2015/4/14 ϕ(x)

ポインター基底測定（Pointer basis measurement）
2015/4/14
ˆS を測定する方法を考える．簡単のために，AˆS は離散的かつ非縮退
系 S の初期状態 |ψ⟩S の下で物理量 A
な固有値を持っているとする．
ミクロ系 S に対する測定器系 D について考えよう．この測定器には実数値で測定結果の表示を行う一次
元のメーターが備わっているとし，初期の量子状態をメーターの位置 x
ˆD のスペクトルを用いて次のように
表す．
√
ϕ(x) = ⟨x|ϕ⟩D =
1 ϵ
Θ( − |x|)
ϵ 2
(1)
ここで Θ は階段関数，ϵ は正の実数である．ϵ はメーター値の広がりを表しており，初期状態は x が中心か
ら ±ϵ/2 の範囲に等確率で分布している状況を表している．
測定に当って対象系 S と測定器系 D の合成系を考えよう．合成系はそれぞれのヒルベルト空間のテンソル
積で表される．従って全体の初期状態は次のようになる．
|Ψ0 ⟩ = |ψ⟩S |ϕ⟩D
(2)
系 S と系 D の間には初期時刻 t = 0 から終時刻 t = T までの期間に次の相互作用が働き，それ以外では系
は相互作用をしないものとする．
Vˆ = g(t)AˆS pˆD , suppg ⊂ [0, T ]
(3)
ここで pˆD は位置演算子 x
ˆD の共役演算子，g(t) は相互作用の強さを表す c-number である．
g(t) として期間中に一定の強さ g の相互作用が働く場合を考える．
{
g
g(t) =
0
0≤t≤T
otherwise
(4)
このとき相互作用中の V は t によらず一定であり，系の時間発展を次のように書くことができる，
|Ψ(t)⟩ = e−iV t |Ψ0 ⟩
ˆ
(5)
特に終時刻 T 以降の |Ψ(t)⟩ は常に一定であり，系 D を波動関数表示すると
|Ψ(t); x⟩ = ⟨x|D e−i(gAS pˆD )T |Ψ0 ⟩
ˆ
ˆ
= e−gT AS ∂x |ψ⟩S ϕ(x)
ˆ
と表せる．
ˆS を固有値分解 AˆS =
ここで A
∑
an |n⟩ ⟨n| で書き，さらに
1
(6)
)
(
exp AˆS =
=
( )k
∞
AˆS
∑
k=0
∞
∑
k=0
=
∑
k!
∑
k
( n an |n⟩ ⟨n|)
k!
|n⟩ ⟨n|
n
=
∑
∞
k
∑
(an )
k!
k=0
|n⟩ ⟨n| ean
n
を用いると，
∑
|Ψ(t); x⟩ =
ˆ
|n⟩ ⟨n| e−gT an 1S ∂x |ψ⟩S ϕ(x)
ˆ
n
∑
=
⟨n|ψ⟩ |n⟩ ϕ(x − gT an )
n
∑
=:
cn |n⟩ un (x)
(7)
n
と書けることが分かる．すなわち測定から得られるメーターの中央値が各 n に対して x=gT an に変化する
のである．
ˆS の固有値が縮退していない場合を考えているので，gT を次の条件を満たすほど十分に大きくとれ
今は A
ば，各 un (x) は異なる n に対して直交する．
ˆ
⇒
gT min |an − am | > ϵ
(8)
n,m
∞
−∞
un (x)um (x)dx = δn,m
(9)
従って系 D の測定値は各 n を完全に区別する．合成系の状態が un (x) |n⟩ の和で書かれていることから，
系 D の測定により n が判明すれば系 S の測定後の状態は |n⟩ であることが確定する．さらに系 D の測定値
が n を指定する確率は，
ˆ
pn =
dx ⟨n| u∗n (x) |Ψ(t); x⟩ = |cn | = |⟨n|ψ⟩|
2
2
(10)
ˆS を理想測定した結果 an を得る確率と一致している．このように
となり，系 S が初期状態にあったとき A
ˆS に対する理想測定の一種になっている．
ポインター基底測定は系 S の物理量 A
2

Download Report