6枚組

今日の内容
 電流源を用いた回路の解析方法
電気回路および演習
 ホイートストンブリッジおよび Y-∆・∆-Y回路変換
 重ね合わせの定理
 テブナンの定理
岩谷素顕
ポイント：回路解析の基本はキルヒホッフの法則
⇒解析を容易にするための手法
3-2
3-1
電流源を用いた回路の解析
※以下の回路においてIを求めよ
1kΩ
I
1kΩ
1kΩ
1kΩ
ホイートストンブリッジ回路
と回路変形
10mA
3-3
3-4
目標
合成抵抗の求め方
直列接続 a
R1
R2
ホイーストンブリッジ
b
R  R1  R2
特殊な回路
R1
並列接続
b
a
R2
3-5
R
1
RR
 1 2
1
1
R1  R2

R1 R2
これ以外の手法を検討する
3-6
下記のような回路を考える
考え方
この回路の考え方は2種類
R１
I３
R5 I
４
I5
I２
R２
R１
R３
I1
R３
I1
この回路の解析は？
I
R5 I ３
４
I5
R４
I２
R２
Ｉ０
I5=0[A]となる場合
⇒ホイーストンブリッジ（今回）
I5≠0[A]となる場合
⇒Y-Δ結線変換
R４
Ｉ０
Ｅ
Ｅ
3-7
3-8
I5=0[A]となる場合
⇒ホイーストンブリッジ
R１
R３
I1
I
R5 I ３
４
I5
R２
I２
考え方：キルヒホッフの法則を使う
R5に電流の流れない条件
を考える
R１
R３
R5
Ｉ
ＩＩ
R４
キルヒホッフの電流則より、
I1+I2-I0=0 (4)
I3+I4-I0=0 (5)
I3+I5-I1=0 (6)
R４
R２
Ｉ０
キルヒホッフの電圧則より
-R2I2+R1I1+R5I5=0 (1)
-R5I5+R3I3-R4I4=0 (2)
R2I2+R4I4-E=0 (3)
ＩＩＩ
Ｅ
3-9
いまR5に電流が流れない条件なのでI5=0
⇔ I1=I3, I2=I4 が成り立つ。
また、式（1）（2）より
結論
R2I2=R1I1、R3I3=R4I4 (7)
R１
が成り立つ。したがって、
I1=R2I2/R1=I3
I4=R3I3/R4=I2
R３
I1
(8)
(9)
I
R5 I ３
４
I5
となる。したがって、(8)を(9)に代入して、
I2=R3R2I2/R4R1 ⇔ (R3R2-R4R1)I2/R4R1=0
を満たす必要がある。
すなわち、
R２
I２
Ｉ０
R3R2 = R4R1 ・・・(10)
なる関係が成立しなければならない。
3-11
が成立する。
Ｅ
3-10
3-12
Ｅ
R４
R 3 R 2 = R4 R 1
を満たす回路のことを
ホイートストンブリッジと呼ぶ
ホイーストンブリッジ回路の応用例
ホイーストンブリッジ回路の応用例
この抵抗が未知の場合
未知の抵抗がある場合
R3の抵抗は、R1、R2および
R4の抵抗を変化させ、R5に
流れる電流を測定して、電
流が0になればR3の値を決
定できる。
R１
R３
I1
I２
R３
I1
I
R5 I ３
４
I5
R４
I２
R２
Ｉ０
R４
Ｉ０
http://www.yokogawa.com/jpmcc/gmi/dc/gmi-2755-001-jp.htm
Ｅ
3-13
R１
I
R5 I ３
４
I5
R２
R3が未知の場合
ホイートストンブリッジ回路
3-14
Ｅ
こういう回路をどう解析したらよいか？
この回路において流れる電流は？
Y-∆変換・∆-Y変換
3
回路の変形
1
s
a
b
1
1
t
3
並列でも直列でもない
ホイートストンブリッジ回路でもない
3-20 キルヒホッフの法則でも解けるが面倒
3-19
-Y変換
等価回路と変換
結線方式; Y結線、結線
a相
b相
c相
3-21
Y結線
:電源または負荷
a相
等価的な変換または等価回路とは、回路の中身
は異なっても電圧－電流の関係が同じもの
a相
結線
3-22
a相
b相
ブラック
ボックスA
ブラック
ボックスB
Y or ？
Y or ？
c相
c相
b相
b相
c相
同じ電源を接続したとき、電流の大きさは同じ
Y結線と結線の変換
等価回路の例
a
1
1
R1
R2 b
 この考え方を結線およびY結線の回路に適用して、相
左の回路はabから見れば等価
4
R1
等価回路の定義
電圧－電流の関係が同じもの
b
a
R2
4
3-23
3-24
→Y変換
rab
b
a
rca
rbc
r r  r 
1
 ab bc ca (1)
1
1
r
ab  rbc  rca

