学 2013 ）
3
k を定数とするとき，方程式 ex ¡ xe = k の異なる正の解の個数を求めよ．
（東京工業大学 2013 ）
（東京工業大学 2012 ）
7
次の問いに答えよ．
(1) log10 3 = 0:4771 として，
99
P
3n の桁数を求めよ．
n=0
4
¼
の範囲において sin 4nx = sin x を満たす
2
x の区間の長さの総和を Sn とする．このとき， lim Sn を求めよ．
正の整数 n に対し，0 5 x 5
(2) 実数 a に対して，a を超えない最大の整数を [ a ] で表す．10000 以下の正
p
の整数 n で [ n ] が n の約数となるものは何個あるか．
n!1
（東京工業大学 2013 ）
（東京工業大学 2012 ）
8
3 次関数 y = x3 ¡ 3x2 + 2x のグラフを C，直線 y = ax を ` とする．
(1) C と ` が原点以外の共有点をもつような実数 a の範囲を求めよ．
(2) a が (1) で求めた範囲内にあるとき，C と ` によって囲まれる部分の面積を
S(a) とする．S(a) が最小となる a の値を求めよ．
（東京工業大学 2012 ）
11 行列 A = '
a b
c d
? で定まる 1 次変換を f とする．原点 O(0; 0) と異なる
0
OQ
OP0
=
が成り立つ．ただし，P0 ; Q0 は
OP
OQ
それぞれ P，Q の f による像を表す．
任意の 2 点 P，Q に対して
(1) a2 + c2 = b2 + d2 を示せ．
p
(2) 1 次変換 f により，点 (1; 3) が点 (¡4; 0) に移るとき，A を求めよ．
（東京工業大学 2012 ）
9
p
p
xyz 空間に 4 点 P(0; 0; 2)，A(0; 2; 0)，B( 3; ¡1; 0)，C(¡ 3; ¡1; 0)
をとる．四面体 PABC の x2 + y2 = 1 をみたす部分の体積を求めよ．
（東京工業大学 2012 ）
10 n を正の整数とする．数列 fak g を
a1 =
k
n P
1
1
+
; ak+1 = ¡
a
k+n+1
k i=1 i
n(n + 1)
(k = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．
(1) a2 および a3 を求めよ．
(2) 一般項 ak を求めよ．
n B
P
(3) bn =
ak とおくとき， lim bn = log 2 を示せ．
k=1
n!1
（東京工業大学 2012 ）

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