1
実数 a; b; c に対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
(1) 2(a4 + b4 ) = (a + b)(a3 + b3 )
(2) 3(a4 + b4 + c4 ) = (a + b + c)(a3 + b3 + c3 )
（ 和歌山県立医科大学 2007 ）
2
実数を成分とする行列 A = '
0
2
¡1 3
?; B = '
x
z
y w
? は AB = BA; xy Ë 0 をみたしている．この
とき，以下の問に答えよ（ただし，E は単位行列）．
(1) B = aA + bE と表されることを示せ（ただし，a; b は実数）．
(2) B の逆行列 B¡1 が存在するとき，B¡1 = cA + dE と表されることを示せ（ただし，c; d は実数）．
(3) B = B¡1 をみたす B をすべて求めよ．
（ 和歌山県立医科大学 2007 ）
3
座標空間の半球面：z =
C
1
1
1
< をとる．以下の問に答えよ．
;
1 ¡ (x2 + y2 ) 上に点 A $ p ;
2
2
2
1
が交わってできる曲線の方程式を求めよ．また，この曲線の点 A における平面
2
1
1
上の接線を `1 とする．`1 上の任意の点 #x1 ;
; z1 ; に対して，x1 ; z1 がみたす関係式を求めよ．
y=
2
2
1
(2) この半球面と平面 x = p が交わってできる曲線の方程式を求めよ．また，この曲線の点 A における平
2
1
1
面 x = p 上の接線を `2 とする．`2 上の任意の点 $ p ; y2 ; z2 < に対して，y2 ; z2 がみたす関係式を
2
2
求めよ．
(1) この半球面と平面 y =
(3) 点 A を通る 2 つの直線 `1 ; `2 を含む平面上の任意の点 (x; y; z) に対して，x; y; z がみたす関係式を
求めよ．
（ 和歌山県立医科大学 2007 ）
4
p
B
B
x2
3
座標平面について，曲線：y =
x (0 5 x 5 3) によって囲ま
(0 5 x 5 3) と線分：y =
2
4
1+x
れる部分の面積を求めよ．
（ 和歌山県立医科大学 2007 ）

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