rab rbc  rca
r r  r 
1
 bc ca ab (2)
端子b-c間: Rb  R c  rbc //( rca  rab )  1
1
r
bc  rca  rab

rbc rca  rab
r r  r 
1
 ca ab bc (3)
端子c-a間: Rc  R a  rca //( rab  rbc )  1
1
r
ca  rab  rbc

rca rab  rbc
端子a-b間: Ra  R b  rab //( rbc  rca ) 
a
b
Ra
Rc
等価的に
変換
c
Rb
c
端子a-b間: rab//(rbc+rca)=Ra+Rb
端子b-c間: rbc//(rca+rab)=Rb+Rc
//は並列であることの意味
端子c-a間: rca//(rab+rbc)=Rc+Ra
この変換の考え方は、図のように任意の2つの端子間の抵抗を両結
線で等しいようにすることである。導出の仕方としては上のような式
を満たすように抵抗を選べばよいので、計算すると、
3-26
3-25
Y→変換
下の図のように、Y結線の回路を結線回路で等価的に
表現する変換を考える。この変換の考え方は、先の行っ
た→Y変換と全く同様の方法で解けるが、ここではいろ
いろなとき方を学んでおくために、違う方法について考え
てみる。
a
b
Ra
rab
a
b
Rb
rca
Rc
3-27
互に変換する関係式を求める。この求め方はいくつかあ
るが、ここでは単純に合成抵抗の値を比較するという手
法で求めてみる。
c
等価的に
変換
式(1)+式(3)-式(2)
Ra 
rab rca
rab  rbc  rca
式(1)+式(2)-式(3)
Rb 
rbc rab
rab  rbc  rca
式(2)+式(3)-式(1)
Rc 
rca rbc
rab  rbc  rca
右の図のように例えば端子bc a R
rab
a
b a
を短絡し、この新たな端子aと
Rb
の間の抵抗値が等しくなること
rca rbc
Rc
を考えればよい。この短絡する
c
c
考え方の利点は、結線の一
つの抵抗を短絡することができ、
このため計算式を簡単化でき
短絡する
るという点にある。
1
1
1


(4)
端子ab:
rca rab Ra  Rb // Rc 
同様に
1
1
1


(5)
端子bc:
rab
rbc
c
3-28
端子ca:
rbc
Rb  Rc // Ra 
1
1
1


rbc rca Rc  Ra // Rb 
(6)
b
{式(4)+式(5)+式(6)}×1/2より
Ra  Rb  Rc
1
1
1
(7)
 

