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ver.2015/3/25
勉強用ノート 2
目次
場の量子論
2
1.1
第二量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
散乱理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1
対称群の表現
11
2.1
ローレンツ群とポアンカレ群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Wigner’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
P の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
公理的場の理論
16
3.1
G˚
arding–Wightman axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
CPT theorem, Spin-statistics theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3
Reeh and Schlieder の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4
Haag の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
付録
23
2
3
4
4.1
シュワルツ超関数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.2
Wigner’s unitarity-antiunitarity theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
CCR representation と既約性の問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.4
作用素値汎関数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
25
1 場の量子論
基本的事項をまとめる．4D-Minkowski metric を gµν = diag(1, −1, −1, −1) で定義する．4 次元ミンコフ
スキー空間 M4
1.1 第二量子化
場を量子化する heuristic な方法論．
1.1.1 実スカラー場
classical real scalr field：
L=
1
1
(∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − mϕ2 + Lint [ϕ]
2
2
(1)
The Euler-Lagrange equation of this Lagrangean is
(□ + m2 )ϕ =
∂
Lint [ϕ]
∂ϕ
(2)
The simplest possible Lorentz-inv. equatiom of motion for a scaler field is Lint = 0, m = 0
□ϕ = 0.
(3)
One solution is ϕ = ap ei(ωp t−⃗p·⃗x) , ωp satisfies ωp = |⃗
p| .Defines p = (ωp , p⃗). ωp is Energy. A general
solution is
ˆ
ϕcl (x, t) =
d3 p
(ap e−ipx + a∗p eipx ).
(2π)3
(4)
This is just a function on M4 if ap ∈ C.
1.1.2 第二量子化
CCR 代数 ap → a
ˆp , a∗p → a
ˆ†p 生成消滅演算子．以後ハット略，a∗p := {ap , a†p }
有限自由度系：
[ak , a†l ] = δkl .
(5)
[ak , a†p ] = (2π)3 δ 3 (⃗
p − ⃗k).
(6)
第 2 量子化：
p ∈ R3 自由度無限大の CCR 代数の超関数版．
Stone–von Neumann theorem により保証されていた CCR 代数の既約表現の一意性が消える．
自由実スカラー量子場:quantum field for Lint = 0.
ˆ
ϕ0 (⃗x) =
d3 p
1
√
(ap ei⃗p⃗x + a†p e−i⃗p⃗x ).
3
(2π)
2ωp
2
(7)
第 2 量子化の由来は次節で述べる．ここでは単に CCR 代数の自由度が無限大に増えただけ．
性質:
真空と呼ばれるベクトル |0⟩ ∈ H.
定義:These a†p operators create particles with momentum p:
1
a†p |0⟩ = √
|⃗
p⟩ .
2ωp
(8)
|0⟩ は真空．|⃗
p⟩ は単純な Hilbert space の元ではない．ノルムが超関数．
⟨⃗
p|⃗q⟩ = 2ωp (2π)3 δ 3 (⃗
p − ⃗q)
(9)
|⃗
p⟩ は C.O.N.S. を成す．
ˆ
1=
d3 p 1
|⃗
p⟩ ⟨⃗
p|
(2π)3 2ωp
(10)
真空表現の仮定:
ap |0⟩ = 0, ∀p
(11)
自由場:
ˆ
ϕ0 (⃗x) =
d3 p
1
√
(ap ei⃗p⃗x + a†p e−i⃗p⃗x ).
(2π)3 2ωp
(12)
これは次の意味で真空に粒子を生成する：ϕ0 creates a particle at position ⃗
x. 簡単な計算により
が出る．一方，量子力学では
⟨⃗
p|ϕ0 (⃗x)|0⟩ = e−i⃗p⃗x
(13)
⟨⃗
p|⃗x⟩ = e−i⃗p⃗x
(14)
だった．そこで |⃗
x⟩ := ϕ0 (⃗x) |0⟩ を位置 ⃗x に粒子が作られたと解釈する．
ただし本当は Fock space で ⟨⃗
p|ψ⟩ = e−i⃗p⃗x を満たす |ψ⟩ は |⃗x⟩ 以外にもある，例えば ⟨⃗
p|ϕ20 (⃗x)|0⟩ には
⟨0|ap a∗q a∗q′ |0⟩ の形しか現れずこれはゼロ．従って |⃗x⟩ + ϕ20 (⃗x) |0⟩ も同じ結果になる．
1.1.3 実スカラー場
自由スカラー場:
ˆ
ϕ0 (x) =
1
d3 p
√
(ap e−ipx + a†p e−ipx ).
(2π)3 2ωp
実，つまり自己共役作用素．ただし単に可観測量とは解釈できない．
Euler-Lagrange equation:
3
(15)
(□ + m2 )ϕ = 0
(16)
√
ωp = ± p⃗2 + m2 である．
相互作用場:
(□ + m2 )ϕ =
∂
Lint [ϕ]
∂ϕ
(17)
Heisenberg equations of motion:
i∂t ϕ(x) = [ϕ, H].
(18)
for full Hamiltonian, H0 + Hint :
相互作用実スカラー場:
ˆ
ϕ(x) =
d3 p
1
√
(ap (t)e−ipx + a†p (t)e−ipx ).
3
(2π)
2ωp
(19)
a∗p (t) は時刻を固定すれば CCR 代数になる．時間発展とともに a∗p (t) に interactions の影響が出る．
固定時刻の commutation relations:
π(⃗x) := ∂t ϕ(x)|t=0
(20)
場の正準交換関係:
[ϕ(⃗x), ϕ(⃗y )] = 0,
(21)
[ϕ(⃗x), ∂t ϕ(⃗y )] = iδ (⃗x − ⃗y ).
3
(22)
デルタ関数:
ˆ
d3 p i⃗p(⃗x−⃗y)
e
.
(2π)3
ˆ
d4 p −ipx
e
δ 4 (x) =
(2π)4
δ 3 (⃗x − ⃗y ) =
(23)
(24)
である．
量子力学の a, a† の線形結合から作られる x, p が [x, p] = i だった事に対応．
時刻を固定しない commutation relations:
[ϕ(x), ϕ(y)] = i∆(x − y).
∆ は不変デルタ関数:
4
(25)
i∆(x) = Gret (x) − Gadv (x)
ˆ 3
1
d p −ipx
=
(e
− eipx )
(2π)3
2ωp
(26)
(27)
Klein=Gordon eq の先進・遅延プロパゲータの差．
不変デルタ関数の性質:
(1) Lorentz invariant.
(2) t = 0, ∆(0, ⃗x) = 0⇒ 時刻固定と無矛盾
(3) x2 < 0, space − like, ∆(x) = 0 (∵ Gret = Gadv = 0)⇒ 因果律
(4) ∆(−x) = −∆(x)
場の理論は ap , a†p , |0⟩ から導かれる．
In summary, 無限自由度超関数 CCR 代数が Quantum field theory．
1.2 散乱理論
場の理論から計算可能な実験量が散乱断面積．
1.2.1 Cross sections:
dσ =
1 1
1
2
dP =
|M| dΠLIP S
TF
(2E1 )(2E2 ) |⃗v1 − ⃗v2 |
(28)
(∑ )
d3 pj 1
(2π)4 δ 4
p
3
(2π) 2Epj
(29)
但し，
dΠLIP S =
∏
f inal state j
Lorentz-invariant phase space.
