数学－解答例（PDF：461KB）

受験番号
平成 27 年度大阪府・大阪市・堺市・豊能地区公立学校教員採用選考テスト
中学校数学解答用紙
1
（6 枚のうち 1）
得
点
y  m x  6 のグラフは， 0, 6 を通り， m  0 により，右下がりである。
また， a について， x の変域が 2 ≦ x ≦ 2 であるとき y  ax2 と y  m x  6 のそれ
ぞれの y の変域が一致するためには， a  0 でなくてはならない。
このことから，これら 2 つの関数の最小値が 0 であることがわかる。y  m x  6 は，
x  2 のとき最小値 0 をとる。ゆえに， 0  2m  6 より
m  3
(1)
を得る。このとき， y  m x  6 は y  3x  6 である。
y  3x  6 は， x  2 のとき最大値をとり，その値は，
y  3   2  6  12
となる。したがって， y  ax2 に x  2 ， y  12 を代入して，
a3
を得る。
ゆえに，
a  3, m  3
放物線 y  x 2 と直線 y  x  6 の共有点の x 座標は， x 2  x  6 より，
x  2, 3
である。 x 座標が負である点が A であるから，A  2, 4 ，B 3, 9 である。A
を通って傾きが 3 である直線は， y  4  3x  2 より，
y  3x  2
である。
(2)
①
C は y  x 2 と y  3x  2 の共有点であるから， C の x 座標として，
x 2  3x  2 を解いて， x  1,  2 を得る。しかし，C は A でないから，C の
x 座標は x  1 である。
よって，
C  1, 1
である。
受験番号
平成 27 年度大阪府・大阪市・堺市・豊能地区公立学校教員採用選考テスト
中学校数学解答用紙
1
（6 枚のうち 2）
（続き）
直線 y   x  6k を  と表し， と AB, BC との交点をそれぞれ D，E とする。
このとき，△DBE の面積と△ABC の面積について，
△DBE 
BD BE

△ABC
BA BC
…（ア）
が成り立つ。直線  が△ABC の面積を 2 等分するとき，
1
△DBE  △ABC
2
…（イ）
が成り立つ。（ア），（イ）より，次の関係が成り立てばよい。
BD BE 1


BA BC 2
…（ウ）
いま，直線 BC の方程式は，
y 1 
8
x  1
4
より， y  2 x  3
であるから，D，E の x 座標は，それぞれ連立方程式
(2)
y  x  6
 y  2x  3
，

 y   x  6k  y   x  6k
②
を解いて，
3k  3 ， 2k  1
である。直線  上の線分の長さの比を x 軸への正射影の比として考えると，
（ウ）は，
3  3k  3 3  2k  1 1


3   2
3   1
2
整理して，
2  k 2  5
3
よって，
k  2
15
3
である。直線  が線分 AB と交わるためには，  の切片について 2  6k  12 ，
すなわち，
1
 k  2 でなくてはならない。ゆえに，
3
k  2
15
3
を得る。
受験番号
平成 27 年度大阪府・大阪市・堺市・豊能地区公立学校教員採用選考テスト
中学校数学解答用紙
2
得
点
△AFD と△HFB において，
(1)
点 F は BD の中点だから，
DF＝BF
また対頂角が等しいので，
∠AFD＝∠HFB
AD//BC より錯角が等しいので，
∠ADF＝∠HBF
よって，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
△AFD≡△HFB
(1)より，
よって，
FE//HC より，
(2)
よって，
ゆえに，
BH＝DA＝4cm
HC＝9－4＝5cm
FE：HC＝AF：AH＝1：2
FE：5＝1：2
FE＝
FE：BC＝GF：GB＝
5
cm
2
5
：9
2
＝5：18
18
△AFG
5
よって，
△ABG＝
また，AD//BC より，
△ABD＝△ACD
…（ア）
△ABG＝△ABD－△AGD
(3)
△AGC＝△ACD－△AGD
であるから，
△ABG＝△DGC
（ア），（イ）より，
ゆえに，
△DGC＝
18
倍
5
18
△AFG
5
…（イ）
（6 枚のうち 3）
受験番号
平成 27 年度大阪府・大阪市・堺市・豊能地区公立学校教員採用選考テスト
中学校数学解答用紙
3
（6 枚のうち 4）
得
点
3x  2b  a より，x 
2b  a
である。x が整数になるためには，2b  a が
3
3 の整数倍にならなければならない。ここで，a と b の値をそれぞれ横，縦に並べ，
その場合の 2b  a の値を示した表を作ると，次のようになる。
a
1
2
3
4
5
6
1
1
0
1
2
3
4
2
3
2
1
0
1
2
3
5
4
3
2
1
0
4
7
6
5
4
3
2
5
9
8
7
6
5
4
6
11
10
9
8
7
6
b
(1)
2b  a が 3 の整数倍になるのは， 3, 0, 3, 6, 9 のときであり，12 通りある。
ゆえに，求めたい確率は，
12 1

