年番号 1 4 次の問に答えよ． (1) 次の方程式を解け．ただし，i は虚数単位，x は実数とする．氏名 4 点 O(0; 0; 0)，A(2; 1; 4)，B(3; 0; 1)，C(1; 2; 1) を頂点とする四面体 AOBC がある． (1) 3 点 O，B，C の定める平面に，点 A から垂線 AH を下ろす．点 H の座標を求めよ． (2) 三角形 OBC の面積と四面体 AOBC の体積を求めよ． (1 + i)x2 ¡ (1 + 3i)x ¡ 2 + 2i = 0 (3) 四面体 AOBC に外接する球，すなわち，4 点 A，O，B，C を通る球面を考える．この球面の方程式を求めよ． (2) 次の方程式を解け．（琉球大学 2007 ） log4 (4x ¡ 7) + log2 x = 1 + 3 log4 (x ¡ 1) (3) 3 点 O(0; 0)，A(t; 0)，B(0; 1 ¡ t) (0 < t < 1) を頂点とする三角形 OAB を，x 軸の周り 5 に 1 回転させてできる円錐の体積の最大値と，そのときの t の値を求めよ． 4OAB において，辺 OB の中点を M，辺 OA を h : (1 ¡ h) (0 < h < 1) に内分する点を D とし，線分 AM，BD の交点を E とする．次の各問に答えよ．（琉球大学 2008 ） O h 2 4ABC は，tan A = D 4 ; BC = 6 を満たしているものとする．ただし，A = ÎBAC とする． 3 1¡h (1) sin A および cos A の値をそれぞれ求めよ． A (2) 4ABC の外接円の半径を求めよ． (3) 4ABC の面積の最大値と，そのときの辺 AB の長さを求めよ．（琉球大学 2008 ） ¡! ¡ ! (1) OA = a ; ¡! (2) jOAj = 3; M E B ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! OB = b とするとき，OE を a ; b および h で表せ． p ¡! ¡! 7 ± のとき，h の値を求めよ． jOBj = 4; ÎAOB = 60 ; jAEj = 2 （琉球大学 2006 ） 3 放物線 C : y = (x ¡ p)2 + q の頂点 P(p; q) が，放物線 y = ¡4x2 + 12x (y = 0) 上を動くとき，放物線 C と x 軸および 2 直線 x = 0; x = 2 で囲まれた部分の面積の最大値と，そのときの p の値を求めよ． 6 次の各問に答えよ． (1) sin µ + cos µ = t とおく．0± 5 µ 5 90± のとき，t のとりうる値の範囲を求めよ． (2) 0± 5 µ 5 90± のとき，sin3 µ + cos3 µ のとりうる値の範囲を求めよ．（琉球大学 2007 ）（琉球大学 2006 ）