S-matrix:
⟨f |S|i⟩ , S = 1 + i(2π)4 δ 4
(∑ )
p M
(30)
S = 1 は free theory.
散乱しないケースを無視 |i⟩ ̸= |f ⟩
√
√
2ω1 2ω2 a†p1 (−∞)a†p2 (−∞) |Ω⟩
√
√
|f ⟩ = |p3 , . . . , pn , t = ∞⟩ = 2ω3 · · · 2ωn a†p3 (∞) · · · a†pn (∞) |Ω⟩
|i⟩ = |p1 , p2 , t = −∞⟩ =
(31)
(32)
散乱振幅:
⟨f |S|i⟩ =
∏√
2ωi ⟨Ω|ap3 ,∞ · · · apn ,∞ a†p1 ,−∞ a†p2 ,−∞ |Ω⟩
5
(33)
|Ω⟩ は相互作用系の真空，the vacuum in the interactiong theory. 自由場の真空 |0⟩ と一般に異なる．粒子
ゼロは同じ．
This expression is not terribly useful as is.
そこで,
1.2.2 LSZ(Lehmann-Symanzik-Zimmermann) reduction formula:
[ ˆ
] [ ˆ
]
⟨f |S|i⟩ = i d4 x1 e−ip1 x1 (□1 + m2 ) · · · i d4 xn eipn xn (□n + m2 ) ⟨Ω|T {ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn )}|Ω⟩
(34)
生成消滅演算子から量子場へ．量子場 ϕ なら Euler-Lagrange equation から計算が可能！
証明のための補助公式:
√
2ωp [ap (∞) − ap (−∞)] = i
ˆ
d4 xe−ipx (□ + m2 )ϕ(x)
(35)
これを使えば
⟨f |S|i⟩ =
∏√
2ωi ⟨Ω|T {[ap3 (∞) − ap3 (−∞)] − · · · [ap1 (∞) − ap1 (−∞)]} |Ω⟩ .
(36)
2 点相関関数 for free theory：Feynman propagator
ˆ
DF (x1 , x2 ) = ⟨0|T {ϕ0 (x1 )ϕ0 (x2 )} |0⟩ =
d4 k
i
eik(x1 −x2 ) .
(2π)4 k 2 − m2 + iϵ
(37)
分母の極は LSZ の prefactors と cancel する．反応中の運動量 k は oﬀ-shell!
introducing the notation:⟨ϕ · · · ϕ⟩ = ⟨Ω|T {ϕ · · · ϕ}|Ω⟩
結局 n 点相関関数が欲しい．
wn (x1 , x2 , . . . , xn ) = ⟨ϕ(x1 )ϕ(x2 ) . . . ϕ(xn )⟩
(38)
⟨ ′
⟩
∑
⟨
⟩
(□x + m2 ) ⟨ϕx ϕ1 · · · ϕn ⟩ = Lint [ϕx ]ϕ1 · · · ϕn − iℏ
δ 4 (x − xj ) ϕ1 · · · ϕˇj · · · ϕn
(39)
1.2.3 相関関数
LSZ の計算を進めるための技
Schwinger-Dyson equations:
j
補題:
then,
⟨
⟩
⟨
⟩
∂t2 ⟨ϕx ϕy ⟩ = ∂t2 ϕx ϕy + δ(t − t′ ) ⟨Ω|[∂t ϕ(x), ϕ(y)]|Ω⟩ = ∂t2 ϕx ϕy − iℏδ 4 (x − y)
(40)
⟨
⟩
(□x + m2 ) ⟨ϕx ϕy ⟩ = (□x + m2 )ϕx ϕy − iℏδ 4 (x − y)
(41)
6
which implies(□x +m2 )DF (x, y) = −iℏδ 4 (x−y) for free theory.We need only the canonical commutation
relations [ϕ(⃗x), ∂t ϕ(⃗y )] = iδ 3 (⃗x − ⃗y ).
The quantum field satisfies the same equations of motion as the classical field.In particu;ar,(□+m2 )ϕ =
L′int [ϕ], so we get the SD-eq.
δ 4 terms are called contact interactions, which vanishes in classical field theory.
Feynman rules.
記号簡約:δxi , Dij and m = 0 for simplicity.□x Dx1 = −iδx1 .
So,
ˆ
⟨ϕ1 ϕ2 ⟩ =
ˆ
ˆ
dxδx1 ⟨ϕx ϕ2 ⟩ = i
dx(□x + m2 )Dx1 ⟨ϕx ϕ2 ⟩ = i
dxDx1 (□x + m2 ) ⟨ϕx ϕ2 ⟩ .
(42)
for free:Lint = 0
ˆ
⟨ϕ1 ϕ2 ⟩ = i
dxDx1 (−iδx2 ) = D21 = D12
(43)
by SD-equation. This result is consistent. For 4-point function,
ˆ
⟨ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ⟩ = i dxDx1 (□x + m2 ) ⟨ϕx ϕ2 ϕ3 ϕ4 ⟩
ˆ
= dxDx1 {δx2 ⟨ϕ3 ϕ4 ⟩ + δx3 ⟨ϕ2 ϕ4 ⟩ + δx4 ⟨ϕ2 ϕ3 ⟩}
= D12 D34 + D13 D24 + D14 D23 .
for intaraction：Lint =
(44)
g 3
3! ϕ
(
ˆ
⟨ϕ1 ϕ2 ⟩ = D12 − g 2
dxdy
)
1
1
1
2
Dy2 + D1x Dxx Dyy Dy2 + D1x D2x Dxy Dyy .
D1x Dxy
2
4
2
etc.
1.2.4 時間依存摂動論
{
}
´ 4
⟨0|T ϕ0 (x1 ) · · · ϕ0 (xn )ei d xLint [ϕ0 ] |0⟩
{ ´ 4
}
⟨ϕ1 · · · ϕn ⟩ =
⟨0|T ei d xLint [ϕ0 ] |0⟩
(45)
自由場の計算に帰着，Lint は摂動で取り込む．
cf.Path Integral
⟨
⟩ ´ Dϕϕ · · · ϕ eiS[ϕ]
n
ˆ
ˆ
´ 1
ϕ1 · · · ϕn =
DϕeiS[ϕ]
左辺は operator，右辺は classical function.
7
(46)
1.2.5 S-matrix calculation
Lint =
g 3
3! ϕ
2
の 2 点相関関数 ⟨ϕ1 ϕ2 ⟩ に含まれる T1 = − g2
[
´
2
dxdyD1x Dxy
Dy2 の計算例：
][ ˆ
]
4
ipf x2 2
2
⟨f |S|i⟩ = −i d x1 e
− m ) −i d x2 e
(pf − m ) ⟨ϕ1 ϕ2 ⟩
[ ˆ
][ ˆ
]
4
−ipi x1 2
2
4
ipf x2 2
2
= −i d x1 e
(pi − m ) −i d x2 e
(pf − m ) T1 + . . .