36 3
xy  x  y  11を変形すると，
x y  1   y  1  12
x  1 y  1  12
…（ア）
x , y は自然数なので，（ア）を満たす x  1, y  1 の組は，次の 6 通りある。
(2)
i)
x  1  1, y  1  12
のとき， x  2, y  13
ii)
x  1  2, y  1  6
のとき， x  3, y  7
iii)
x  1  3, y  1  4
のとき， x  4, y  5
iv)
x  1  4, y  1  3
のとき， x  5, y  4
v)
x  1  6, y  1  2
のとき， x  7, y  3
vi)
x  1  12, y  1  1
のとき， x  13, y  2
ゆえに， x, y の組は，
x, y   2, 13, 3, 7, 4, 5, 5, 4, 7, 3, 13, 2
受験番号
平成 27 年度大阪府・大阪市・堺市・豊能地区公立学校教員採用選考テスト
中学校数学解答用紙
4
（6 枚のうち 5）
得
点
解きたい二次方程式
2 x 2  5x  1  0
x 2 の係数 2 で両辺を割ると，
x2 
5
1
x 0
2
2
x2 
5
1
x
2
2
左辺の
1
を右辺に移項すると，
2
2
2
5
5
左辺は   を加えると平方完成の形になる。等式の性質より，両辺に   を
4
4
加えることができるから，
2
5
1 5
5
x  x     
2
2 4
4
2
左辺を因数分解し，右辺を整理すると，
2
5
1 25

x    
4
2 16

2
右辺を通分すると，
(1)
5
8
25


x   
4
16 16


平方根の考え方を使うと，
左辺の
5
を右辺に移項すると，
4
分母をまとめると，
x
5
17

4
16
x
x
17
16

17
4
5

4
17
4
 5  17
4


   17 

16 

2
受験番号
平成 27 年度大阪府・大阪市・堺市・豊能地区公立学校教員採用選考テスト
中学校数学解答用紙
（6 枚のうち 6）
（続き）
4
つまずきの分析
・解の公式が正しく定着していないと考えられる。
根号の中について， b 2 を b として計算した。
具体的な指導内容
(2)
x
ア
 b  b 2  4ac
 b  b  4ac
でなく，正しくは x 
であることを強調し，解
2a
2a
の公式を間違いなく覚えるように指導する。また，生徒が具体的に計算を実行する
様子を観察し，必要な助言を与える。
つまずきの分析
・約分の際に，分子の項を 1 つしか約分していない。
・約分の結果が 1 であるとき，
「1」と明記しないことにより 0 と誤解している。
具体的な指導内容
(2)
イ
・


64 3
 6  4 3  6 であるから，分母の 6 が括弧内の各項に係るということを強調する。
6
「±」などでつながっている場合は，分子の各項の係数と，分母の係数を同時に約分しなけれ
ばならない。
・x
64 3
6
約分の結果の 1 を書かないと，
このように，ミスが多発する。
 4 3
x1
x x
をとそのままにせず，のように，約分の結果をきちんと書くべきだと指導する。
x x
x1
つまずきの分析
例えば，
・代入の誤りだと考えられる。解の公式の「  4ac 」に対する代入を，「×」を使
わず，あるいは，  1 に( )を付けず，行ったことで，  4  3  1 と混同した。
具体的な指導内容
(2)
ウ
x
 b  b 2  4ac
に数値を代入するとき，文字であった場所を，
2a
x

 　　2  4  　 　

2  　のように括弧を用いてから代入してみるように助言する。
また，演算の種類につねに注意しながら計算を実行するように指導する。

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