固有値問題いくつか
ゆきみ
http://yukimigo.com/
2015 年 2 月 22 日
線型代数応用編. 意外と知らないよね, くらいのお話.
1 Gershgorin の定理
以下 Cn で考える. ただし対称行列のときはもちろん Rn でよい.
Theorem 1.1 (Gershgorin の定理). 正方行列 A = (aij ) の固有値は C 上の半径
ri =
n
∑
|aij |,
j̸=i
中心 aii の閉球にふくまれる.
proof. A のある固有値を λ, それに属する固有ベクトルを l とすると,
λl = Al
だから,
λli =
n
∑
aij lj =
j=1
∑
aij lj + aii li
j̸=i
によって
(λ − aii )li =
∑
aij lj
j̸=i
となっている. max |lk | = |li | とすると,
|λ − aii ||li | ⩽
∑
|aij ||lj | ⩽ |li |
j̸=i
∑
j̸=i
だから, |li | で割ればよい. ♡
1
|aij |
2 固有値の性質
さて, ここですこしだけ線型代数の復習をしよう. 一般に対称行列 A は直交行列によっ
て対角化される. よって二次形式の標準形は, 固有値を λ1 , . . . , λn とすると,
(x, Ax) = λ1 y12 + · · · + λn yn2
となり, つぎがなりたつ.
Theorem 2.1. A を対称行列とすると,
W (A) ··= {(x, Ax); |x| = 1}
は閉区間で, その両端はそれぞれ A の最小, 最大の固有値に等しく, その両端の値を取る
(x, Ax) の x は A の固有ベクトルになる.
proof.
(x, Ax) =
n
∑
λi yi2
i=1
で, てきとうに番号を入れかえて
λ1 ⩽ . . . ⩽ λn
としておく. ふつうに計算して
λ1
∑
yi2 ⩽
i
∑
λi yi2 ⩽ λn
i
だから, |x| = 1 とすると
λ1 ⩽
∑
∑
yi2
i
λi yi2 ⩽ λn
i
によって W (A) ⊂ [λ1 , λn ] となる. λ1 , λn ∈ W (A) であればよい. どちらでもおなじで,
λ1 の固有ベクトルを l とすると,
(l, Al)(∈ W (A)) = λ1 |l|2 = λ1
だからよい. ♡
2
3 Min-Max の原理
つぎは量子力学でとても重要だけどあまり知られていない. らしい (田崎 [3] の付録によ
ると). というわけでかんたんな場合をかいておこう. 関数解析での場合も方針はおなじ.
Theorem 3.1 (Min-Max Principles). A を対称行列とし, その固有値を
λ1 ⩽ . . . ⩽ λn
とする. F を Rn の部分空間とするとき,
λk = min max{(x, Ax); |x| = 1}
dimF =k x∈F
がすべての k でなりたつ.
proof. A の固有ベクトルからなる ONS を l1 , . . . , ln とする. てきとうに番号をつけか
えて
Ali = λi li
としてよい. lk , . . . , ln で張られる部分空間を En−k+1 とすると, その次元は n − k + 1 だ
から, 任意の k 次元部分空間 F とゼロでない共有元をもつ. それを x として,
x = yk lk + · · · + yn ln
(|x| = 1)
とすると,
(x, Ax) = λk yk2 + · · · + λn yn2
⩾ λk |x|2 = λk
だから
max{(x, Ax); |x| = 1} ⩾ λk
x∈F
となっていて, F は任意だから
min max{(x, Ax); |x| = 1} ⩾ λk
dimF =k x∈F
がなりたっている.
一方, l1 , . . . , lk で張られる部分空間 Fk は k 次元だから x ∈ F (|x| = 1) を
x = y1 l1 + · · · + yk lk
3
とかくと,
(x, Ax) = λ1 y12 + · · · + λk yk2
⩽ λk |x|2 = λk
だから
max {(x, Ax); |x| = 1} ⩽ λk
x∈Fk
によって前の結果とあわせて
λk ⩽ min max{(x, Ax); |x| = 1} ⩽ max {(x, Ax); |x| = 1} ⩽ λk
dimF =k x∈F
x∈Fk
となって, 証明できた. ♡
参考文献
[1] Richard Courant and David Hilbert. 『数理物理学の方法 上』. 数学クラシックス.
丸善出版, 2013. 藤田宏・高見頴郎・石村直之 訳.
[2] 笠原皓司. 『線形代数学』. サイエンスライブラリ 数学 25. サイエンス社, 1982.
[3] 田崎晴明. 『統計力学 2』. 新物理学シリーズ 38. 培風館, 2008.
おおむね笠原 [2] の内容です. モチベーションはクーラント・ヒルベルト [1] とか？
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