ˆ
−ipi x1
4
g2
T1 = − i4
2
ˆ
ˆ
dxdy
dp1
(2π)4
ˆ
(p2i
2
dp2
(2π)4
ˆ
dp3
(2π)4
ˆ
(47)
(48)
dp4
(2π)4
eip1 (x1 −x)
eip2 (x−y)
eip3 (x−y)
eip4 (y−x2 )
p21 − m2 + iϵ p22 − m2 + iϵ p23 − m2 + iϵ p24 − m2 + iϵ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
g2
dp1
dp2
dp3
dp4
=−
(2π)8 δ 4 (p1 − p2 − p3 )δ 4 (p2 + p3 − p4 )
4
4
4
2
(2π)
(2π)
(2π)
(2π)4
1
1
1
1
ei(p1 x1 −p4 x2 )
× 2
p1 − m2 + iϵ p22 − m2 + iϵ p23 − m2 + iϵ p24 − m2 + iϵ
ˆ
ˆ
ˆ
g2
dp1
dk
dp4
=−
(2π)8 δ 4 (p1 − p4 )
2
(2π)4
(2π)4
(2π)4
1
1
1
1
× 2
ei(p1 x1 −p4 x2 )
p1 − m2 + iϵ (p1 − k)2 − m2 + iϵ k 2 − m2 + iϵ p24 − m2 + iϵ
×
[ ˆ
][ ˆ
]
−i d4 x1 e−ipi x1 (p2i − m2 ) −i d4 x2 eipf x2 (p2f − m2 ) T1 + . . .
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
g2
dp1
dp4
dk
=
d4 x1 d4 x2
(2π)8 δ 4 (p1 − p4 )
2
(2π)4
(2π)4
(2π)4
1
1
+ ...
×eix1 (p1 −pi ) eix2 (pf −p4 )
2
2
2
(p1 − k) − m + iϵ k − m2 + iϵ
ˆ
ˆ
ˆ
g2
dp1
dp4
dk
=
(2π)16 δ 4 (p1 − p4 )δ 4 (p1 − pi )δ 4 (p4 − pf )
4
4
2
(2π)
(2π)
(2π)4
1
1
×
+ ...
(p1 − k)2 − m2 + iϵ k 2 − m2 + iϵ
ˆ
g2
i
i
dk
=−
(2π)4 δ 4 (pi − pf ) ×
+ ...
2
(2π)4
(pi − k)2 − m2 + iϵ k 2 − m2 + iϵ
⟨f |S|i⟩ =
iM = −
g2
2
ˆ
i
i
dk
+ ...
(2π)4 (pi − k)2 − m2 + iϵ k 2 − m2 + iϵ
(49)
(50)
1.3 QED
1.3.1 photon:
for massless spin 1:
1 2
Lp = − Fµν
4
8
(51)
Aµ (x) =
2 ˆ
∑
i
1
d3 p
i† ipx
√
(ϵi (p)aip e−ipx + ϵi∗
).
µ (p)ap e
(2π)3 2ωp µ
(52)
photon has vector representation.
1.3.2 electoron:
spinor representation.
ガンマ代数：{γ µ , γ ν } = 2g µν
(
0
ディラック表示：γ =
(
ワイル表示:γ 0 =
0
1
1
0
0
)
−1
)
(
j
,γ =
(
,γ j =
0
0
σj
−σ j
)
σj
0
)
1 0
−σ j 0
(
)
(
)
(
1
0
0
1
0
パウリ行列：σ 0 =
,σ 1 =
,σ 2 =
0 1
1 0
i
Spinor:
)
0
(
,σ 3 =
1
0
0
−1
)


ψ1 (x)
ψ2 (x)
4

ψ(x) = 
ψ3 (x) , x ∈ M
ψ4 (x)
ディラック表示
ディラック共役
−i
(
ψ(x) = ψ(x)∗ γ 0 = ψ1 (x)∗
ψ2 (x)∗
−ψ3 (x)∗
(53)
−ψ4 (x)∗
)
(54)
QED Lagrangean:
1
¯
/ − mψψ
LQED = − Fµν F µν + iψ¯Dψ
4
/ µ = γ µ (∂µ + ieAµ )
D
(55)
(56)
Spinor fields:
ψ(x) =
¯
ψ(x)
=
∑ˆ
(57)
s
1
d3 p
s ipx
√
(asp usp e−ipx + bs†
)
p vp e
3
(2π)
2ωp
(58)
s
d3 p
1
√
(as†
¯sp eipx + bsp v¯ps e−ipx )
p u
3
(2π)
2ωp
∑ˆ
CAR algebra:
{
} {
}
s′
s′
as†
= bs†
= δss′ (2π)3 δ 3 (⃗
p − ⃗q)
p , aq
p , bq
交換関係:
9
(59)
{ψ(⃗x), ψ † (⃗y )} = δ 3 (⃗x − ⃗y )
¯
{ψ(x), ψ(y)}
= (i∂/x + m)∆(x − y)
(60)
(61)
T {ψ(x)χ(y)} := ψ(x)χ(y)θ(x0 − y0 ) − χ(y)ψ(x)θ(y0 − x0 ) = −T {χ(y)ψ(x)}
(62)
時間順序積:
Spinor:
(√
)
(√
)
p · σξs
p · σηs
√
, vps = √
p·σ
¯ ξs
p·σ
¯ ηs
( )
1
ξ1 = η1 =
0
( )
0
ξ2 = η2 =
1
usp =
(63)
(64)
(65)
2-point function
⟨
⟩
¯
ψ(0)ψ(x)
=
ˆ
i(p
d4 p
/ + m) ipx
e
(2π)4 p2 − m2 + iϵ
10
(66)
2 対称群の表現
gµν = diag(1, −1, −1, −1)
Lorentz group:Λ ∈ M4 (R), ΛT gΛ = g
This implies contractions such as p2 = pµ pµ are Lorentz invariant.
Poincare group:Lorentz group に時空並進 aµ ∈ R4 を加えたもの (a, Λ), inhomogeneous Lorentz group.
Poincare group の変換で理論が不変であることを要請する ⇒Scalar,Spinor,Vector. . . に対応した量子場，
Lagrangean の制約．
2.1 ローレンツ群とポアンカレ群
Full Lorentz group:O(3, 1)
ΛT gΛ = g, Λ ∈ M4 (R).
(67)
det Λ = ±1
0
Λ0 ≥ 1
(68)
This relation implies
(69)
従ってローレンツ群は 4 つの section から構成される．特に I の属する順時間的・固有 section を制限
Lorentz 群 SO+ (1, 3) = L と書く.