rab rbc rca Ra Rb  Rb Rc  Rc Ra
変換式の見方と対称の場合
Rc
RR
1

 rab  Ra  Rb  a b
(7)-(6)より
rab Ra Rb  Rb Rc  Rc Ra
Rc
(7)-(4)より
Ra
RR
1

 rbc  Rb  Rc  b c
rbc Ra Rb  Rb Rc  Rc Ra
Ra
(7)-(5)より
Rb
RR
1

 rca  Rc  Ra  c a
rca Ra Rb  Rb Rc  Rc Ra
Rb
3-29
3-30
Y→変換の場合
→Y変換の場合
rab
a
Ra
b
Rb
Rc
rca
rabはRaとRbにはさまれている。
・挟まれているRaとRbを足す
・挟まれているRaとRbを掛け
て残りのRcを割る。
rbc
rab  Ra  Rb 
c
rab
a
Ra
Rc
rca
Ra Rb
Rc
3-31
b
Rb
c
rbc
Raはrabとrcaにはさまれている。
・挟まれているrabとrcaを掛ける
・3つのrab、 rbc 、rcaを足しこれで割る。
Ra 
3-32
対称回路の場合
抵抗が3つとも同じ回路を対称回路という。この場合-Y変
換は下のような関係をとる。
演習で理解しましょう
Y-∆変換を実際に使ってみましょう！
R
a
b
a
b
R/3
R
3-33
R
c
R/3
R/3
c
3-34
rab rca
rab  rbc  rca
演習次の回路においてab間の合成抵抗R0を求めよ。（有
効数字は2桁とする）
この回路でstbは結線を構成してい
1
3
s
a
bるので、これをY結線に変換すると
1
1 1
1
R1 
  0.2[]
1 3 1 5
t
3
1
1 3
3
R2 
  0.6[]
1
3
1
5


3
s
a
1
t
R1
R2
R3
b
1 3
3
  0.6[]
R3 
1 3 1 5
したがって、全体の合成抵抗R0は
R0 
3-35
1
1
1

3.2 1.6
演習抵抗1[]および2[]を下の図のように接続した場合、
端子abに6V加えた場合に、回路に流れる全電流Iを求めよ。
回路を書き換えると右下のように
a
結線
a
なる。右の部分の合成抵抗Rは
1[]
1[]
1[]
2[]
2[]
b
b
したがって、全体の合成抵抗R0は
1
3
R0 
  0.6
2 5
1
3
したがって、回路に流れる全電流I
は、オームの法則より、
2[]
2[]
a’
a
1/3[]
1[]
1/3[]
1/3[]
 0.6  1.7[]
2[]
b
3-36
1
1
3
R 

