解析 II 演習問題 2014-4 問題 1. 平面 R2 の極座標 (r, θ) を， x = r cosθ

解析 II 演習問題 2014-4
問題 1. 平面 R2 の極座標 (r, θ) を，
x = r cos θ,
y = r sin θ
とする.
(1) 偏導関数
∂x
,
∂r
∂x
,
∂θ
を計算せよ．
(2) ヤコビアン
∂y
,
∂r
∂y
∂θ
∂x
∂r
∂y
∂x ∂θ ∂y ∂θ
∂r
を計算せよ．
(3)
∫
∫
ρ
ρ
−(x2 +y 2 )
e
−ρ
(∫
)2
ρ
e
dxdy =
−x2
dx
−ρ
−ρ
を示せ．
(4) 原点 O = (0, 0) の半径 σ > 0 の閉円板 B 2 (σ) 上での積分
∫
2
2
e−(x +y ) dxdy
B 2 (σ)
を極座標 (r, θ) を使って計算せよ．
(5)
∫
lim
σ→∞
e−(x
2 +y 2 )
∫
∫
dxdy
B 2 (σ)
を求めよ．
(6)
∫
R2
−(x2 +y 2 )
e
∫
ρ
∫
ρ
−ρ
∫
σ→∞
e−(x
2 +y 2 )
dxdy
−ρ
= lim
∞
dxdy =
−∞
= lim
ρ→∞
∞
e−(x
2 +y 2 )
dxdy
B 2 (σ)
1
−∞
e−(x
2 +y 2 )
dxdy
を使って，
∫
∞
e−x dx
2
−∞
を計算せよ．
問題 2. 正の実数 c に対して, K = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≦ z ≦ c2 }
とする.
(1) K の概形を図示せよ.
(2) K の体積を 2 重積分で表せ.
(3) K の体積を計算せよ.
問題 3. c を正の実数とする. 回転体
R = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≦ c2 , z =
とする.
(1) R の概形を図示せよ.
(2) R の側面積を 2 重積分で表せ.
(3) R の側面積を求めよ.
2
√
x2 + y 2 }

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