時間反転・パリティ変換は別個に考える．
制限 Poincare 群:P = ISO+ (1, 3) = R4 ⋊ SO+ (1, 3)
Poincare transformation:g = (a, Λ)
2.1.1 変換則
scalar field:
vector field:
ϕ′ (x) = ϕ(g −1 x)
(70)
V ′µ (x) = Λµν V ν (g −1 x)
(71)
˜ νµ Wν (g −1 x)
Wµ′ = Λ
˜ = (ΛT )−1
Λ
(72)
1-form:
spinor:
11
(73)
ψ′ = U ψ
¯ −1
ψ¯′ = ψU
U =e
(74)
(75)
−i(θ i Li +β i Ki )
(76)
ただし Li , Ki は Lie 代数の生成子．
2.1.2 被覆群
Lie 代数:
so(3, 1) = su(2) su(2)
(77)
制限 Lorentz 群 SO+ (1, 3) = L の普遍被覆 SO+ (1, 3) = Spin+ (1, 3) = SL(2, C):
(
V µ 7→ Vˆ =
V0+V3
V 1 + iV 2
V 1 − iV 2
V0−V3
)
= V µ σµ ∈ GL(2, C)
(78)
V µ Vµ = det Vˆ
(79)
Vˆ →
7 Vˆ ′ = αVˆ α∗ , α ∈ SL(2, C)
Vˆ′ →
7 V ′µ = Λµν V ν
(80)
ローレンツ変換は次の α に対応．
(81)
V 2 = det Vˆ = det Vˆ′ = V ′2 だから α ∈ SL(2, C) は Lorentz 変換 Λ に対応している:Λ(α)
α 7→ Λ(α) は 1 対 1 対応ではない．明らかに −α は同じ変換を引き起こす：Λ(−α) = Λ(α)
To compute,
Vµ =
1 ˆ
1
TrV σµ , Λµν = Tr(ασν α∗ σµ )
2
2
(82)
Obviously α and −α give the same Λ, so that as α runs through all SL(2, C) the corresponding Λ(α)
runs twice thorough L.
L は単連結でない．SL(2, C) は単連結 i.e. 二重被覆 L．
表現空間 C2 は left-handed Weyl spinors. ( 12 , 0)
複素共役行列 α の表現に対応するのは right-handed Weyl spinors.(0, 21 )
これらを組み合わせて Dirac spinors.( 21 , 0) (0, 12 )
contragredient: β = (aT )−1
ベクトル表現:Vαβ¯ .
Poincare group の普遍被覆
P ∋ (a, α), α ∈ SL(2, C)
.
12
(83)
2.2 Wigner’s theorem
“states” “observables” の双対性
ベクトルは ray H/C∗ で考える．
a source:Ψ
a detector:Φ
probability
P = ⟨Φ|Ψ⟩
(84)
Poincare transformation g ∈ P により source と dtector は変化を受ける．対称性 ⇔P の不変性．
P ′ = ⟨Tg Φ|Tg Ψ⟩
(85)
物理的要請：P = P ′ であるべし．Poincare 群の表現だから Tg Tg′ = Tgg′ .
Wigner の定理
Hilbert 空間上で Poincare 群 P はユニタリ作用素または反ユニタリ作用素として射影表現される．
U aΨ = aU Ψ
(86)
U aΨ = a
¯U Ψ
(87)
1
連続群は U 2 が存在するため必ずユニタリ作用素．典型的には時間反転は反ユニタリ．普遍被覆 P は通常
の表現．
証明は末尾，[Wigner 1959].
2.3 P の表現
P = R4 ⋊ SL(2, C) をヒルベルト空間上に表現する．
Stone の定理:自己共役作用素に対応する強連続 1 径数ユニタリ作用素が存在する．
並進群に対応した作用素 U (a), aµ ∈ M4 :
µ
U (aµ ) = eiPµ a
Pµ は無限小生成子，自己共役作用素，可換．
spectral valuesσ(P ) are subset of a 4-dimentional space (p-space). H を分解．
ˆ
H=
Hp dµ(p)
ˆ
⟨Φ|Ψ⟩ =
⟨Φp |Ψp ⟩ dµ(p)
dµ is some positive measure in p-space Hp .
13
(88)
Poincare 群の multiplication law:
U (α)−1 P µ U (α) = Λµν (α)P ν , P µ := g µν Pν
(89)
U (α) : Hp → Hp′ , p′ = Λ(α)p, α ∈ L
(90)
O(p) = {Λ(α)p ∈ R4 |α ∈ L}
(91)
then,
Orbit of p:
Hp は L¯ の不変部分空間．
Therefore in an irreducible representation the P -specttum has to be concentrated on a single orbit.
P の既約表現は任意の作用素と可換な Casimir operator P 2 のスペクトルで添字付けられる. ．
分類のパラメータ m ∈ R:
p2
class
2
2
p0
orbit
p >0
forward cone
0
m+
p =m
0+
p2 = 0
p0 ≥ 0
surface
00
p2 = 0
p0 = 0
point
0
p ≤0
surface
0
backward cone
2
0−
p =0
m+
2
p =m
2
p <0
κ
p = −κ
p2 = (p0 )2 − p⃗2 .
2
2
space-like
about class m+ :
dµ = δ(p2 − m2 )Θ(p0 )d4 p
√
d3 p
, εp⃗ := p0 = p⃗2 + m2
=
2εp⃗
(92)
(93)
pick a point p¯ on the orbit and choose for every p on the orbit an element β(p) ∈ L so that
Λ(β(p))¯
p=p
(94)
For m+ ,¯
p = (m, 0, 0, 0) is an usual choice.
In particular, L = SL(2, C) に対して β(p) を求めることが出来る．
p¯ˆ = m1
pˆ = p0 1 + p⃗⃗σ
pˆ is Hermitian, and positive:
14
(95)
(96)
λ = p0 ±
√
(p0 )2 − m2 ≥ 0
1
So pˆ 2 is defined, and
1 1
β(p) := √ pˆ 2
m
(97)
β(p)pˆ¯β ∗ (p) = pˆ.
(98)
satisfies
We can useU (β(p))to identify the degeneracy spaces Hp with Hp¯ so that the degeneracy spaces can
all be considered as sample of one “little Hilbert space” h.
H = h HC , HC = (L2 (R3 ), µ).
(99)
HC は質量 m を決定したときの並進自由度に対応．h は回転自由度．それぞれ p, k で添字付ける．
|p; k⟩ = U (β(p)) |¯
p; k⟩
(100)
α = β(p′ )γ(α, p)β −1 (p), p′ = Λ(α)p
(101)
decompositon ofα ∈ L for any p
Λ(γ) leaves p¯ invariant.
For p¯ = (m, 0, 0, 0), the little group is SU(2), the covering group of SO(3).
P の既約表現は SU(2) inh の (2s + 1) 次元表現 Ds , s ∈ N1/2 で表す．
after all，
U (a) |p; k⟩ = eipa |p; k⟩
∑
s
U (α) |p; k⟩ =
Dlk
(γ(α, p)) |p′ ; l⟩
(102)
(103)
l
表現はパラメータ (m, s) で決定される．
The irreducible representation of P of class (m+ , s) yield the quantum theory of a single particle with
rest math m and spin s alone in the world.
