C - 自然科学研究機構

時空の問題として考える揺らぎと
構造の自己組織化
吉田善章
東京大学・新領域創成科学研究科
Self-organized plasma confinement
Jovian magnetosphere
Self-organized confinement by VORTEX
kurasse.jp/member/little-kinoko778/note/93577
Self-organized plasma confinement
RT-1 magnetospheric plasma
application: advanced fusion, antimatter plasma
matter vs. space-time
物語
narrative
中心
自己組織化する
自然・社会
揺らぎ
a priori 時空
中心＝主題の脱構築
中心の相対化
時空の主題化
Theoretical statements
•
•
•
•
力学の時空＝渦
micro = canonical / macro = noncanonical
階層性= 葉層構造
葉層の埋め込み＝自己組織化するマクロ構造
References
[1]吉田善章, 時空の問題として見るプラズマ物理 ――〈渦〉とは何かをめぐって，
日本物理学会誌 68 (2013), 74—81.
[2]ZY & P.J. Morrison, Unfreezing Casimir invariants: singular perturbations
giving rise to forbidden instabilities, http://arxiv.org/abs/1303.0887.
general Hamiltonian system
• Hamiltonian mechanics is dictated by
{ , } (Poisson bracket) and H (Hamiltonian)
Space (symplectic geometry)
Matter (energy)
d
F = {F , H }
dt
{G, F } = ∂ u G (u ), J ∂ u F (u )
 0
Canonical = symplectic J = 
− I
I

0
渦
Foliated phase space of non-canonical
Hamiltonian system
• Ker(J) = Coker(J) ={ grad C (u) }
Casimir element
The “effective” phase space of
constrained dynamics
•Equilibrium points?
•Stability?
•Thermal equilibrium?
Scale hierarchy of magnetized particles
(
)
m 2
2
2
H = Vc + Vb + Vd + qφ
2
“quasi-particle”
(
)
m 2
2
H c = µωc + Vb + Vd + qφ
2
Coarse-graining
z = (ϑc , pc ; ζ , p|| ; θ , Pθ ) → (ϑc , µ ; ζ , p|| ; θ , Pθ )
Coarse-graining  non-canonization
 Jc

J = 0
0

0
Jc
0
0
0 0


0  → J nc =  0 J c
0 0
J c 

0

0
J c 
Grand-canonical distribution on Casimir leaf
δ (S − α N − β E − γ M ) = 0
S = − ∫ f log f d z
6
N =∫ fd z
6
f = c exp (− β H c − γ µ )
Chemical potential
E = ∫ Hc f d 6z
M = ∫ µ f d 6z
Quasi-particle number
Density clump in lab-frame space
thermodynamic distribution on a Casimir leaf
 embedding into the lab-frame yields “structure”
Casimir foliation of infinitedimensional phase space
• プラズマ・流体を「場」のHamilton系と考え
る  無限次元の位相空間（関数空間）
• helicity によって位相空間は葉層化する
• helicity は「渦」のトポロジーを計量する
ZY & R.L. Dewar, Helical bifurcation and tearing mode in a
plasma—a description based on Casimir foliation, J. Phys. A:
Math. Theor. 45 (2012) 365502 (36pp).
circulation ＝identity of vortex

d 
 = [∂ t P + (∇ × P ) ×V ]⋅ dx = 0
P
x
⋅
d
 ∫
dt  L∫(t )
 L (t )
if canonical momentum P = mV + (q / c) A obeys
∂ t P + (∇ × P ) ×V = −∇ϕ (ϕ = H + h )
Pure-state vorticity in relativistic space-time
d
xµ = Vµ
dt
d
xµ = U µ
ds
Relativity destroys the “synchronity” of a cycle.
 “twists” space-time
 generate circulation
∫
L (t )
γ TdS
−1
Conclusion
• 「揺らぎ」は「要素」の集団と考える．
• 要素の identity は空間によって与えられる．
• 空間＝差異の体系＝環のイデアル
• 環の変形  空間の相対化
• ミクロ＝正準，マクロ＝非正準（葉層）
• 葉層を支配する幾何と「揺らぎ」の関係
 自己組織化

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