3 33 2
7 7
1[]
1[]
1[]
1[]
1[]
2[]
I
b’
E
6

 10[ A]
R0 0.6
重ね合わせの定理が有効な代表的な
回路
重ね合わせの定理
R1
電源が2個以上ある回路では有用
I
R4
E
R2
V
R3
R5
実際の問題は演習問題にあります
3-37
3-38
重ね合わせの定理
重ね合わせの定理の考え方
複数の電源があると考えにくい
できれば別々で考えたい
V
V
3-39
I
回路
線形回路が多数の信号源を有する場合、任意の節点間
電圧、任意の枝電流は、個々の信号源が単独で存在し
ている場合の値の和に等しい。ただし、考えていない電
圧源は短絡除去、電流源は開放除去するものとする。
複数の電源と分岐がある回路で、１つだけ電源を残した
回路図を電源毎に用意して、回路図毎に電圧（電流）を
求め、最後に全回路図の電圧（電流）を合計して回路解
析を行う方法
ステップ１：電源を１つだけ残した回路図を、電源毎に
作成する
ステップ２：回路図毎に電圧（電流）を求める
ステップ３：電源毎に求めた電圧（電流）を合計する
3-40
例題下に示す回路において、V2を求めよ。ただしを重ね
合わせの定理を用いて解け
R
考え方複数の電源があっては考えにくい
① この電圧源に注目した場合
1
この電圧源は短絡
V
V
I
R2
銅線で結ぶ
I
V
V2
回路
線を切る
全ての電流源・電圧源に対し
てこれを行い足し合わせる
＝重ね合わせの定理
この電流源は開放3-41
3-42
解法
R1
①電流源を開放する。
テブナンの定理
V
このときの電圧V2’は
R2
V2 
V
R1  R2
R2
②電圧源を短絡する。
このときの電圧V2’’は
R R
短絡
V2  1 2 I
R1  R2
したがって、重ね合わせの定理より
R2 V  IR1 
3-43 V2  V2  V2 
R1  R2
開放
回路を等価回路に書き換えて解法
V2’
R1
I
R2
V2’’
3-46
想定している回路
テブナンの定理
6
2
4
a
5V
1A
RLに流れる電流を求めたい場合
RL＝3
b
図(a)のように多数の電源を含む回路の端子n-n’より左側の
部分は、図(b)のように等価表現して計算を容易にする定理
キルヒホッフの法則でも解ける
n
⇒かなり煩雑
詳しくは演習問題に同じ問題があるので各自
で実施して下さい
n
I
Vo
ZL
n’
(a)
3-47
ZL
回路
テブナンの定理を使えば容易になる
Zo
I
(b) 等価回路
n’
負荷電流 I は、I =V0/（Z0+ZL)
3-48
テブナンの定理の使い方
ステップ1：注目する部品にかかる電圧Vを求める
ステップ2：電圧源を短絡、電流源を解放した状態で、注目
部品以外の合成抵抗を求める
ステップ3：合成抵抗と注目部品と電圧Vの電源が直列回
路を構成していると仮定して、注目部品に流れる電流を求
める
例題下に示す回路において、負荷RLに流れる電流 I をテ
ブナンの定理を用いて求めよ。
１
R1
２
I
V
R3
R2
短絡
２‘
R4
１
Vo
回路
Zo
回路
短絡
RL
テブナンの定理を使ってVO、ZO
を求めたい。この時回路は、そ
れぞれ下記の図a、bのようにな
る。
R1
R1
２
R2
V
R3
R2
VO
開放
R4
１‘
3-49
(c) Voを求める回路
ZO
R3
(d) Zoを求める回路
２‘
R4
図a
3-50
図b
テブナンの定理の考え方
１
R1
テブナンの定理の使い方
２
I
V
R3
R2
この抵抗に注目
① RLを外す
② この状態で2と2’の電位差を求める
１
RL
R1
２
V
R3
２‘
R4
この回路を解析するのは結構面倒
ただ、RLだけの電流・電圧を求めればよい
3-51
簡単にできればそれのほうが良い⇒テブナンの定理
3-52
R2
ここの電位差を求める
２‘
R4
テブナンの定理の使い方
③ 電流源は開放、電圧源は短絡する
④ 2-2’から見た合成抵抗を求める
１
R1
２
V
R3
テブナンの定理の使い方
求めた、V0とインピーダンスを下記のように考
えて電流、電圧を考えればよい！
Zo
2と2’から見た合成
抵抗を求める
R2
n I
Vo
ZL
R4
3-53
２‘
電圧源は短絡、電流源は開放
3-54
１
R1
R1
２
今日のまとめ
R2
V
R3
R2
VO
R3
ZO
 ホイートストンブリッジ
ブリッジ回路の平衡条件：R3R2 = R4R1
 Y-∆変換・∆-Y変換
 重ね合わせの定理
R4
１‘
R4
図a
したがって
VO  V21  V1 2
ZO 
２‘
図b
複数の電源と分岐がある回路で、１つだけ電源を
残した回路図を電源毎に用意して、回路図毎に
電圧（電流）を求め、最後に全回路図の電圧（電
流）を合計して回路解析を行う方法
( R2 R3  R4 R1 )
R2
R4
V
V
V

R1  R2
R3  R4
( R1  R2 )( R3  R4 )
RR
R R ( R  R4 )  R3 R4 ( R1  R2 )
R1 R2
 3 4  1 2 3
R1  R2 R3  R4
( R1  R2 )( R3  R4 )
 テブナンの定理
多数の電源を含む回路を等価変換して計算を容易に
する定理
が得られ、抵抗RLに流れる電流Iはテブナンの定理より
I
VO
( R2 R3  R4 R1 )
V

Z O  RL R1 R2 ( R3  R4 )  R3 R4 ( R1  R2 )  ( R1  R2 )( R3  R4 ) RL
3-55
3-59

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