運動量表示：
⟨Ψ′ |Ψ⟩ =
∑ˆ
k
3
d p
ψ¯k′ (⃗
p)ψk (⃗
p)
2εp⃗
(104)
位置表示：
ψk (x) =
1
(2π)3/2
ˆ
この関数が作用素になる ⇒ 第二量子化
15
ψk (⃗
p)e−ipx dµ(p)
(105)
3 公理的場の理論
3.1 G˚
arding–Wightman axioms
場の理論を公理論的・数学的に設計する最初の試みを紹介する．(1952)
QFT の essential parts を抜き出して公理化する．
場の量子論とは，以下の条件を満たす 4 つ組 (H, {Φi }, Ω, U ) である．（可分ヒルベルト空間）
A. 空間
A.1 時空対称群はポアンカレ群の被覆群 P = R4 ⋊ SL(2, C) であり，ヒルベルト空間 H 上のユニタリ作用
素として表現される．
A.2 ポアンカレ変換 U (g), g ∈ P で不変な射線 |Ω⟩ ∈ H が唯一つ存在する：U (P) |Ω⟩ = |Ω⟩．（真空ベクト
ルの存在と一意性）
A.3 エネルギー・運動量作用素 P µ のスペクトルは閉凸錐 forward cone に含まれる:p2 ≥ 0, p0 ≥ 0. （理論
の安定性）
B. 量子場
B.1 量子場は M4 上の作用素値超関数で与えられる．すなわち，シュワルツ空間 S の元 f に対応して H 上
の閉作用素 Φ(f ) が定まる．
ϕ(x) is a sesquilinear form on a dense domain D ⊂ H;This means that⟨Ψ1 |ϕ(x)|Ψ2 ⟩ is a finite number
and is depends linearly on |Ψ2 ⟩ ∈ D.
ϕ(x) 自体は作用素にならない．
場の作用素は量子場 ϕ(x) を試験関数 f (x) で “smear out” して定義される．
operator valued distribution:
ˆ
Φ(f ) =
ϕ(x)f (x)d4 x
(106)
Φ(f ) defined on some dense domain D ⊂ H.
試験関数の空間は通常シュワルツ空間 S が用いられる．
S(Rn ) = {f ∈ C ∞ (Rn )| ∥f ∥α,β < ∞, ∀α, β}
∥f ∥
= sup xα Dβ f (x)
α,β
(107)
(108)
x∈Rn
急減少関数の例：ガウス関数 e−a|x| ，コンパクトな台を持つ滑らかな関数．
2
注意：シュワルツ空間はシュワルツ超関数の定義に用いる試験関数より広い（台のコンパクト性を要求しな
い）．シュワルツ空間は距離付可能である．
試験関数として S を取るとき緩増加超関数 tempered distribution という．
16
量子場が scalar や vector, spinor などを種類 i を含み，component が λ := λi 種類あるときはその全てに
ついて平均化する．
Φ(f ) =
∑ˆ
ϕiλ (x)f iλ (x)d4 x
(109)
i
また次の w : S → C は緩増加超関数 i.e. 連続線形汎関数である．
w(f ) = ⟨Ψ1 |Φ(f )|Ψ2 ⟩ , Ψi ∈ D
B.2 The domain D は真空を含み，U (a, α) や Φ(f ), Φ∗ (f ) の作用について閉じている．
C. 共役場
量子場 ϕ(x) は D 上で定義された Hermitian conjugate fieldsϕ∗ (x) を持ち，次式で定義される．
⟨Ψ1 |ϕ∗ (x)|Ψ2 ⟩ = ⟨Ψ2 |ϕ(x)|Ψ1 ⟩
(110)
D. 変換性
ϕ(x) は P ∋ (a, α) の下で次のように変換する．
U (a, α)ϕiλ (x)U (a, α)−1 = Mλ
(i)ρ
(α−1 )ϕiρ (Λ(α)x + a)
(111)
ただし M (i) (α) は場の種類に対応した α ∈ L の有限次元表現である．
量子場の形式で書くと，D 上で次のように変換する．
U (a, α)Φiλ (f (x))U (a, α)−1 = Mλ
(i)ρ
(α−1 )Φiρ (f (Λ(α−1 )x − a))
(112)
E. 因果律
量子場はフェルミオンとボソンに対応して次の交換関係を満たす．if the supports of the test functions f
and h are space-like to each other, then either
[Φi (f ), Φj (h)] = 0
(113)
{Φi (f ), Φj (h)} = 0
(114)
必然的に台がコンパクトなときのみ成り立つ．
F. 完全性
H に作用する任意の作用素を Φ(f ) の多項式 linear combinations of products で近似できる．
D contains no subspace which is invariant under all Φ(f ) and whose closure is a proper subspace of H.
すべての Φ(f ) で不変部分空間になり，閉包が真部分空間であるようなものを D は含まない．
17
G.Time-slice
量子場の dynamics を計算できるような任意の時刻のある微小時間幅 Ot,ε の法則がある．
A-G は rigid axioms ではない，as working hypotheses.
Wightman 関数
中性スカラー場（実スカラー場）について考える
wn (f1 , . . . , fn ) = ⟨Ω|ϕ(f1 ) · · · ϕ(fn )|Ω⟩
wn (x1 , . . . , xn ) = ⟨Ω|ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn )|Ω⟩
(115)
(116)
wn は緩増加超関数．
特に次の性質を満たす．
クラスター分解性:a ̸= 0 に対して
lim wn (x1 , . . . , xi , xi+1 + λa, . . . , xn + λa) = wn (x1 , . . . , xi )wn (xj+1 , . . . , xn )
λ→∞
逆に wightman 関数といくつかの公理系から GW 公理系を再構成できる（再構成定理）
．GNS 表現を使う．
x0 = t を Wick 回転したもの it は Schwinger 関数と呼ばれてユークリッド空間での議論になる．構成的場
の理論で重要．ν = 4 + ϵ で tirivial なモデルしか作れない証明がある．(1981)
3.2 CPT theorem, Spin-statistics theorem
Heuristic な証明を与える．先に場の定義を述べる．
定義 3.1. ϕ(x) is called a Bose field if
[ϕ(x), ϕ∗ (y)] = 0 for (x − y)2 < 0
(117)
{ϕ(x), ϕ∗ (y)} = 0 for (x − y)2 < 0.
