章末問題

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章末問題
1. 図 1 に示す過程の振幅はどうなるか？
A′ , p4
A, p3
B, q
A′ , p2
A, p1
図1
問 1 のファイマンダイアグラム．
2. 図 2 に示す崩壊の寿命を求めよ．
B, p2
C, p3
g
A, p1
図2
問 1 のファイマンダイアグラム．
3. ある内線は質量 m のスピン 0 ボゾンに対応する．このときプロパ
ゲーターは
̸q + m
である．
q 2 − m2
i
（b） 2
である．
q − m2
i
（c）
である．
̸q − m
（d）δ(q 2 − m2 ) である．
（a）i
2
4. 相互作用描像では，
（a）状態の時間発展は自由ハミルトニアンに支配される．
（b）状態は一定で，演算子はラグランジアンの相互作用項に従って発
展する．
（c）状態はハミルトニアンの相互作用項に従って発展し，場はハミル
トニアンの自由項に従って発展する．
（d）状態はハイゼンベルクの運動方程式に従う．
5. ファイマンダイアグラムの各頂点に対して，
（a）結合定数からなる一つの因子 −ig を付け加える必要がある．
（b）結合定数からなる一つの因子 −g を付け加える必要がある．
（c）結合定数からなる一つの因子 −ig 2 を付け加える必要がある．
√
（d）結合定数からなる一つの因子 −i g を付け加える必要がある．
6. 量子電磁力学に関する結合定数はいかなる値か？
解答
問1
このファイマンダイアグラムには頂点が 2 つあるので次の手順に従う．
1. 頂点：(−ig)2 = −g 2
2. 運動量：左の頂点：(2π)4 δ(p1 −p3 −q)，右の頂点：(2π)4 δ(p2 +q −p4 )
i
3. 内線のプロパゲーター： 2
q − m2B
これより求める積分は
∫
−g 2
=−i
q2
i
d4 q
(2π)4 δ(p1 − p3 − q)(2π)4 δ(p2 + q − p4 )
2
− mB
(2π)4
g2
(2π)4 δ(p1 − p3 + p2 − p4 )
(p4 − p2 )2 − m2B
3
となるが，ここで振幅を求めるには，この結果からエネルギー運動量保存則
p1 + p2 − p3 − p4 = 0 を指定するデルタ関数 (2π)4 δ(p1 − p3 + p2 − p4 ) を
切り捨てて，
M = −i
g2
(p2 − p4 )2 − m2B
· · · 解答
を得る．
問2
1. 頂点：−ig
2. 運動量：(2π)4 δ(p1 − p2 − p3 )
3. 内線：なし
以上より，
−ig(2π)4 δ(p1 − p2 − p3 )
となるが，振幅はエネルギー運動量保存則を制約するデルタ関数 (2π)4 δ(p1 −
p2 − p3 ) を切り捨てて，
M = −ig
となる．これより崩壊の寿命は
τ∝
1
1
= 2
2
|M |
g
となる．
問3
質量 m のスピン 0 ボゾンに対応するプロパゲーターは
· · · (b)
q2
i
．解答
− m2
4
問4
解答 · · · (c)
問5
解答 · · · (a)
問6
解答 α = 1/137

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