数学とは何か？

What is the secrets of
Mathematics?
数学とは何か
S. Kusafusa
抽象化 Abstraction
数学とは、違うものに同じ名前をつけることだ.
アンリ・ポアンカレ
Mathematics is the art of giving the same
name to different things
H. Poincare
表現 Representation
数学は言語である.
言語として、ある対象間の作用や関係を記
述することである.
Mathematics is a language to represent the
operations and relationships of among the objects.
数学は、モデル記述言語である
Mathematics is a modeling language description Nature.
非本質なものを考慮に外に置いて考えることができる
すなわち数学とはにモデル化である
圏論 Category theory
例えば、圏論は数学をするための高級言語
For instance, Category theory is a high-level abstraction
language to do Mathematics.
圏 (category) )は、射 (morphism, map, arrow))と対象 (object))
と呼ばれる 2種の集団からなる.
“対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変えることによって、
その局面局面でフォーカスしたい抽象度にぴったりの数学的コトバ
が提供される”
X、Y が与えられたとき、
特別な X ⊔ Y と、κ1、κ2 がとれる.
どう特別かというと、ほかに Z とf、g というものが現れたとき、図を可換にする.
（h⚪κ1=f、h⚪κ2=g）ようなh がただ1 つ定まる.
これは、集合の排他的和 X ⊔ Y の集合と関数の圏 Sets における圏論的特徴付けである.
排他的和とは集合の合併を重複がないようにとるという意味で、具体的には、ラベル
1、2 を付けて、
κ1、κ2 は X、Y を X ⊔ Y に埋め込む関数で、h は f と g から場合分け(X ⊔ Y の元が
X 由来だったら f を適用、Y 由来だったら g を適用)でつくられる.
すると、κ1、κ2 は X、Y を X ⊔ Y に埋め込む関数で、h は f と g から場合分け
(X ⊔ Y の元が X 由来だったら f を適用、Y 由来だったら g を適用)でつくられる
ことがわかる.
大ざっぱにいって、圏論の基本的アイデアは;
“あるモノについて調べるとき、そのモノの「成り立ち」を考えるのではなく、
そのモノと他のモノの間の「作用」や「関係性」を考える”
排他的和 X ⊔ Y の例でいうと、その集合としての成り立ち（元 (1、x) や (2、y)
があって……）はまったく無視して、「f と g が h を引き起こして……」という
ふうに考える.
ここでは圏の対象 X、Y……が集合、射 f、g、h……が関数になっている.
前者が「モノObject」、後者が「作用 Action, operation」.
不変量 Invariant
不変量とは、特定のタイプの変換がオブジェクトに適用されるとき変わらない数学的対象
のクラスに保持された特性である.
In mathematics, an invariant is a property, held by a class of mathematical
objects, which remains unchanged when transformations of a certain type
are applied to the objects. The particular class of objects and type of
transformations are usually indicated by the context in which the term is
used. For example, the area of a triangle is an invariant with respect to
isometries of the Euclidean plane. The phrases "invariant under" and
"invariant to" a transformation are both used. More generally, an invariant
with respect to an equivalence relation is a property that is constant on
each equivalence class.
Invariants are used in diverse areas of mathematics such as geometry,
topology and algebra. Some important classes of transformations are
defined by an invariant they leave unchanged, for example conformal maps
are defined as transformations of the plane that preserve angles. The
discovery of invariants is an important step in the process of classifying
mathematical objects.
不変量と対称性
不変量の例
ホモロジー群は、複体のホモトピー同型性に関しての不変量である。
オイラー標数はホモロジー群の群同型性に関しての不変量であり、
したがって複体のホモトピー同型性に関しての不変量である。
結び目不変量は、結び目の同型性に関しての不変量である。
グラフの頂点数は、グラフの同型性に関しての不変量である。
図形の面積(測度)は合同性に関しての不変量である。
写像度は写像のホモトピック性に関しての不変量である。
群、環、体の濃度は同型性に関しての不変量である。
数学とは長時間考えるという苦しみに耐える学問である。
解けないという不安、焦燥、欲求不満、劣等感に耐える学問なのだ。
- 藤原正彦.
Mathematics is a discipline to withstand the pain to think for a long
time.

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