(118)
ϕ(x) = U (x)ϕ(0)U −1 (x)
(119)
wn (x1 , . . . , xn ) = ⟨Ω|ϕ(0)e−iP (x1 −x2 ) ϕ(0)e−iP (x2 −x3 ) · · · ϕ(0)|Ω⟩
(120)
and it is called a Fermi field if
量子場を並進作用素に分解する．
=: W (ξ1 , . . . , ξn−1 ), ξi = xi − xi+1
n
これを Fourier 変換:
18
(121)
˜ n (q1 , . . . , qn−1 ) =
W
ˆ
1
W n (ξ1 , . . . , ξn−1 )
(2π)4(n−1)
n−1
∏
eiξk qk d4 ξk
(122)
k=1
= ⟨Ω|ϕ(0)δ 4 (P − q1 )ϕ(0)δ 4 (P − q2 ) · · · δ 4 (P − qn−1 )ϕ(0)|Ω⟩
(123)
W n , W˜n は緩増加超関数である．qk が P と異なる（特に forward cone 外）ときは必ずゼロになる．
元に戻せば次のようになる．
ˆ
˜ n (q1 , . . . , qn−1 )
W
W n (ξ1 , . . . , ξn−1 ) =
n−1
∏
e−iξk qk d4 qk
(124)
e−iξk qk e−ηk qk d4 qk
(125)
k=1
変数を解析接続 ξ 7→ z = ξ − iη:
ˆ
˜ n (q1 , . . . , qn−1 )
W
W n (z1 , . . . , zn−1 ) =
n−1
∏
k=1
˜ is a tempered
If allηk are taken as positive time-like vecctors, the integral canverges becauseW
distribution.(zk derivatives OK)
W n (z1 , . . . , zn−1 ) は z の虚部係数（の-1 倍）が V + に入るとき解析関数．
primetive domain:
T n : −ℑzk ∈ V + for all k
複素 Lorentz 群を考えるとさらに解析的なドメインを広げることが出来る:
単位元と connect された Λ, i.e.,
ΛT gΛ = g, det Λ = 1
(126)
を満たす複素 4 次行列 Λ が primetive domain に作用して作られる zk′ = Λzk は正則 holomorphy である．
特に時空反転 P T を含む．
Λ = diag(−1, −1, −1, −1)
(127)
′
解析接続されて広がった extended tubeT n は新しい real points を含む:Jost points.
ηk = 0 で，すべての凸結合が space-like であるような zk = ξk .
{
}
∑
z|ηk = 0, ξk2 < 0; (
λk ξk )2 < 0, λk convex combination
(128)
zk は元の xk の順番に依存するため，解析的な領域も元々の順番に依る．
因果の局所性より，extended tube において隣り合う量子場の番号 xk は（反）交換する．
xk の順番を置換した wn も Wightman 関数であるが，これと元の wn は Jost point のある開近傍で値が一
致することが分かっている ⇒ 解析接続できる！
wn の正則領域は permutation extended tube にまで広がる．
19
時空反転における量子場の変換性．
複素ベクトル V µ に対しても次式が成り立つと考える．
(
Vˆ =
V0+V3
V 1 + iV 2
)
V 1 − iV 2
, V µ ∈ C4
V0−V3
(129)
複素 Lorentz 群の変換性は次のように拡張される．α と β は independent.
Vˆ ′ = αVˆ α
¯T
−→ Vˆ ′ = αVˆ β T , α, β ∈ SL(2, C)
(130)
(131)
Complex Lorentz groupSL(2, C) × SL(2, C) ∋ (α, β).
α 表現に対応した Spinor は左巻き Weyl スピノル，α
¯ 表現に対応した Spinor は右巻き Weyl スピノル．
複素 Lorentz 群に対して左巻きは α で変換，右巻きは β instead of α
¯ で変換する．
時空反転 P T を表す元として (α, β) = (1, −1) を取ることが出来る．
After all, 時空反転で left-handed spinor は不変，right-handed spinor は −1 倍される:
wn (z1 , . . . , zn ) = (−1)M wn (−z1 , . . . , −zn )
M =
∑n
k=1
(132)
mk は fieldsϕk に含まれる右巻き成分の総数．任意の covariant fields は spinor で構成される
ことに注意．
permutation で一致することから，結局次式が成り立つ．
wn (z1 , . . . , zn ) = (−1)P (−1)M wn (−zn , . . . , −z1 )
(133)
P は反交換関係の因子．
相異なる場の交換関係について，2 つのフェルミ場は反交換 anticommute，それ以外は交換 commute と規
約する：Normal Commutation Relations.
P =
1
F (F − 1)
2
(134)
F はフェルミ場の数．F が奇数ならば wn = 0 となるから F は偶数として考える．
(−1)P = (−1)F/2 = iF = (−i)F
(135)
∴ wn (z1 , . . . , zn ) = iF (−1)M wn (−z1 , . . . , −zn )
(136)
3.2.1 スピン統計定理
定理 3.1. Spin-Statistics theorem
ボース場は整数スピン粒子を，フェルミ場は半整数スピン粒子を表現する．
20
zk を primitve tube に戻して，特に ϕ(x), ϕ∗ (y) の Wightman 関数を考える．
w2 (x, y) = ⟨Ω|ϕ(x)ϕ∗ (y)|Ω⟩ = (−1)P +M ⟨Ω|ϕ∗ (−y)ϕ(−x)|Ω⟩
(137)
試験関数 f (x)f (y) を与えると，
2
2
∥Φ∗ (f ) |Ω⟩∥ = (−1)P +M Φ(fˆ) |Ω⟩ , fˆ = f (−x)
(138)
Φ ̸= 0 ならば Φ |Ω⟩ ̸= 0 という定理がある．従って P + M は偶然でなければならない．
∴ P + M ∈ 2Z
(139)
上の状況でボース場に対しては P = 0, フェルミ場に対しては P = 1 である．
M は ϕ, ϕ∗ の左巻き成分の和 i.e. ϕ が含む spinor の総数であるからスピンの整数・半整数と対応する．
3.2.2 CPT 定理
定理 3.2. 次の性質を満たす反ユニタリ作用素 Θ が存在する．
a)
Θϕ(x)Θ−1 = ϕC (x) := (−1)m (−i)f ϕ∗ (−x)
Θ |Ω⟩ = |Ω⟩
{
0 for Bose field
f =
1 for Fermi field
(140)
(141)
ΘU (a, α) = U (−a, α)Θ
(143)
(142)
m は右巻きスピノルの数．
b)
c)
{
+1
Θ2 =
−1
for integer spin states
for half integer spin states
(144)
d)Θ は粒子を反粒子に変える．i.e. スピノルの右巻きを左巻きに −1 倍で反転．
Θ |pλi⟩ = (−1)m |pλ˙ ¯i⟩
(145)
e) 散乱理論で飛び去る粒子を飛び入る反粒子に変える．
out
Θ |φ1 , . . . , φn ⟩
in
C
= |φC
1 , . . . , φn ⟩
(146)
C
φ = Θφ
(147)
S 行列:
out
in
⟨ϕ1 , . . . , ϕm |φ1 , . . . , φn ⟩
in
C C
C
= out ⟨φC
1 , . . . , φn |ϕ1 , . . . , ϕm ⟩
ΘS = S
21
−1
Θ
(148)
(149)
CPT-operator を次式で定義する．
¯
ΘΦ1 (f1 ) · · · Φn (fn ) |Ω⟩ = ΦC
(f¯ ) · · · ΦC
n (fn ) |Ω⟩
ˆ1 1
ΦC (f ) = ϕC (x)f (x)dx
(150)
(151)
Wightman 関数の解析結果を変形して，
wn (z1 , . . . , zn ) = iF (−1)M wn (−z1 , . . . , −zn )
⟨Ω|ϕ1 (x1 ) · · · ϕn (xn )|Ω⟩ = ⟨Ω|(−1)
mn
(152)
(−1) ϕn (−xn ) · · · (−1)
fn
m1
f1
(−1) ϕ1 (−x1 )|Ω⟩
C∗
= ⟨Ω|ϕC∗
n (xn ) · · · ϕ1 (x1 )|Ω⟩
(153)
(154)
であるから，これは antiunitary operator.
⟨ΘΨ2 |ΘΨ1 ⟩ = ⟨Ψ1 |Ψ2 ⟩
(155)
これは a) の性質を満たす．散乱理論はこれの言い換え．
ユニタリ作用素であるから Θ−1 = Θ† に気をつければ ΘU (a)Θ−1 = U (−a) は直接確かめられる．
Θϕ(x) = ϕC (x)Θ から Θ2 = ±1 も分かる．
3.3 Reeh and Schlieder の定理
定理 3.3. Reeh and Schlieder theorem
The set of vectors A(O) |Ω⟩, generated from the vacuum by the polynomial algebra of any open region,
is dense in H.
Proof. edge and wedge theorem を用いる．
F (x1 , . . . , xn ) = ⟨Ψ|ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn )|Ω⟩
(156)
Ψ ∈ (A(O) |Ω⟩)⊥ とする．xi ∈ O である限り F = 0 である．edge and wedge theorem により M4 全体で
F = 0 となる．従って Ψ = 0．
3.4 Haag の定理
ある固定した時刻に自由場 ϕ1 とユニタリ変換で結ばれる別の場 ϕ2 は，やはり自由場になる．
無限自由度系では相互作用 g のある場と無い場では表現空間は異なる，真空 Ω0 ̸= Ωg
相互作用表示はヒルベルト空間上のユニタリ同値な表現であるから使えない．
22
4 付録
4.1 シュワルツ超関数
Rn の開集合 U 上の滑らかな複素数値連続関数の全体 C ∞ (U ) を考える．
C ∞ (U ) のうち，コンパクトな台を持つものを試験関数 test function といいその集合を D(U ) で表す．
試験関数の例：
{
exp( x21−1 )
f (x) =
0
|x| < 1
|x| ≥ 1
(157)
ガウス関数はコンパクト台を持たないので試験関数ではない．
D(U ) には距離付け不可能な帰納極限の位相が入って，位相線形空間になる．
次を満たすとき {fn }n∈N はゼロに収束するという．
(1) {fn }n∈N の台はあるコンパクト集合 K に含まれている．
(2)
lim sup |Dα fn (x)| = 0
n→∞ x∈K
(158)
D(U ) 上の連続線形汎関数の空間，すなわち双対空間 D∗ (U ) の元を超関数という．
超関数の例：デルタ関数
δ : f 7→ f (0)
(159)
通常の可積分関数 ϕ は次の定義で超関数 Φ ∈ D ∗ と見做す．
ˆ
Φ(f ) =
f (x)ϕ(x)dx, f ∈ D
(160)
超関数の積は一般に定義されない．
超関数の微分は次で定義される．
Ψ′ (f ) = −Ψ(f ′ ), Ψ ∈ D∗ , f ∈ D
(161)
定理:U = R, 試験関数の空間 D は Lp (R) で稠密である．(1 ≤ p < ∞)
4.2 Wigner’s unitarity-antiunitarity theorem
Suppose
⟨Tg Ψ|Tg Φ⟩ = ⟨Ψ|Φ⟩ , Ψ, Φ ∈ H/eiα
and Tg has inverse, Tg 0 = 0, then Tg is unitary or antiunitary operator on H as to phase factor.
Proof:
23
(162)
Tg = T と書く．
確率の保存
2
2
|⟨T ψ, T ϕ⟩| = |⟨ψ, ϕ⟩|
(163)
が任意のベクトルで成り立つ．
Hilbert 空間を可分とし，C.O.N.S を {ϕn }n∈N とする．
C.O.N.S. の変換性を考える．
{T ϕn } は C.O.N.S. である．実際，
2
2
|⟨T ϕn , T ϕm ⟩| = |⟨ϕn , ϕm ⟩| = δmn
(164)
⟨T ϕn , T ϕm ⟩ = δmn
(165)
⟨T ϕn , ψ⟩ = 0, n ∈ N
(166)
⟨
⟩
0 = ϕn , T −1 ψ , n ∈ N
(167)
ノルムは実数だから，
となり正規直交系．完全であることは，
と仮定すると
従って T −1 ψ = 0 であるが，仮定より ψ = 0．
位相を適切に選べば，
1
1
U √ (ϕk + ϕ1 ) = U Γk = √ (U ϕk + U ϕ1 )
2
2
(168)
と出来る．
ψ=
∑
Ck ϕk
(169)
Ck′ U ϕk
(170)
Ck′ /C1
(Ck′ /C1 )∗
(171)
k
Uψ =
∑
k
と展開したとき，
{
Ck /C1 =
のいずれか一方がすべての k について成り立つ．上がユニタリ作用素，下が反ユニタリ作用素．
[ワインバーグ 1 巻第 2 章付録 A]
公理的場の理論
24
4.3 CCR representation と既約性の問題
[ak , a†k ] = 1, k = 1, 2, . . .
(172)
QFT は k が連続無限大になって右辺に超関数が現れる．
それぞれの自由度に CCR 代数がある（粒子数 |nk ⟩）ので，第 k 自由度の粒子数が何個か，という観点から
Fock 空間 HF の固有状態をタグ付け:
(n) = n1 , n2 , . . .
(173)
Hilbert 空間のベクトルとしての条件:finite norm
∑
nk < ∞
(174)
k
Let Ψ(n) denote the normalized state voctor corresponding to the occupation number distribution (n).
生成消滅演算子の作用:
ak Ψ(n) =
√
√
nk Ψ(n−δk ) , a†k Ψ(n) = nk + 1Ψ(n+δk ) ,
(175)
有限自由度 CCR 代数:
Stone-von Neumann の定理；既約表現はユニタリ同値．⇒ シュレディンガー表示とハイゼンベルク表示は
等価！
無限自由度系では成り立たない：
有限個の座標だけが異なる (n)1 と (n)2 を同じ class に分類する．
a∗k は 1 個の座標を ±1 するだけ．
⇒ ある Ψ(n) の属する class は CCR 代数の既約表現を与えている. それぞれが非ユニタリ同値表現．？
4.4 作用素値汎関数
定義 4.1. P(H) を H 上の正射影作用素の全体とし，Bd を Rd 上のボレル集合体とする．ヒルベルト空間上
の d 次元スペクトル測度または単位の分解とは，ボレル集合体から正射影作用素への写像 E : Bd → P(H) の
族 {E(B)|B ∈ Bd } で次の条件を満たすものをいう．
(i) E(∅) = 0, E(Rd ) = I
(ii) E(B1 )E(B2 ) = E(B1 ∩ B2 ), B1 , B2 ∈ Bd
(iii) B = ∪∞
n=1 Bn かつ Bn ∩ Bm = ∅, m ̸= n ならば s − limN →∞
*1
射影作用素については強収束 ⇔ 弱収束．
25
∑N
n=1
E(Bn ) = E(B)*1
この定義から，Rd を互いに交わらないボレル集合で分割すると
E(Rd ) = I = w − limN →∞
N
∑
E(Bn ), E(Bn )E(Bm ) = 0 i ̸= j
(176)
n=1
となり，恒等作用素を互いに直交する正射影作用素の級数で書けることが分かる．これが単位の分解の
所以である．また (ii) から E(B) は可換な正射影作用素である．なお，測度の場合と同様に加法性から
E(Rd ) = E(B + Rd \B) = E(B) + E(Rd \B) が成り立つ．
例 4.1. B ∈ Bd の定義関数を χB (x) と置き，L2 (Rd ) 上の正射影作用素を E(B)f = χB (x)f (x) と置けば，
これはスペクトル測度である．
スペクトル測度はボレル集合に正射影作用素を与える測度である．これと通常の測度との関係は次のように
なる．
補題 4.1. H 上のスペクトル測度を E と書く．写像 µϕ : Bd → R≥0 を次のように定義すると，これは可測空
2
間 (Rd , Bd ) 上の有界な測度であり，µϕ (Rd ) = ∥ϕ∥ である．
µϕ (B) = ⟨ϕ, E(B)ϕ⟩ , ϕ ∈ H, B ∈ Bd
(177)
2
Proof. µϕ が半正定値であることは ⟨ϕ, E(B)ϕ⟩ = ∥E(B)ϕ∥
⟩ σ−∑加法性についてはスペク
⟨ ≥∑0 から分かる．
∞
N
トル測度の定義から µϕ (B) = ⟨ϕ, E(B)ϕ⟩ = w − limN →∞ ϕ, n=1 E(Bn )ϕ = n=1 µϕ (Bn ) が成り立つ
2
（脚注参照）
．µϕ (∅) = 0, µϕ (Rd ) = ∥ϕ∥ は定義 (i) から直ちに従う．
ヒルベルト空間にスペクトル測度が与えられると，ベクトルで添字付けられた測度の族 µϕ を構成出来る．こ
の測度を利用して，通常の Rd 上ボレル可測関数 f : Rd → C の積分を
´
Rd
f (λ)dµϕ (λ) =
´
Rd
f (λ)d(ϕ, E(λ)ϕ)
と形式的に書くことにする．また複素測度 µψ,ϕ (B) = ⟨ψ, E(B)ϕ⟩ を定義し，これの積分についても同様の記
法を用いる．
さて，QFT の数学的定式化には作用素値超関数が現れる．その原型として作用素値汎関数を導入しよう．
定義 4.2. ヒルベルト空間 H のスペクトル測度を E とする．H の部分集合 Df として Rd 上ボレル可測関数
f を自乗可積分にするベクトルの集合を考える：
ˆ
Df = {ϕ ∈ H|
2
Rd
|f (λ)| dµϕ (λ) < ∞}
(178)
補題 4.2. Df ⊂ H について次が成り立つ．
(i) Df は部分空間
(ii) B ∞ = {λ ∈ Rd | |f (λ)| = ∞} とする，E(B ∞ ) = 0 ならば Df は H の稠密部分空間
(iii) f が有界ならば Df = H
2
2
2
Proof. (i) 内積ノルムに対して成り立つ不等式 ∥a + b∥ ≤ 2 ∥a∥ + 2 ∥b∥ に注意すれば µψ+ϕ ≤ 2µψ + 2µϕ
は容易に分かる．また定義から µαψ = |α|2 µψ , α ∈ C であるから Df は部分空間になっている．
(ii) 特に E(B ∞ ) = 0 ならば稠密であることを示そう．今，Bn = {λ ∈ Rd |n − 1 ≤ |f (x)| ≤ n} と置くと f
はボレル可測関数であるから Bn ∈ Bd であり，Rd \B ∞ = ∪∞
n=1 Bn , Bn ∩ Bm = ∅(n ̸= m) が成り立つ．ゆえ
26
にスペクトル測度の定義から E(Rd \B ∞ ) = s − limN→∞
∑N
n=1
E(Bn ) が成り立つ．
稠密性を言うには，任意のベクトル ψ ∈ H に対してそれに収束する Df の点列があればよい．そこで ψn =
E(Bn )ψ と置いて
∑N
n=1
ψn の極限を調べよう．まず ψn が Df に含まれることについては，正射影作用素の
性質とスペクトル測度の定義から，µψn (B) = ⟨E(Bn )ψ, E(B)E(Bn )ψ⟩ = ⟨ψ, E(B ∩ Bn )ψ⟩ = µψ (B ∩ Bn )
である事を用いて，
ˆ
ˆ
2
Rd
2
|f (λ)| dµψn (λ) =
|f (λ)| dµψ (λ) ≤ n2 µψ (Bn ) < ∞
(179)
Bn
から分かる．さらに今 E(B ∞ ) = 0 であるから，E(Rd \B ∞ ) = E(Rd ) − E(B ∞ ) = I である．以上の事
から
ψ = Iψ = E(Rd \B ∞ )ψ = s − limN →∞
N
∑
E(Bn )ψ = s − limN →∞
n=1
N
∑
ψn
(180)
n=1
となる，よって Df は稠密である．
(iii)f が有界ならば ∥f ∥∞ = supλ∈Rd |f (λ)| < ∞ であるから，すべての ϕ ∈ H について
ˆ
2
2
2
2
|f (λ)| dµϕ (λ) ≤ ∥f ∥∞ µϕ (Rd ) = ∥f ∥∞ ∥ϕ∥ < ∞
(181)
Rd
である．従って Df = H.
作用素値汎関数の一例として次の定理が重要である．
定理 4.1. ヒルベルト空間 H のスペクトル測度を E とする．任意の Rd 上のボレル可測関数 f : Rd → C に
対して，次を満たす Df で定義された H 上の線形作用素 Af が一意的に存在する．
ˆ
⟨ψ, Af ϕ⟩ =
Rd
f (λ)d(ψ, E(λ)ϕ), ψ ∈ H, ϕ ∈ Df
(182)
補題 4.3. A の性質
(i)|f (λ)| ≡ 1 ならば A はユニタリ作用素．
(ii) f が実数値で E({λ| |f (λ)| = ∞}) = 0 ならば Af は自己共役作用素である．従って f が Rd 上の実数
値連続関数ならば Af は自己共役作用素である．
定理 4.2. （スペクトル定理）
C 上ヒルベルト空間 H の任意の自己共役作用素 A に対して次を満たす 1 次元スペクトル測度が一意的に存
在する．
ˆ
A=
λdE(λ)
R
系 4.1. 自己共役正作用素 A に対して A = B ∗ B = B 2 となる自己共役正作用素 B が存在する．
27
(183)
参考文献
[1] 荒木不二洋，『量子場の数理』，岩波書店
[2] 新井朝雄，『ヒルベルト空間と量子力学』，共立出版
[3] R.Haag, “Local Quantum Physics; Fields, Particles, Algebras”, Springer-Verlag
[4] R.F.Streater, A.S.Wightman, “PCT, Spin&Statistics, and all that”
[5] Matthew D.Schwartz “Quantum Field Theory and Standard Model”
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